Exemplo um: Determinar a distribuição da variável Y = 3X, dada a distribuição de X da tabela:

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. UFRGS Istituto d Matmática - D partam to d Estatística Sja X uma variávl alatória discrta com fp p(x i ). Sja Y f(x). S X for moótoa, tão i f(x i ), od x i são os valors d X, com a probabilidad: P(Y i ) P(X x i ) Exmplo um: S X ão for moótoa, tão aos valors possívis i f(x i ) d Y s associará a probabilidad igual a soma das probabilidads dos valors d X prtct à imagm ivrsa d i por f. Dtrmiar a distribuição da variávl Y X, dada a distribuição d X da tabla: x 5 p 0,4 0, 0,5

2 Solução: Como Y X é moótoa, a distitos valors d X corrspodm distitos valors d Y. Assim: Exmplo dois: Dtrmiar a distribuição da variávl Y X, s a distribuição d X é a da tabla: q 0,4 9 0, 5 0,5 x p - 0, - 0, 0, 0,4 Solução: Como Y X ão é moótoa, a corrspodêcia tr os valors d X d Y ão é biuívoca. Etão, por dfiição, a probabilidad d cada i srá igual a soma das probabilidads dos valors d X corrspoddo a i, isto é: P(Y ) P(X -) + P(X ) 0, + 0, 0,5 P(Y 4) P(X -) + P(X ) 0, + 0,4 0,5 4 p 0,5 0,5 Sja X VAC com fdp f(x) dfiida a partir o spaço amostra S assumido valors (cotradomíio) X(S). Sja g(x), uma fução drivávl, dfiida m X(S) stritamt moótoa. Etão Y é uma variávl alatória cotíua com fdp h() dada por:

3 h() f[g d[g ()] ()]. d Od g - () é a solução d g(x) para x. S g() ão cosrvar a mootocidad o cotradomíio d X, st dvrá sr dcomposto m parts sobr as quais g() é moótoa. g() srá dfiida como a soma das g i () corrspodts aos itrvalos od for moótoa. d[g i ()] h() f[gi ()]. d i s S X(S) X(s) x Y[X(s)] G(x) Supoha qu X é uma VAC com fdp dada por f(x) /a s x (0, a) 0 s x (0, a) Dtrmiar a fdp da variávl g(x) x Nst caso g(x) x g - () / / d[g ()] / ' ( ) d h() f[g. a d[g ()] ()]. f ( d / ). / / / a s (0, a ) Vrificar qu é, d fato, uma fdp a 0 a / a d / a / 0 / h() a s (0, a ) 0 s (0, a ) a a 0 / ( a ) a / a a d

4 Cosidr a VAC X com fdp dada por: f (x) -x / π para - < x < Dtrmi a dsidad d probabilidad g() da variávl alatória Y X. A fução Y X ão é moótoa sobr toda a rta. Dcompodo as rgiõs (-, 0) (0, ), tão a fução g() trá ivrsas qu srão: g g () - para (-; 0) () para (0; ) Dsta forma a fdp d Y, srá dada por: d[g ( )] d[g ( )] h ( ) f[g ()]. f[g ()]. + d d d [g ( )] d[g ()] d d f [g ()] - / f [g ()] - / π π Assim: h ( ) - /. + - /. π π h () - / para x (0; ) π 0 A fução g() é uma fdp, pois: g ( )d - / 0 0 d π π 0 Fazdo: g ()d 0 π t (d tdt) d π - / d vm: π - t / (0) Supoha qu o comprimto da arsta d um cubo é uma VAC uiformmt distribuída sobr (a; b). Dtrmi a xpctâcia a variâcia do volum do cubo. 4

5 O volum do cubo é a VAC Y X. Prcisa-s, iicialmt, cotrar a fdp d Y. / g ( ) Assim: d[g ( )] d ( / ) / h( ). s (a ; b ) (b a ) / / (b a ) (0) Supoha qu X é uiformmt distribuída sobr (-; ). Sja 4 x. Dtrmi a fdp d Y faça o su gráfico. f (x) s -< x < 0 c.c. 5,0 4,0,0,0,0 g() 4 0 c. c. s < < 4 (0) Supoha qu X sja uma VAC com fdp dada por f(x) -x s x > 0 0 s x 0 Sja Y X. Dtrmi a fdp d Y faça o su gráfico. 0, ,0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 f (x) x 0 s x > 0 s x 0 / / g() s > 0 s 0 DANTAS, Carlos Albrto Barbosa. Probabilidad: Um Curso Itrodutório. d. São Paulo: EDUSP, 000. GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probabilit ad Radom Procsss. Oxford (Lodo): Oxford Uivrsit Prss, 99. HINES, William W., MONTGOMERY, Douglas C. Probabilit ad Statistics i Egirig ad Maagmt Scic. Nw York: Joh Will,

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