TÓPICOS. Integração complexa. Integral de linha. Teorema de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy.

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1 No m, liur dss pomos ão disps d modo lgum liur d iliogri pricipl d cdir hm-s à ção pr imporâci do rlho pssol rlir plo luo rsolvdo os prolms prsdos iliogri, sm ul prévi ds soluçõs proposs, ális compriv r s sus rspos rsposs proposs, posrior xposição uo do doc d ods s dúvids ssocids. Módulo TÓPIOS Igrção complx. Igrl d lih. Torm d uchy. Fórmuls igris d uchy.. Igrção complx... Igrl diido. Sdo w um ução complx d vriávl rl, x y com R d x y d x d y d, mos O cálculo do igris d uçõs complxs d vriávl rl pod sr io uilido s écics dquirids cdir d Aális Mmáic. Exmplos. Sdo, ão d s d [ s ] [ s ] [ ] d s d, ou s, sdo cohcid primiiv d podmos r d imdio d Pro. José Amrl MAT M - --7

2 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D.. urvs rgiõs m. osidr igur M.. Um curv,, m pod sr irprd como o couo d imgs d um plicção d um irvlo d R, [, ], m sr rprsd prmricm : x y, com Um curv di-s simpls s ução é iciv. c d Um curv simpls chd é iciv o irvlo smi-ro qu s oém xcluido um dos xrmos. Um curv simpls chd é dsigd por curv d Jord. c Um curv qu ão é simpls m chd. d Um curv chd qu ão é simpls. Um curv di-s rgulr s x y são uçõs coíus m odos os poos do irvlo. Um curv ão rgulr, ms scciolm rgulr: xis um prição do irvlo um úmro iio d suirvlos m qu curv é rgulr. g Um rgião simplsm cox: qulqur curv simpls chd coid rgião pod sr rduid um poo prmcdo rgião. h Um rgião muliplm cox. g h Figur M. Exmplos y. Um sgmo d rc o plo complxo pod sr dscrio prmricm por : com x Pro. José Amrl MAT M - --7

3 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D.. Igris d lih. S um ução complx d vriávl complx diid um rgião D, D um curv scciolm rgulr simpls, s um prmrição d com, ão o igrl d o logo d curv sido d pr é diido por d d Torm d uchy orms ssocidos. Torm d uchy: Sdo D um rgião simplsm cox, um ução líic m D, D um curv scciolm rgulr chd, ão d Torm d Morr. S é coíu um rgião simplsm cox D, s pr qulqur curv simpls chd D or d, ão é líic m D. Torm : Sdo um ução líic um rgião limid por dus curvs simpls chds,, sor ls, ão d d, sdo prcorridos o msmo sido. Torm. Sdo um ução líic um rgião limid pls curvs simpls chds,,,,..., od,,..., são coids rgião limid por, sor ls, ão d d d L d, sdo s curvs prcorrids o msmo sido. Pro. José Amrl MAT M - --7

4 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Torm udml do cálculo igrl. Sdo um ução líic um rgião D D um curv scciolm rgulr com origm m xrmidd m sdo quisqur dois poos d D, s xisir um ução F l qu, m D, F, ão d F F, ou s, sdo um ução líic um rgião D ão cmiho d D qu lig s xrmidds d. d é idpd do Fórmuls igris d uchy. Sdo um ução complx d vriávl complx líic um rgião D limid por um curv simpls chd D, sor l, s um qulqur poo irior dss rgião, ão d, sdo prcorrid o sido posiivo. A -ésim drivd d m é dd por! d, com N Assim, s um ução or cohcid sor um curv simpls chd, ão os vlors d ução ds sus drivds é à ordm podm sr drmidos m poos iriors à rgião limid por. S é líic um rgião simplsm cox, ods s sus drivs xism são líics m. Rsul d imdio ds órmuls igris d uchy qu, s codiçõs d plicção d d!, sdo prcorrido o sido posiivo N. Rsul id, m priculr, d d, sdo prcorrido o sido posiivo qulqur iiro dir d. Pro. José Amrl MAT M - --7

