Módulo 09. Espaço de Sinais. [Poole 431 a 518, 650 a 660]

Transcrição

1 Módulo 9 Not bm, a litura dsts apotamtos ão dispsa d modo algum a litura atta da bibliografia pricipal da cadira Chama-s à atção para a importâcia do trabalho pssoal a raliar plo aluo rsolvdo os problmas aprstados a bibliografia, sm cosulta prévia das soluçõs propostas, aális comparativa tr as suas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição juto do doct d todas as dúvidas associadas. [Pool 4 a 58, 5 a ] Espaço d Siais. O corpo dos complxos. Plao complxo. Forma cartsiaa polar. Fórmula d Eulr torma d DMoivr. Raís d úmros complxos Fuçõs complxas d variávl complxa. Siais. Siais cotíuos discrtos. Siais priódicos ão priódicos. Fução xpocial complxa cotíua. Fução xpocial complxa discrta. Fução impulso uitário discrto. Espaços vctoriais. Estruturas algébricas. Grupóid. Smigrupo. Moóid. Grupo. Grupo comutativo. Al. Corpo. Espaço vctorial. Subspaço vctorial. Combiação liar. Subspaço grado. Idpdêcia liar. Bas dimsão.

2 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. O Corpo dos Complxos. Dfi-s um úmro complxo como a + jb, od a b são úmros rais j (ou i ), dsiga a uidad imagiária j Dsigamos a por part ral d, a R {} dido-s o caso m qu a qu é um úmro imagiário puro., b por part imagiária d, b Im{ } Dado o úmro complxo a + jb dfi-s o su cojugado como a jb Etr dois úmro complxos, a + jb w c + jd, dfim-s as opraçõs básicas: igualdad: a + jb c + jd ss a c b d ; adição: + w ( a + jb) + ( c + jd) ( a + c) + j( b + d) ; multiplicação: w ( a + jb)( c + jd) ( ac bd) + j( ad + bc) ;, divisão: ( a + jb) ( a + jb)( c jd) ( ac + bd) + j( bc ad). w ( c + jd) ( c + jd)( c jd) c + d Com a igualdad, adição multiplicação assim dfiidas, podm dmostrar-s as lis (comutativa, associativa, fcho, tc.) qu os prmitm cocluir qu o cojuto dos úmros complxos, C, tal como o cojuto dos úmros rais, costitui um corpo. Exmplo. Dados os complxos j w + j, tmos + j + w ( j) + ( + j) j w ( j) (+ j) j w ( j)(+ j) 4 + j j j w + j Exmplo. Podmos simplificar o complxo j j j ( j ) ( j ) j ( ) ( ) j j j + j + j j + j + j j + j j j 5+ 5j j Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

3 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Plao Complxo. Forma Cartsiaa Polar. Com a adição multiplicação tr úmros complxos como dfiidas acima, podmos itrprtar um úmro complxo a + como um par ordado d úmros rais ( a, b) rprstávis um plao cartsiao xy. Dsigamos o plao d rprstação por plao complxo, plao d Argad, ou plao, o ixo dos xx é dsigado por ixo ral o ixo dos yy é dsigado por ixo imagiário. A cada úmro complxo corrspod um, um só, poto do plao, a cada poto do plao corrspod um, um só, úmro complxo. Um úmro complxo pod assim itrprtado como um sgmto oritado OP, cuja origm, O, é a origm do j plao complxo cujo xtrmo, P, é o poto corrspodt ao par ordado ( a, b) ( a, b). ρ θ b Quado scrito a forma a + jb, o complxo di-s scrito a forma rctagular (ou cartsiaa). Podmos scrvr um úmro complxo a outra forma, dita forma polar (ou xpocial) ρ, m qu ρ rprsta o mdulo, ou valor absoluto, do complxo, θ o su argumto. O módulo é facilmt obtido, rcorrdo à rprstação gráfica do complxo, itrprtado como um vctor, jb ρ a + b,ou, multiplicado o complxo plo su cojugado ( a + jb)( a jb) a + b Quado o complxo stá xprsso a forma polar, o rcohcimto do módulo é imdiato ρ ρ ρ Quato ao argumto, rcorrdo à rprstação gráfica b θ arg {} arcta a idêtico à rlação a partir da forma rctagular { } {} Im arg {} arcta R b arcta a Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

