Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste [maio 2018]

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1 Proposta d Tst [maio 018] Nom: Ao / Turma: Nº: Data: - - Não é prmitido o uso d corrtor Dvs riscar aquilo qu prtds qu ão sja classificado A prova iclui um formulário As cotaçõs dos its cotram-s o fial do uciado da prova CADERNO 1 (É prmitido o uso d calculadora gráfica) 1 Numa caia há 16 bolas umradas d 1 a 16 As bolas com úmro ímpar são azuis As bolas com úmro par, umas são vrmlhas as rstats são prtas 11 As bolas azuis são colocadas, lado a lado, costituido uma squêcia umérica, com 8 trmos Quatas squêcias difrts é possívl rprstar s os trmos formados plos úmros d dois algarismos ocuparm ords coscutivas? 1 Da caia, com as 16 bolas, ao acaso, são rtiradas sucssivamt, sm rposição duas bolas Cosidra os acotcimtos: A : a primira bola traída é azul B : a sguda bola traída é prta Sab-s qu P ( B A ) = 0, Dtrmia o úmro d bolas vrmlhas Oito amigos, tr ls o casal Silva, jatam um rstaurat ocupado uma msa com oito lugars Tal como é sugrido pla figura, quatro lugars ficam d um dos lados da msa os outros quatro ficam do lado oposto D quatas mairas difrts é possívl distribuir os oito lugars d modo qu o casal Silva ocup dois lugars opostos (frt a frt)? (A) 880 (B) 1440 (C) 5760 (D) 115 1

2 Proposta d Tst [maio 018] No dsvolvimto d ( ) 9 6 O coficit dss trmo é:, pla fórmula do biómio d Nwto, há um trmo d grau (A) 84 (B) 16 (C) 6 (D) 6 4 Cosidra a fução f, d domíio R \{ 0}, dfiida por: f ( ) 4 + l s > 0 = s 0 < Na figura stão rprstados, m rfrcial o Oy, as rtas r s o gráfico d f Sab-s qu: a rta r é tagt ao gráfico d f o poto A d abcissa ; a rta s é tagt ao gráfico d f o poto B d abcissa gativa; as rtas r s são prpdiculars Dtrmia a abcissa do poto B, arrdodada às ctésimas, prcorrdo as sguits tapas: por procssos clusivamt aalíticos, dtrmia: o a forma rduzida, uma quação da rta r; f, para < 0 ; o uma prssão d ( ) idica a quação cuja solução é a abcissa do poto B; rcorr às capacidads gráficas da calculadora dtrmia a abcissa d B, rproduzido o gráfico ou gráficos d fuçõs utilizadas, icluido o rfrcial FIM (Cadro 1) Cotaçõs Total Qustõs Cadro Potos

3 Proposta d Tst [maio 018] CADERNO (Não é prmitido o uso d calculadora) 1 Na figura, m rfrcial o Oyz, stá rprstado um cilidro rto Sab-s qu: os potos O C são os ctros das bass do cilidro; a bas d ctro O stá cotida o plao Oy; os potos A B são as itrsçõs da circufrêcia qu limita a bas d ctro O com os smiios positivos das abcissas das ordadas, rsptivamt; o plao ABC é dfiido pla quação 8 + 8y + z 4 = 0 11 Sja r a rta qu passa o poto D( 1,, 1) é prpdicular ao plao ABC Rprsta a rta r através d uma quação a forma vtorial 1 Dtrmia o volum do cilidro Na figura stão rprstados o círculo trigoométrico um triâgulo [OPR] Sab-s qu: o poto A tm coordadas ( 1,0 ) ; o poto P prtc à circufrêcia trigoométrica, sdo AOP ˆ π = α, com α 0, ; a rta PR é tagt à circufrêcia trigoométrica o poto P, sdo R o poto d itrsção dssa rta com Oy π 1 Sja f a fução qu α 0, faz corrspodr a ára do triâgulo [POR] π Mostra qu α 0, α f α = siα, ( ) cos Rsolv, m π 0,, a quação ( ) f α ta = α Sja ] [ π, a + b a b 0, k = f f α = k tm uma uma só solução Mostra qu a quação ( )

