Proposta de Exame Final de Matemática A

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1 Proposta d Eam Fial d Matmática. N DE ESCLRIDDE Duração da prova: 50 miutos. Tolrâcia: 30 miutos Data:

2 Grupo I Na rsposta aos its dst grupo, slcio a opção corrta. Escrva, a olha d rspostas, o úmro do itm a ltra qu idtiica a opção scolhida.. No Triâgulo d Pascal cosidr a liha ormada plos lmtos da orma C k tais qu o quarto lmto é igual ao décimo. Escolhm-s, ao acaso, dois lmtos dssa liha. Qual é a probabilidad d a soma dsss dois lmtos sr suprior a? () 3 (B) 6 3 (C) 3 (D) Sjam Ω o spaço d rsultados associado a uma crta priêcia alatória B dois acotcimtos quiprovávis ( Ω B Ω ). Sab-s qu: P( ) 60% P( B ) 75% Qual é o valor d P( B)? () 0% (B) 5% (C) 50% (D) 75% 3. D uma ução, dirciávl m R, sab-s qu: ( 0) 0 +, R Qual das sguits airmaçõs é vrdadira? () é stritamt crsct m R. (B) ( 0) > ( ) (C) tm um míimo rlativo para 0. (D) tm um máimo rlativo para 0. Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia

3 4. Na igura stão rprstadas: part do gráico d uma ução dirciávl m R ; a rta r, diida pla quação y, tagt ao gráico d o poto d abcissa ; a rta d quação y, assítota do gráico d. y r Qual das igualdads sguits é vrdadira? () (B) (C) ( + h) lim h 0 h lim + lim (D) lim + 5. Em C, cojuto dos úmros complos, cosidr Um argumto do úmro complo z é: () 7 (B) 6 (C) 7 z cos + isi. 7 7 (D) Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 3

4 6. Na igura stão rprstados o círculo trigoométrico, as rtas r s bm como os triâgulos [ B ] [ DC ]. Sab-s qu: a rta r é tagt à circurêcia o poto B (, 0) ; a rta s passa a origm do rrcial itrsta a rta r o poto ; o poto D, situado o trciro quadrat, prtc à circurêcia à rta s ; o poto C prtc ao io y o sgmto d rta [ DC ] é prpdicular a D y C α r B s st io. Sja α a amplitud d um âgulo oritado cujo lado origm é o smiio positivo cujo lado trmidad é a smirrta ɺ α 0,. Qual das prssõs sguits rprsta, m ução d α, a soma das áras dos triâgulos [ B ] [ DC ]? () (C) ( + α ) siα cos cosα siα + cosα cosα (B) (D) siα + cos α cosα ( + α ) cosα si siα 7. Num rrcial o.. yz a rta r stá cotida o plao α. rta r é diida pla quação vtorial, y, z, 0, + k,,, k R o plao α é diido, para dtrmiados valors d a b, por + ay + b z 3. s valors d a b são: () a 5 b (B) a b (C) a b (D) a b Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 4

5 8. D uma sucssão u sab-s qu u u +, N. Qual das airmaçõs sguits é cssariamt vrdadira? () ( u ) é uma progrssão aritmética. (B) S u tão u. (C) u0 0,0 u00 (D) u0 < u9 Grupo II. Na igura stá rprstado, um rrcial o.. yz, o cubo [ BCDEFG ] (o vértic D ão é visívl). Sab-s qu os potos, E G têm coordadas ( 6, 3, ), ( 3, 5, 8) (, 4, 9), rsptivamt... Mostr qu o poto D tm coordadas ( 3,, 6)... rta BG itrsta o plao z um poto P. Dtrmi as coordadas do poto P..3. Dtrmi, a orma a + by + cz + d 0, uma quação do plao DFG.. Em C, cojuto dos úmros complos, cosidr Dtrmi o mor valor d N para o qual ( ) 4 i i z. cis 3 z é um úmro ral gativo. Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 5

