ESTATÍTICA I. Professora: Diana Andrade-Pilling.

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1 ESTATÍTICA I Profssora: Diana Andrad-Pilling dianaa@univap.br

2 INTRODUÇÃO Esta apostila dstina-s ao curso d Estatística I, aplicado na Univrsidad do Val do Paraíba (UNIVAP), para os cursos d Engnharia Aronáutica, Engnharia ambintal, Engnharia Civil, Engnharia Elétrica, Engnharia Química, Arquittura Urbanismo. O matrial é basado nos livros: Estatística Básica - Probabilidad Infrência, d Luiz Gonzaga Morttin Volum único, Editora Parson Education; Probabilidad & Estatística para ngnharia ciências, Ronald E. Walpol, Raymond H. Myrs, Sharon L. Myrs Kying Y 8 ª dição, 009.

3 Índic Capítulo Rprsntação opraçõs com dados: Tabla d frqüências, Tablas d frqüências rlativas, Histogramas. Capítulo Variávis alatórias Probabilidads: Variávis alatórias, Espaço amostral, Função d probabilidad, Rgra da adição, Rgra da multiplicação, Esprança (ou valor sprado), Variância, Dsvio Padrão, Probabilidad condicional, Torma d Bays. Capítulo 3 Distribuiçõs d probabilidad para variávis alatórias discrtas: Distribuição binomial, Variância sprança d uma variávl alatória binomial, Distribuição d Poisson, Variância Esprança na distribuição d Poisson. Capítulo 4 Variávis alatórias Contínuas: Distribuição Exponncial, Distribuição Normal, Distribuição normal rduzida. 3

4 CAPÍTULO REPRESENTAÇÃO E OPERAÇÕES COM DADOS TABELAS Tablas d Frqüências: é uma tabla qu rlaciona catgoria d valors, juntamnt com contagns do númro d valors qu s nquadram m cada catgoria. Como xmplo, suponhamos qu numa dtrminada class d alunos tmos a sguint tabla com o númro d faltas: O objtivo é organizar mlhor sta tabla, ou sja, qurmos construir uma tabla qu rlacion o númro d faltas com o númro d vzs qu la ocorru. Por isso, faz ncssário sguir os sguints passos: Passo : Dcidir o númro d classs da tabla d frqüência. Est númro dv ficar ntr 5 0, gralmnt dpnd das quantidads qu dispomos. Vamos scolhr 0 classs como xmplo. Passo : Dtrminar a amplitud (A) das classs. Para isso, tomamos o maior valor d falta, subtraímos plo mnor valor, finalmnt, dividimos plo númro d classs scolhidas. Maior valor 6 Mnor valor 4

5 A Passo 3: Escolhr o limit infrior da tabla como sndo o mnor valor ncontrado na tabla. No nosso caso, o mnor valor é. Passo 4: Adicionar a amplitud no mnor valor para ncontrar o sgundo limit infrior. Rpita isso para ncontrar o trciro limit suprior assim por diant. Passo 5: Mont a tabla com as classs a squrda cont o númro d vzs qu aqula class aparcu na sua primira tabla. Faltas Frqüências -,4 9,5-3,9 3 4,0-5,4 0 5,5-6,9 6 7,0-8,4 5 8,5-9,9 3 0,0-,4 6,5-,9 0 3,0-4,4 4,5-6 5

6 Tabla d Frqüências Rlativas: É uma tabla smlhant a tabla d frqüências, mas é obtida através da divisão da frqüência d cada class pla frqüência total. A tabla acima possui frqüência total 45, qu é a soma d todos os númros a dirita da tabla. Assim, a tabla d frqüências rlativas srá a tabla acima com sua coluna a dirita dividida por 45. Faltas Frqüências Rlativas -,4 0,,5-3,9 0,067 4,0-5,4 0, 5,5-6,9 0,33 7,0-8,4 0, 8,5-9,9 0,067 0,0-,4 0,33,5-,9 0 3,0-4,4 0,0 4,5-6 0,044 GRÁFICOS O uso d tablas para rsumir um contúdo d dados nm smpr é útil para tirar algumas conclusõs. Assim, o uso d gráficos s faz ncssário para mlhor rprsntar os dados da tabla. Histograma: é o primiro gráfico d grand importância. A laboração dst gráfico ncssita d uma tabla d frqüências ou frqüências rlativas. Portanto, sgum-s abaixo os passos para a construção d um histograma. Passo : Construa uma tabla d frqüências ou d frqüências rlativas; Passo : Coloqu no ixo vrtical as informaçõs sobr as frqüências; Passo 3: Coloqu no ixo horizontal as informaçõs sobr as classs utilizadas. Passo 4: é d xtrma importância colocar um Título, as lgndas nos ixos. 6

