da submatriz A ij elemento a ij, indicado por Exemplo: Dada a matriz A , onde os Resolução: det A23 n 2 sobre o corpo dos reais, então:

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1 Dfinição S ( i Dtrminnts um mtri qudrd d ordm n sor o orpo dos ris ssoimos um slr d R hmdo dtrminnt d omo sndo som d todos os trmos d form ond os t ( k k índis k i s ds oluns ssumm tods s rrumçõs possívis ns quis d olun é rprsntd tmnt um v m d trmo d som o pont t é lgum númro d trnsposiçõs nssáris pr trr d volt os índis ds oluns {k k k n } à su ordm nturl Indirmos o dtrminnt d mtri por dt [] ou Osrvçõs: Notmos qu os índis ds linhs s mntêm n ordm nturl os índis ds oluns ssumm tods s n! rordnçõs possívis lgoritmo pr álulo d dtrminnt d ordm : dt lgoritmo pr álulo do dtrminnt d ordm (rgr d Srrus: dt dt ( ( Dsnvolvimnto d dtrminnts por oftors (Torm d Lpl Dfinição d mnor omplmntr oftor S ( i nk n um mtri qudrd d ordm n sor o orpo dos ris S i sumtri d otid suprimindo-s i-ésim linh -ésim olun d O mnor do lmnto i d é o dtrminnt d sumtri i lmnto i indido por indido por dt C Emplo: Dd mtri o mnor do lmnto ; o oftor do lmnto Rsolução: dt C ( dt i ( i i O oftor do dt ( Torm d Lpl S ( i n sor o orpo dos ris ntão: dt i Ci i Ci C dt C C n C Sndo qu C i i dtrmin: um mtri qudrd d ordm in in i { n} n { n} é o oftor do lmnto i Osrvção: s prssõs dds n dfinição são hmds d dsnvolvimnto do dtrminnt d m rlção i-ésim linh -ésim olun rsptivmnt Emplo: S Clul dsnvolvndo m rlção à linh Clul dsnvolvndo m rlção à olun Rsolução: dt ( 9 dt 9

2 Propridds dos dtrminnts S i um mtri qudrd d ordm n sor o orpo dos ris P Os dtrminnts d mtri d su trnspost são iguis isto é dt dt t ( P S os lmntos d um fil qulqur d form nulos ntão dt P S os lmntos d dus fils prlls d form rsptivmnt iguis ntão dt P S os lmntos d dus fils prlls d form rsptivmnt proporionis ntão dt P S tm um fil qu é ominção linr d outrs fils prlls ntão dt P S trormos d posição dus fils prlls d otmos um nov mtri tl qu dt dt P7 S multiplirmos um fil qulqur d por um onstnt k otmos um nov mtri tl qu dt kdt P S multiplirmos todos os lmntos d por um onstnt k otrmos um nov mtri k tl qu dt dt (k k n dt ond n é ordm d P9 Torm d Joi: S diionrmos um fil qulqur um ominção linr ds dmis fils prlls d um mtri su dtrminnt não s ltr P Torm d Cuhy: som dos produtos dos lmntos d um fil d plos oftors dos orrspondnts lmntos d outr fil prll d é ro isto é: s k i Ck i Ck C i in kn t C C C k k n nk s k P dição d dtrminnts: S os lmntos d -ésim olun d são tis qu: n n n isto é n n ntão trmos qu: ( ( ( n n n n nn dt dt dt ond n n n n n nn n n n n n nn Osrvçõs: propridd P grnt qu tod propridd do dtrminnt d um mtri no qu di rspito às linhs trá um nálog m rlção às oluns S são s fils prlls d um mtri dirmos qu um fil é ominção linr ds outrs s istirm slrs (númros ris n nm todos nulos tis qu f f f f f n f n n Emplos: y mtris trnsposts nul y pois o dtrminnt possui fils prlls iguis d y y y pois são dtrminnts d pois o dtrminnt possui um fil pois o dtrminnt tm olun omo o doro d olun (fils prlls proporionis y pois linh é y ominção linr ds dmis ( L L L

