Uniforme Exponencial Normal Gama Weibull Lognormal. t (Student) χ 2 (Qui-quadrado) F (Snedekor)

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1 Prof. Lorí Vili, Dr. hp://www.pucrs.br/fm/vili/ hp://www.m.ufrgs.br/~vili/ Uniform Exponncil Norml Gm Wibull Lognorml (Sudn) χ (Qui-qudrdo) F (Sndkor) Um VAC X é uniform no inrvlo [; b] s ssum odos os vlors com igul probbilidd. Iso é, s f(x) for: s x b f(x) b c.c. Sj X um VAC com disribuição uniform no inrvlo [; 6], iso é, X ~ U(; 6). Enão fdp é dd por: f (x) 6-4 c. c. s x 6

2 Fdp d U(; 6),,5,,5,,5, A função F(x) é dd por: s x < x F(x) s x b b s x > b Sj X um uniform no inrvlo [; 6], não FDA d X é dd por: s x < x F(x) s x 6 4 s x > 6,,9,8,7,6,5,4,,,, E(X ) + x.f (x)dx b x dx b b x b (b ).( b + ) (b ) b (b ) + b

3 A vriânci srá não: σ V(X) E(X ) E(X) E(X ) + x b b x.f (x)dx b (b ) b x dx b σ b ( b ) ( b V ( X ) b ( b ) ) E ( X + b ) E ( X ) + b b 4 γ ϕ() E( X ) b b x b dx (b ) γ -6/5 φ() E( ix ) b b ix ib i dx i(b ) Um vriávl lóri T m um disribuição xponncil s su fdp for do ipo: f ().. <

4 O mpo d rblho sm flhs d um quipmno (m hors) é ddo pl função, bixo. Drminr probbilidd d qu o quipmno não flh durn s primirs 5 hors. f (), -, c.c. s A probbilidd solicid é dd pl ingrl d função no inrvlo T < 5, iso é: P (T < 5 ),. 5 -,5 5 -,, d 9,5 % d,., -, -, 5,,5,,5 E(,) E(,) E(,5) A função F() é dd por: F() - - s < s, Obs.: Tn drminr! O mpo d rblho sm flh d um quipmno (m hors) é um xponncil d prâmro,. Drmin probbilidd d l funcionr sm flhs por plo mnos 5 hors. A FDA pr s fdp é dd por: -, F() - A probbilidd solicid é dd por: P(T 5) F(5) - - -,5 9,5% -,.5 4

5 ,,9,8 E(,),7,6 E(,),5,4 E(,5),,,, E(T) [ ] +.f ()d +. d d Foi uilizdo ingrção por prs σ V(T) E(T ) E(T) E( T [ ) + ] +.f ()d d. d. d A vriânci srá não: σ V(T) E(T ) E(T) Sj T um VAC com disribuição xponncil d prâmro. Drminr o vlor mdino d disribuição. 5

6 Conform viso mdin é o vlor qu divid disribuição d form qu: P(T < m) P(T > m) 5%. Tm - s F() P(T < ) Enão : P(T < m) F(m) m Assim m,5,5 m ln(,5) ln(,5) m - m ln(),5. γ ( X) x x ϕ ) E( pr < dx γ 6 φ ( ) ix E( ) x ix dx i Pr s dfinir Disribuição Gm é ncssário dfinir inicilmn Função Gm. Γ( k) k x x dx, pr k > 6

7 A função Gm é rcursiv, iso é: Γ(k+) k.γ(k) É qução funcionl d função Gm. S n é um iniro posiivo, não: Γ(n) (n )! E um vz qu : Γ( ) x dx A função gm pod sr considrd um gnrlizção do Foril. Vrificr, ind, qu: Γ π f (x) Um vz dfinid Função Gm, pod-s dfinir, não, Disribuição Gm: (x) Γ(r) r x s x > c.c. Ond os prâmros r > > são dnomindos d prâmro d form (r) prâmro d scl (). S r for iniro não disribuição Gm é dnomind d disribuição d Erlng. Agnr Krrup Erlng (878 99) Exis um rlção bsn próxim nr Gm Exponncil. S r, disribuição gm s rduz um xponncil. 7