7 Utilizarmos como xmplo a tabla já fita sobr as faltas comtidas plos alunos d uma dtrminada class. Not qu utilizarmos a tabla d frqüências rlativas, mas podria sr também a tabla d frqüências. Figura : histograma fito sobr os dados da tabla d frqüências rlativas d faltas comtidas plos alunos d uma class. Figura : histog comtidas plos Exrcício.) Os dados abaixo rfrm-s ao salário (m salários mínimos) d 0 funcionários administrativos m uma indústria. a) construa uma tabla d frquência agrupando os dados m intrvalos d amplitud ;,0,0 b) construa o histograma. 7

8 Exrcício.) Com o intuito d mlhor a vida dos moradors da cidad d São paulo, a prfitura fz uma psquisa com usuários d transport coltivo na cidad indagando sobr os difrnts tipos usados nas suas locomoçõs diárias. Dntr mtro, ônibus trm, o númro d difrnts mios d transport utilizados foi o sguint: 3,,,,,,,,,, 3, 3,,,,,, 3,,,,,,,,,,,,,, 3. a) complt a tabla d frquência; b) faça uma rprsntação gráfica; c) admitindo qu ssa amostra rprsnt bm o comportamnto do usuário paulistano, você acha qu a porcntagm dos usuários qu utilizam mais d um tipo d transport é grand? 8

9 CAPÍTULO Variávis alatórias: VARIÁVEL ALEATÓRIA E PROBABILIDADE Uma variávl alatória é tal qu não sabmos ao crto qu valor tomará, mas para a qual podmos calcular a probabilidad d tomar dtrminado valor. Nos xprimntos alatórios, msmo qu as condiçõs iniciais sjam smpr as msmas, os rsultados finais d cada tntativa do xprimnto srão difrnts não prvisívis. Exmplos: lançamnto d um dado, lançamnto d duas modas. Embora, m gral, não podmos dizr xatamnt qual srá o valor d uma variávl alatória, frqüntmnt podmos liminar alguns valors. Por xmplo, o númro (W) d vzs qu um rpórtr falou a palavra calor durant uma smana não pod sr 5/8, nm π, nm, nm qualqur outro númro stranho; W dv sr um númro intiro. O númro Y no dado também dv sr um númro intiro, mas dv sr um dos sis valors,, 3, 4, 5, 6. As variávis alatórias qu só podm tomar valors isolados são chamados variávis alatórias discrtas. Elas não prcisam sr intiras. Por xmplo: suponha qu jogumos um dado duas vzs, sja T a média dos dois númros qu aparcm. Então, T admit os valors ;,5; ;,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6. Espaço amostral: Espaço amostral d um xprimnto alatório é o conjunto dos rsultados do xprimnto. Os lmntos do spaço amostral srão chamados também d pontos amostrais. No lançamnto d um dado, o spaço amostral Ω {,, 3, 4, 5, 6}. No lançamnto d uma moda, o spaço amostral Ω {cara (K), coroa (C)} No lançamnto d duas modas, o spaço amostral Ω {CC, CK, KC, KK}; 9

10 Exmplo.) Sja uma população d N pssoas. Dssas, M têm olhos azuis. S não sabmos o valor d M, como podmos stimá-lo? Solução: Obsrvamos uma amostra alatória d n dssas pssoas sja x o númro d lmntos da amostra qu tm aqula caractrística. Então, x é uma variávl alatória, pois su valor dpnd dos indivíduos scolhidos para formar a amostra. Exrcício ) Lançam-s três modas. Escrva o spaço amostral. Funçõs d Probabilidad A função d probabilidad é uma função qu associa a cada vnto d F um númro ral prtncnt ao intrvalo [0,]. No caso d uma variávl comum, praticamnt tudo quanto prcisamos sabr é su valor. Com variávis alatórias, ntrtanto, a situação é um pouco difrnt. Primiro, dvmos sabr quais valors são possívis, quais não o são. Por xmplo, s uma variávl a alatória X nunca pod tomar o valor 3/, scrvmos qu a probabilidad d X 3/ é zro, ou d forma mais concisa: P(X3/) 0 Fita a rlação d todos os valors possívis, o qu dvmos sabr a sguir é: - Quão viávl é cada um dsss divrsos valors? No caso da jogada d um dado, a situação é muito simpls: há apnas sis valors possívis ls são igualmnt provávis. Então: P(Y) /6; P(Y) /6; P(Y3) /6; P(Y4) /6; P(Y5) /6; 0

11 P(Y6) /6; No caso d um lançamnto d uma moda uma única vz, sja X o númro d vzs qu aparc cara. Qual a probabilidad d tirarmos cara? P(X0) ½ coroa P(X) ½ cara Quando fazmos dois lançamntos, tmos quatro rsultados possívis: Cara-Cara (KK) Cara-Coroa (KC) Coroa-Cara (CC) Coroa-Coroa (CC) Vamos usar K para cara C para coroa. Qual a probabilidad d cair duas caras m dois lançamntos? P(KK). (K K) 4 Qual a probabilidad d cair Zro cara? P(CC). 4 Então, tmos tanta chanc d obsrvar nnhuma cara como d obsrvar duas caras. -Qual a probabilidad d cara apnas uma vz m duas jogadas? P((KC) ou (CK)) P(KC) + P(CK) Qual a probabilidad d cair cara m nnhuma das vzs? P(C C). 4 Dsts xmplos, podmos rlmbrar duas rgras m probabilidad:

12 Rgra da adição: i) para calcular a probabilidad do vnto A ou B ocorrr,. P(A U B) P(A) + P(B), s A B são mutuamnt xclusivos. Exmplo.) Qual a probabilidad d um computador scolhr 0 ou num conjunto d númros qu vai d 0 a 9? Os vntos possívis são {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0 possívis rsultados. A probabilidad d sair qualqur um dos númros m uma única scolha é igual para todos os valors val /0. Assim, a probabilidad d sair 0 ou srá a soma das probabilidads d sair um dos dois. P(0 ou ) P(0) + P() Uma forma simpls d lmbrar é prcbr qu s você scolh dois númros m dz, você tm uma probabilidad maior d acrtar do qu s você scolhss apnas um númro. Isso porqu as probabilidads são somadas nst caso. ATENÇÃO: Agora, vamos supor qu qurmos sabr qual a probabilidad d sr scolhido algum númro ímpar ou númros supriors a 6. Como rsultados possívis tmos: Númros ímpars: {, 3, 5, 7, 9} Númros supriors a 6: {7, 8, 9} Aqui, dv-s tomar o cuidado d não contar duas vzs a msma probabilidad d ocorrr o msmo númro. Tmos qu scrvr mlhor o nosso conjunto d rsultados procurados: {, 3, 5, 7, 8, 9}, ou sja, tmos um total d sis rsultados procurados dntro do dz possívis valors. Então: 6 P(ímpars ou supriors a 6} 0, 6 0 Podríamos tr ncontrado fazndo: P(ímpars ou supriors a 6} P(impar} + P(suprior a 6} P(ímpar suprior a 6}

13 , Nst caso, os vntos não são mutuamnt xclusivos. Assim dvmos aplicar a rgra gral para a soma: P(A ou B) P(A) + P(B) P(A B), ou sja, P(A U B) P(A) + P(B) P(A B), Exmplo.3) Rtira-s uma carta d um baralho complto d 5 cartas. Qual a probabilidad d asir um ri ou uma carta d spadas? Sja A: saída d um ri; Sja B: saída d uma carta d spadas; P(A) 4/5; P(B) 3/5; P(A B) /5 prob. d sair um ri prob d sair uma carta d spadas prob d sair um ri d spadas Assim: P(A U B) P(A) + P(B) P(A B) P(A U B) 4/5 + 3/5 - /5 6/5. Rgra da multiplicação: i) para calcular a probabilidad d ocorrr o vnto A, m sguida, B. P(A B) P(A). P(B), sndo A B indpndnts. Exmplo.3) Na xtração d duas cartas d um baralho bm misturado, dtrmin a probabilidad d qu a primira carta sja um ás a sgunda sja um ri. Baralho normal: 5 cartas, sndo 04 ass 04 ris. Então: 4 P(ás) 4 ass m 5 cartas 5 3

14 Agora, s já tiri uma carta, o baralho ficou com 5 cartas. E a probabilidad d tirar o ri na sgunda vz, lvando m conta qu não coloqui a primira carta tirada d volta no baralho é: 4 P(ri) 5 Assim, a probabilidad d tirar um ás um ri srá: P P(ás).P(ri). 0, Uma outra fórmula bastant útil é a fórmula gral para o númro d rsultados qu aprsntam h caras m n jogadas d uma moda. Para isso, dvmos primiro calcular o númro d rsultados possívis. No caso da moda: Númro d rsultados possívis n Rpar qu o númro stá rlacionado com o fato do spaço amostral sr cara ou coroa, ou sja, tm lmntos. S tivéssmos um dado sndo lançado, o spaço amostral tria 6 lmntos, nss caso, o númro possívl d rsultados sria 6 n, ond n é o númro d jogadas. Em sguida prcisamos sabr o númro d maniras possívis d s obtr h caras. n! Ess númro é dado por:, ond n! n (n-) (n-)...3 x x. h!( n h)! Assim, a probabilidad d obtr h caras m n jogadas d uma moda quilibrada (não viciada) é: P n n h!( n h)! Exmplo.4) Qual a probabilidad d obtr 5 caras m 6 jogadas d moda? Ess problma pod sr rsolvido d duas manira: Na primira: P 6! !(6 5)! 5!!

