Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas. Prof. Mauricio Carias

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1 posil d Mrizs, Drminns Sisms Prof. Muricio Cris

2 Cpíulo - Mrizs. Dfinição s mrizs são ls d númros ris uilizds m qus odos os rmos d ciênci d ngnhri. Váris oprçõs rlizds por compudors são rvés d mrizs. Vjmos um mplo. Considr l io qu prsn o pso, idd lur d pssos. Nom Pso(kg) Idd(nos) lur(m) Ricrdo 7,7 José, João, Pdro,7 uguso, O conjuno ordndo dos númros qu formm l é dnomindo mriz cd númro é chmdo lmno d mriz. 7,7,,,7, ou 7,7,,,7, Ns mplo mos um mriz d ordm (lê-s: cinco por rês), iso é, um mriz formd por linhs coluns. Rprsn-s um mriz colocndo-s sus lmnos nr prênss ou nr colchs. Emplos: 7 : mriz d ordm ( linhs coluns) : mriz d ordm ( linh coluns), : mriz d ordm ( linhs colun). Rprsnção lgéric Uilizmos lrs miúsculs pr indicr mrizs gnérics lrs minúsculs corrspondns pr os lmnos. lgricmn, um mriz pod sr rprsnd por:

3 m m... n n mn commn * Pod-s rvidmn rprsnr mriz cim por = ( ij ) n m ij = i linh j colun = (lê-s: quro dois é igul dzoio) (n l signific idd d Pdro ) Emplo: chr os lmnos d mriz = ( ij ) m qu ij = i j. Rsolução: rprsnção gnéric d mriz é: ij i j 7. Mriz Qudrd 7 S o númro d linhs d um mriz for igul o númro d coluns, mriz é di qudrd. Emplo: é um mriz qudrd d ordm Osrvçõs: ª) Qundo odos os lmnos d um mriz form iguis zro, dizmos qu é um mriz nul. ª) Os lmnos d um mriz qudrd, m qu i = j, formm um digonl dnomind digonl principl. our digonl é chmd digonl scundári. Rsolv: ) ch os lmnos d mriz = ( ij ) d ordm, m qu ij i j Rsp.:

4 ) Escrv os lmnos d mriz = ( ij ) d ordm, dfinid por ij i j, s i j, s i j ) Escrv os lmnos d mriz = ( ij ), dfinid por Rsp.: i j, s i j ij i j, s i j. Mriz unidd ou mriz idnidd Rsp.: mriz qudrd d ordm n, m qu odos os lmnos d digonl principl são iguis os dmis lmnos são iguis, é dnomind mriz unidd ou mriz idnidd. Rprsn-s mriz unidd por I n. Emplo: I I. Mriz rnpos S é um mriz d ordm m n, dnominmos rnspos d mriz d ordm n m oid pl roc ordnd ds linhs pls coluns. Rprsn-s mriz rnspos d por. Emplo:. Iguldd d Mrizs su rnspos é 7 7 Sjm s mrizs d msm ordm. S cd lmno d for igul o lmno corrspondn d, s mrizs são dis iguis. ij mn ij mn

5 ij ij Emplo: Dds s mrizs y y, clculr y pr qu =. Rsolução: : y Solução y y y y y Rsolv: ) Drmin y, sndo qu 7 y y Rsp: = y = - ) Drmin,, y, sndo qu 7 y y Rsp: =, y =, = = -

6 ) Dd s mrizs z y, clcul, y z pr qu =. Rsp: =, y = z = ) Sjm c 9 log 7 clcul, c pr qu =. Rsp: = -, = c = -.7 Oprçõs com mrizs dição Surção: dição surção d dus mrizs do msmo ipo é fud somndo-s ou surindo-s os sus lmnos corrspondns. Emplo: C c c c c cos ² ² cos ² cos ² cos ² ² sn sn C C

