TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I

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1 Faculdad d Ecoomia Uivrsidad Nova d Lisboa TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I Ao Lctivo º Smstr Eam Fial d 1ª Época m d Juho d 8 Duração: horas 3 miutos É proibido usar máquias d calcular ou tlmóvis Não tha o su tlmóvl cosigo Não são sclarcidas dúvidas Simplifiqu os cálculos ao máimo Justifiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das folhas d am Os rascuhos dvm star bm idtificados Não pod dsagrafar as folhas do am Idtifiqu todas as folhas Data d publicação das otas: 5 d Juho às 19h Data ÚNICA d cosulta das provas: 6 d Juho às 8h (Uma vz crrada stá crrada!!)

2 Cálculo I Eam d 1 Época, d Juho d 8 1. ( valors) Coform promtido o dia 14 d Abril, aqui vai o rcício sobr o torma da piscia agitada. Sja a fução y a. s,. Calcul o h d qu fala o torma da piscia agitada para sta fução o itrvalo rfrido. Sugstão: comc por calcular o itrvalo [ ] a. sd apoi-s um dsho. RESOLUÇÃO: Vamos sguir a sugstão dada calcular o valor do itgral [ ] [ ] a. sd a cos a cos + cos a. É uma ára. a. sd. Ora, Sgu-s o cálculo do famoso h d qu fala o torma da piscia agitada. f ( h ) h A ára do rctâgulo é f ( h). Igualmos tão sta ára ao valor obtido o cálculo do itgral. Assim, f ( h) a a. s h a s h h arcs.

3 Para qum usar st am o futuro: ot qu há dois valors o itrvalo [, ] qu vrificam o rquisito; o torma da piscia agitada ão rfr um um só h, o qu é aliás maifstamt impossívl pois até podm sr ifiitos; dê um mplo.. (1 valors) Sgu-s uma primitiva tão fácil qu até vai psar o provérbio quado a smola é grad o pobr dscofia : P cos( ). 1 ( s( )) RESOLUÇÃO: Não há razão para dscofiar, é msmo uma primitiva imdiata dada! u ' Sabdo qu P arcs( u) + C, basta fazr u s( ) para trmos a rsposta 1 u u ' cos.. à qustão. Not qu ( ) Assim, ( ( )) cos( ). + P arcs s C. Não prcbu? Driv!! 1 ( s ( )) ( ) Outra rsposta possívl é arccos s( ) + C. Ps porquê! Ou driv! 3

4 Est rcício pod tr uma solução surprdt qu, o tato, ão vm à cabça imdiatamt: P cos( ). cos( ). cos( ). P P P() + c ( ( ) 1 si cos( ) cos ( ) Ora vja bm qu d facto arcsi(si ) E sta, hm? 3. ( valors) Calcul a ára dlimitada m simultâo plas sguits fuçõs o itrvalo,. f ( ) g( ) s ( ) RESOLUÇÃO: Graficamt f g 4

5 Prtd-s calcular a ára sombrada o gráfico atrior. O cálculo do zro da fução f ( ) tora-s uma ajuda prciosa! Ora,, o qu sigifica qu ambas as fuçõs passam o poto d coordadas,. Ára s( ) d s( ) + d cos ( ) + cos. + cos(. ) (4 valors) Cosidr a sucssão dada plo trmo gral: U ( 1) 1 a) Prov da maira mais rápida cómoda qu U ão é moótoa. b) Ecotr, plo método qu mlhor tdr, lim( ) c) Sja a fução m( ) l U. U. Calcul lim ( ) m U. 5

6 d) Através do studo da sguda drivada da fução m ( ), dtrmi os itrvalos d cocavidad, covidad vtuais potos od a sguda drivada ão ista. RESOLUÇÃO: 1 1 a) U 1 1, U, U 3... Basta!!! STOP!!! Não s cas dscssariamt. 3 Está provado qu a sucssão ão é moótoa. Primiro crsc dpois dcrsc!! b) Plas propridads dos limits: lim( U U ) limu limu lim ( 1) lim ( 1) lim lim ( 1) Not qu U 1 ( 1) apsar d ão sr moótoa covrg para zro!! c) lim m( U ) lim l ( 1) l lim l ( ) + d) Sja m( ) l d domíio + R. 6

7 Tmos m ( ) m( ) s > m( ) s < ou sja, m ( ) l s > l ( ) s <. Graficamt: A primira drivada da fução é dada por: m ' ( ) 1 s > 1 s < m ' 1, Dm. ou sja, ( ) ( ) A sguda drivada da fução corrspod à drivada d m' ( ) 1 m ''( ), D m( ). Esta fução é smpr positiva para qualqur valor d cova m todo o domíio, ou sja, m R \ { } sja côcava., ou sja, a m é, logo a fução ( ). Não istm itrvalos od a fução O úico poto od a sguda drivada ão ist é m. Como sria possívl istir m ''( ) s o poto m? m squr prtc ao domíio d ( ) 7