15 Na sgunda, qurmos sabr a probabilidad d dar 5 caras (indpndnt da ordm) m 6 jogada d moda. As combinaçõs possívis são: KKKKKC KKKKCK KKKCKK KKCKKK KCKKKK CKKKKK Para cada uma das combinaçõs acima, tríamos uma probabilidad d P Assim, P (KKKKKC ou KKKKCK ou KKKCKK ou KKCKKK ou KCKKKK ou CKKKKK) (msma rsposta da primira manira). Para tornar as coisas mais convnints, dfinirmos uma função d probabilidad para uma variávl alatória. O valor da função d probabilidad para um númro particular é a função qu associa a cada valor assumido pla variávl alatória a probabilidad do vnto corrspondnt. Utilizarmos uma ltra minúscula f para rprsntar a função d probabilidad (f.d.p., ou função dnsidad d probabilidad, ou ainda, função d massa d probabilidad). f(a) P(Xa) Quando stivrmos lidando com mais d uma variávl alatória d uma vz, scrvmos a função dnsidad d probabilidad como f x (a) para dixar claro qu é a f.d.p. da variávl alatória X. Eis a função dnsidad d probabilidad para a jogada d um dado: f() 6 f() 6 f(3) 6 f(4) 6 f(5) 6 f(6) 6 E a f.d.p. d dar cara para três jogadas d uma moda: 5

16 f(0) nnhuma cara 8 3 f() cara 8 3 f() caras 8 f(3) 3 caras. 8 Podmos stablcr duas propridads d imdiato, as quais a f. d. p. dv satisfazr: f(a) 0 a f(a) a ou sja, 0 f(a). m gral, como já vimos, quando dsjamos sabr a probabilidad d X a ou X b, tmos: f f(a) + f(b). É important vrificar qu para qu haja uma distribuição d probabilidads d uma variávl alatória X é ncssário qu: f(a ) + f(a ) + f(a 3 ) f(a n ), ou sja, f ( a ) Exmplo.5) Lançam-s dados. Sja X: soma das facs. Dtrminar a distribuição d probabilidads d X. Rsultados possívis X P(X) ( ) ( ) ou ( ) ( 3), ou ( ) ou (3 ) ( 4), ou ( 3) ou (3 ) ou (4 5 4 ) 36 ( 5) ou (5 ) ou (3 3) ou (4 6 5 ) ou ( 4) 36 ( 6) ou (6 ) ou (3 4) ou ( ) ou ( 5) ou (5 ) 36 n

17 (3 5) ou (5 3) ou ( 7) ou (7 8 ) ou (4 4) (3 6) ou (4 5) ou (6 3) ou (5 9 4) (4 6) ou (5 5) ou (6 4) 0 (6 5) ou (5 6) (6 6) Rpar qu P(X). E o gráfico da distribuição tm a forma: Existm caractrísticas numéricas qu são muito importants m uma distribuição d probabilidads d uma variávl alatória discrta. São os parâmtros das distribuiçõs. Por isso, vamos falar dsss parâmtros abaixo. 7

18 ESPERANÇA (OU VALOR ESPERADO) O valor sprado da variávl alatória X (ou sprança matmática d X), rprsntado por E(X), é uma média pondrada d todos os valors d X. O pso, ou pondração, d cada valor é igual a probabilidad d X tomar ss valor. O valor sprado é smpr um númro ral. E(X) a.f(a ) + a.f(a ) + a 3.f(a 3 ) a n.f(a n ) n Ou E(X) ai. f ( ai ), i Ou ainda: n E(X) xi. P( xi ) i Outra notaçõs para o valor sprado d X: μ X, μ(x), μ. O valor sprado d uma variávl alatória não é ncssariamnt um d sus possívis valors. Exmplo: qual o valor sprado d númro Y qu aparc num dado: E(X) , 5, Mas Y não assum o valor d 3,5. Exmplo.6) Uma sguradora paga R$ ,00 m caso d acidnt d carro cobra uma taxa d R$.000,00. Sab-s qu as chancs d qu um carro sofra um acidnt é d 3%, quanto a sguradora spra ganhar por carro sgurado? Solução: A sguradora ganha R$.000,00 por carro prd R$ ( ) 9.000,00 por carro acidntado. Quando vamos pondrar as mdidas, sabmos qu há 3% d chanc (P 0,03) d prdr o rstant, (-0,03) 0,97 d ganhar. X P(X) X.P(X).000 0,

19 , Assim, E(X) x n i i p( x ) x p( x ) + x p( x ) R$ 00,00. i Então, R$ 00,00 é o lucro médio por carro. Exmplo.7) Dada a distribuição abaixo na forma d tabla, dê o valor sprado d X: X P(X) E(X).(/36) + 3.(/36) + 4.(3/36) + 5.(4/36) + 6.(5/36) + 7. (6/36) + 8.(5/36) + 9. (4/36) + 0. (3/36) +.(/36) + (/36) E(X) (/36) + (6/36) + (/36) + (0/36) + (30/36) + (4/36) + (40/36) + (36/36) + (30/36) + (/36) + (/36) E(X) 7 Exmplo.8) Suponha qu um númro sja sortado d a 0, intiros positivos. Sja X: númro d divisors do númro sortado. Calcular o númro médio d divisors do númro sortado. 9