7 7 Mriz opos: dnomin-s mriz opos d um mriz mriz cujos lmnos são os siméricos dos lmnos corrspondns d Emplo: Propridds d dição: Comuiv: + = + ssociiv: + ( + C) = ( + ) +C Elmno Nuro: + = Elmno Oposo: + (-) = Emplo: Dds s mrizs, C, clcul: ) 9 ) C Emplo: Dds s mrizs, clculr mriz l qu O sgundo mmro d qução é um mriz nul d ordm. S Rsolv: ) Dd mriz, onh mriz l qu Rsp:

8 ) Sndo = ( ij ) l qu j i ij = ( ij ) l qu j i ij, clcul +. Rsp: ) ch m, n, p q, d modo qu: 7 q q n n p p m m Rsp:,, q p n m ) Clcul mriz, sndo qu T, Rsp:

9 9 Muliplicção d um númro rl por um mriz: Pr muliplicr um númro rl por um mriz muliplicmos o númro por odos os lmnos d mriz, o rsuldo é um mriz do msmo ipo. = ( ij ) K = númro rl K por = ( ij ), ond, ij = K. ij i {,,..., m} j {,,..., n} Emplo:. ).. / / / / / ). 9.. / / / Rsolv: ) Pr Rsolv Rsp: 9

10 ) Pr Rsolv Rsp: 9 7 ) Rsolv o sism Y, sndo. Y Muliplicção d Mrizs Rsp: 9 Y Não é um oprção ão simpls como s nriors; não s muliplicr os lmnos corrspondns. Vjmos sguin siução. Durn ª fs d Cop do Mundo d 99 (Frnç), o grupo do rsil r formdo mém pl scóci, Mrrocos Norug. Os rsuldos são rgisrdos io m um mriz, d ordm. Pís Vióri Emp Drro rsil Escóci Mrrocos Norug

11 Enão: ponução pod sr dscri pl mriz, d ordm Númro d Ponos Vióri Emp Drro Enão: Trmind ª fs ponução é oid com o ol d ponos fios por cd pís. Ess ponução pod sr rgisrd num mriz qu é rprsnd por (produo d por ).Vj como é oid clssificção: : cos : : : Norug Mrro Escóci rsil Ess mplo sugr como dv sr fi muliplicção d mrizs. Osrv rlção qu is nr s ordns ds mrizs: Osrv qu dfinimos o produo d dus mrizs qundo o númro d coluns d for igul o d linhs d ; lém disso, nomos qu o produo possui o númro d linhs d o númro d coluns d. p m p n n m Emplo : mriz is s n = p ( o númro d colun d é igul o númro d linh d.) C C

12 Emplo : Dd s mrizs: C Clcul: ). =. ). =. c).c =. d) C. =. Osrvção: ªPropridd Comuiv.=., não é vlid n muliplicção d mrizs. Emplo : Clcul:. =. Osrvção: S são mrizs is qu = (mriz nul), não podmos grnir qu um dls ( ou ) sj nul. Emplo : C ). =. 7.

13 ).C =. 7.C Osrvção:. =.C, C. n álgr. =.c = c ª Propridd: o cnclmno do produo d mrizs não é válido. Propridds: - Disriuiv:.( + C) =. +.C - ssociiv:.(.c) = (.).C - Elmno nuro:.in = Rsolv: ) Efu: ) Rsp: ) Rsp: [7]

14 c) Rsp: ) Dd mriz, clcul. Rsp: ) Sndo qu N M, clcul MN-NM.

15 Rsp: Mriz Trnspos Sj um mriz m n. Dnomin-s mriz rnspos d (indic -s ) mriz n m cujs linhs são ordndmn, s coluns d. Emplos Propridds d Trnspos: K K.. (K rl).. ( no produo d., invr ordm) Rsolv: ) Sndo = =, mosr qu...