4 A L G E B R A - T U R M A L R D Exmplo. 4 - A figura M9. mostra a rprstação dos úmros complxos o plao complxo. 4 + j + j j j Figura M9. Exmplo 4. O complxo ( j)( + j ), tdo m atção qu ρ ρ j + j + +, aida qu θ θ arg arg { j} { + j } π arcta 4 arcta 4π (otado qu j stá o 4 quadrat + j stá o quadrat) pod sr scrito a forma polar π 4π j j 4 4 5π j Prof. José Amaral ALGA M

5 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Fórmula d Eulr Torma d DMoivr a b D otar qu, a partir da rprstação gráfica, dado qu cos( θ) s( θ), podmos ρ ρ scrvr a + jb ρ(cos( θ) + j s( θ)) ρ cis( θ) dita, também, forma polar d rprstação do complxo. Na vrdad, a forma atriormt aprstada rsulta da fórmula d Eulr ± jx ρ cos( x) ± js( x), com x ral. A partir da fórmula d Eulr obtêm-s as dfiiçõs das fuçõs so co-so com bas a fução jx, dita fução xpocial complxa, jx jx + cos( x) s( x) j O produto a divisão tr dois complxo é mais facilmt obtido quado sts stão scritos a forma polar w j jx jx j( θ +θ ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ(cos( θ +θ ) + s( θ +θ )) ρ ρ cis( θ +θ ) w ρ ρ ρ ρ ρ j( θ θ) ρ cis( θ θ ) ρ ρ (cos( θ θ ) + j s( θ θ )) Graliado o produto, tmos aida qu ρ ρ ρ ρ ρ (cos( θ ) + js( θ )) ρ cis( θ), rlação cohcida por torma d DMoivr. Exmplo 5. Rcorrdo à fórmula d Eulr, as rlaçõs trigoométricas podm sr facilmt dmostradas. Por xmplo π π j j π π j j j j π s j j π π j π π cos + j s cos js j j j ( + j) j ( j j j ) + cos( ) j j Prof. José Amaral ALGA M

6 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.4. Raís d Númros Complxos. Um úmro w di-s uma -ésima rai d um úmro complxo s w, ou sja, w. Atddo ao torma d D Moivr podmos dmostrar qu, sdo um itiro positivo, ρ ρ ρ θ + kπ θ + kπ cos + j s θ + kπ cis j( θ+ kπ) com k,,, plo qu, xistm valors difrts para, ou sja, difrts raís -ésimas d. Em particular, as soluçõs da quação, sdo um itiro positivo, são chamadas as -ésimas raís da uidad, sdo kπ kπ cos + j s jkπ, com k,,,. Gomtricamt las corrspodm a potos do plao complxo quispaçados sobr a circufrêcia d quação, dito o círculo uitário. Exmplo..5. Dado ( + j), sdo para + j ρ π/ θ/ tmos θ arg arcta (5 ) 5 jθ -, logo Figura M (5 4 4 jθ ) θ π j + k θ π j + k 5 θ+ kπ j, com k,,, 5. Gomtricamt tmos sis complxos sobr a circufrêcia d 4 módulo 5 quispaçados d k π como s rprsta a figura M9.. Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

