TÓPICOS. Sinais contínuos e sinais discretos. Função impulso unitário discreto.

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1 Not bm: a litura dsts apotamtos ão dispsa d modo algum a litura atta da bibliografia pricipal da cadira hama-s a atção para a importâcia do trabalho pssoal a ralizar plo aluo rsolvdo os problmas aprstados a bibliografia, sm cosulta prévia das soluçõs propostas, aális comparativa tr as suas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição uto do doct d todas as dúvidas associadas. U ÓPIOS Matrizs cougada, trascougada, hrmitiaa ati-hmitiaa. Siais cotíuos siais discrtos. Fução xpocial complxa cotíua. Fução xpocial complxa discrta. Fução impulso uitário discrto.. Matrizs complxas... Matrizs cougada, trascougada, hrmitiaa ati-hmitiaa. Dada uma matriz complxa,, chama-s matriz cougada d, rprsta-s por, a matriz qu s obtém cougado cada um dos lmtos d. hama-s matriz trascougada d, rprsta-s por, a trasposta da cougada d. Uma matriz quadrada complxa z i z i z diz-s hrmitiaa s, i, i, diz-s ati-hrmitiaa s, z i i, i,. Rlativamt às matrizs cougada trascougada, dmostram-s as sguits propridads: ougada.. B B. z z. B B rascougada. z B B z z B B Prof. Isabl Matos & José maral G - --8

2 M R I Z S O M P X S G B R I N R Prof. Isabl Matos & José maral G Ivrsa 9.. xmplos. osidr as matrizs: D cougada a trascougada da matriz D são D, D D matriz é ati-hrmitiaa Numa matriz ati-hrmitiaa, os lmtos da diagoal pricipal são obrigatoriamt ulos /ou imagiários puros. ougada d uma matriz, co, >> D[ ; ] D...i...i >> cod as.. -.i.. -.i rascougada d uma matriz,, >> D' as... -.i -.i. ot qu o oprador, qu sigifica trascougado, tm sido, por coomia d scrita, utilizado com matrizs vctors d lmtos rais como o oprador trasposto, qu m Matab é..

3 M R I Z S O M P X S G B R I N R Prof. Isabl Matos & José maral G xrcícios... alcul B, sdo [ ] B [ ] mos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B Rcorrdo ao método d codsação ~ ~ ~ ~ mos B

4 M R I Z S O M P X S G B R I N R Prof. Isabl Matos & José maral G >> [ ; -]; >> B[-i ].'; >> [ ]; >> iv^*b*^ as / /i -/ /i -/ - /i / - /i.. Sdo, B matrizs rgulars d ordm, tais qu B, mostr qu B mos B B B

5 M R I Z S O M P X S G B R I N R.. Siais cotíuos siais discrtos. Dfiimos sial como uma fução d uma ou mais variávis idpdts, cotdo iformação sobr um dtrmiado fómo físico. om bas as suas caractrísticas, os siais podm sr classificados d divrsos modos. bordarmos apas a classificação d siais qu dpdm d uma úica variávl idpdt, o modo como são classificados com bas o couto d valors assumidos por ssa variávl. Sial cotíuo. Um sial diz-s cotíuo quado a variávl idpdt é cotíua R. Vamos admitir qu o domíio do sial é o couto dos rais, sm prda d gralidad stá associada ao tmpo, o cotradomíio do sial prtc ao couto dos complxos. Utilizarmos a ltra t para dsigar a variávl idpdt, prfrcialmt, as ltras xyz,, para dsigar o oprador. ssim, um sial cotíuo é uma fução x : R, sigificado xt o valor qu o sial assum o istat d tmpo t. Sial discrto. Um sial diz-s discrto quado a variávl idpdt é discrta Z Vamos admitir qu o domíio do sial é o couto dos itiros, o cotradomíio do sial prtc ao couto dos complxos. Utilizarmos a ltra para dsigar a variávl idpdt, prfrcialmt, as ltras xyz,, para dsigar o oprador. ssim, um sial discrto é uma fução x : Z, sigificado x [ ] o valor qu o sial assum o istat qu, sm prda d gralidad, admitimos star d algum modo associada ao tmpo Figura. xmplos. O sial xt, dfiido por xt cos t.t com t R, cua volução para t s mostra a figura., é um sial cotíuo O sial x, [ ] dfiido por. [ ] cos. x com Z, cua volução para s mostra a figura., é um sial discrto. -.8 Figura. Prof. Isabl Matos & José maral G - --8