4 Proposta d Tst [maio 018] Para cada úmro ral k, cosidra a fução f dfiida por: ( ) ( ) f = l + k ; k R 1 Na figura, m rfrcial o Oy, stão rprstadas uma das fuçõs f uma rta r tagt ao gráfico d f o poto d abcissa 1 A rta r é dfiida pla quação y + = 0 O valor d k é: (A),5 (B) (C),5 (D) 1,5 Cosidra k = a sucssão ( ) ( ) Pod-s cocluir qu lim ( ) (A) f u é igual a: u d trmo gral u = 1+ 4 (B) 0 (C) + (D) + 4 Sja f a fução, d domíio R, dfiida por: 5 6 f ( ) = Na figura, m rfrcial cartsiao Oy, stão as rprstaçõs gráficas da fução f d uma rta r Sab-s qu: a rta r é assítota horizotal do gráfico d f; os zros da fução f são rprstados por a b; R f ( ) = +, 5 41 Dtrmia uma quação da rta r 4 Estuda a fução f quato ao stido das cocavidads do su gráfico quato à istêcia d potos d iflão 4 Mostra qu a b l ( 6) + = 4

5 Proposta d Tst [maio 018] 5 Cosidra as fuçõs f g d domíio R, dfiidas por: 51 Sja h = f g f ( ) = g ( ) = cos O valor d ( π) h é igual a: (A) 1 4 (B) (C) 1 (D) 0 5 Calcula lim 0 f g ( ) ( ) 6 Na figura, o plao complo, stá rprstado um octógoo rgular [ABCDEFGH] d ctro o poto O Sab-s qu o vértic A é a imagm gométrica do úmro complo π z = i A 61 O vértic C é o simétrico do vértic A m rlação a um io r O io r é dfiido pla codição: (A) z 1+ i = z + 1 i (B) z 1 i = z + i (C) z + i = z + 1 i (D) z + i = z i 6 Sjam z B zh os úmros complos qu têm imags gométricas, rsptivamt, os potos B H a) Rprsta zb a forma trigoométrica b) Mostra qu i é a rprstação d zh a forma algébrica 7 Em C, cojuto dos úmros complos, cosidra a codição ( ) ( ) z z + 4 R z = Im z No plao complo, a codição dada corrspod ao msmo cojuto d potos dfiido pla codição z z0 = r, com r Dtrmia z 0 r + R FIM (Cadro ) 5

6 Proposta d Tst [maio 018] Cotaçõs Cadro 1 (com calculadora) Qustõs Potos Total 60 Cadro (sm calculadora) Qustõs a) 6b) 7 Potos Total 140 Total 00 6

7 Proposta d Tst [maio 018] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimto d um arco d circufrêcia: α r (α amplitud, m radiaos, do âgulo ao ctro; r raio) Áras d figuras plaas Polígoo rgular: Smiprímtro Apótma Stor circular: α r (α amplitud, m radiaos, do âgulo ao ctro; r raio) Áras d suprfícis Ára latral d um co: π rg (r raio da bas; g gratriz) Ára d uma suprfíci sférica: 4π r (r raio) Volums Pirâmid: 1 Ára da bas Altura Co: 1 Ára da bas Altura Esfra: 4 π r (r raio) PROGRESSÕES Soma dos primiros trmos d uma progrssão (u): Progrssão aritmética: u1 + u Progrssão gométrica: 1 r u1 1 r TRIGONOMETRIA si cos ( ) a + b = si a cos b + si bcos a ( ) a + b = cos a cos b si a si b sia sib sic = = a b c a = b + c bccosa COMPLEXOS iθ ( ) ( ) ( ) i θ ρ cis θ = ρ cis θ ou ρ = ρ θ + kπ i cis θ + kπ θ = cis ou = ρ θ ρ ρ ρ ( k { 0,, 1 } N ) PROBABILIDADES µ = p + + p 1 1 ( ) p ( ) 1 1 σ = p µ + + µ S X é N ( µ, σ ), tão: ( µ σ < < µ + σ ) P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 9545 ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u + v )' = u' + v' ( u v )' = u' v + u v' u u' v u v' = v v 1 ( u )' = u u' ( R ) ( si ) ( cos ) u ' = u' cos u u ' = u' si u u' cos u ( ta u )' = u ( ) = u' u u u ( a ) = u' a I a ( a R + \{ 1} ) ( I u) u' = u u' = R u I a ( ) + ( log u) a \{ 1} a LIMITES NOTÁVEIS 1 lim 1+ = si lim = lim = 1 0 I lim = 0 + lim = + R + p ( p ) ( N ) 7