3 f y oluns pois houv invrsõs d linhs g y y y y pois houv invrsão d linh por h y y y d lmnto do dtrminnt por i y y y pois multiplimos pois multiplimos pois sommos à olun um ominção linr ds outrs oluns (Torm d Joi m p m Dtrminnts d mtris spiis Mtri tringulr suprior ou infrior p S for um mtri tringulr suprior ou infrior ntão o dtrminnt d é o produto dos lmntos d digonl prinipl Emplo: 9 Mtri om todos lmntos im ou io d digonl sundári nulos S todos os lmntos d situdos im ou io d digonl sundári form nulos ntão o dtrminnt d é o produto dos lmntos d digo- k nl sundári prdido plo ftor ( ( ond n é ordm d mtri k o númro d ros im ou io onform o so d digonl sundári m p n( n Emplo: ( Mtri d Vndrmond ou mtri ds potênis Dnominmos mtri d Vndrmond ou mtri ds potênis qulqur mtri qudrd do tipo: n V ( ( ( ( n n n n n ( ( ( ( n ond su dtrminnt é indido por V [ n ] Podmos provr qu su dtrminnt é ddo por: V [ n ] ( ( ( ( n n ( i { n} { n } Emplo: 9 7 i V[ ] ( ( ( ( ( ( Torm d Bint S B são mtris qudrds d ordm n ntão dt (B dt (dt (B Osrvção: Podmos gnrlir o torm d Bint pr k mtris qudrds d ordm n: dt ( k = dt ( dt ( dt ( dt ( k Mtri invrs Um mtri qudrd d ordm n é dit mtri invrsívl s istir um mtri B tl qu B B I n Qundo ist mtri B l é hmd mtri invrs d indimos por ssim: I n Osrvção: S um mtri é invrsívl ntão é um mtri qudrd (Notmos qu multiplição é omuttiv dí são mtris qudrds d msm ordm i

4 Torm (Uniidd d mtri invrs S é um mtri rl invrsívl ntão su invrs é úni Dmonstrção: Vmos dmitir qu C B sm invrss d tis qu C B Pl dfinição d mtri invrs tmos: C C I n B B C I C ( B C B( C B I B n hipóts é um surdo I n n o qu por Emplo: Vrifir s é um mti invrsívl so s otr su invrs Rsolução: S d d ntão I d d d Portnto mtri é invrsívl ou s: d d 7 Invrsão d mtris por dtrminnts Mtri singulr Dimos qu um mtri qudrd d ordm n é singulr s somnt s su dtrminnt for nulo Ou s: dt é um mtri singulr dt é um mtri não singulr Mtri dos oftors ( Mtri dos oftors é mtri otid sustituindo d lmnto d por su rsptivo oftor Mtri dunt ( Mtri dunt é mtri otid d trvés d oprção d trnsposição isto é: ( t Torm S é um mtri qudrd d ordm n ntão dt I n Torm singulr ntão S é um mtri qudrd d ordm n não dt Emplo: Sndo lul: su dtrminnt; su mtri dos oftors; su mtri dunt; d su mtri invrs Rsolução: dt Clulndo os oftors otmos: C C C C ( ( ( ( Logo mtri dos oftors é dd por: ( t d dt Logo mtri invrs é dd por: Propridds ds mtris invrss P é invrsívl dt (mtri não singulr P não é invrsívl dt (mtri singulr P s dt (s oprçõs d trnsposição invrsão omutm P ( s dt ( t t ( P ( B B s dt dt B P dt ( s dt dt