6 M R I Z S O M P X S G B R I N R.. Fução xpocial complxa cotíua. Um dos siais qu utilizará as cadiras da spcialidad é dsigado por fução xpocial complxa d variávl cotíua. xpocial complxa cotíua. O sial xt m qu a são, m gral, úmros complxos t R é dsigado por sial xpocial complxo cotíuo. scrvdo a forma polar at θ, a a forma cartsiaa, tmos a τ ω at θ τ ω t ω t θ xt ora-s assim xplícito qu a xpocial complxa tm módulo, argumto xt arg xt ω tθ tddo à rlação d ulr, podmos scrvr xt ω tθ cos ω tθ s ω tθ, o qu tora claro qu a compot ral a compot imagiária do sial têm uma volução siusoidal d príodo π ω, afctadas por uma xpocial ral, com um comportamto ao logo do tmpo dtrmiado por τ. R xt cos ω tθ Im xt s ω t θ 9 xmplos..... O sial xt t, com t R, é uma fução R. tribuido valors a t podmos fazr a sua rprstação o plao complxo 8 7 Figura. xt.. t.t.t figura. optou-s aqui pla rprstação polar ão pla rprstação cartsiaa mostra a volução d xt para < t <. Prof. Isabl Matos & José maral G - --8

7 M R I Z S O M P X S G B R I N R a Podmos optar por fazr a rprstação, m dois gráficos sparados, da part ral da part imagiária da fução. Sdo, tmos.t.t xt.t cos. t s. t.t R xt cos. t.t Im xt s. t s figuras. a b mostram, rspctivamt, a volução da part ral da part imagiária d xt para < t <. omo s pod vr, a volução traduz a volução das fuçõs trigoométricas cos. t s. t afctadas pla multiplicação pla xpocial.t gativa logo dcrsct b c rprstação mais comum as cadiras da spcialidad ão é, o tato, huma dstas duas, mas sim a rprstação do módulo do argumto d xt m plaos sparados. mos.t.t xt.t.t.t.t.t arg xt arg.t s figuras. c d mostram, rspctivamt, a volução do módulo do argumto d xt. Na volução do argumto optou-s pla rprstação priódica tr π π, mbora, obviamt, sta m causa apas a rprstação da rcta θ.t d Figura. Prof. Isabl Matos & José maral G

8 M R I Z S O M P X S G B R I N R.. Fução xpocial complxa discrta a.. Outra das fuçõs qu utilizará as cadiras da spcialidad é a fução xpocial complxa discrta. xpocial complxa discrta. O sial [ ] z x m qu z são, m gral, úmros complxos Z é dsigado por sial xpocial complxo discrto. scrvdo z a forma polar θ z z Ω -, rsulta θ Ω [ ] x z z z Ω θ b tmos [ ] x z [ ] Ω θ arg x xmplos. s figuras. a b mostram o sial xpocial complxo a sua part ral, [ ] x z Ω θ 7 c x [ ] z Ω θ R cos, com, Ω π, < <, θ, z.9. - Sdo z <, o afixo da xpocial complxa aproxima-s da origm do plao complxo à mdida qu os valors d crscm. part ral do sial é um coso volvido plas xpociais dcrscts ± z d Figura. s figuras. c d mostram o sial xpocial complxo a sua part ral com, Ω π, < <, θ, z.. Sdo z, o módulo do sial é costat. Prof. Isabl Matos & José maral G

9 M R I Z S O M P X S G B R I N R.. Fução impulso uitário discrto. Dfi-s o sial impulso uitário discrto como um sial qu é smpr ulo, xcpto a origm m qu toma o valor, ou sa: δ [ ],, s figuras..7 mostram, para < <, a volução do sial impulso uitário dos siais [ ] δ [ ] x [ ] δ[ ] [ ] δ [ ] δ[ ] x x [ ] δ[ ] x i i i x i [ ] δ[ ] i [ ] δ[ ] i i x i Figura. Figura.7 Prof. Isabl Matos & José maral G