Capítulo 5 Transformadas de Fourier

Transcrição

1 Capítulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia 5.2 Trasformadas d Fourir propridads

2 Capítulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 2

3 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia A composição d sistmas prmit-os obtr sistmas mais complxos Ao itrligarmos SLITs, o sistma composto rsultat também é um SLIT Cohcdo a rsposta m frquêcia d cada SLIT podmos dtrmiar a rsposta m frquêcia do sistma composto Isto prmit-os costruir sistmas complxos itrssats através da itrligação d blocos d compots simpls Esta composição aplica-s d modo idêtico a sistmas discrtos cotíuos 3

4 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia Ligação m séri ou cascata Sistma S Rsposta impulsiva h t Rsposta m frquêcia H Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquêcia H 2 Sistma S rsultat Rsposta impulsiva hth t*h 2 t Rsposta m frquêcia HH.H 2 4

5 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia Ligação m parallo S y Sistma S Rsposta impulsiva h t x S S 2 + y 2 y Rsposta m frquêcia H Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquêcia H 2 Sistma S rsultat Rsposta impulsiva hth t+h 2 t Rsposta m frquêcia HH +H 2 5

6 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia Ligação com rtroacção Sistma S Rsposta impulsiva h t Rsposta m frquêcia H Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquêcia H 2 Sistma S rsultat Não é possívl calcular a rsposta impulsiva d uma forma dircta Rsposta m frquêcia H H H H 2 6

7 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia Exmplo: Cosidr um sistma discrto com rtroacção como a figura Cosidr S dfiido como y0.9 x Cosidr S 2 dfiido como yx- H 0.9 H 2 - A rsposta m frquêcia do sistma é dada por 0.9 H 0.9 7

8 8 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia Exrcício: Dtrmi a rsposta m frquêcia do sguit sistma H H H H H H H H H H H H

9 Capítulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sistmas através da rsposta m frquêcia 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 9

10 5.2 Trasformadas d Fourir propridads As séris d Fourir dscrvm um sial priódico como uma soma d xpociais complxas S a trada do SLIT é uma soma d xpociais complxas, tão a rsposta m frquêcia do SLIT dscrv a rsposta a cada uma das compots xpociais Podmos calcular a rsposta do sistma a qualqur sial d trada priódico combiado as rspostas aos compots idividuais A rsposta d um SLIT a qualqur sial d trada pod sr obtida como a covolução do sial d trada a rsposta impulsiva A rsposta impulsiva a rsposta m frquêcia dão-os a msma iformação acrca do sistma mas m formas difrts Vamos vr agora qu a rsposta impulsiva a rsposta m frquêcia stão rlacioadas através da Trasformada d Fourir 0

11 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Vimos atriormt qu sdo a trada dada por x a saída tiha a forma yh Um SLIT com rsposta impulsiva h aprsta como saída y corrspodt ao sial x S colocarmos a trada dst sistma x obtmos Comparado as duas xprssõs obtmos m m x m h x h y Itiros, m m m m m h m h x h y Itiros, m m m h H Rais,

12 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir Discrta Rais, H h A rsposta m frquêcia H é a Trasformada d Fourir da rsposta impulsiva A rsposta m frquêcia pod sr dscrita como a soma podrada d xpociais complxas, cuos psos são as amostras da rsposta impulsiva 2

13 5.2 Trasformadas d Fourir propridads S h é ral tão HH*- qu é a propridad da simtria cougada Isto implica qu H- H qu sigifica qu para qualqur SLIT com uma rsposta impulsiva ral, uma xpocial complxa com frquêcia sofr a msma altração d amplitud qu uma xpocial complxa com frquêcia - Not também qu Rais, H+2π H ou sa qu a Trasformada d Fourir Discrta é priódica com príodo 2π 3

14 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr um sistma qu provoca um atraso d M amostras A rsposta impulsiva dst sistma é dada por Itiros, hδ-m Podmos obtr a rsposta m frquêcia calculado a TF Rais, H m m M h m m δ m M m Est rsultado mostra-os qu H, dado qu um atraso ão muda a amplitud apas altra a fas do sial d trada 4