7 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.5. Fuçõs Complxas d Variávl Complxa. Uma aplicação f, m qu as variávis dpdt, w, idpdt,, prtcm ambas a um qualqur subcojuto do corpo dos complxo é dita uma fução complxa d variávl complxa, scrvmos w f(). Para as fuçõs complxas d variávl complxa têm lugar, idticamt ao visto m Aális Matmática, os cocitos d: objcto, imagm, domíio, cotradomíio; fução sobrjctiva, ijctiva bijctiva; rstrição xtsão d uma fução; fução ivrsa, fução composta; tc.. Caso o domíio da fução sja um subcojuto d C o cotradomíio um subcojuto d R a fução di-s uma fução ral d variávl complxa. Caso o domíio da fução sja um subcojuto d R o cotradomíio um subcojuto d C a fução di-s uma fução complxa d variávl ral. Exmplo 7. Exmplo 8. A fução w f( ), com C w u + jv ( x + jy) ( x y ) + j xy, com uvxy,,, R, é uma fução complxa d variávl complxa, w R. Qur o domíio qur o cotradomíio da fução corrspodm a todo o plao complxo. A fução jx w, com x R w jx u + jv cos( x) + j s( x), é uma fução complxa d variávl ral, w C. Not-s qu o cotradomíio da fução corrspod apas, o plao complxo, à circufrêcia d raio uitário, dado jx qu w. Exmplo 9. A fução u, com C u x + jy x + y, é uma fução ral d variávl complxa, u R. + Prof. José Amaral ALGA M

8 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Siais. Siais Cotíuos Siais Discrtos. Dfiimos sial como uma fução d uma ou mais variávis idpdts, cotdo iformação sobr um dtrmiado fómo físico. Com bas as suas caractrísticas, os siais podm sr classificados d divrsos modos. Abordarmos por quato apas a classificação d siais qu dpdm d apas uma variávl idpdt, o modo como são classificados com bas o cojuto d valors assumidos por ssa variávl. Sial cotíuo. Um sial di-s um sial cotíuo quado a variávl idpdt é cotíua. Vamos admitir qu o domíio do sial é o cojuto dos rais, (sm prda d gralidad) stá associada ao tmpo, o cotradomíio do sial prtc ao cojuto dos complxos. Utiliarmos a ltra t para a dsigar a variávl idpdt, prfrcialmt, as ltras xy,, para dsigar o oprador. Assim, um sial cotíuo é uma fução x : R C, sigificado xt () o valor qu o sial assum o istat d tmpo t. Sial discrto. Um sial di-s um sial discrto quado a variávl idpdt é discrta. Vamos admitir qu o domíio do sial é o cojuto dos itiros, o cotradomíio do sial prtc ao cojuto dos complxos. Utiliarmos a ltra para a dsigar a variávl idpdt, prfrcialmt, as ltras xy,, para dsigar o oprador. Assim, um sial discrto é uma fução x : Z C, sigificado x [ ] o valor qu o sial assum o istat, qu, sm prda d gralidad admitimos star, d algum modo, associada ao tmpo. Exmplo. O sial xt (), dfiido por.t xt () cos() t com t R, cuja volução para t s mostra a figura M9.4, é um sial cotíuo. O sial x, [ ] dfiido por.5 [ ] cos(.5 ) x com Z, cuja volução para 4 s mostra a figura M9., é um sial discrto Figura M Figura M9. Prof. José Amaral ALGA M

9 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.7. Fução Expocial Complxa Cotíua. Um dos siais qu utiliará as cadiras da spcialidad é dsigado por fução xpocial complxa d variávl cotíua Expocial complxa cotíua. O sial xt () C at m qu C a são, m gral, úmros complxos é dsigado por sial xpocial complxo cotíuo. Escrvdo C a forma polar C j C θ, a a forma cartsiaa, tmos a τ+ jω at j θ ( τ+ j ω ) t τt j( ω t +θ ) xt () C C C Tora-s assim xplícito qu a xpocial complxa tm módulo, argumto xt () C τt { xt} ω t+θ arg ( ) Atddo à rlação d Eulr, podmos scrvr xt () C τt j( ω t+θ) τt τt C cos( ω t+θ ) + jc s( ω t+θ ), o qu tora claro qu qur a compot ral qur a compot imagiária d um sial xpocial complxo tm uma volução siusoidal d príodo T π ω, volvido por uma xpocial ral com um comportamto ao logo do tmpo dtrmiado por τ. τt { xt} C ω t+ θ R ( ) cos( ) Exmplo. τt { xt} C ω t+ θ Im ( ) s( ) (.5.5) O sial xt () +j t, com t R, é uma fução R C. Atribuido valors a t podmos far a sua rprstação o plao complxo xt () (.5+ j.5) t.5x + j.5t 4 7 Figura M9.5 A figura M9.5 (optou-s aqui pla rprstação polar ão pla rprstação cartsiaa) mostra a volução d xt () para < t <. Prof. José Amaral ALGA M