6 3. Na igura stão rprstados: duas rtas, r s, prpdiculars qu s s itrstam o poto ; um quarto d circurêcia d ctro raio Q B P qu itrsta as rtas r s os potos B, rsptivamt; um poto P qu s mov sobr o arco d R t r circurêcia, sdo 0, a amplitud, m radiaos, do âgulo P ; a rta t, tagt ao arco d circurêcia o poto P qu itrsta as rtas r s os potos R Q, rsptivamt. Sja a ução qu, a cada valor d, az corrspodr a distâcia tr os potos R Q. 3.. Mostr qu. si 3.. Dtrmi o valor d para o qual a distâcia QR é míima. 4. Para cada N cosidr uma ução, d domíio dada por: + R, cuja drivada,, é 4.. Mostr qu, para cada N, o poto do gráico d com abcissa é um poto d ilão. 4.. Cosidr 4. Rcorrdo ao Torma d Bolzao-Cauchy, mostr qu ist um poto do gráico d, cuja abcissa prtc ao itrvalo ], [, m qu a rta tagt é paralla à bisstriz dos quadrats ímpars, utilizado a calculadora gráica, dtrmi um valor arrdodado às ctésimas da abcissa dss poto. Na sua rsposta, rproduza, um rrcial, o gráico da ução ou os gráicos das uçõs qu visualizar a calculadora qu lh prmit(m) rsolvr o problma. Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 6

7 5. Cosidr a ução diida m + R por l ( ). Estud a ução quato à: 5.. mootoia à istêcia d trmos rlativos; 5.. istêcia d assítotas do gráico. 6. Cosidr o hágoo rgular [ BCDEF ] iscrito uma circurêcia d ctro. F E Etr os st potos (os sis vértics o ctro da circurêcia) scolhm-s três ao acaso. D Qual é a probabilidad d qu os três potos scolhidos diam: 6.. um triâgulo rtâgulo? B C 6.. um triâgulo com vértic o poto? CTÇÕES Grupo I 8 5 potos 40 potos Grupo II Total Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 7

8 Proposta d rsolução Grupo I. Quarto lmto: C 3 Décimo lmto: C 9 C3 C9 3 9 Trata-s da liha corrspodt a a qual tm 3 lmtos. úmro d casos possívis é 3 C 78. s primiros três lmtos os três últimos dssa liha são: dado qu C C C C0 66. soma dos dois lmtos scolhidos é suprior a 4 s plo mos um dsss lmtos or scolhido tr o trciro o décimo primiro cujo valor é maior ou igual a 66. úmro d casos avorávis é 3 C 4 C ou 9 C P 78 3 Rsposta: (C). P( ) 60% 0,6 P( ) 0,6 P B P( B ) 75% 0, 75 ( B) P( B) P P B 0,75 0,75 P B P B 0,75 P B 0,6 0,75 P B 0,45 P B P B P B P + P B P B 0,6 0,6 + 0,45 0,5 5% Rsposta: (B) 3. + > R 0, Logo, a ução, drivada d, é stritamt crsct m R. < para S ( 0) 0 é stritamt crsct m R, tão 0 todo o ], 0[ > 0 m ] [ 0, +, plo qu a ução é stritamt dcrsct m ], 0] stritamt crsct m [ 0, + [. ssim, podmos cocluir qu a ução tm um míimo rlativo para 0. Rsposta: (C) ց Mí. ր Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 8 y

9 4. S a rta d quação y é tagt ao gráico d o poto d abcissa, tão ( ) 0. ( + h) ( ) ( + h) ( ) lim lim, dado qu h h 0 h 0 Como ( ), vm bsrv-s aida qu: ( + h) h lim. h 0 h ( ) 0. lim lim lim ( ), s a rta d quação y é assítota ao gráico d ( m + ), tão lim 0 + Rsposta: () lim z cos + isi 7 7 cos isi 7 7 cos + isi cis cis cis Rsposta: (D) 6. B taα C si + α siα DC cos + α cosα y r s [ B] [ DC] B B taα siα cosα DC C cosα siα D + α α C B siα cosα siα + + cosα [ B] [ DC] ( + α ) siα + cos α siα si α cos cosα cosα Rsposta: () Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 9

10 r :, y, z, 0, + k,,, k R 7. α : + ay + b z 3 rta r passa o poto (, 0,) tm a dirção do vtor (,, ) vtor (, a, b) é prpdicular a α. r. S a rta r stá cotida o plao α, tão o poto prtc a α os vtors r são prpdiculars, ou sja, r 0., 0, α + a 0 + b 3 b b b r 0 (,, ) (, a, b) a + b a + 0 a 5 Rsposta: () 8. u ão é uma progrssão aritmética porqu u+ u ão é costat. u u + u u u u Portato, s u, tão u. u u + u u 0,0 u 0,0 u u u + 0, > N Logo, Rsposta: (C) u é stritamt crsct, plo qu u0 > u9. Grupo II. ( 6, 3, ), E ( 3, 5, 8) G (, 4, 9).. D + D + E E E 3, 5, 8 6, 3, 3,, 6 D + E 0, 0, 0 + 3,, 6 3,, 6 BG D D 3,, 6 6, 3,.. G (, 4, 9) ( 9,, 4) Equação vtorial da rta BG :, y, z, 4, 9 + k 9,, 4, k R 9 k, 4 + k, k, k R Todo o poto da rta BG é da orma poto da rta BG qu prtc ao plao z d quação y 0 é o qu s obtém para o valor d k tal qu 4 + k 0 k 4. ( 9 ( 4), 4 4, ( 4) ) ( 35, 0, 7) poto P tm coordadas ( 35, 0, 7). Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 0 E F B z D G C y