15 5 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Vimos atriormt qu sdo a trada dada por xt t a saída tiha a forma yth t Um SLIT com rsposta impulsiva ht aprsta como saída yt corrspodt ao sial xt S colocarmos a trada dst sistma xt t obtmos Comparado as duas xprssõs obtmos τ τ τ d h H Rais, τ τ τ d t x h t x t h t y Rais t, τ τ τ τ τ τ d h d h t x t h t y Rais t t t,

16 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir Cotíua Rais, H h t t dt A rsposta m frquêcia é a Trasformada d Fourir da rsposta impulsiva 6

17 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr um sistma qu provoca um atraso d T sgudos A rsposta impulsiva dst sistma é dada por t Rais, htδt-t Podmos obtr a rsposta m frquêcia calculado a TF Rais, H h t T t δ t T dt t dt Est rsultado mostra-os qu H, dado qu um atraso ão muda a amplitud apas altra a fas do sial d trada 7

18 8 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sguit rctâgulo discrto A Trasformada d Fourir é dada por X m x X m m m m

19 9 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sguit rctâgulo cotíuo A Trasformada d Fourir é dada por 0 2 / 2 / si 2 / 2 / 2 / 2 / 0 X w dt dt t x X t t

20 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformadas ivrsas Ivrsa da Trasformada d Fourir discrta 2π x X d 2π 0 Ivrsa da Trasformada d Fourir cotíua t x t X d 2π 20

21 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Cálculo da trasformada ivrsa Através da dfiição Divisão m fracçõs simpls Através da quivalêcia rlativa a siais básicos Através das propridads 2

22 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 22

23 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 23

24 5.2 Trasformadas d Fourir propridads - Tmpo cotíuo - Frquêcia ão priódica - Tmpo discrto - Frquêcia Priódica Priódico o tmpo Frquêcia discrta + k k t 0 x t X k X x m p k 0 X k p m t p 0 X k x t k p p m 0 0 x m 0 dt mk0 Não priódico o tmpo Frquêcia cotíua t X x t dt X x t x t X d 2π 2π x X d 2π 0 24

25 25

26 Trasformadas d Fourir propridads Exrcício: Calcul a Trasformada d Fourir d: xt -2t ut x/2 u Calcul a Trasformada d Fourir ivrsa d X X

27 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir d siais fiitos Cosidr um sial discrto y qu é fiito Dfia-s um sial priódico x como od + m Itiros, x y' mp Itiros, y y' 0 s [0, p ] outros casos O sial x é priódico portato pod sr rprstado através da séri d Fourir O sial y é um sial discrto gérico portato tm trasformada d Fourir 27

28 Trasformadas d Fourir propridads 0 ' ', p y y Y Rais , p k p k k y p x p X Itiros k ', 0 k Y p X Itiros k k

29 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir para siais d fala 29

30 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 30

31 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 3

32 5.2 Trasformadas d Fourir propridads 32

33 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir d siais priódicos A trasformada d Fourir vai sr basada m fuçõs dlta A séri d Fourir prmit-os trabalhar uma rprstação o domíio da frquêcia d um sial priódico sm lidar com as fuçõs dlta d Dirac Supoha-s qu um sial xt tm trasformada d Fourir Rais, X 2πδ- 0 Usado a Trasformada d Fourir Ivrsa obtmos t 0t t Rais, x t 2πδ 0 d 2π A séri d Fourir para xt é m Itiros, X m m 0 outros 33

34 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Supodo agora qu xt tm múltiplos dltas d Dirac a sua trasformada d Fourir, cada um com difrts psos, X 2π X m δ m0 m Rais rsulta através da Trasformada d Fourir Ivrsa + m0t t Rais, x t X m m Esta quação rlacioa para siais priódicos a Trasformada d Fourir as Séris d Fourir 34

35 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sial xt dado por t Rais, x t cos 0t Por ispcção da Tabla vrificamos qu / 2 m m Itiros, X m 0 outros Existm apas dois coficits da Séri d Fourir ão ulos Rais, X πδ πδ 0 35

36 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr a sguit oda quadrada Os coficits da Séri d Fourir são m Itiros, X m / 2 0 / mπ m 0 m par m 0 m ímpar 36

37 5.2 Trasformadas d Fourir propridads Exrcício Calcul a Trasformada d Fourir do sguit sial xt t 37