Variáveis aleatórias Conceito de variável aleatória

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1 Variávis alatórias Muitos primtos alatórios produzm rsultados ão-uméricos. Ats d aalisá-los, é covit trasformar sus rsultados m úmros, o qu é fito através da variávl alatória, qu é uma rgra d associação d um valor umérico a cada poto do spaço amostral. Portato, variávis alatórias são variávis uméricas às quais irmos associar modlos probabilísticos. Vrmos qu uma variávl alatória tm um úmro para cada rsultado d um primto qu uma distribuição d probabilidads associa uma probabilidad a cada rsultado umérico d um primto Cocito d variávl alatória Sjam E um primto Ω o spaço associado ao primto. Uma fução X, qu associ a cada lmto s d Ω um úmro ral X(Ω), é domiada variávl alatória. Emplo: E: laçamto d duas modas; X: º d caras obtidas as duas modas; S={(C,C), (C,R), (R,C),(R,R)} X=0 corrspod ao vto (r,r) com probabilidad ¼ X= 1 corrspod ao vto (r,c), (c,r) com probabilidad 2/4 X= 2 corrspod ao vto (c,c) com probabilidad ¼. Emprgamos a trmo variávl alatória para dscrvr o valor qu corrspod ao rsultado d dtrmiado primto. As variávis alatórias também podm sr discrtas ou cotiuas tmos as sguits dfiiçõs: Variávis Alatórias Discrtas Admitm um úmro fiito d valors ou tm uma quatidad umrávl d valors. Variávis Alatórias Cotiuas podm tomar um úmro ifiito d valors, sss valors podm sr associados a msuraçõs m uma scala cotíua. 1

2 2

3 3

4 A fução d distribuição st caso é dada por: m qu 4

5 A fução d distribuição d probabilidad ss caso é dada por X X=) 0,343 0,441 0,189 1,027 5

6 Ercícios: 2. Cosidr ihada d 4 filhots d colhos. Nsta raça há um distúrbio gético a probabilidad d ascr fêmas é d 5/8: a. Sdo X a ocorrêcia d fêmas, costrua a distribuição d probabilidad d X: X tm uma distribuição biomial 5 X : Bi, p X : Bi 4, 8 O Modlo Biomial é dado por P[ X ] p 1 p m qu! ( )!! ! PX [ 0] , !0!

7 PX [ 1] 1 4 0, PX [ 2] 1 6 0, PX [ 3] 1 4 0, PX [ 4] , A distribuição d Probabilidad d X é dada por X P X 0,02 0,13 0,33 0,37 0,15 b. Calcul as probabilidads dos sguits vtos por mio da distribuição biomial: i) Nascimto d atamt duas fêmas? PX [ 2] 0,33 ii) Nascimto d plos mos um macho? S Y rprsta o úmro d machos, o vto Y 1quival a X 3, pois s houvr 1 macho, implica m 3 fêmas; s houvr 2 machos, implica m 2 fêmas; s houvr 3 machos, implica m 1 fêma. s houvr 4 machos, implica m 0 fêma. Assim, a probabilidad do vto é P Y 1 P Y 1 P Y 2 P Y 3 P Y 4 P Y 1 P X 3 P X 2 P X 1 P X 0 0,37 0,33 0,13 0, 02 0,84 iii) Nascimto d plos mos duas fêmas? P X 2 P X 2 P X 3 P X 4 0,33 0,37 0,15 0,85 iv) Nascimto d o máimo uma fêma? P X 1 P X 0 P X 1 0,02 0,13 0,15 c. Supoha qu você faça uma amostragm d 500 ihadas d 4 filhots. Em quatos você spra cotrar atamt 1 macho? 7