10 A L G E B R A - T U R M A L R D Figura M9.7 Figura M Podmos optar por far a rprstação, m dois gráficos sparados, da part ral da part imagiária da fução. Sdo, tmos.5x + j.5t xt ().5x (cos(.5 t) + js(.5 t)) { } { }.5x R xt ( ) cos(.5 t).5x Im xt ( ) s(.5 t)) As figuras M9.7 M9. mostram, rspctivamt, a volução da part ral da part imagiária d xt () para < t <. Como s pod vr a volução tradu a volução das fuçõs trigoométricas cos(.5 t ) s(.5 t ) afctadas pla.5t multiplicação pla xpocial gativa. A rprstação mais comum, a ára d Tlcomuicaçõs Elctróica, ão é o tato huma dstas duas, mas sim a rprstação do módulo do argumto d xt () m plaos sparados. Tmos.5t + j.5t xt ().5t + j.5t.5t.5t + j.5t { xt} { } arg ( ) arg.5t As figuras M9.8 M9.9 mostram, rspctivamt, a volução do módulo do argumto d xt (). Na volução do argumto optou-s pla rprstação priódica tr π π, mbora, obviamt, stja m causa apas a rprstação da rcta θ.5t. Figura M Figura M9.9 Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

11 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.8. Fução Expocial Complxa Discrta. 9.5 Outra das fuçõs qu utiliará as cadiras da spcialidad é a fução xpocial complxa discrta Figura M9. Expocial complxa discrta. O sial [ ] C x m qu C são, m gral, úmros complxos, é dsigado por sial xpocial complxo discrto. Escrvdo C a forma polar C j C θ α α jω Figura M9. 9.5, rsulta tmos [ ] x C C C [ ] x jω ( ) j( Ω +θ) C { [ ]} Ω +θ arg x Figura M9. Exmplo. As figuras M9. M9. mostram o sial xpocial complxo j( ) x [ ] C Ω +θ a sua part ral, R{ x [ ]} C cos( Ω +θ ), com C, Ω π, < <, θ,.95. Sdo <, o afixo do xpocial complxo aproxima-s da origm do plao complxo para valors d crscts. A part ral do sial é um co-so volvido plas xpociais dcrscts ± C. As figuras M9. M9. mostram o sial xpocial complxo a sua part ral com C, Ω π, < <, θ,.. Sdo, o módulo do sial é costat Figura M9. Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

12 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.9. Fução Impulso Uitário Discrto. Dfi-s o sial impulso uitário discrto por Exmplo. δ [ ],, As figuras M9.4 M9.5 mostram, para < <, a volução dos sial impulso uitário x δ dos siais 5 [ ] [ ] [ ] δ[ ] [ ] δ [ + ] +δ[ ] x x [ ] δ[ ] x i i i x4 i [ ] δ[ ] i [ ] δ[ ] i i x i Figura M9.4 Figura M9.5 Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