5 O dtrminnt d mtri i i é igul : ( i B C D E ond Qul o vlor d k pr qu o dtrminnt d mtri B C k k s nulo? D E S mtri qudrd qu i igul : os s i i sn s i i B ( i C D d ordm tl o dtrminnt d é E Sndo-s qu o dtrminnt d mtri é igul qul é o vlor do sn B os os D E? C S o dtrminnt d mtri é k igul k ntão o vlor d k é: B 9 C 9 D E O dtrminnt d ( sndo: t t mtri trnspost d B é: B B C D E nd 7 S são s rís d qução: log log ond ntão é igul : B C S é um mtri qudrd d ordm I é mtri idntidd tmém d ordm ntão dt ( I é um polinômio d gru m ssinl ltrntiv orrspondnt o onunto ds rís do polinômio im dfinido ond D { } D { } B { } E { } C { } 9 S f dt vl: (Os: dt dtrminnt d E f ( ntão B C D E nd S f : M n R função dfinid por dtrminnt d ond M n é o onunto ds f ( mtris qudrds d ordm n ssinl ltrntiv orrt: f é intiv f é sortiv f ( B f ( f ( B d f ( f ( qulqur qu s R S f ( ntão O

6 O vlor do dtrminnt y y D y B E C ( ( ( y Qul o vlor d um dtrminnt d qurt ordm sndo-s qu multiplindo dus d sus linhs por dividindo sus oluns por otém-s o númro 7? B C D E 7 O dtrminnt d um mtri é S multiplirmos primir linh d mtri por três dividirmos su sgund olun por nov nov mtri trá dtrminnt igul : B C D Um mtri d trir ordm tm dtrminnt O dtrminnt d é: B C D E B são mtris qudrds d ordm B sndo um númro rl não nulo S o dtrminnt d é o dtrminnt d trnspost d B é ntão o vlor d é: B C D E S é mtri d dtrminnt ntão dt ( vl: B C D E 7 B são mtris qudrds d ordm S-s qu dt dt B t 9 Então: B D B 9 E C O produto ds mtris é um mtri d dtrminnt: igul o dtrminnt d d um dls B igul ro C mnor qu ro D om vlor soluto mnor qu E mior qu o dtrminnt d d um dls é: 9 Sndo B C mtris ris n n onsidr s sguints firmçõs: BC B C B B B B dt dt dt dt dt dt Então podmos firmr qu: são orrts B são orrts C são orrts D são orrts E são orrts ( ( ( B ( ( B ( B ( ( B Considr s sguints mtris: C B ond i i i (i são númros ris ssinl ltrntiv fls: (dt ( (dt (B (dt (C B dt ( dt (B C dt (B dt (C D dt ( dt (C E (dt ( dt (Bdt (C S f g são dus funçõs ris d vriávl rl stisfndo pr todo númro rl é o vlor do dtrminnt D( g( f ( D( f ( f ( g( ntão: g( g( D( B D( é ngtivo C D( é positivo D D D é positivo E D D é positivo ( ( ( ( O vlor do dtrminnt f ( B C D E é:

7 Dds s mtris B tis qu: B o vlor do dtrminnt d B é: 9 B C D E nd Considr s sguints firmtivs: I S é trnspost d mtri qudrd ntão II S é um mtri qudrd d ordm tl qu é invrsívl III S é um mtri invrsívl ntão dt ( (dt som dos númros ssoidos às firmtivs orrts é: B C D T T dt ( dt ( O ntão mtri I B são mtris d ordm O dtrminnt d é 9 S o dtrminnt d B é: B 9 9 d é um mtri qudrd d ordm invrsívl dt ( o su dtrminnt S dt ( dt ( ntão dt ( srá igul : 7 O dtrminnt io log (log (log log (log (log log ( log (log (log B C log D log log log log E d log (log (log vl: Dimos qu um mtri rl qudrd é singulr s dt ou s s o dtrminnt d é nulo não singulr s dt Mdint st dfinição qul ds firmçõs io é vrddir? som d dus mtris B é um mtri singulr s dt dt B B O produto d dus mtris é um mtri singulr s somnt s ms form singulrs C O produto d dus mtris é um mtri singulr s plo mnos um dls for singulr D Um mtri singulr possui invrs E trnspost d um mtri singulr é não singulr 7 9 Sm B P mtris ris qudrds d ordm n tis qu B P P Sndo P invrsívl dntr s firmçõs io qul é fls? S B é simétri ntão é simétri B S é simétri ntão B é simétri C S é invrsívl ntão B é invrsívl D S B é invrsívl ntão é invrsívl E dt dt B t Considr mtri sn log sn ond é rl Então podmos firmr qu: é invrsívl pns pr B é invrsívl pns pr C é invrsívl pr qulqur D é invrsívl pns pr d form k intiro E é invrsívl pns pr d form k k intiro mtri não dmit invrs s: B C ( k D E nd Sm m n númros ris om m n s mtris: B Pr qu mtri m nb s não invrsívl é nssário qu: m n sm positivos B m n sm ngtivos C m n tnhm sinis ontrários D n m E nd 7 Sm os númros ris d f Então pod-s firmr qu mtri d f dmit invrs pr qulqur rl B dmit invrs pr qulqur C dmit invrs pr qulqur prtnnt o onunto { d f } D não dmit invrs s somnt s prtn o onunto { } não dmit invrs s somnt s prtn o onunto { f d}

8 S um mtri rl qu possui invrs S n um númro intiro positivo o produto d mtri por l msm n vs Ds firmçõs io vrddir é: n possui invrs qulqur qu s o vlor d n B n possui invrs pns qundo n ou n C n possui invrs su dtrminnt indpnd d n D n não possui invrs pr vlor lgum d n n E Dpndndo d mtri mtri n podrá ou não tr invrs Sm B C mtris qudrds n n tis qu B são invrsívis BC t ond t é trnspost d mtri Então podmos firmr qu: C é invrsívl dt dt B C não é invrsívl pois dt C C C é invrsívl dt dt D C é invrsívl dt dt dt E C é invrsívl dt C C n ( B B C ( B dt C dt B (ESF Considr s mtris Y X ond os lmntos são númros nturis difrnts d ro Então o dtrminnt do produto ds mtris X Y é igul : B C + + D + E + 7 (ESF O dtrminnt d um mtri é igul S multiplirmos os três lmntos d ª linh por os três lmntos d ª olun por o dtrminnt srá: B C D E (ESF S um mtri qudrd por S multiplirmos os lmntos d sgund linh d mtri por dividirmos os lmntos d trir linh d mtri por o dtrminnt d mtri fi multiplido por B multiplido por / C multiplido por / D multiplido por / E multiplido por / 9 (ESF Um mtri X d quint ordm possui dtrminnt igul mtri B é otid multiplindo-s todos os lmntos d mtri X por Dss modo o dtrminnt d mtri B é igul : B C D E 7 (ESF O dtrminnt d mtri: X ond são intiros positivos tis qu > > é igul : B C D E ( (ESF O dtrminnt d mtri: X + D B E C + + (ESF Qulqur lmnto d um mtri X pod sr rprsntdo por i ond i rprsnt linh olun m qu ss lmnto s loli prtir d um mtri ( i d trir ordm onstrói-s mtri B( i tmém d trir ordm dd por: Sndo-s qu o dtrminnt d mtri é igul ntão o dtrminnt d mtri B é igul : B C D E (ESF Considr dus mtris qudrds d trir ordm B primir sgund trir oluns d mtri B são iguis rsptivmnt à trir à sgund à primir oluns d mtri Sndo-s qu o dtrminnt d é igul ntão o produto ntr os dtrminnts ds mtris B é igul : B C D E Grito C D D 7 E C E E B 9 C E B B 7 C E 7 B B E E 9 B C 9 D B E E D E D 7 B D B C B D 9 E C C