20 Para isso, vamos montar uma tabla para organizar os nossos dados: N 0 N 0 d divisors Rpar qu X é o númro d divisors, qu variam d até 4. Então, é ncssário montar uma sgunda tabla com os valors possívis d X suas rspctivas probabilidads. X P(X) X.P(X) /0 /0 4/0 8/0 3 /0 6/0 4 3/0 /0 E(X) (/0) + (8/0) + (6/0) + (/0) (7/0) E(X),7. Exmplo.9) Num jogo d dados, Cláudio paga R$0,00 a Lúcio lança 3 dados. S sair fac m um dos dados apnas, Cláudio ganha R$ 0,00. S sair fac m dois dados apnas, Cláudio ganha R$ 50,00 s sair nos três dados, Cláudio ganha R$ 80,00. Calcul o lucro médio d Cláudio m uma jogada. Rsolução: Para rsolvr ss problma, vamos organizar nossos dados numa tabla. Para isso prcisamos lmbrar: P( ) (/6).(/6).(/6) /6 todas as facs Sja Y qualqur númro difrnt d, a probabilidad d sair duas facs é: P( Y) + P( Y ) + P(Y ) (/6).(/6).(5/6) + (/6).(/6).(5/6) + (/6).(/6).(5/6) 5/6 Da msma forma qu o antrior, a probabilidad d sair apnas uma fac srá: P( Y Y) 3. (/6).(5/6).(5/6) 75/6 E a probabilidad d não sair nnhuma fac : P(Y Y Y) (5/6).(5/6).(5/6) 5/6 0

21 X P(X) X.P(X) +60 /6 60/ /6 450/6 0 75/ /6-500/6 E(X) ( )/6-9, Exmplo.0) Suponha qu você ganh R$ 00,00 multiplicado plo númro qu aparc quando s joga um dado. S Y é variávl alatória qu rprsnta o númro do dado, W rprsnta o su ganho, ntão W 00.Y. podmos calcular: E(W) E(00.Y) 00.E(Y) 350 E(W) R$ 350,00. Propridads do valor sprado: a) S k é uma constant (não uma variávl alatória), ntão: b) E(k) k E(kX) k.e(x) c) Sjam X Y variávis alatórias, E(X±Y) E(X) ± E(Y) VARIÂNCIA O conhcimnto da média d uma distribuição é important, mas não nos dá idéia do grau d disprsão da probabilidad m torno da média. A mdida qu dá o grau d disprsão (ou d concntração) d probabilidad m torno da média é a Variância. Dfinição: VAR(X) E{ [X E(X)] } Ou sja:

22 VAR (X) ( xi μ x ) n i. p( x ) i Dfinirmos uma fórmula mais fácil d sr aplicada: VAR(X) E{ [X- E(X)] } E{ [X XE(X) + E (X)} E(X ) E(XE(X)) + E(E (X)) E(X ) E(X)E(X) + E ( X) E(X ) -E (X) + E (X) E(X ) E (X) Ond E(X ) ( x ) n i. p( i x i Outras notaçõs para VAR(X): V(X), σ (X), σ X, σ. Exmplo.) ) Calculmos a VAR(Y) para a distribuição: ) Y P(Y) Y.P(Y) Y.P(Y) - /5 -/5 4/5 - /5 -/5 /5 0 / /5 3/5 9/5 5 /5 5/5 5/5 E(X) E(Y ) 39/5 Gráfico da distribuição d probabilidads

23 Assim, VAR(Y) E(X ) E (X) 39 6, 8 5. Exmplo.) Vamos agora calcular a variância para a distribuição abaixo: X P(X) X.P(X) X.P(X) 0 / /8 6/8 6/8 /8 /8 4/8 E(X) 0/8 Cujo gráfico é: 0 8 VAR(X) E(X ) E (X) 0, Obsrvando os gráficos os valors d VAR(Y), concluímos qu: Quanto mnor a Variância, mnor o grau d disprsão d probabilidads m torno da média vic-vrsa; quanto maior a variância, maior o grau d disprsão da probabilidad m torno da média. A variância é uma mdida quadrada, muitas vzs torna-s artificial. Por xmplo: altura média d um grupo d pssoas é,70 m a variância é 5 cm. Fica um tanto quanto squisito cm d altura. Contornarmos ss problma dfinindo o dsvio padrão. 3

24 DESVIO PADRÃO Dfinição: Dsvio Padrão da variávl X é a raiz quadrada da variância d X, isto é: σ x VAR(X ) σ x Nos xmplos antriors: σ x 0,5 0,5 6,8,6 Exmplos d aplicação: Exmplo.3) Os mprgados A, B, C D ganham,, 4 salários mínimos, rspctivamnt. Rtiram-s amostras com rposição d dois indivíduos md-s o salário médio da amostra rtirada. Qual a média dsvio padrão do salário médio amostral? Emprgado X (salário) P(A) A ¼ B ¼ C ¼ D 4 ¼ Amostras Salário P(X) médio A, A /6 A, B,5 /6 A, C,5 /6 A, D,5 /6 B, A,5 /6 B, B /6 B, C /6 B, D 3 /6 C, A,5 /6 C, B /6 C, C /6 C, D 3 /6 D, A,5 /6 D, B 3 /6 D, C 3 /6 D, D 4 /6 /6 Rpar qu todas as amostras têm probabilidad d /6, mas alguns salários médios s rptm. Como qurmos fazr a média dos salários médio, tmos qu construir outra tabla. Salário P(X) X.P(X) X.P(X) Médio (X) /6 /6 /6,5 4/6 6/6 9/6 4/6 8/6 6/6,5 /6 5/6,5/6 3 4/6 /6 36/6 3, /6 4/6 6/6 4