13 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Estruturas Algébricas. Grupóid Todo par ( A, ) costituído por um cojuto A uma opração biária d A m A. Smigrupo Todo o grupóid ( A, ) m qu a opração é associativa. é associativa a ( b c) ( a b) c) é comutativa a b b c Moóid lmto utro : a u a u u a a Todo o smigrupo ( A, ) com lmto utro Grupo lmto oposto : a a a a a a u Grupo Comutativo (Abliao) Todo o moóid m qu todos os lmtos têm oposto (são rgulars). Todo o grupo m qu é comutativa. Al Todo o tro ( A,, ) m qu, ( A, ) é um grupo comutativo, ( A, ) é um smigrupo, é distributiva m rlação, ou sja, a, à squrda à dirita. ( A, ) é associativa. é comutativa. utro. oposto. ( A, ) é associativa. ( a b) c ( a c) ( b c) a ( b c) ( a b) ( a c) Corpo, ou sja, Todo o tro ( A,,) m qu, ( A, ) ( A, ) são grupos comutativos, é distributiva m rlação a, à squrda à dirita. ( A, ) é associativa. é comutativa. utro. oposto. ( A, ) é associativa. é comutativa. utro. oposto. ( a b) c ( a c) ( b c) a ( b c) ( a b) ( a c) Uma strutura algébrica é um cojuto associado a uma ou mais opraçõs sobr o cojuto qu satisfam crtos axiomas. Caso ão xista ambiguidad, pod idtificar-s o cojuto com a strutura algébrica. Por xmplo, o corpo ( R, +, ) rfr-s gralmt apas como o corpo R (o corpo dos rais). Algumas struturas algébricas são dfiidas com mais d um cojuto, por xmplo, um spaço vctorial tm dois cojutos, um cojuto d vctors outro d scalars. Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

14 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Espaço Vctorial (ou Espaço Liar). Di-s qu E é um spaço vctorial sobr o corpo K smpr qu s tha um cojuto E d lmtos uv,,, w um corpo K d lmtos αβ,,, γ, : a. stivr dfiida m E a opração soma, +, qu a u E a v E associa o lmto u + v E, tal qu ( E, + ) é um grupo comutativo, ou sja, uvw,, E vrifica: a. u + v v + u (+ é associativa) a. ( u + v) + w u + ( v + w ) (+ é comutativa) a. E :( u + ) + u u (lmto utro d + ) a4. u u E : u + ( u) (lmto oposto d + ) m. stivr dfiida a opração produto,, qu a α K a u E associa o lmto α u E (ou, simplsmt αu ), qu vrifica: m. α ( u + v) αv + αu ( é distributiva m rlação a + ) m. ( α + β) u αu + βu ( é distributiva m rlação à adição, + ) m. α ( βu ) ( αβ) u ( é associativa) m4. u u (lmto utro d ) Os lmtos d E dsigam-s por vctors, os lmtos d K por scalars. A opração biária + d E m E dsiga-s por soma vctorial, a opração biária d EK m E dsiga-s por produto scalar. Salit-s qu um spaço vctorial é fchado rlativamt à soma vctorial ao produto scalar. Exmplo 4. São xmplos d spaços vctoriais, ou sja, pod dmostrar-s qu vrificam cada um dos acima uciados 8 axiomas, os sguits cojutos, com dfiição habitual d soma tr os sus lmtos, d produto dos sus lmtos por um scalar: O cojuto R, como tmos vido a cosidrar até aqui. O cojuto dos sgmto oritados, qu apropriadamt dsigámos por vctors. O cojuto C. O cojuto das fuçõs d variávl ral um itrvalo I R (com as dfiiçõs habituais d adição d fuçõs d multiplicação d uma fução por uma costat ( f + g)( x) f( x) + g( x) ( α f)( x) α f( x) ). Sdo o vctor ulo a fução fx ( ), x R. É importat psar m cada uma das fuçõs como um vctor, ou sja, simplsmt como um lmto do spaço vctorial. Para apas duas fuçõs podmos far a aalogia com os sgmtos oritados m R. Sdo um spaço vctorial costituído por fuçõs, é dsigado por spaço d fuçõs, F F () I,, particularmt, sdo fuçõs cotdo iformação sobr um dtrmiado fómo físico rlvat para a ossa ára d aplicação, spaço d siais. Prof. José Amaral ALGA M

