Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo º Semestre

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1 Faculdad d Ecoomia Uivrsidad Nova d Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lctivo º Smstr Eam Fial d ª Época m d Jairo 9 Tópicos d Corrcção Duração: horas miutos É proibido usar máquias d calcular ou tlmóvis Não tha o su tlmóvl cosigo Não são sclarcidas dúvidas Simpliiqu os cálculos ao máimo Justiiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das olhas d am Os rascuhos dvm star bm idtiicados Não pod dsagraar as olhas do am Idtiiqu todas as olhas

2 Cálculo I Eam d Época, d Jairo 9 (.5 valors Prcha os spaços m braco com palavras d topologia a sguit ras: Frz m promoção!! Compr _adrêcias_, bba o rspctivo_itrior_ mas dit a _rotira_ o copoto!! Sja liz o _trior_!!!

3 ( valor Comt a sguit airmação: Uma ução cotíua pod ão admitir aproimação d Talor d ordm um crto poto do su domíio caso ss poto a ução ão sja vzs dirciávl. Mas admit plo mos uma aproimação d primira ordm. A primira part da airmação é vrdadira. D acto, é codição cssária para qu uma ução possa sr aproimávl por um poliómio d Talor d ordm um crto poto do su domíio qu sta sja vzs dirciávl ss poto. Estado sta codição vriicada, a aproimação srá dada por: ( ( ( ( ( ( ( ( ( (...!!! Quato à sguda part da airmação, o comtário qu s impõ é a rsposta avorita d qualqur coomista: Dpd!. A ução ( admitirá uma aproimação d primira ordm m toro do poto s or dirciávl ss poto ( portato, obrigatoriamt, s stivr diida ss poto. S ( ão tivr drivada iita m tão m srá possívl ctuar uma aproimação d primira ordm!

4 ( valors Cosidr a sucssão U 9 a (,5 valors É ou ão vrdad qu os trmos dsta sucssão s aproimam cada vz mais d? Justiiqu. Sim é vrdad(? O primiro trmo da sucssão é 8 9 >, o limit da sucssão é 9 qu é 9( 9 mor qu a sucssão é moótoa dcrsct: U U ( (9 9( 9( ( 8( 8 <. Logo é vrdad qu a sucssao s aproima cada vz mais d ( 8( apsar d ão s aproimar tato quato ós quiramos. b ( valor Dtrmi a sucssão W qu dá, para cada, a dirça tr U. 9 W U - dá-os para cada a distâcia tr U. c ( valor Dtrmi a sucssão V qu dá, para cada, a dirça tr U lim U Dado qu lim U lim lim, tão V d (,5 valors Qual a dirça sscial tr W V? A dirça sscial tr W V é qu W vai tdr para a distâcia tr 9 V vai tdr para zro dado qu é a distâcia tr U o su limit. 4

5 4 (4 valors. Cosidr a ução : R R dada pla prssão (, z ral a Rprst graicamt algus lmtos da amília d uçõs rais d variávl g( diidas pla liha d ívl z, com >. z z srá dada por,. Tratam-s d hipérbols simétricas m rlação ao io dos d domíio R \ { }. Assim, a amília d uçõs diidas pla liha d ívl com > Para ajudar a rprstar graicamt a amília d hipérbols, calcul a imagm corrspodt a dpois tt gralizar. Como s tratam d uçõs pars, stará ao msmo tmpo a calcular a imagm corrspodt a. para algus valors d, por mplo, Liha d Nívl Algus Potos (-, (, (-, (, K (-,K (,K 4 4 5

6 b Prov qu, ( lim(, ( d Ao trabalho!!! ( (.., ( lim(, ( d Provado! c Calcul a prssão gral do itgral ( d g [ ] ( d d d d g A prssão gral do itgral é dada por ( d g

7 d Vriiqu s ist, quado : g( d g( Para, tmos Assim, g d d ( d Calma, muita calma! Não avac! Atção ao domíio da ução a itgrar! Não srá um itgral impróprio? Hum O domíio da ução é R \ { }, plo acto do zro star o trmo irior do itrvalo d itgração tmos, d acto, um itgral impróprio! Assim: ε d lim l ε [ ] lim[ l lε ] lim[ lε ] ( ε ε ε g( d divrgt 7