11 .3. plao DFG passa o poto ( 3, 5, 8) vtor E ( 3,, 6) E. é prpdicular ao plao DFG. plao DFG pod sr diido por uma quação do tipo 3 y + 6z + d 0. Como o poto E ( 3, 5, 8) prtc ao plao, tm-s: d d 0 d 49 Uma quação do plao DFG é, portato, 3 y + 6z 49 0 ou 3 + y 6z i cis i ( i) 4 z cis cos + isi ( ) ( ) 3 i cis i i i 4cis 4i cis cis 3 i cis u i u cisθ u + taθ (, ) 4.º Q é um argumto d u 4 v + 3 i v cisα v taα 3 (, 3).º Q z cis cis 6 6 é um argumto d v 3 z R + k, k Z 6 + k, k Z 6 mor valor d N para o qual z é um úmro ral gativo é 6 obtém-s para k PQ P ta PQ ta P PR ta PR ta P QR PQ + PR ta + ta si si cos si + + cos si cos cos cos + si si cos si cos s B Q P R t r si cos si Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia

12 3.. si cos 4 cos si si si 0 0, 4cos 0 ] 0,[ ] [ cos 0 0, ց ր Mí. 4. distâcia QR é míima para rad , N ; D ] 0, + [ + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 > > Como R, 0 >, o sial d ssim, > 0 > 0 < dpd do sial do ator. < >. Portato, o gráico d tm a cocavidad voltada para cima m ] 0, [ voltada para baio m ], + [, plo qu s pod cocluir qu o poto d abcissa é um poto d ilão. 4 ução é cotíua m ] 0, + [ por sr diida pla composta produto d uçõs cotíuas (ução pocial uçõs poliomiais). Logo, é cotíua m [, ]. 4 < 4 6 > porqu < 3 < 6 Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia

13 Portato, como é cotíua m [, ] ( ) < <, podmos cocluir, plo Torma d Bolzao-Cauchy, qu ist plo mos um poto c, o itrvalo ], [, tal qu ( c), ou sja, ist um poto do gráico d, cuja abcissa prtc ao itrvalo ], [, m qu a rta tagt é paralla à bisstriz dos quadrats ímpars. Rcorrdo à calculadora gráica cosidrado y as uçõs Y Y, dtrmiámos, o 4 itrvalo ], [, a abcissa do poto d itrsção dos rsptivos gráicos. abcissa do poto é aproimadamt igual a, 43.,43 5. l ( ), D ] 0, + [ > 0 > 0 l > 0, R > 0 > > l + 0 l ց l ր Mí. l l l l l l l 0 l é stritamt dcrsct m ] 0, l ] stritamt crsct m [ l, + [. ução admit um míimo rlativo ( absoluto) igual a l para l. 5.. ssítotas vrticais: Como é cotíua m D ] 0, [ o poto 0. +, apas podrá istir uma assítota vrtical lim lim l 0 l l rta d quação 0 é uma assítota do gráico d. Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 3

14 ssítotas ão vrticais ( y m + b) : l ( ) l ( ) m lim lim lim lim l l l + lim lim l l lim lim lim l 0 + ( ) ( ) b lim lim l + + lim l ( ) lim l + + lim l l lim l + + lim l l 0 + rta d quação y é uma assítota ao gráico d quado Númro d casos possívis: 7 C Númro d casos avorávis. Para qu o triâgulo sja rtâgulo é cssário qu um dos lados sja um diâmtro, sdo, assim, o âgulo oposto a ss diâmtro iscrito a smicircurêcia, por isso, um âgulo rto. s sis vértics dim três diâmtros: [ D ], [ BE ] [ CF ]. F B E C D Para cada diâmtro há quatro scolhas possívis para o trciro vértic. Logo, há 3 4 casos avorávis. P Númro d casos avorávis: 6 C 5 4. Há 6 C mairas d scolhr os rstats dois vértics tr os rstats sis potos. Etr stas scolhas tmos d cluir o caso [ D ] por ão sr um triâgulo. 4 P 35 5 Proposta d Eam Fial Matmática,. o ao Págia 4