15 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Subspaço Vctorial. Combiação Liar. Subspaço Grado. Sdo E um spaço vctorial, qualqur cojuto ão vaio S E qu sja fchado rlativamt à soma vctorial ao produto scalar dsiga-s por subspaço vctorial d E. Salit-s qu o fcho rlativamt à soma vctorial ao produto scalar implica qu todos os subspaços cotêm o vctor ulo. Dado um cojuto d vctors { u u u } k, k,, k K o vctor V,,, E, um cojuto d scalars u ku + k u + + k u ku r i i i, dsiga-s por combiação liar dos vctors d V. O cojuto d todas as combiaçõs liars d um cojuto d vctors V é um subspaço vctorial d E, dsiga-s por subspaço grado por V. Exmplo 5. O cojuto dos poliómios d grau igual ou ifrior a, P, é um subspaço vctorial do cojuto d todos os poliómios sm rstrição d grau, P. O cojuto dos poliómios sm rstrição d grau, P, dado qu todas as fuçõs poliomiais são difrciávis, é um subspaço vctorial do cojuto das fuçõs ifiitamt difrciávis C. O cojuto das fuçõs ifiitamt difrciávis, C, é um subspaço vctorial do cojuto d fuçõs cotiuamt difrciávis até à ordm, C. O cojuto d fuçõs cotiuamt difrciávis até à ordm, C, é um subspaço vctorial do cojuto d fuçõs com primira drivada cotíua, C. O cojuto d fuçõs com primira drivada cotíua, C, dado qu todas as fuçõs difrciávis são cotíuas, é um subspaço vctorial do cojuto d fuçõs cotíuas C. O cojuto das fuçõs cotíuas m R, C, é um subspaço vctorial do cojuto d fuçõs dfiidas para todos os valors rais F ( R). O cojuto dos itiros, Z, ão é um spaço vctorial, dado qu ão é fchado para a multiplicação scalar: o produto d qualqur scalar ão itiro por um itiro ão é um itiro. Exmplo. O poliómio p( x) x + x pod sr dscrito como uma combiação liar dos poliómios p ( x ), p ( x) x, p ( x) x, p x x ( ) : Prof. José Amaral ALGA M

16 A L G E B R A - T U R M A L R D ou, simplsmt p( x) p ( x) + p ( x) + p ( x) + p ( x) px ( ) [ ] O spaço dos poliómios d grau, P, é grado plo cojuto d vctors {, xx,, x} P, dado qu, por dfiição, P, é o cojuto d poliómios da forma p( x) a + bx + cx + dx, ou sja, o cojuto d todas as possívis combiaçõs liars dos vctors do cojuto P. Qualqur sial discrto d duração limitada, N, pod sr xprsso como uma combiação liar fiita do sial impulso uitário N [ ] α δ[ ] x k k Na scção 9.9 foram dados vários xmplos d siais discrtos d duração N [ ] α δ[ ] x k k Todos ls podm sr itrprtados como vctors prtcts ao subspaço dos siais discrtos d duração N, grado plo cojuto d vctors { [ ], [ 9 ],, [ ],, [ 9 ], [ ] } D δ + δ + δ δ δ. i i Exmplo 7. j t ω O sial cos( ω t) pod sr xprsso como uma combiação liar dos siais j t ω jωt jωt cos( ω t) O sial cos( ω t) pod sr itrprtado como um vctor prtct ao subspaço das j fuçõs cotíuas (complxas d variávl ral) grado plos vctors t ω j t ω,, ss subspaço, pod sr dscrito apas plas suas coordadas [ ] cos( ω t).5,.5 Também o sial s( ω t) pod sr xprsso como uma combiação liar dos siais j t j t ω ω jωt jωt s( ω t).5j +.5j [.5j.5j] Not qu agora o spaço vctorial é cssariamt dfiido sobr o corpo dos complxos ão sobr o corpo dos rais. Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

17 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.. Idpdêcia Liar. O cojuto d vctors V { u u u } só possui a solução trivial,,, E, di-s liarmt idpdt s a quação ku + k u + + k u k k k, ou sja, hum dos vctors pod sr xprsso como combiação liar dos rstats. Caso cotrário, isto é, s a quação possui solução ão trivial, dimos qu os vctors d V são liarmt dpdts. Exmplo 8. O cojuto d vctors V { x, x x, x x } dpdt, dado qu + + P é liarmt x ( x + x ) ( x + x ) O cojuto d vctors { s ( x),cos ( x),cos( x) } dpdt, dado qu V é liarmt cos( x) cos ( x) s ( x) O cojuto d vctors {, xx,, x} P é liarmt idpdt. Nhum dos sus vctors pod sr xprsso como combiação liar dos outros. Exmplo 9. O cojuto d vctors { + xx, + x,+ x } qu a combiação liar dos vctors s aul dvrá sr, o qu implica, ou sja, a forma matricial,, plo qu, sdo P é liarmt idpdt. Para k ( + x) + k ( x + x ) + k ( + x ) k kx kx kx k kx ( k + k ) + ( k + k ) x + ( k + k ) x k + k k + k k + k k k k Prof. José Amaral ALGA M

