TÓPICOS. Vectores livres. Vectores em R 2 e R 3. Vectores em R n. Vectores iguais. Soma de vectores. Notação matricial.

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1 Not bm: a litra dsts apotamtos ão dispsa d modo algm a litra atta da bibliografia pricipal da cadira TÓPICOS Vctors lirs. AULA 09 Chama-s a atção para a importâcia do trabalho pssoal a ralizar plo alo rsoldo os problmas aprstados a bibliografia, sm coslta préia das solçõs propostas, aális comparatia tr as sas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição jto do doct d todas as dúidas associadas. Vctors m R R. Vctors m R. Vctors igais. Soma d ctors. Prodto d m scalar por m ctor. Notação matricial. Vctor lo. Vctor simétrico. Propridads da soma do prodto por m scalar 9. Vctors m R. 9.. Vctors lirs. Rcord do Esio Scdário q m ctor é dfiido por ma dircção, m stido m comprimto, rprsta-s gomtricamt o plao, R, o o spaço, R, por m sgmto oritado, q corrspod a m dslocamto d m poto para otro. A pota da sta do ctor é chamada poto fial o xtrmidad, o otro poto xtrmo é chamado poto iicial o origm do ctor. Sgmtos oritados com a msma dircção, o msmo stido o msmo comprimto rprstam o msmo ctor, o sja, são cosidrados ctors igais. No xmplo figrado tm-s w O ctor simétrico d é o ctor q tm o msmo comprimto, a msma dircção stido oposto ao d. Rprsta-s por. A soma é o ctor q a origm d à xtrmidad d qado s faz coicidir a origm d com a xtrmidad d. Um ctor com comprimto zro dircção stido idtrmiados chama-s ctor lo rprsta-s por 0. ( 0 Figra 9. Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

2 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R O prodto d m scalar ral, α, por m ctor é o ctor S α 0, α é o ctor lo. S α 0, α tm: - comprimto igal a α zs o comprimto d ; - a dircção d ; - o stido d s α > 0 cotrário ao d s α < 0. Propridads da soma d ctors (comtatia ( w ( w (associatia 0 0 (lmto tro ( 0 (todos os ctors têm simétrico Propridads do prodto d m scalar ral por m ctor α ( β ( αβ α ( α α (distribtia ( α β α β (distribtia α tal q: (lmto tro O comprimto d m ctor é o comprimto d qalqr m dos sgmtos oritados q o rprstam é dsigado por orma do ctor, sado-s a otação. Um ctor d orma igal a é chamado ctor itário. Dado m ctor ão lo, o ctor é o ctor itário com a dircção stido d chamas o rsor d. A opração d mltiplicação d m ctor plo irso da sa orma é dsigada por ormalização do ctor. Figra Vctors m R R. Bass caóicas d R R. Um cojto d dois ctors ão coliars {, } diz-s ma bas d ctors m R, m cojto d três ctors {,, } ão complaars diz-s ma bas d ctors m R. Uma bas ortoormada m R é ma bas d R m q os ctors têm comprimto são prpdiclars, ma bas ortoormada m R é ma bas d R m q os ctors, têm orma são prpdiclars dois a dois. Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

3 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R A bas caóica d R é a bas ortoormada d ctors com as dircçõs stidos dos ixos coordados costitída plos ctors (, 0 (0,, {(, 0,(0, }. Idticamt, a bas caóica d R é costitída plos ctors, (0,, 0 (0, 0,, {(, 0, 0,(0,, 0,(0, 0, }. (, 0, 0 Compots coordadas d m ctor m As compots do ctor, d Figra 9. R R R, ma bas {, } q têm, rspctiamt, a dircção d R, ma bas { } são os ctors, cja soma é igal a : As compots do ctor, d,, são os ctors q têm, rspctiamt, as dircçõs d,, cja soma é igal a : R ma bas { } As coordadas do ctor d, são os úmros rais,, q dmos mltiplicar por para obtrmos as compots d Tdo o ctor o s poto iicial a origm do rfrcial, O (0,0, as coordadas do ctor são coicidts com as coordadas do poto od o ctor tm a sa xtrmidad (,, o sja, o cojto d todos os potos do plao corrspod ao cojto d todos os ctors cjo poto iicial é a origm do rfrcial, O, plo q, também é sada a otação (, Tmos, portato, para os rsors da bas caóica,, como já tíhamos isto. 0 (, 0 0 (0, É também sal dsigar como as compots do ctor sgdo, rspctiamt. As coordadas do ctor d R ma bas {,, }, q dmos mltiplicar por, À smlhaça d, rsors,,. são os úmros rais,, para obtrmos as compots d R, é também sal a otação,,, a dsigação d ( como as compots do ctor sgdo cada m dos rspctios Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

