1. O domínio de uma sucessão é o conjunto dos números naturais. A única representação gráfica que obedece a esta condição é a da opção D.

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1 Prarar o Exam 05/06 Matmática A Págia 69. O domíio d uma sucssão é o cojuto dos úmros aturais. A úica rrstação gráfica qu obdc a sta codição é a da oção D. Nota qu DA, D B 0 DC. Rsosta: D. Numa rogrssão aritmética u, a razão r é dada or r u u,. Dtrmimos r : r u u Rsosta: B. Numa rogrssão gométrica tão, r : u u, a razão r é dada or r,. Dtrmimos, u r u 4 u Rsosta: C 4. Aalismos cada uma das sucssõs cosidradas: é uma sucssão gométrica d razão cujo rimiro trmo é 8. Rara qu o quadrado sombrado da ª figura tm d lado, o da ª figura tm d lado o da ª figura tm d lado. Etão, o trmo gral dsta sucssão é 8. O trmo gral d uma rogrssão gométrica d razão r é u u r. a é uma sucssão gométrica d razão cujo rimiro trmo é 8. Rara qu o quadrado sombrado da ª figura tm d ára 8, o da ª figura tm d ára 4 8 o da ª figura tm d ára 4. Etão, o trmo gral dsta sucssão é rogrssão gométrica d razão r é u u r. a 8. O trmo gral d uma Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia

2 Prarar o Exam 05/06 Matmática A Em cada figura, a ára da zoa braca é igual à difrça tr a ára do quadrado com 4 cm d lado a ára do quadrado sombrado. Assim, b a. 4. Tmos qu b 6 a. A sucssão a é um rogrssão gométrica cujo rimiro trmo é ositivo cuja razão é ifrior a. Etão, a é moótoa dcrsct, cosqutmt, como b 6 a, b é moótoa crsct. 4. Obsrvado a squêcia d figuras dadas é imdiato qu a td ara 0, lo qu a td ara 6. Nota qu limb lim 6 a lim6 lima é uma sucssão dcrsct, cujo rimiro trmo é 8 ositiva. Assim, 0 8 um miorat d é 0 um majorat é 8. a é uma sucssão dcrsct, cujo rimiro trmo é 8 ositiva. Assim, 0 8 um miorat d a é 0 um majorat é 8 b é uma sucssão crsct, cujo rimiro trmo é qu td ara 6. Assim, 8 b 6 um miorat d b é 8 um majorat é 6 a 4.5 Aalismos o limit d cada uma das sucssõs: Obsrvado a squêcia d figuras, é imdiato qu ambas as sucssõs ara 0. Assim, stas sucssõs são ifiitésimos. a tdm Já sabmos qu b td ara 6, lo qu sta sucssão ão é m um ifiitésimo m um ifiitamt grad. Rlmbra qu um ifiitamt grad é uma sucssão cujo limit é. Um ifiitésimo é uma sucssão cujo limit é Para cada uma das sucssõs dadas, dtrmimos o sial da difrça tr dois trmos coscutivos. Nota qu, dada uma sucssão u, s : u u 0, u é moótoa crsct; s u u 0, u é moótoa dcrsct; s o sial d u u variar, u ão é moótoa. Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia

3 Prarar o Exam 05/06 Matmática A a a 0, Etão, a é moótoa crsct. 4 4 b b. 4 0,. Etão, b é moótoa dcrsct. c c 0, Rara qu, Etão, c é moótoa crsct. d, d d. Etão, Rara qu + > 0, f+ f > 0 (hióts d idução) f+ > 0 (a sucssão dada é d trmos ositivos). d é ão moótoa. Rara qu d d mas d d. 0, Rara qu 0,. Etão, é moótoa dcrsct. Tmos qu f 0 f f 0. Vjamos qu ara, f também é crsct. f f f f f f f f 0,. Rara qu f 0, um dos trmos sguits é roduto d dois úmros ositivos. Etão, Cofirmmos, utilizado o método d idução matmática, qu sja, qu f f 0, Para, a dsigualdad é vrdadira: f f f f Hióts d idução: f f 0 f é moótoa crsct. ois f 0 cada f é moótoa crsct, ou Ts d idução: f f 0. Provmos sta ts, utilizado a hióts d idução: f f f f f f f f f f 0 ts d idução Etão, f f 0, c.q.d. Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia

4 5. é uma rogrssão gométrica s r,. Tmos qu razão.. Assim, Prarar o Exam 05/06 Matmática A é uma rogrssão gométrica d 5. Aalismos o limit d cada uma das sucssõs cosidradas: lim a lim 0 limb lim lim lim limc lim c ão é covrgt Para ar: lim d lim lim Assim, d ão é covrgt Para ímar: lim d lim lim lim lim 0 Nota qu o rimiro trmo d f é 0 os rstats rsultam d ir multilicado o úmro d ordm, ou sja, um úmro ositivo maior do qu cada vz maior. Assim, lim f sta sucssão ão é covrgt. 5.4 Aalismos cada uma das sucssõs: a é moótoa crsct lim 0 a 0. b é moótoa dcrsct b. limc, logo c ão é limitada. Como lim d tmos qu lim a. Etão b. Etão d ão é limitada. a é limitada a a 0, isto é, b é limitada b b, isto é, Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia 4

5 Prarar o Exam 05/06 Matmática A é moótoa dcrsct lim 0 lim f, logo c ão é limitada.. Etão é limitada 0, isto é, Para um ivstimto d aos dv scolhr o PouaAqui: O baco PouaAqui ofrc uma taxa d juros simls d 8%, lo qu ao fim d três aos o David trá , uros. O baco AquiGaha ofrc uma taxa d juros comostos d 6%, lo qu ao fim d três aos o David trá 5000, ,08 uros. Para um ivstimto d aos dv scolhr o AquiGaha: O baco PouaAqui ofrc uma taxa d juros simls d 8%, lo qu ao fim d aos o David trá , uros. O baco AquiGaha ofrc uma taxa d juros comostos d 6%, lo qu ao fim d aos o David trá 5000, ,98 uros. 6. Baco PouaAqui: , Rlmbra a rsolução do itm 6. Baco AquiGaha: 5000,06 Rlmbra a rsolução do itm Já vimos qu ara um úmro d aos quo é mais vatajoso scolhr o baco PouaAqui. Vjamos a artir d qu ao é qu a scolha dv mudar, costruido uma tabla: Aos PouaAqui AquiGaha 6,8 669, 709,60 758,5 7969,4 8447,9 8954,4 949,49 Assim, a scolha dv mudar a artir do º ao, iclusiv. 7. Tmos qu a soma dos 0 trmos coscutivos a artir do 5º, iclusiv é dada or S4 S4, m qu S u u. Etão: u6u r 5 r r 6 u 6 6 u 6 O trmo gral d uma rogrssão aritmética d razão r é u u r m Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia 5 m

6 u 6 7, u u S S4 4 7 Assim, o úmro dido é S4 S Prarar o Exam 05/06 Matmática A 8. Como o triâgulo sombrado rsulta d dividir o triâgulo atrior m quatro triâgulos iguais, a é uma rogrssão gométrica d razão 4 cujo rimiro trmo é. Etão, o trmo gral 4 da sucssão cosidrada é a trmo gral d uma rogrssão gométrica d razão r é Como 0 r, tmos qu lim a 0 u u r. r 8. Calculmos lim S, m qu S a. Tmos qu a r. Etão, r lim S lim lim lim lim. Assim, a ára da siral td, à mdida aumta idfiidamt.. O 9. Para, a igualdad é vrdadira: k k k Hióts d idução: Ts d idução: hióts d idução: k k k k k. Provmos sta ts, utilizado a k k k k k k k k ts d idução k k k k k Etão, k k, k c.q.d. Método d idução matmática Rlmbra qu, ara rovar qu uma roridad P() s vrifica, dvmos rovar qu: P() vrifica-s ara = Suodo qu P() s vrifica ara um úmro atural (hióts d idução), tão P() vrifica-s ara + (ts d idução). Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia 6

7 9. Qurmos dmostrar qu k k k Para, a igualdad é vrdadira: k, kk Hióts d idução: kk k Ts d idução: kk hióts d idução: k ts d idução k k k k Prarar o Exam 05/06 Matmática A. Provmos sta ts, utilizado a k k k k k k k k Etão, k k k, c.q.d. Proosta d Rsolução dos Exrcícios do Subcaítulo Sucssõs Págia 7