18 A L G E B R A - T U R M A L R D ~, o sistma só possui a solução trivial, k k k, plo qu os vctors + x, x + x, + x, são liarmt idpdts. Exmplo. Não xist hum método gral para dmostrar qu um cojuto d vctors do spaço d fuçõs é liarmt idpdt. No caso dos vctors prtcrm a C, a idpdêcia liar pod sr dmostrada vrificado qu o dtrmiat f( x) f( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) Wx ( ) dt ( ) ( ) ( ) f ( x) f ( x) f ( x), dsigado por Wroskiao dos vctors, é ão ulo plo mos para um valor d x R. Para o cojuto d vctors P { + xx, + x,+ x }, tmos + x x + x + x dt + x x ( + x)(+ 4x 4 x) (x + x x ) + x x + 4 O dtrmiat uca é ulo (bastaria qu ão foss ulo para apas um valor d x ), plo qu os vctors são liarmt idpdts. Para o cojuto d vctors V { x, x + x, x + x } x x + x x + x dt x + 4x + x 4, tmos >> syms x >> A[*x^ -x+*x^ -*x+x^;*x -+4*x -+*x; 4 ]; >> dt(a) as Não xist um úico valor d x para o qual o dtrmiat ão s aul, ou sja o dtrmiat é idticamt ulo. Os vctors são liarmt dpdts. Prof. José Amaral ALGA M

19 A L G E B R A - T U R M A L R D 9.4. Bas Dimsão. Sdo W um subspaço d E, dimos qu o cojuto d vctors U { u u u },,, k W é uma bas d W s é um cojuto d gradors d W é liarmt idpdt. Sdo W um subspaço d E, U { u u u },,, k W uma bas d W, todas as bass d W têm o msmo úmro k d lmtos, chamada a dimsão d W, dim( W ). Qualqur cojuto d k vctors liarmt idpdts prtcts a W é uma bas d W, qualqur cojuto d mais d k vctors é liarmt dpdt. Um spaço vctorial pod tr um úmro ifiito d vctors liarmt idpdts, como é o caso da maioria dos spaços d fuçõs, dido-s tão um spaço d dimsão ifiita. Exmplo. O cojuto d vctors {,,,, xx x } P costitui a bas caóica do cojuto dos poliómios d grau, é um xmplo d um spaço d fuçõs d dimsão fiita. O cojuto dos poliómios d grau tm dimsão +. Por xmplo, os vctors, x, x, x costitum uma bas dos poliómios d grau, P. O spaço d fuçõs dos poliómios sm rstrição d grau, P, é um spaço d dimsão ifiita. O spaço d fuçõs cotíuas tm dimsão ifiita. Não há hum cojuto fiito d vctors qu sja bas dss spaço. O cojuto d vctors { + xx, + x,+ x } P sdo, como vimos, liarmt idpdt, m úmro igual à dimsão do spaço d poliómios d grau, costitui uma bas d P. Exmplo. O spaço d siais discrtos, x : Z C, tm dimsão ifiita. Qualqur sial discrto pod sr xprsso como uma combiação liar, ifiita, do sial impulso uitário [ ] α δ[ ] x k k O spaço d siais discrtos, x : Z C, d duração limitada,,, N, tm dimsão fiita N. O cojuto d vctors [ ] i { [ ], [ ],, [ N ] } U δ δ δ + costitui uma bas d siais discrtos d duração limitada N. Prof. José Amaral ALGA M