8 5. (7 valors) Cosidr a sguit fução dfiida d R R : z f (, y) y a) Mostr qu a prssão da liha d ívl (curva d ívl) dsta fução quado z 1 é dada pla fução y h( ). b) Calcul a frotira, o itrior, o trior, os potos d acumulação, a adrêcia, os majorats, os miorats o cardial do cojuto A Dh Q, od D h dsiga o domíio d h() Q os úmros racioais. c) Calcul lim h( ) + pla rgra d Cauchy. d) d1) Supoha qu f (, y) 1 dfi d forma implícita como fução d. Sja g( y). Calcul g '( ). y m (1, ) d) Calcul ( g 1 )'(1) através da rgra d drivação da fução ivrsa postriormt cofirm o rsultado cotrado através do cálculo dircto da drivada (sm usar a drivada a forma implícita). RESOLUÇÃO: a) f (, y) 1 y 1 y Assim, h( ) b) O cojuto A é dado por A Dh Q. 8

9 Sdo D R \ { }, tmos o cojuto A ( R { } ) Q h frot( A ) R it( A ) φ t( A ) φ driv( A ) R adr( A ) R major( A) ão tm mior(a) ão tm cardial( A) ( alf zro) algus lmtos m úmro fiito, é ℵ ). \. ℵ, o cardial dos racioais (msmo sm c) lim h( ) lim + + Pla Rgra d Cauchy, ( ) ( ) ' ' lim lim lim Aplicado mais uma vz a Rgra d Cauchy, ( ) ' lim lim lim ' + ( ) Assim, lim h( ) +. + d) d1) f (, y) 1 y 1 Drivado através da forma implícita m ordm a y, tmos: 9

10 ' ' ' ' ' y ' y + y 1 ( ) y + ( ) y y ( ) ' ' + ' y y y y ' y y Assim, 1 g '( ) y y (1, ) 1. d) Plo Torma da Fução Ivrsa, sabmos qu ( g ) '(1) g '( ) 1 Cofirmação por cálculo dircto ( f (, y) 1 dfi d forma plícita y como fução d ): f (, y) 1 y 1 y Logo ' y ' 4 No poto (1, ) Está provado!!!!! 1, a drivada é dada por ( g ) '(1) 4 1 (1, ) s 6. (4 valors) Sja a fução y f ( ). a) Prouci-s sobr a difrciabilidad d f ( ). 1

11 b) D forma ituitiva, sboc um sboço do gráfico d f ( ), lmbrado-s do rsultado da alía a). c) Escrva o dsvolvimto dsta fução pla fórmula d McLauri até ao trmo d sguda ordm (trmo od figura a drivada d sguda ordm). Sugstão: Pod sr útil rlmbrar qu si si cos d) Rlacio o poliómio (tão simpls) da alía c) com a rprstação gráfica obtida m b). Havrá cocordâcia tr os dois? RESOLUÇÃO: a) Comcmos por calcular o domíio da fução f ( ). Como, R, o domíio é R. Como s trata do quocit d duas fuçõs difrciávis, prova-s qu f ( ) é difrciávl o su domíio R (admit drivada fiita). b) Para fazr um sboço do gráfico, covém um studo sitético d algumas caractrísticas da fução f ( ). É difrciávl m R ( por isso cotíua) Passa a origm s f ( ), R s f ( ) s s (aula-s os msmos potos qu a fução y s ) 11

12 s lim (quocit d uma fução positiva limitada por um + ifiitamt grad positivo) Para valors d muito grads gativos, a fução vai oscilado cada vz mais, tomado imags qu s afastam cada vz mais d zro, mas uca diado d tocar o io das abcissas (o atrior cálculo dos zros assguraos tal facto). Ora, stas iformaçõs prciosas parcm suficits para sboçar o gráfico da fução. Ao trabalho! c) Dsvolvimto pla Fórmula d McLauri: f ( ) f () + f '()( ) + f ''()( )! Cálculos auiliars: 1

13 f ()..cos.. f '( ) f '() s s s s s s f ''( ) f ''() Assim, ( cos.cos ) ( ) ' ( ) f ( ) + ( ) + f ( )! s s s d) O poliómio d McLauri origia uma trivial parábola (com vértic a origm) qu quas coicid com a fução f ( ) a vizihaça do poto d abcissa! Vja bm o sboço do gráfico!!! Há, pois, cocordâcia tr o poliómio cotrado o gráfico da fução. É muito simpls mas a vizihaça d zro costa-s bm. Ora vja!!!! y 13