8 5 ( valors Calcul a sguit primitiva P [ ( ] l cos si ta. Coragm!!! P l( cos l( cos [ si ta. ] P[ si ] P ta. P [ ] [ si ] P[ ta.cos ] P[ si ] P[ si ] Vamos por tapas: P [ si ] cos C [ ] P si pod sr rsolvido com rcurso à primitivação por parts. Diido u' si v, tmos u cos v '. [ si ] cos P[ cos ] cos si C P Assim, l( cos P[ si ta. ] P[ si ] P[ si ] ( cos si cos ( cos si C C cos si cos C 8

9 (4,5 valors Cosidr a ução ( a ( valor Escrva o su dsvolvimto m órmula d Talor d primira ordm m toro do poto a. Para a órmula d Talor d primira ordm m a prcisamos d ( (. Ora (. Já para (, calculmos primiro ( [ ] ( (. Avaliado (. Etão a ormula d Talor srá: ( ( (( ( b ( valor Escrva (mas ão aça os cálculos! a prssão umérica com qu calcularia 7 basado a alía atrior. Primiro há qu otar qu 7 (, ou sja, é o osso o osso. Usado a ormula atrior tmos: 7 7 ( ( (( c ( valor Basado m a, scrva a órmula d McLauri d primira ordm para (. A dirção rlativamt à alia a é qu agora stamos a azr uma aproimação m toro do poto a. Logo prcisamos d ( (. ( 4 (. Etão a ormula d McLauri srá 8 ( ( (( 4 8 d (,5 valors Calcul, pla diição, a drivada da ução ( o poto. Pla diição a drivada srá dada por: h. Em ( h ( tmos lim h h 9

10 lim lim lim h h h ( h lim h ( h ( h h limh h( h h( h h h h limh limh ( h ( h ( h h

11 7 (5 valors Cosidr a ução ral d variávl ral m ( { } a ( valors Sja A (, R : m(. Calcul o itrior, rotira, trior, adrêcia, drivado do cojuto A. É um cojuto abrto ou chado (ou ambos, ou hum dos dois? it( A { } r ( A (, R : t( A (, R : A (, R : A (, R : { } { } { } { } É um cojuto chado, pois A A b ( valor Aplicado a órmula d McLauri à ução m (, mostr qu lim. Vamos comçar por dsvolvr a ução m( m séri d McLauri, como sugrido: m ( m ( m ( m (... m ( m ( m ( m ( m ( m ( m... ( m ( c c m! ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( m m m m... m R ( c!!

12 ( ( ( ( (!!...! c (! ( ( ( ( (!!...! c (! Como vou qurr studar o comportamto da ução quado td para zro, mas sm uca lá chgar, posso dividir ambos os mmbros da quação por : ( ( ( ( (!!...! c (! Agora, s ambos as uçõs (à squrda à dirita são iguais, o su limit quado td para zro também srá igual: lim lim ( ( ( ( ( ( c...!!!! Quado td para zro, todas as parclas do lado dirito dsaparcm, à cpção da primira: lim Como quria dmostrar! c ( valor Sja a sucssão U l 4 lim m u.. Calcul ( [ ( ] U lim m U lim U lim, porqu a ução pocial é cotíua m todo o su domíio. Assim, vamos coctrar-os primiro o cálculo d lim l 4 l 4 lim U. l 4 ( U lim lim lim l lim 4 l

13 lim Assim, o limit pdido srá: U [ m( U ] limu lim d ( valor Cosidr a sguit prssão qu rlacioa as variávis d orma implícita: m ( l( ução d o poto, isto é, qu admit localmt g( g (. ( l( Etão, quado, tmos qu: m, m qu g( ( l E, portato, s vriica-s a igualdad imdiatamt. Estamos tão uma vizihaça do poto (, (, Aplicado o Torma da drivada da ução implícita:. Admita qu sta prssão di como ( l ( (. Calcul ( ( (

14 Avaliado a prssão cotrada quado ( (,, : g ( ( valor Admita agora qu ist localmt ( d ( d m toro do úico poto cohcido. Estim a variação m dcorrt d um dcréscimo d,4 uidads m a partir dst poto, rcorrdo ao rsultado da alía atrior. Plo Torma da Drivada da Fução Ivrsa, ( g (. Etão, d (,4 4

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