8 Proposta d Rsolução [maio 018] CADERNO 1 (É prmitido o uso d calculadora gráfica) 11 Númros das bolas azuis: 1; ; 5; 7; 9; 11; 1; 15 1,, 5, 7, 9, 11, 1, 15 6! (prmutaçõs dos sis lmtos, sdo um dls costituído por 11, 1 15)! (prmutaçõs dos três úmros qu ocupam ords coscutivas) Númro d squêcias difrts das bolas azuis m qu as qu têm úmro com dois algarismos ocupam ords coscutivas: 6!! = 40 Rsposta: 40 1 S a primira bola a sair é azul, tão saiu um úmro ímpar Ficam 15 bolas, sdo 8 com úmro par, umas vrmlhas outras prtas, sdo as rstats 7 azuis com úmro ímpar = = = 15 Sja o úmro d bolas prtas Etão, P ( B A) 0, 0, Das 8 bolas com úmro par, são prtas as rstats são vrmlhas Assim, o úmro d bolas vrmlhas é 5 Rsposta: 5 bolas vrmlhas Há 4 pars d lugars opostos (frt a frt) qu o casal Silva pod ocupar Para cada um dsss 4 pars d lugars os lmtos do casal Silva podm trocar tr si Os rstats 6 lmtos podm sr distribuídos plos rstats 6 lugars Assim, o úmro total d mairas difrts, as codiçõs aprstadas é dado por: ( 4! ) 6!, ou sja, 5760 Rsposta: Opção (C) 5760 ( ) 9 9 ( ) 9 k 9 k = k ( ) = ( 1) 9+ k 9 k 9 k= 0 k= 0 C C O trmo d grau 6 rsulta quado 9 + k = 6, ou sja, k = O coficit dss trmo é dado por ( ) 9 1 C, ou sja, 84 Rsposta: Opção (A) 84 1

9 Proposta d Rsolução [maio 018] 4 Para 0 Sja = >, tm-s f ( ) = +, ou sja, f ( ) m r o dcliv da rta r Tm-s m f ( ) r Para 0 1 = = Etão, m <, tm-s f ( ) A abcissa d B é solução da quação m s o da rta s s 1 = = m r ( ) + = = ( ) + = ( + ) Isrido a calculadora as prssõs f ( ) = g ( ) =, podm visualizar-s as sguits rprstaçõs gráficas a jala idicada idtificar o poto d itrsção cuja abcissa é a do poto B A abcissa do poto B é, aproimadamt,,87 Rsposta: A abcissa do poto B, arrdodada às ctésimas, é,87

10 Proposta d Rsolução [maio 018] CADERNO (Não é prmitido o uso d calculadora gráfica) 11 Um vtor com a dirção da rta r é, por mplo, u ( 8,8,), y, z = 1,, 1 + k 8, 8, ; k R Uma quação vtorial da rta r: ( ) ( ) ( ), y, z) = 1,, 1 + k 8,8, ; k R Rsposta: Por mplo, ( ) ( ) ( ) 1 As coordadas do poto A são do tipo: (,0,0) O poto A é a itrsção do plao ABC com o io O = 0 = A (,0,0) As coordadas do poto C são do tipo: ( 0,0, z ) O poto C é a itrsção do plao ABC com o io Oz z 4 = 0 z = 8 C ( 0,0,8) Raio da bas do cilidro: OA = Altura do cilidro: OC = 8 Volum do cilidro: V = π 8 = 7π Rsposta: O volum do cilidro é 7π 1 POR ˆ = π α ; ORP ˆ = α OP = 1 ta ( ORP ˆ ) = ta ( α ) = 1 PR = PR Daqui rsulta qu: ta ( α ) 1 A ára do triâgulo [POR] é dada por: 1 1 ta ( α ) cos α = siα Assim, tm-s: f ( α ) cosα = siα