16 Mriz siméric Qundo = dizmos qu é mriz siméric. Emplo: 9 9 Mriz ni-siméric Qundo = - dizmos qu é mriz ni-siméric. Emplo: Mriz Invrs Dd um mriz qudrd, d ordm n, s é um mriz l qu = I n = I n, não é dnomind mriz invrs d é indicd por -. Qundo is mriz invrs d, dizmos qu é um mriz invrsívl ou nãosingulr. Emplo: Vrifiqu s is, m cso firmivo, drmin mriz invrs d =. Rsolução: Pl dfinição mos, d c d c d c Pl iguldd d mrizs, mos os sisms, c c c

17 7 d d d Enão =, pr = I. sguir vrificmos s = I. OK Enão é mriz invrs d. - = ) Drmin invrs ds mrizs: ) Rsp:

18 ) Rsp:

19 9 Equçõs mriciis do ipo = ou =, pr invrsívl. Sj um mriz l qu is -. Sndo qu =, vmos dmonsrr qu = -. I O msmo mém é válido pr ) Sndo qu ) vrifiqu s ) drmin l qu = Rsp: ) sim ) Não di d rsolvr lis d rcícios d mrizs!!!

20 Lis d Ercícios d Mrizs. Consru mriz rl qudrd d ordm, dfinid por: j i j j i ij s i s j i Rspos: 7 9. Sndo M, N P, clcul: ) N P + M ) M N P c) N (M P) Rspos: ) ) c) Clcul mriz, sndo qu,. Rspos: Dds s mrizs, drmin, d modo qu = I, m qu I é mriz idnidd. Rspos: = =. Dds s mrizs. Clcul: ) ² ) ³ c) ² d) ² + Rspos: ) 9 - ) 7 - c) - d) 9-7. Dds s mrizs, clcul +

21 Rspos: 9 7. Rsolv qução:. y y y ² y Rspos: V = {(,),(,-)}, P 7. Sndo P.. P. Rspos: = = -, drmin os vlors d, is qu 9. Drmin os vlors d, y z n iguldd io, nvolvndo mrizs ris :. y z y z y z Rspos: =, y = z = ou =, y =, z = 9 ij. Dd mriz ) ) ² c) Rspos: ), l qu ) ij sn i s i cosjs i j c) j, drmin: Tss:. é um mriz m n é um mriz m p. firmção fls é: ) + is s, somn s, n = p. ) implic m = n c). is s, somn s, n = p d). is s, somn s, n = p. ). smpr is. Rspos: lr C. Sj ij Rspos: lr i j pr i j mriz rl qudrd d ordm, dfinid por ij i pr i j ) c) d) ) ) n.d... Enão:. Dds s mrizs, não mriz - é igul :

22 7 ) Rspos: lr E 7 ) 7 c) 7 d) 7 ). Considr s mrizs: ij, 7 ond i j ij ij, 7 9 ond ij i C c ij O lmno C : ) é -. ) é -. c) é -9. d) é. ) não is. Rspos: lr E, l qu C =.. Dds s mrizs ) Rspos: lr c) ). O produo M.N d mriz, pr. mos: d) M pl mriz ) não s dfin. ) É mriz idnidd d ordm c) É um mriz d um linh um colun. d) É um mriz qudrd d ordm. ) Não é um mriz qudrd. Rspos: lr D N ; ) 7. invrs d mriz é: ) Rspos: lr ) c) Inisn. d) ) 9. S y ) = y = -7 ) = -7 y = - c) = - y = -7 d) = -7 y = ) = 7 y = - Rspos: lr., não: 7 9. Sndo, não mriz, l qu, é igul :

23 ) 7 ) 9 7 c) 9 d) 7 9 ) 9 7 Rspos: lr D. S são mrizs is qu:, não mriz. Y srá nul pr: ) = ) = - c) = - d) = - ) = - Rspos: lr E. Mriz, n qul é um númro rl, é invrsívl s, somn s: ) ) c) d) ) Rspos: lr E. solução d qução mricil z y. é mriz: ) ) c) d) ) Rspos: lr. Considr s sguins mrizs: 7,, C D. O vlor d pr qu s nh: + C = D é: ) ) - c) d) - Rspos: lr C. s mrizs io comum,. O vlor d é: ) ) c) d) - ) Rspos: lr