25 Assim, tmos qu: E(X) E VAR(X) E(X ) E (X) para ncontrá-la, prcisamos ncontrar E(X ) E(X ) , ,5 6 E 90,5 9 9,5 VAR(X) 0, Dsta forma, o dsvio padrão do salário médio amostral é: σ VAR ( X ) 0, ,77 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA ) VAR(k) 0, s k constant. Dmonstração: VAR(k) E(k E(k)) E(k-k) 0. ) VAR(k.X) k.var(x) VAR(kX) E{ [kx E(kX)] } E[ kx ke(x) ] E[ k (X - E(X) ) k E [(X E(X)] VAR(kX) k VAR(X) 3) VAR (X ± Y) VAR (X) + VAR (Y) ± cov (X, Y) 5

26 PROBABILIDADE CONDICIONAL Para introduzir a noção d probabilidad condicional, considrmos o xmplo: Considrmos 50 alunos qu cursam o primiro ciclo d uma faculdad. Dsts alunos, 00 são homns (H) 50 são mulhrs (M); 0 cursam física (F) 40 cursam química (Q). A distribuição d alunos é a sguint: Sxo Disciplina F Q Total H M Total Um aluno é sortado ao acaso. Qual a probabilidad d qu stja cursando química, dado qu é mulhr? Obsrvando o quadro, vmos qu P(Q/M) 80/50 Probabilidad d star cursando química, condicionado ao fato d mulhr. Obsrvamos porém, qu P(M Q) 80/50 P (M) 50/50. Para obtrmos o rsultado do problma, basta considrar qu: P( Q / M ) ou sja, P( Q / M ) P( M Q) P( M ) Assim, a probabilidad condicional d A dado qu B ocorr (A/B) srá dada por: P( A/ B) P( A B) P( B), s P(B) 0. P( B / P( B A) A) P( A) 6

27 Exmplo.4) Duas bolas vão sr rtiradas sm rposição d uma urna qu contém bolas brancas (B), 3 prtas (P) 4 vrds (V). Qual a probabilidad d qu ambas: a) Sjam vrds? Nst caso, os vntos não são indpndnts. O fato d uma bola sr rtirada não rposta, indica qu na sgunda rtirada, havrá apnas 8 bolas na urna. P(V na primira) 4/9 P(V na sgunda) 3/8 P(V na primira V na sgunda) (4/9).(3/8) (/7) (/6) b) Sjam da msma cor? P(B U B) (/9).(/8) (/7) P(P U P) (3/9).(/8) (6/7) P(V U V) (4/9).(3/8) (/7) Assim, a probabilidad qu procuramos srá: P P(BUB ou PUP ou VUV) P(BUB) + P(PUP) + P(VUV) (/7) + (6/7) + (/7) P 0/7 5/8 0,78. TEOREMA DE BAYES O torma d Bays é também chamado d torma da probabilidad a postriori. El rlaciona uma das parclas da probabilidad total com a própria probabilidad total. Considr uma quantidad d intrss dsconhcida A (tipicamnt não obsrvávl). A informação d qu dispomos sobr A, rsumida probabilisticamnt através d P(A), pod sr aumntada obsrvando-s uma quantidad alatória B rlacionada com A. A distribuição amostral P(A B) dfin sta rlação. A idéia d qu após obsrvar o vnto B a quantidad d informação sobr o vnto A aumnta é bastant intuitiva o torma d Bays é a rgra d atualização utilizada para quantificar st aumnto d informação. Assim, a quação é dada por: P(A B) P( AB) P( B) 7

28 Ou sja, é a probabilidad Condicional já studada. Entrtanto, uma gnralização disso é considrar qu xistam mais do qu dois sistmas: A i com i,, 3,..., n qurmos sabr qual a probabilidad d um P( A dls, A 3, por xmplo, 3). P( B A) acontcr sabndo qu o vnto B P( A ). P( B A ) + P( A ) P( B A ) + P( A3 ) P( B A3 ) acontcu. Então, trmos: P(A 3 B) Gnralizando, tmos: P(A j B) P( A j ). P( B A j ) n P( A ). P( B A ) i i i P( A P( A ). P( B A ) + P( A j ). P( B A ). P( B A j ) ) P( A n ) P( B A n ) Significa o númro d subsistmas do sistma total, tal como o númro d urnas ou caixas. Not qu o dnominador rflt a probabilidad d acontcr o vnto B, qu já acontcu, m todos os vntos A i com i,,..., n., ou sja: P(B) P(A ).P(B A ) + P(A ).P(B A ) + P(A n ).P(B A n ) Então: P(A j B) P( BA j P( B) ) Rtornamos a quação da Probabilidad Condicional. Exmplo.5) Uma urna A contém 3 fichas vrmlhas azuis, a urna B contém vrmlhas 8 azuis. Joga-s uma moda, s dr cara, xtrai-s uma ficha da urna A; s dr coroa, xtrai-s uma ficha d B. Uma ficha vrmlha é xtraída. Qual a probabilidad d tr saído cara no lançamnto, ou sja, d tr sido sortada a urna A? Sja P(A) a probabilidad d sortar a urna A ½ Sja P(B) a probabilidad d sortar a urna B ½ 8

