Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste [maio 2018]

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1 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018] Nom: Ao / Turma: N.º: Data: - - Não é prmitido o uso d corrtor. Dvs riscar aquilo qu prtds qu ão sja classificado. A prova iclui um formulário. As cotaçõs dos its cotram-s o fial do uciado da prova. CADERNO 1 (É prmitido o uso d calculadora gráfica) 1. Numa caia há 16 bolas umradas d 1 a 16. As bolas com úmro ímpar são azuis. As bolas com úmro par, umas são vrmlhas as rstats são prtas As bolas azuis são colocadas, lado a lado, costituido uma squêcia umérica, com 8 trmos. Quatas squêcias difrts é possívl rprstar s os trmos formados plos úmros d dois algarismos ocuparm ords coscutivas? 1.. Da caia, com as 16 bolas, ao acaso, são rtiradas sucssivamt, sm rposição duas bolas. Cosidra os acotcimtos: A : a primira bola traída é azul B : a sguda bola traída é prta Sab-s qu P ( B A ) = 0,. Dtrmia o úmro d bolas vrmlhas.. Oito amigos, tr ls o casal Silva, jatam um rstaurat ocupado uma msa com oito lugars. Tal como é sugrido pla figura, quatro lugars ficam d um dos lados da msa os outros quatro ficam do lado oposto. D quatas mairas difrts é possívl distribuir os oito lugars d modo qu o casal Silva ocup dois lugars opostos (frt a frt)? (A) 880 (B) 1440 (C) 5760 (D) 115 1

2 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018]. No dsvolvimto d ( ) 9 6. O coficit dss trmo é:, pla fórmula do biómio d Nwto, há um trmo d grau (A) 84 (B) 16 (C) 6 (D) 6 4. Cosidra a fução f, d domíio R \{ 0}, dfiida por: f 4 + l s > 0 = s 0 < Na figura stão rprstados, m rfrcial o.. Oy, as rtas r s o gráfico d f. Sab-s qu: a rta r é tagt ao gráfico d f o poto A d abcissa ; a rta s é tagt ao gráfico d f o poto B d abcissa gativa; as rtas r s são prpdiculars. Dtrmia a abcissa do poto B, arrdodada às ctésimas, prcorrdo as sguits tapas: por procssos clusivamt aalíticos, dtrmia: o a forma rduzida, uma quação da rta r; f, para < 0 ; o uma prssão d idica a quação cuja solução é a abcissa do poto B; rcorr às capacidads gráficas da calculadora dtrmia a abcissa d B, rproduzido o gráfico ou gráficos d fuçõs utilizadas, icluido o rfrcial. FIM (Cadro 1) Cotaçõs Total Qustõs Cadro Potos

3 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018] CADERNO (Não é prmitido o uso d calculadora) 1. Na figura, m rfrcial o.. Oyz, stá rprstado um cilidro rto. Sab-s qu: os potos O C são os ctros das bass do cilidro; a bas d ctro O stá cotida o plao Oy; os potos A B são as itrsçõs da circufrêcia qu limita a bas d ctro O com os smiios positivos das abcissas das ordadas, rsptivamt; o plao ABC é dfiido pla quação 8 + 8y + z 4 = Sja r a rta qu passa o poto D( 1,, 1) é prpdicular ao plao ABC. Rprsta a rta r através d uma quação a forma vtorial. 1.. Dtrmia o volum do cilidro.. Na figura stão rprstados o círculo trigoométrico um triâgulo [OPR]. Sab-s qu: o poto A tm coordadas ( 1,0 ) ; o poto P prtc à circufrêcia trigoométrica, sdo AOP ˆ = α, com α 0, ; a rta PR é tagt à circufrêcia trigoométrica o poto P, sdo R o poto d itrsção dssa rta com Oy..1. Sja f a fução qu α 0, faz corrspodr a ára do triâgulo [POR]. Mostra qu α 0, α f α =. siα, cos.. Rsolv, m 0,, a quação f α ta = α... Sja ] [, a + b a b 0, k = f. f α = k tm uma uma só solução. Mostra qu a quação