5 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Exmplos. S o igrl d ução o logo d curv : θ com θ, corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M.. Sdo θ, mos d osidr-s gor o cooro θ θ : θ com θ corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M.. Uilido pr dos cálculos riors podmos scrvr Figur M. d Omos o msmo vlor. Sdo ução um ução líic m é um ução iir orímos o msmo vlor idpdm do cmiho scolhido r os poos iicil il,. Aliás, sdo ução líic m, o cálculo xplício do igrl d lih é dscssário ddo qu podmos rcorrr o orm udml do cálculo igrl. Assim, idpdm d mos,. S o igrl d ução o logo d curv d [ ] [ ] : θ com θ, corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M.. Pro. José Amrl MAT M - --7

6 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Sdo θ, mos d θ θ [ ] [] θ osidr-s gor o cooro c d Figur M. : θ com θ corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M.. Addo os cálculos m podmos scrvr d [ ] [] θ Emor hmos comçdo rmido os msmos poos,, ão omos o msmo vlor. N vrdd ução ão é líic m ão é possívl diir um rgião simplsm cox qu coh s curvs. c osidrmos gor o igrl o logo d curv : θ com θ, corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M. c. É igulm θ, logo d θ θ [ ] [ l ] l l l l d osidrmos gor o igrl o logo d curv : θ com θ Pro. José Amrl MAT M

7 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D, corrspod o rco d círculo qu s mosr igur M. d. Addo o cálculos riors podmos scrvr d [ ] [ l ] l l Omos o msmo vlor idpdm do prcurso. N vrdd, s idrrmos curv chd smos s codiçõs do orm d uchy, ddo qu ução é líic rgião irior s curv poro, ou s d d d Podmos id slir qu, sdo possívl diir um rgião simplsm cox m qu é líic coh o igrl d lih só dpd dos poos iicil il,, ou s, podmos plicr o orm udml do cálculo igrl d d [ l ] d l l l l l l Th-s m idrção s órmuls igris d uchy d Tmos ão pr d Fdo, qu é um ução líic m, podmos scrvr, ddo sr, d osidrm-s os igris clculdos m d d S idrrmos curv, mos Pro. José Amrl MAT M

8 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Figur M. d d d, qu vriic, urlm, o rsuldo oido prir ds órmuls igris d uchy. Podímos ssim r clculdo qulqur dos igris prir do cohcimo d um dls do rsuldo oido rvés ds órmuls igris. osidr-s por úlimo curv d igur M. d com : com com Tmos, poro θ θ d d, ou s, omos o msmo rsuldo d igrção rvés d curv. N vrdd, s idrrmos curv chd smos s codiçõs do orm d uchy, ddo qu ução é líic rgião irior s curv poro d d d. : i i corrspod um lips o plo complxo com os o os poo i i, como s mosr igur M.. É poro um curv scciolm rgulr chd, sdo o su irior um rgião, D, simplsm cox. A ução é líic m por rsulr do produo composição d uçõs líics m, plo qu mém o é m D. Assim, ddo o orm d uchy, Figur M. d 6. S ução cougdo. O igrl d lih r os poos i o logo d curv : com, qu s mosr igur M.6, sdo é ddo por Pro. José Amrl MAT M

9 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D d d d d d osidrmos gor qu, r os msmos poos i sguímos curv qu s mosr igur M.6, ou s os sgmo d rc : y ; x : x ; y Pr o primiro roço d curv mos, plo qu d x ; d dx ; x x d x dx x Pr o sgudo roço d curv mos y ; d dy ; y, plo qu c Figur M.6 d y dy y y omido os dois roços mos ão d d d osidrmos gor qu, r os msmos poos i sguímos o roço d práol y x, qu s mosr igur M.6 c : com Pro. José Amrl MAT M

10 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amrl MAT M Tmos gor, sdo, d d d d d A ução ão é líic m hum poo d vr módulo 8. O igrl d lih r quisqur dois poo dpd smpr do prcurso idrdo. Nuc é possívl rcorrr o orm udml do cálculo igrl. 7. O cálculo d d, ddo qu é líic o irior do círculo uiário < é um poo prc ss rgião, rsul cilm ds órmuls igris d uchy!! d d d d ou s [ ]! d d d 8. S o cálculo d d i, m qu : vr xmplo. Addo qu é um poo irior à lips, sdo s codiçõs ds órmuls igris d uchy, é d

11 F U N Ç Õ E S D E V A R I Á V E L O M P L E X A M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amrl MAT M - --7, logo 6 d d 9. S o cálculo d d, m qu : vr xmplo. Addo qu é um poo irior à lips, sdo s codiçõs ds órmuls igris d uchy ão sá o irior d lips, é d d d d d!! Sdo 6 d d d d mos 6 6 d