8 S um vriávl lóri X é som d r vriávis indpndns xponncilmn disribuíds cd um com prâmro, não X m um dnsidd Gm com prâmros r.,,8,6,4, G(; ) G(; ) G(; ),,, 4, 6, 8,,,,5,4, G(; ) G(; ) G(5; ) A função F(x) é dd por:,, r- - (u) -u x du F(x) Γ(r) s x s x >,,, 4, 6, 8,,, S r é um iniro posiivo FDA pod sr ingrd por prs forncndo: F(x) r k k x (x) /k! s x > qu é som dos rmos d um Poisson com médi x. Assim FDA d Poisson pod sr usd pr vlir Gm. A vid d quipmno lrônico é dd por Y X + X + X + X 4, som ds vids d sus componns. Os componns são indpndns, cd um ndo mpo d flh xponncil com médi nr flhs d 4 hors. Qul é probbilidd d qu o sism opr plo mnos 4 hors sm flhs? 8

9 Como r 4, não FDA d Gm é dd por: F(x) k k x / 4 (x/4) /k! s x > qu é som dos rmos d um Poisson com médi x 4/4 6. P(Y > 4) F(4) ( k 6 5,% 6 k )/k!,,8 G(; ) G(; ) G(5; ),6,4,,,, 4, 6, 8,,, A xpcânci ou vlor sprdo d um Disribuição Gm é dd por: + µ E (X) x.f (x)dx r A Vriânci d Disribuição Gm é dd por: σ V(X) r 9

10 γ r ϕ() E( X ) pr < x f (x)dx r γ 6/r ϕ() E( X ) x r i f (x)dx A Disribuição d Wibull (95) é plicávl um séri d fnômnos, sndo um ds principis árs os mpos d flh d componns léricos mcânicos. Erns Hjlmr Wloddi WEIBULL ( ) A função dnsidd d probbilidd d Wibull é dd por: β β β xγ xγ xp f (x) δ δ δ s x γ c.c. Os prâmros são γ (- < γ < ) o d locção, δ > o d scl β > o d form. Qundo γ β, Wibull s rduz um xponncil d prâmro /δ

11 ,6,4,, W(,,) W(,,) W(,,) W(,4,) A função F(x) é dd pl sguin xprssão rlivmn simpls:,8,6,4,,,,4,8,,6,,4,8,,6 4, β x-γ - xp - F(x) δ s x γ s x < γ,,9,8,7,6,5,4,,, W(,,) W(,,) W(,,) W(,4,),,,4,8,,6,,4,8,,6 4, A disribuição do mpo d flh pr um quipmno lrônico é um Wibull com prâmros γ, β ½ δ. Drmin frção d quipmnos qu spr rsism mis d 4 hors P(X > 4) F(4) xp( 4/) -,5%

12 A xpcânci ou vlor sprdo d um Disribuição d Wibull é dd por: µ E(X) γ + δ Γ + β A Vriânci d Disribuição d Wibull é dd por: V(X) σ δ Γ + Γ + β β Γ( + ) δ µσ µ β γ σ X ϕ( ) E( ) x f (x)dx X ϕ( ) E( ) x f (x)dx DANTAS, Crlos A. B. Probbilidd: Um Curso Inroduório. São Pulo: Edusp,. MEYER, Pul L. Probbilidd: plicçõs à Esísic. Rio d Jniro: Livros Técnicos Ciníficos,. PITMAN, Jim. Probbiliy. Nw York (NY): Springr, 997. TRIVEDI, Kishor Shridhrbhi. Probbiliy nd Sisics wih Rlibiliy, Quuing, nd Compur Scinc Applicions. Nw York: John Wily & Sons,.

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