24 Cpíulo - Drminns. Dfinição Drminn é um númro rl qu s ssoci um mriz qudrd.. Drmin d um mriz qudrd d ª ordm Dd mriz d ª ordm, chm-s drminn ssocido mriz (ou drminn d ª ordm) o númro rl oido pl difrnç nr o produo dos lmnos d digonl principl o produo dos lmnos d digonl scundári. Enão, drminn d Indic-s d Osrvção: Dd mriz d ordm, dfin-s como drminn d o su próprio lmno, iso é: d Emplo: d.. d Rsolv: ) Rsolv qução: ) Rsolv qução: Rsp: S 7

25 Rsp: S, ) Rsolv inqução: ) Sndo, clcul d(). Rsp: S R ou Rsp: -

26 . Mnor Complmnr O mnor complmnr Dij do lmno ij d mriz qudrd, é o drminn qu s oém d, liminndo s dl linh i colun j, ou sj, liminndo linh colun qu coném o lmno considrdo.. Cofor Emplo: ij Dd mriz, clculr D, D, D, D, D. Rsolução: D 9 D D D D Considrmos mriz qudrd d ª ordm = Chm-s Cofor do lmno ij. d mriz qudrd o númro rl qu s oém muliplicndo-s i j plo mnor complmnr d ij qu é rprsndo por i j ij. Dij. Emplo: Dd mriz 7, clculr: ) ) c) 7 7 Rsolv: Dd mriz drmin,,. 7

27 7 Rsp: = 9, =, = =.. Dfinição d Lplc O drminn ssocido um mriz qudrd d ordm n é o númro qu s oém pl som dos produos dos lmnos d um linh (ou d um colun) qulqur plos rspcivos cofors. Emplo: Sndo um mriz d ordm, podmos clculr o d prir d drminns d ordm d dfinição d Lplc. Escolhndo os lmnos d primir linh mos: d Osrvção: Pr s plicr ss méodo é mlhor scolhr linh ou colun qu ivr o mior númro d zros. Rsolv: Clcul o drminn d mriz uilizndo dfinição d Lplc: )

28 Rsp: d = ) Rsp: d = -7. Rgr d Srrus (rgr práic pr clculr drminns d ordm ) Sj mriz, rpimos s dus primirs coluns à diri fumos s sis muliplicçõs m digonl. Os produos oidos n dirção d digonl principl prmncm com o msmo sinl. Os produos oidos d digonl scundári mudm d sinl. O drminn é som dos vlors oidos. ) ( ) ( d Rsolv:

29 9 ) Clcul o drminn d mriz Rsp: d = ) Rsolv qução Rsp:

30 c) Dd s mrizs 9, drmin pr qu d = d Rsp: d) Rsolv qução Rsp:, S

31 ) Sj M = (m ij ) mriz qudrd d ordm, m qu: do drminn d M.,s i j m ij i j, s i j. ch o vlor i j, s i j Rsp: f) Clcul o drminn d mriz P, m qu P é mriz P Rsp:

32 .7 Drminn d um mriz qudrd d ordm n> Sj mriz qudrd d ordm =, vmos clculr o drminn d. Pr no, plicrmos o orm d Lplc, é chgrmos um drmin d ª ordm, dpois mprgrmos rgr d Srrus. ssim, dsnvolvndo o drmin cim, sgundo os lmnos d ª linh, mos: ) ( d 7 ) ( ) ( ) ( ) ( Susiuindo m () mos: d Rsolv: Clcul o drminn sguir, dsnvolvndo-o sgundo os lmnos d ª linh. Rsp: -

33 . Propridd dos Drminns ª propridd: S odos os lmnos d um linh ou colun d um mriz qudrd form iguis zro, su drminn srá nulo, iso é, d =. Emplo: ª propridd: S os lmnos corrspondns d dus linhs (ou d dus coluns) d um mriz qudrd form iguis, su drminn srá nulo, iso é, d = Emplo: ª propridd: S um mriz qudrd possui dus linhs (ou coluns) proporcionis, su drminn srá nulo, iso é, d = 7 Emplo: 79 9 ª propridd: S odos os lmnos d um linh (ou d um colun) d um mriz qudrd são muliplicdos por um msmo númro rl k, não su drminn fic muliplicdo por k. Emplo: ª propridd: S um mriz qudrd d ordm n é muliplicd por um númro rl k, o su drminn fic muliplicdo por k n, iso é: d( k ) k n n d n Emplo: 7 d 7 7 d ª propridd: O drminn d um mriz qudrd é igul o drminn d su rnspos, iso é, d = d. Emplo: c d d d c d c d d c 7