20 A L G E B R A - T U R M A L R D Exrcícios.. Calcular NÚMEROS COMPLEXOS. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL REAL. jt Tdo m atção qu cos( t) + js( t), tmos b a jt dt b b b b jt dt (cos( t) + js( t)) dt (cos( tdt ) + j s( tdt ) a a a a b [ s( t) jcos( t) ] [ j(cos( t) js( t)) ] + jt b jt j a j jb j ja a b a, ou sja, o cálculo das primitivas das fuçõs complxas d variávl ral podmos cosidrar j como uma costat, procdr idticamt às primitivas d fuçõs rais d variávl ral. Sdo jt cohcida a primitiva d f () podmos far d imdiato b a jt dt j jb jt b j a ja b a. Calcular Tmos π + j j θ dθ π + π ( j dθ j + ) dθ π [] + j θ π () + () + j( π ) jπ. Calcular π ( + j) + + j j θ ( + j) + dθ Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

21 A L G E B R A - T U R M A L R D π π π ( j) j j dθ j dθ + dθ ( + j) + + j + π + l(+ j + ) ( ) () + l( j) l(4 + j) 4 + l( j) l(4 + j) π 4. Calcular as raís do poliómio Tmos f () + + ± j 5. Calcular as raís do poliómio 8 f () Tdo m atção qu j( θ+ kπ) ρ, tmos 8 8 () 8 ( j ) 8 + kπ j 8 π jk 4 com k,,, 7. Ou sja, 8 ( + )( )( + j)( j) ( + j) ( j) ( + j) ( j) ESPAÇO DE FUNÇÕES. INDEPENDÊNCIA LINEAR.. Vrificar s rx ( ) x+ x. p( x) x prtc ao subspaço d P grado plos poliómios qx ( ) x+ x Trata-s d vrificar s o vctor p( x ) prtc ao spaço grado plos vctors qx ( ) rx ( ), ou sja, vrificar s xistm scalars k k tais qu p( x) kq( x) + kr( x). Tmos tão Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

22 A L G E B R A - T U R M A L R D, o qu implica, ou sja, a forma matricial O sistma é possívl dtrmiado px ( ) kqx ( ) + krx ( ) x k ( x x ) k ( x x ) k kx + kx + k kx + kx ( k + k ) + ( k k ) x+ ( k + k ) x ( k + k) k k k + k k k ~, sdo, portato, k k. Ou sja, p( x) q( x) r( x). 7. Vrificar s os vctors, x, x são liarmt idpdts. Rcorrdo ao Wroskiao dos vctors, tmos x x dt 4 x x 4 x x x x x Dado qu o dtrmiat ão é ulo para todo o x, os vctors são liarmt idpdts. MUDANÇA DE BASE NO ESPAÇO DE FUNÇÕES. 8. Escrvr o vctor Tmos + a bas { + xx, + x,+ x } x x P., o qu implica ( + ) + ( + ) + ( + ) + k + kx + kx + kx + k + kx + x x k x k x x k x x x ( k k ) ( k k ) x ( k k ) x x x k + k k + k k + k Prof. José Amaral ALGA M9-9--8

23 A L G E B R A - T U R M A L R D, ou sja, a forma matricial,, dado qu tmos k k k ~ + x x ( + x) + ( x + x ) ( + x ) 9. À smlhaça d mudaça d bas. Cosidrado a bas caóica d forma [,, ] R podmos aalisar o problma atrior rcorrdo ao cocito d matri d P, B {, xx, }, podmos scrvr o vctor p( x) + x x a B, ou sja, xplicitado apas as coordadas do vctor a bas caóica. Por outro P + xx, + x,+ x a bas lado, dado qu cohcmos as coordadas dos vctors da bas { } caóica, P {[,, ], [,, ], [,,] } B B B, a scrita da matri d mudaça da bas P para a bas B, M PB, é imdiata, dado sr a matri cujas coluas corrspodm às coordadas dos vctors p i a bas B Rsulta tão [ ] [ ] [ ] M p p p PB B B B [ px ( )] M [ px ( )] P M BP PB [ p( x) ] B, tal como, aturalmt, tíhamos calculado o xmplo atrior. B Prof. José Amaral ALGA M9-9--8