29 P(A) ½ P(B), pois xist uma chanc d 50% da moda cair cara 50 % d cair coroa. A probabilidad d tirar uma ficha vrmlha da urna A é: P(V A) 3/5 A probabilidad d tirar uma ficha vrmlha da urna B é: P(V B) /0 /5 Então, a probabilidad d sair uma vrmlha é: P(V) P(A).P(V A) + P(B).P(V B) (/).(3/5) + (/).(/5) (4/0) 0,4. Calculando P(V A) P(A). P(V A) (/).(3/5) 3/0 0,3 P( VA ) P(A V) P( V ) ,75 Exmplo.6) A caixa A tm 9 cartas numradas d a 9. A caixa B tm 5 cartas numradas d a 5. Uma caixa é scolhida ao acaso uma carta é rtirada. S o númro é par, qual a probabilidad d qu a carta sortada tnha vindo d A? Eu quro sabr P(A par). Caixa A:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 4 númros pars. Caixa B:,, 3, 4, 5 númros pars. Então, P(A) P(B) ½ P(par A) 4/9 P(par B) /5 P(par) P(A).P(par A) + P(B).P(par B) (/).(4/9) + (/).(/5) (4/8) + (/5) 9/45. Assim, 4. P( para ) P( A). P( par A) P(A par) 0, 53 P( par) 9 9 P( par)

30 CAPÍTULO 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL É uma distribuição discrta d probabilidad aplicávl quando um xprimnto é ralizado n vzs, cada prova tndo uma probabilidad d sucsso p sndo indpndnt d qualqur outra prova antrior. Imagin um cintista qu raliza um xprimnto com dois rsultados possívis: sucsso ou falha. A probabilidad d sucsso m cada prova é p, a probabilidad d falha é -p. S o xprimnto é ralizado 0 vzs, m quantas provas podmos sprar sucsso? Formulmos primiro a sguint qustão: s o cintista raliza o xprimnto duas vzs, qual a probabilidad d ambas as provas rsultarm m sucsso? S A é o vnto sucsso na primira prova B o vnto sucsso na sgunda prova, ntão P(A) p P(B) p. O vnto sucsso m ambas as provas pod sr scrito como A B (A intrsção B). Adotarmos uma hipóts important: cada prova é indpndnt. Então, podmos multiplicar as probabilidads. P(A B) P(AB) P(A).P(B) p Plo msmo raciocínio, podmos mostrar qu a probabilidad d obtr sucsso nas 0 provas srá p 0. Por xmplo, s p 0,8 (ou, sja, 80 % d chanc d sucsso), a probabilidad d 0 sucssos, srá 0,8 0 0,07. Embora as chancs d sucsso sja m qualqur prova m particular sja boa, a chanc d qu haja 0 sucssos sguidos é pquna. 30

31 Agora! Qual a probabilidad d 9 sucssos uma falha? Essa qustão é um pouquinho mais complicada! Formularmos ntão, uma qustão mais simpls para comçar: qual a probabilidad d sucsso na primira prova falha nas outras nov provas? P 0,8 x 0, 9 4,096 x 0-7. Agora, prst atnção nas difrnças abaixo: qual a probabilidad d sucsso apnas na primira prova? Qual a probabilidad d sucsso xatamnt m uma das 0 provas? Para achar a probabilidad d xatamnt um sucsso, dvmos adicionar a probabilidad d sucsso apnas na primira prova (4,096 x 0-7 ) mais a probabilidad d sucsso apnas na sgunda prova (4,096 x 0-7 ) assim por diant. Como há dz possibilidads: P(xatamnt um sucsso m 0 tntativas) 0 x 0,8 x 0, 9 4,096 x 0-6. Calculmos a probabilidad d d xatamnt dois sucssos d manira análoga. P(d dois primiros sucssos oito falhas subsqünts) 0,8 x 0, 8,638 x 0-6. Ess é também a probabilidad d qualqur padrão spcificado d ocorrência d sucssos 8 falhas. A próxima qustão é: quantos dsss padrõs xistm? Em outras palavras, quantas maniras há d scolhr ntr 0 posiçõs possívis? Podmos aplicar a anális combinatória Tmos qu lmbrar qu: A B A! B!( A B)! Assim, a probabilidad d xatamnt dois sucssos, é 0 x 0,8 x 0, 8 7,373 x 0-5 Estamos agora m condiçõs d dar a fórmula gral para a distribuição d um tipo spcial d variávl alatória: a distribuição binomial. A distribuição binomial s aplica a qualqur situação m qu s ralizm várias provas indpndnts, cada uma das 3