34 7ª propridd: S rocrmos d posição nr si dus linhs (ou coluns) d um mriz qudrd, o drminn d nov mriz oid é o oposo do drminn d mriz nrior. Emplo: d 9 d 9 ª propridd: O drminn d um mriz ringulr é igul o produo dos lmnos d digonl principl. Emplo: d 9ª propridd: Sndo dus mrizs qudrds d msm ordm mrizproduo, não Emplo: d d d (orm d in) d d d 7 ª propridd: Sj um mriz qudrd. S muliplicrmos odos os lmnos d um linh (ou colun) plo msmo númro somrmos os rsuldos os lmnos corrspondns d our linh (ou colun), formndo um mriz, não d =d (Torm d Jcoi). Emplo: 9 9 d Muliplicndo ª linh por - somndo os rsuldos à ª linh omos: d

35 Ercícios d Rvisão:. Dds s mrizs, clcul: ) d (²) ) d (²) c) d (² + ²) rsp: ) ) c). (Fp SP) Rsolv inqução. Rsp: 7 R. Drmin solução d qução Rsp: {-,}. Sndo, dê o vlor d: ) d (). d() ) d (.) Rsp: ) - ) -. Sj mriz = ( ij ) d ordm, l qu: j i s j i s, j i s, ij R k k. Clcul k, d modo qu o drminn d mriz sj nulo. Rsp: k =. (UFPR) Considr s mrizs z y y z z y z y z z y C. Sndo qu mriz é igul à mriz C. Clcul o drminn d mriz. Rsp: 7 7. Clcul o drminn d mriz M = (). C, sndo, C. Rsp: zro

36 Ts:. (UEL PR) som dos drminns é igul zro. ) quisqur qu sjm os vlors ris d d. ) s somn s =. c) s somn s = -. d) s somn s =. ) s somn s = =. sn cos. (FMU SP) O drminn d mriz é igul : cos sn ) sn ) c) - d) sn² ) cos Rsp: ) Rsp: ). (Mck SP) solução d qução / / ) ) c) - d) 7 ) 9. (Mck SP) Sndo = ( ij ) um mriz qudrd d ordm ij = j i², o drminn d mriz é: ) ) c) d) ) Rsp: d) Rsp: d). (Fc SP) Drmin, d modo qu. 9 ) < - ou > ) - < < c) Não is R d)pr odo R ) N.D.. Rsp: ). (PUC RS) qução n m como conjuno vrdd: n n

37 7 ) {-, } ) {-, } c) {, } d) {-, } ) {-, } Rsp: ) 7. (PUC SP) O drminn d mriz vl: ) - ) c) d) ) - Rsp: ). (FGV SP) Sj riz d qução ; não o vlor d ² é: ) ) c) d) ) Rsp: ) 9. (PUC RS) solução d qução 9 é: ) {-, } ) {-, } c) {, } d) {, } ) {, } Rsp: {,}

38 DNTE, L. R. Mmáic: Cono plicçõs. São Pulo: Edior Áic, 999. ILIOGRFI: GIOVNNI, J. R., ONJORNO, J. R., GIOVNNI Jr, J. R. Mmáic Fundmnl. São Pulo: Edior FTD Ld, 99. LEITHOLD, L. Mmáic plicd à Economi dminisrção. São Pulo: Edior Hrr Ld, 9. MEDEIROS,. Mmáic ásic pr Cursos Supriors. São Pulo: Edior ls S.., WEER, J. E. Mmáic pr Economi dminisrção. São Pulo: Edior Hrr Ld, d. 9.