4 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R Soma d ctors m R R O ctor soma d dois ctors d R,, é o ctor w d coordadas (,, o sja, rsltat da soma ordada das compots sgdo cada m dos rsors w ( ( w ( w ( O ctor soma d dois ctors d R,, é o ctor w d coordadas,, w ( ( w w ( ( ( w ( Figra 9.4 Prodto d m scalar por m ctor m R O prodto d m scalar α por m ctor d R é o ctor α d coordadas ( α, α, o sja, rsltat do prodto do scalar plas compots sgdo cada m dos rsors α α ( ( α ( α O prodto d m scalar α por m ctor d R é o ctor α d coordadas ( α, α, α α α ( ( α ( α ( α R Figra 9.5 Exmplos. O ctor q tm origm o poto A (, xtrmidad o poto B (,4, AB, é igal ao ctor a posição caóica (com poto iicial a origm do rfrcial Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

5 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R B A (, 4 (, (,4 (4,, o aida, igal ao ctor w CD com origm o poto C (0,5 xtrmidad o poto D D C (0,5 (4, (0 4,5 (4,7 Figra 9.6, o sja, w ( 4, 4.. Dados os ctors, o ctor w é w ( 4 ( 4, o, w (, (, (4, (, (,4. >> [ ]; >> [ -]; >> w*- w 4 Figra 9.7. Dados os ctors , o ctor w é w ( (0.5 >> [ 0.5 ]; >> [0.5 ]; >> w w Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

6 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R 9.. Vctors m R. Sdo m itiro positio, dfi-s o spaço R como o cojto d todas as sqêcias ordadas d úmros rais, x x, x, x, (ditas -plos. ( Tal como m R R, os lmtos d R podm sr itrprtados como potos, o como ctors, m spaço -dimsioal. Exmplos 4. R é o cojto d todos os úmros rais q rprstamos sobr m ixo oritado x. R é o cojto d todos os pars ordados d úmros rais, x ( x, x, q salmt rprstamos gomtricamt o plao D rcorrdo a m sistma d ixos cartsiao xy. R é o cojto d todos os tros ordados d úmros rais, x ( x, x, x, q salmt rprstamos gomtricamt o spaço D rcorrdo a m sistma d ixos cartsiao xyz. R, R, R,..., R, é o cojto d todos os qádrplos, x x, x, x,, qítplos, ( x4 ( x, x, x, x4, x5, x6 x x, x, x, x,, sêxtplos, x,..., -plos, ( 4 x5 ( x, x, x x, q ão podmos rprstar gomtricamt, mas q podmos cotiar a psar como potos, o ctors, d m spaço 4D, 5D, 6D,..., D Vctors igais. Em R, dois ctors, (,, (,,, são igais s, ordadamt, cada ma das sas coordadas é igal,,, 9.5. Soma d ctors. O ctor soma d dois ctors, (,, (,,, é o ctor w cjas coordadas são a soma ordada das coordadas dos ctors w,, ( 9.6. Prodto d m scalar por m ctor. O prodto d m scalar ral α por m ctor é o ctor α α, α, α (, dizdo-s q é m múltiplo scalar d Notação matricial. Um ctor d R pod sr scrito m otação matricial como ma matriz liha (o ctor liha o ma matriz cola (o ctor cola. Tmos assim q pod sr scrito a forma da matriz liha (,, Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

7 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A [ ] o a forma da matriz cola Utilizado a otação matricial as opraçõs ctoriais d soma prodto por m scalar são idêticas às dfiidas para as matrizs w, α α α α α Exmplos 5. Em R, m altratia à otação, (, pod sr scrito a forma d m ctor cola Tmos [ ] Dados os ctors d 4 R,,,, (,0,, ( o ctor w é 8,,, (,0 (6,, 6,9, (,,0 (,,,, (, w, o, m otação matricial,

8 V E C T O R E S E M R A L G E B R A L I N E A R w >> [ - ]'; >> [ - 0]'; >> w*-* w Vctor lo. Vctor simétrico. O ctor lo é rprstado por 0 dfi-s como sdo o lmto tro da adição m R, o sja, Sdo (,, m ctor d por, é 0 ( 0,0, 0 R, o ctor simétrico d, rprsta-s (,,, ma z q ( (,, (,, (0,0,, Propridads da soma do prodto por m scalar. As propridads da soma d ctors do prodto d m ctor por m scalar ral são idêticas às cohcidas para ctors lirs. Sdo (,, (,, dois ctors m scalars, tmos α ( β ( αβ ( w ( w α ( α α ( 0 0 ( α β α β ( 0 R, α β dois Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A

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