1 Eliminação gaussiana com pivotamento parcial

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1 1 Elimiação gaussiaa com pivotamto parcial Exmplo sm pivotamto parcial Costruimos a matriz complta: x y z = Portato x = 2, y = 3 z = 1 Problma com lmtos com grad difrça d scala [ ] [ ] [ ] ε 2 x 4 = 1 ε y 3 Excutamos a limiação gaussiaa para ε 0 ε << 1: [ ] [ ε 2 4 ε ε 3 0 ε 2 ε 3 4 ε ] Tmos y = 3 4/ε ε 2/ε = ε + ε2 3 4 ε ε4 + O(ε 5 ) x = 4 2y = 3 2ε + 3 ε 2 ε2 ε ε4 + O(ε 5 ) Ou sja, quado ε é pquo, x 3 y 2 No tato, quado implmtado m um sistma d prcisão fiita, pod havr um caclamto catastrófico qu produz y = 2 x = 4 2y ε = 0 Elimiação Gaussiaa com pivotamto parcial Faz-s uma prmutação d lihas d forma a scolhr o maior pivô a cada passo: [ ] [ ] [ ] ε ε 3 1 ε 3 1 ε 3 ε ε 2 4 3ε Agora, cotiuado o procdimto, tmos: y = 4 4ε 2 ε 2 x = 3 εy

2 Exrcício 1 Rsolva o sguit sistma d quaçõs liars x + y + z = 0 x + z = 4 y + z = 25 Usado limiação gaussiaa com pivotamto parcial (ão us o computador para rsolvr ssa qustão) Exrcício 2 Calcul o valor d λ para o qual o problma { 71x + 41y = é impossívl Exrcício 3 Cosidr os problmas { 71x + 41y = 52x + 30y = 4 λx + 30y = 4 { 71x + 41y = 51x + 30y = 4 Obtha a solução dos problmas Discuta lvado m cota o rsultado do problma atrior 2 Norma L p d vtors Dfiimos a orma L p ou L p d um vtor m R para p 1 como E a orma L ou L como v p = ( v 1 p + v 2 p + v p ) 1/p v = max j=1 v j Propridads: S λ é um ral (ou complxo) u v são vtors, tmos: Exmplo: 3 Norma matricial v = 0 v = 0 λv = λ v u + v u + v (dsigualdad do triâgulo) lim p u p = u Calcul a orma L 1, L 2 L d v = v 1 = = 6 v 2 = = 14 v = max{1, 2, 3, 0} = 3 Dfiimos a orma opracioal m L p d uma matriz A : R R da sguit forma: A p = max v p=1 Av p ou sja, a orma p d uma matrix é o máximo valor assumido pla orma d Av tr todos os vtors d orma uitária Tmos as sguits propridads, s A B são matrizs, I é a matriz idtidad, v é um vtor λ é um ral (ou complxo): A p = 0 A = 0 λa p = λ A p A + B p A p + B p (dsigualdad do triâgulo) Av p A p v p AB p A p B p I p = 1 1 = I p = AA 1 p A p A 1 p (s A é ivrsívl)

3 Casos spciais: A 1 = max j=1 A ij i=1 A 2 = max{ λ : λ σ(aa )} A = max A ij od σ(m) é o cojuto d autovalors da matriz M Exmplo: Calcul as ormas 1, 2 da sguit matriz: A = Solução i=1 A 1 = max{12,, 1} = 1 A = max{15, 7, 16} = 16 4 Númro d codicioamto j=1 A 2 = max{ ; ; } = O codicioamto d um sistma liar é um cocito rlacioado à forma como os rros s propagam dos dados d trada para os dados d saída, ou sja, s o sistma Ax = y possui uma solução x para o vtor y, quado varia a solução x quado o dado d trado y varia Cosidramos, tão, o problma A(x + δ x ) = y + δ y Aqui δ x rprsta a variação m x δ y rprsta a rspctiva variação m y Tmos:, portato, Ax + Aδ x = y + δ y Aδ x = δ y Qurmos avaliar a magitud do rro rlativo m y, rprstado por δ y / y m fução da magitud do rro rlativo δ x / x δ x x / δy y = δ x y x δ y = A 1 δ y Ax x δ y A 1 δ y x A x δ y Assim, dfiimos o úmro d codicioamto d uma matriz ivrsívl A como k p (A) = A p A 1 p = A A 1 O úmro d codicioamto, tão, md o quão istávl é rsolvr o problma Ax = y frt a rros o vtor d trada x Obs: O úmro d codicioamto dpd da orma scolhida Obs: O úmro d codicioamto da matriz idtidad é 1 Obs: O úmro d codicioamto d qualqur matriz ivrsívl é igual ou maior qu 1 Exmplo Calcul o úmro d codicioamto da matriz A = as ormas 1, 2 Rsp: k 1 (A) = 36, k 2 (A) = 126, K (A) =

4 5 Métodos itrativos para sistmas liars 51 Método d Jacobi Cosidr o problma Ax = y, ou sja, A 11 x 1 + A 12 x A 1 x = y 1 A 21 x 1 + A 22 x A 2 x = y 2 = A 1 x 1 + A 2 x A x = y Os lmtos x j são calculados itrativamt coform: 1 = y 1 A 12 x (k) A 1 x (k) A 11 2 = y 2 A 21 x (k) A 2 x (k) A 22 = y 2 A 1 x (k) A ( 1) x (k) 1 A Exmplo: Rsolva o sistma { x + y = 23 x + y = 26 usado o método d Jacobi iiciado com x (0) = y (0) = 0 = y (k+1) = x (1) = y (1) = x (2) = y (2) = 23 y(k) 26 x(k) 23 y(0) 26 x(0) 23 y(1) = 23 = 325 = 1975 = Método d Gauss-Sidl Cosidr o problma Ax = y, ou sja, A 11 x 1 + A 12 x A 1 x = y 1 A 21 x 1 + A 22 x A 2 x = y 2 = A 1 x 1 + A 22 x A x = y Os lmtos x j são calculados itrativamt coform: 1 = y 1 A 12 x (k) A 1 x (k) A 11 2 = y 2 A A 1 x (k) A 22 = y 2 A A ( 1) 1 A

5 Exmplo: Rsolva o sistma { x + y = 23 x + y = 26 usado o método d Guass-Sidl iiciado com x (0) = y (0) = 0 6 Aális d covrgêcia = y (k+1) = x (1) = y (1) = x (2) = y (2) = 23 y(k) 26 x(k) 23 y(0) 23 y(1) = 23 = = = Uma codição suficit porém ão cssário para qu os métodos d Gauss-Sidl Jacobi covirjam é a qu a matriz sja diagoal domiat strita Vr Burd & Fairs 7 Problmas Rsolva o sguit sistma plo método d Jacobi Gauss-Sidl: 5x 1 + x 2 + x 3 = 50 x 1 + 3x 2 x 3 = x 1 + 2x 2 + x 3 = 30 Us como critério d paragm tolrâcia ifrior a 3 iicializ com x 0 = y 0 = z 0 = 0