32 quais comporta apnas um dntr dois rsultados possívis. Esss dois rsultados chamam-s sucsso falha, mbora, m alguns casos, possam sr dsignados d modos difrnts. Suponha qu o cintista raliz o xprimnto n vzs. Sja X o númro d sucssos. S a probabilidad d sucsso m cada prova é p, ntão a probabilidad d i sucssos é: P(X i) n p i i ( p) ni Essa é a fórmula da função d probabilidad para a variávl alatória binomial. Formalmnt diz-s qu X é uma variávl alatória qu tm distribuição binomial com parâmtros n p. S n é muito grand, os cálculos podm tornar-s difícis é possívl utilizar uma outra distribuição, chamada distribuição normal qu vrmos mais tard. Exmplo 3.) Uma moda é lançada 0 vzs. Qual a probabilidad d saírm 8 caras? Rsolução: X: númro d sucssos (caras) X 0,,,..., 0 p ½ n 0 i P(X8) 0, 03 8 Exmplo 3.) Numa criação d colhos, 40 % são machos. Qual a probabilidad d qu nasçam plo mnos dois colhos machos num dia m qu nascram 0 colhos? Rsolução: X: númro d colhos machos (cm) p 0,4 pois 40% são machos Para calcularmos, dvríamos somar as probabilidads d qu nasçam, ou 3, ou 4, ou 5,... ou 0. Mas isso daria muito trabalho. Então, fazmos o sguint: P(X ) { P(X ) + P(X 0) } 3

33 0 0 0 Lmbrando qu P(X0) 0,4 x 0,6 0, P(X) 0,4 x 0,6 0, Assim, P(X ) 0, , ,99948 Exmplo 3.3) Uma prova tipo tst tm 50 qustõs indpndnts. Cada qustão tm 5 altrnativas. Apnas uma das altrnativas é a corrta. S um aluno rsolv a prova rspondndo a smo as qustõs, qual a probabilidad d tirar nota 5? X: númro d acrtos X: 0,,..., 50 p /5 0,0 P(X5) 50 0,0 5 5 x0,8 5 0,00000 Esprança (valor sprado) Variância d uma variávl alatória binomial E(X) n.p Na toria da probabilidad na statística, a variância d uma variávl alatória é uma mdida da sua disprsão statística, indicando quão long m gral os sus valors s ncontram do valor sprado. A Variância é dfinida como: Var (X) E ((X - μ x ) ) E (X E(X)) E[ X XE(X) + E (X) ] E(X ) E(XE(X)) + E (X) E(X ) E(X)E(X) + E (X) E(X ) E (X) + E (X) E(X ) E (X) 33

34 No caso da distribuição binomial: E(X ) n.(n-).p +np Var (X) E(X ) E (X) n.(n-).p + n.p n.p (n n)p + n.p n p n p np + n.p n p n.p - np n.p.(-p) Var (X) n.p.(-p) Em statística, o concito d variância também pod sr usado para dscrvr um conjunto d obsrvaçõs. Quando o conjunto das obsrvaçõs é uma população, é chamada d variância da população. S o conjunto das obsrvaçõs é (apnas) uma amostra statística, chamamos-lh d variância amostral (ou variância da amostra). A variância da população d uma população y i ond i,,..., N é dada por ond μ é a média da população. Na prática, quando lidando com grands populaçõs, é quas smpr impossívl achar o valor xato da variância da população, dvido ao tmpo, custo outras rstriçõs aos rcursos. Um método comum d stimar a variância da população é através da tomada d amostras. Quando stimando a variância da população usando n amostras alatórias x i ond i,,..., n, a fórmula sguint é um stimador não nvisado: ond é a média da amostra. 34

35 Notar qu o dnominador n- acima contrasta com a quação para a variância da população. Uma font d confusão comum é qu o trmo variância da amostra a notação s pod rfrir-s qur ao stimador não nvisado da variância da população acima como também àquilo qu é m trmos stritos, a variância da amostra, calculada usando n m vz d n-. Intuitivamnt, o cálculo da variância pla divisão por n m vz d n- dá uma sub-stimativa da variância da população. Isto porqu usamos a média da amostra como uma stimativa da média da população μ, o qu não conhcmos. Na prática, porém, para grands n, sta distinção é gralmnt muito pquna. Exmplo 3.4) Achar a média a variância da variávl alatória Y 3X +, sndo o xprimnto rptido 0 vzs a probabilidad d sucsso m X é d 0,3. E(Y) 3.E(X) + E(). Lmbrando qu E(), pois é uma constant (não é uma variávl alatória), tmos: E(Y) 3.np + [(3.0).0,3] E das propridads da variância, tmos: VAR(k) 0, s k constant VAR(k.X) k.var(x) Tmos: Var (Y) Var (3.X + ) Var (3.X) + Var () 3 Var (X) Var (X) Var (X) n.p.(-p) Assim, Var (Y) ,3. ( - 0,3) ,3. 0,7 37,8 Rsumindo: 35