4 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018]. Para cada úmro ral k, cosidra a fução f dfiida por: f = l + k ; k R.1. Na figura, m rfrcial o.. Oy, stão rprstadas uma das fuçõs f uma rta r tagt ao gráfico d f o poto d abcissa 1. A rta r é dfiida pla quação y + = 0. O valor d k é: (A),5 (B) (C),5 (D) 1,5.. Cosidra k = a sucssão ( ) Pod-s cocluir qu lim (A) f u é igual a: u d trmo gral u = (B) 0 (C) + (D) + 4. Sja f a fução, d domíio R, dfiida por: 5 6 f ( ) = Na figura, m rfrcial cartsiao Oy, stão as rprstaçõs gráficas da fução f d uma rta r. Sab-s qu: a rta r é assítota horizotal do gráfico d f; os zros da fução f são rprstados por a b; R f ( ) = +, Dtrmia uma quação da rta r. 4.. Estuda a fução f quato ao stido das cocavidads do su gráfico quato à istêcia d potos d iflão. 4.. Mostra qu a b l ( 6) + =. 4

5 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018] 5. Cosidra as fuçõs f g d domíio R, dfiidas por: 5.1. Sja h = f g. f = g = cos. O valor d ( ) h é igual a: (A) 1 4 (B) (C) 1 (D) Calcula lim 0 f g. 6. Na figura, o plao complo, stá rprstado um octógoo rgular [ABCDEFGH] d ctro o poto O. Sab-s qu o vértic A é a imagm gométrica do úmro complo z = i. A 6.1. O vértic C é o simétrico do vértic A m rlação a um io r. O io r é dfiido pla codição: (A) z 1+ i = z + 1 i (B) z 1 i = z + i (C) z + i = z + 1 i (D) z + i = z i 6.. Sjam z B zh os úmros complos qu têm imags gométricas, rsptivamt, os potos B H. a) Rprsta zb a forma trigoométrica. b) Mostra qu i é a rprstação d zh a forma algébrica. 7. Em C, cojuto dos úmros complos, cosidra a codição z. z + 4 R z = Im z No plao complo, a codição dada corrspod ao msmo cojuto d potos dfiido pla codição z z0 = r, com r Dtrmia z 0 r. + R. FIM (Cadro ) 5

6 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018] Cotaçõs Cadro 1 (com calculadora) Qustõs Potos Total 60 Cadro (sm calculadora) Qustõs a) 6..b) 7. Potos Total 140 Total 00 6

7 Novo Espaço Matmática A 1.º ao Proposta d Tst [maio 018] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimto d um arco d circufrêcia: α r (α amplitud, m radiaos, do âgulo ao ctro; r raio) Áras d figuras plaas Polígoo rgular: Smiprímtro Apótma Stor circular: α r (α amplitud, m radiaos, do âgulo ao ctro; r raio) Áras d suprfícis Ára latral d um co: rg (r raio da bas; g gratriz) Ára d uma suprfíci sférica: 4 r (r raio) Volums Pirâmid: 1 Ára da bas Altura Co: 1 Ára da bas Altura Esfra: 4 r (r raio) PROGRESSÕES Soma dos primiros trmos d uma progrssão (u): Progrssão aritmética: u1 + u Progrssão gométrica: 1 r u1 1 r TRIGONOMETRIA si cos a + b = si a cos b + si bcos a a + b = cos a cos b si a si b sia sib sic = = a b c a = b + c bccosa COMPLEXOS iθ ( ) i θ ρ cis θ = ρ cis θ ou ρ = ρ θ + k i cis θ + k θ = cis ou = ρ θ ρ ρ ρ ( k { 0,..., 1 } N ) PROBABILIDADES µ = p + + p 1 1 p ( ) 1 1 σ = p µ + + µ S X é N ( µ, σ ), tão: ( µ σ < < µ + σ ) P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 9545 ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u + v )' = u' + v' ( u v )' = u' v + u v' u u' v u v' = v v 1 ( u )' = u u' ( R ) ( si ) ( cos ) u ' = u' cos u u ' = u' si u u' cos u ( ta u )' = u = u' u u u ( a ) = u' a I a ( a R + \{ 1} ) ( I u) u' = u u' = R u I a + ( log u) a \{ 1} a LIMITES NOTÁVEIS 1 lim 1+ = si lim = lim = 1 0 I lim = 0 + lim = + R + p ( p ) ( N ) 7