11 Proposta d Rsolução [maio 018] f ( ) π cosα siα π α = taα α 0, α 0, = siα cosα π π cos α = si α α 0, 1 = 4si α α 0, 1 1 π π siα = siα = α 0, α = 6 Rsposta: π 6 cosα siα f ( α ) = ] [ π a, b 0, A fução f é cotíua m [ a, b ] ; é o quocit tr fuçõs cotíuas m qu siα 0 ( ) ( si α cos α ) cosα siα siα cosα cosα + 1 f ( α ) = = = = si 4si 4si si α α α α π α 0,, ( α ) < 0 f Daqui rsulta qu a fução f é stritamt dcrsct m π 0, Assim, tm-s: f é cotíua m [ a, b ] ; π f é stritamt dcrsct m 0, a + b a b, m particular m [ a, b ] ; a + b < < f dcrsct, tão f ( a) > f > f ( b) f ( a) > k > f ( b) Rcorrdo ao torma d Bolzao, coclui-s qu a quação f ( α ) = k a ] a, b [ Como a fução é dcrsct, coclui-s qu a solução é úica, ou sja, tm solução prtct 4

12 Proposta d Rsolução [maio 018] 1 y + = 0 y = + A ordada do poto da rta y = + d abcissa 1 é igual à ordada do poto do gráfico d f d abcissa Assim, f ( ) = +, ou sja, ( ) Rsposta: opção (D) 1, l 1 + k = k = 1 k = S k =, tão f ( ) ( ) = l + lim lim u = 1+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 = + = + = + = lim f u lim u l u l Rsposta: Opção (A) lim f = lim = lim + 6 = = ( ) A rta d quação y = 6 é assítota horizotal ao gráfico d f, quado + 4 R f ( ) = +, 5 f = + = ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = = = = l = l l 5 + ( ) f + 0 f 5

13 Proposta d Rsolução [maio 018] S S 4,l 5 4 l, + 5 a cocavidad é voltada para cima a cocavidad é voltada para baio O gráfico d f tm um poto d iflão qu é o poto d abcissa 4 l 5 f 5 6 = 0 = = = 0 4 ( ) 5 ± = = = = l = l Assim, a + b = l + l = l = l ( 6) 51 h ( ) = ( f g ) ( ) = f ( g ( ) ) g ( ) ( ) = ( f ) = g ( ) = ( cos ) = cos ( si ) = si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) h π = f g π = f g π g π = f 1 si π = 0 Rsposta: opção (D) f ( ) 1 = = = = g ( ) cos si si ( ) ( ) lim lim lim lim si 1 lim = = = si( ) 1 lim 0 Rsposta: 9 6

14 Proposta d Rsolução [maio 018] 61 Eio d simtria é a mdiatriz d [AC] z A π i π π 1 = = cos + isi = + i = 1+ i z C π π i + 4 π π π π 1 = = cos + + isi + = + i = + i A mdiatriz d [AC] é dfiida pla codição: ( ) ( ) z z = z z z 1+ i = z + i z 1 i = z + i A C Rsposta: opção (B) z 1 i = z + i 6 a) z B π π i 7π + i 4 1 = = Rsposta: 7π z = i 1 B b) z H π π i 4 π π π π = = cos + isi 4 4 π π π π π π π π = cos cos + si si + si cos cos si i = + + i = + i = + i 7 Em C, cojuto dos úmros complos, cosidra a codição z z 4R( z) Im ( z) + = No plao complo, a codição dada corrspod ao msmo cojuto d potos dfiido pla + codição z z0 = r, com r R Sja z = + y i ( ) ( ) z z + 4R z = Im z + y + 4 = y ( ) ( ) y y y = = 5 A codição dada rprsta uma circufrêcia d ctro o poto C (,1) raio 5 z z0 = r Assim, tm-s: z0 = + i r = 5 7