8 O úmro sprado (NE) d ihadas d 4 filhots com atamt 1 macho é dado plo produto da probabilidad do vto P Y 1 P X 3 plo úmro total d ihadas, ou sja, NE 500P X , Assim, das 500 spramos qu 185 sjam atamt 1 macho. 3. Supoha qu X (v. a. discrta) sja o úmro d aimais dots d uma dtrmiada raça. Sab-s qu sta doça é cotrolada gticamt qu ataca 1/3 da raça. Numa amostra d 4 aimais, pd-s: a. A distribuição d probabilidad d X; X tm uma distribuição biomial X : Bi 1 4, PX [ 0] , PX [ 1] 1 4 0, PX [ 2] 1 6 0, PX [ 3] 1 4 0, PX [ 4] , A distribuição d Probabilidad d X é dada por X P X 0,20 0,39 0,30 0,10 0,01 b. A probabilidad d havr a amostra mais d 1 aimal dot; P[ X 1] P[ X 2] P[ X 3] P[ X 4] 0,30 0,10 0, 01 0, 41 c. A probabilidad d havr mais d 1 aimal sadio; S Y rprsta o úmro d aimais dots, o vto Y 1quival a X 2, pois 8

9 s houvr 2 sadio, implica m 2 dots; s houvr 3 sadio, implica m 1 dot. s houvr 4 sadio, implica m 0 dot. Assim, a probabilidad do vto é d. A probabilidad d havr o máimo três aimais dots; P[ X 3] 1 P[ X 3] 1 P X 4 1 0,01 0,99 9

10 Emplo 2 Dtrmiar a probabilidad d havr 4 pças dfituosas uma amostra d 300, traída d um grad lot od há 2% d dfituosas. Aplicado-s a fórmula da distribuição biomial trmos: N = 300 X = 4 p = 2% = 2 = 0, Utilizado a distribuição d Poisso, trmos: p 300 0,02 6 ) ( ) 4) (6) ,134 Ercícios 10

11 1. Supohamos qu os avios chgum a um porto a razão d 2 avios /hora, qu ssa razão sja bm aproimada por um procsso d Poisso. Obsrvado o procsso por um príodo d mia hora (t = 1/2), dtrmi a probabilidad d: a) ão chgar hum avio; b) chgarm 3 avios. Solução: = 2 p = t = 1 horas. 2 Primiro dtrmi : t a) ) 1 0 ( ) (1) 0) 0 0, 368 b) ) 1 3 ( ) (1) 3) 3 0, Uma máquia produz 9 pças dfituosas a cada 1000 pças produzidas. Calcul a probabilidad d qu m um lot qu cotém: a) 200 pças, sjam cotradas 8 pças dfituosas; p = 200 pças p = 9 = 0, p 200 0,009 1,8 ) ( ) 8) 1,8 (1,8) , ,

12 b) 500 pças, ão haja huma pça dfituosa. p = 500 pças p = 9 = 0, p 500 0,009 4,5 ) ( ) 0) 4,5 (4,5) 0 0 0,0111 4) Um procsso mcâico produz tcido para tapts com uma média d 2 dfitos por jarda. Dtrmi a probabilidad d uma jarda quadrada tr atamt 1 dfito, admitido qu um procsso possa sr bm aproimado por uma distribuição d Poisso. Solução É dado = 2 = 1 P X t ( t) X X ) ( ) 1) (2) , As chamadas d mrgêcia chgam a uma ctral d polícia a razão d 4 por hora o príodo d 1 as 6 da mahã m dias útis podm sr aproimadas por uma distribuição d Poisso. Rspoda: a) Quatas chamadas d mrgêcia são spradas um príodo d 30 miutos? b) Qual a probabilidad d huma chamada um príodo d 30 miutos? a) p = t (tmpo) = 30 miutos = 0,5 horas. = 4 12

13 E ( ) t Portato, um príodo d 30 miutos são spradas chamadas. b) p = t (tmpo) = 30 miutos = 0,5 horas. t ) ( ) = 0) = 0,135 13

A função de distribuição neste caso é dada por: em que

A função de distribuição neste caso é dada por: em que 1 2 A função d distribuição nst caso é dada por: m qu 3 A função d distribuição d probabilidad nss caso é dada por X 0 1 2 3 P(X) 0,343 0,441 0,189 1,027 4 Ercícios: 2. Considr ninhada d 4 filhots d colhos.

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