Capítulo 4: Derivada A Reta Tangente. y = uma curva definida no intervalo ( a, ) e sejam ( x, y ) e Q( x y ) P dois pontos

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1 Isio d Ciêcis Es - Dprmo d Mmáic Cálclo I Proª Mri Jli Vr Crlo d Arjo Cpílo : Drid - A R T Sj b disios d cr Sj s r sc q pss plos poos P Q Cosidrdo o riâlo râlo PMQ, ir o ldo, mos q iclição d r s, o coici lr d s, é: α Spomos or q, mdo P io, Q s mo sobr cr m dirção P Di diso, iclição d r sc s rirá A mdid q Q i s proimdo cd z mis d P, iclição d sc ri cd z mos, ddo pr m lor i cos Ess lor i é cmdo iclição d r à cr o poo P, o mbém iclição d cr m P m cr diid o irlo, sjm, Q P dois poos, Diição: Dd m cr P, m poo sobr l A iclição d r à cr o poo P é dd por m, qdo o i is Q P, sj Fzdo o podmos scrr: m Eqção d R T S ção é coí m D, ão r à cr P, é: A r q pss por P do iclição m m, s s i is Ns cso, mos qção: m b A r, s Emplos: or iiio Ecor iclição d r à cr o poo m, 6

2 Ecor qção d r à cr o poo cj bsciss é Ecor qção d r à cr, q sj prll à r 8 Lmbr: Ds rs são prlls s, som s, ss coicis lrs são iis - Ecor qção pr r orml à cr o poo P, Lmbrs: R orml m cr o poo P é r prpdiclr à r à cr o poo P; b Ds rs d coicis lrs m m são prpdiclrs s, som s, m m 6

3 - Vlocidd Aclrção Spomos q m corpo s mo m li r q s s rprs o spço prcorrido plo mól é o is Eão, o irlo d mpo r, o corpo sor m dslocmo s s s Vlocidd Vlocidd médi do corpo o irlo d mpo r é o qoci do spço prcorrido s s s plo mpo so m prcorrê-lo, iso é, m Vlocidd isâ do corpo o is o locidd o is é o i ds locidds s s s médis qdo s proim d zro, iso é, Aclrção Aclrção médi do corpo o irlo d mpo r é dd por m Aclrção isâ do corpo o is é o i ds clrçõs médis qdo s proim d zro, iso é, Emplos: No is m corpo iici m moimo m li r S posição o is é ddo por s 6 Drmi: locidd médi do corpo o irlo d mpo [,] ; b locidd do corpo o is ; c clrção médi o irlo [,] ; d clrção o is 6

4 A qção do moimo d m corpo m qd lir é s, od 9,8m / s é clrção d ridd Drmi locidd clrção do corpo m m is qlqr - A Drid d m Fção m Poo A drid d m ção o poo, dod por, é diid plo i, qdo s i is Ns cso, dizmos q ção é driál o dirciál o poo Tmbém podmos scrr: Obsrção: Como imos, s i os dá iclição d r à cr o poo, Poro, omricm, drid d ção o poo rprs iclição d cr s poo - A Drid d m Fção A drid d m ção é ção dod por l q s lor m qlqr D é ddo por, s s i isir Dizmos q m ção é driál o dirciál qdo is drid m odos os poos d s domíio Ors oçõs podm sr sds o lr d : D lê-s drid d m rlção ; b D lê-s drid d m rlção ; d c d lê-s drid d m rlção 6

5 Emplos: Dd ção 5 6, cor Dd ção, cor Dd, cor Dd, cor 6

6 5- Coiidd d Fçõs Driáis Torm Tod ção driál m poo D é coí ss poo Dmosrção: Sdo driál m ão is Assim mos: [ ] Loo, [ ] [ ] Poro, é coí m 6- Ercícios Páis 7 8 do liro o 7- Drids Lris Diiçõs: Sj m ção diid o irlo, b, b A drid à diri d m, dod por, é diid por, cso s i is b A drid à sqrd d m, dod por, é diid por, cso s i is c Um ção é driál m m poo s, som s, s drids à diri à sqrd ss poo ism são iis d Qdo s drids lris diri sqrd ism são dirs m m poo, é m poo loso do ráico d, dizmos q o poo Um ção diid o irlo [, b] é driál m [ b] bro b, s é driál o irlo, s ism drid à diri drid à sqrd d ção m b, rspcim Obsrção: Pr zr m ális ráic d isêci d drid m m poo, podmos rçr rs scs q pssm plo poo ddo por oro s iziç obsrr s posição i posição d êci Qdo s scs ão êm m úic posição i o s orm ricis, drid ão is No primiro cso, smos di d sição m q s drids lris ism, ms são dirs poo loso ão á r à cr s poo; o sdo cso, s rs 65

7 scs corm pr posição ricl, s o, dizmos q smos di d m poo cspidl do ráico d, sdo r s cso Emplos:, s < Sj ção diid por 7, s Esboc o ráico d b Mosr q é coí m c Ecor d A ção é driál m? Jsiiq s rspos Sj ção Ecor b A ção é driál m? Jsiiq s rspos 8- Ercícios Páis do liro o 66

8 9- Rrs d Drição As rrs d drição prmim drmir s drids ds çõs sm o so d diição R Drid d m Cos S c é m cos c, pr odo R, ão Dmosrção: c c R Rr d Poêci po posiio S é m úmro iiro posiio, ão Dmosrção:!!!!! Emplos: S 5 ão 5 b S ão c S ão 9 R Drid do prodo d m cos por m ção Sjm m ção, c m cos ção diid por c S is, ão c Dmosrção: c c c c c Emplos: S 8 ão 6 8 b S 7 ão

9 R Drid d m som Sjm ds çõs s ção diid por s S ism, ão s Dmosrção: [ ] [ ] s s s [ ] [ ] Emplos: S 5 8 ão 8 8 b S ão 8 5 R5 Drid d m prodo Sjm ds çõs p ção diid por p S ism, ão p Dmosrção: [ ] [ ] p p p [ ] [ ] Emplos: S ão 6 b S 5 6 ão R6 Drid d m qoci Sjm ds çõs q ção diid por q, od S ism, ão [ ] q Dmosrção: q q q 68

10 [ ] Emplos: S ão 5 5 b S ão R7 Rr d Poêci po io S, od é m úmro iiro posiio, ão Dmosrção: Como ão - Ercícios Páis 8 9 do liro o - Drid d Fção Compos Rr d Cdi Torm Sjm çõs driáis, com Im D Eão compos é driál l rr d cdi: d d d, o sj, d d d Emplos: Dd ção 5 7 d, drmir d Dd ção 5, corr 69

11 Dd ção, drmir Proposição Rr d Poêci pr Fçõs Qisqr S é m ção driál é m úmro iiro ão lo, ão d [ ] [ ] d Dmosrção: Fzdo, od, plicdo Rr d Cdi, mos: d d d d [ ] [ ] d d d d Obsrção: A Rr d Poêci pod sr rlizd como s srá dmosrd mis di: S é m ção driál r é m úmro rciol ão lo qlqr, ão d r r r r [ ] r[ ], o sj, r d Emplos: - Dd ção 5 5, drmir - Dd ção, drmir - Drmir drid ds sis çõs: 8 b c 6 7 7

12 - Drid d Fção Irs Torm Sj m ção irs coí S ão é driál l m ção diid m m irlo bro, b Spomos q is é dir d zro pr qlqr, b dmi, Dmosrção: Sjm Obsrmos q, como possi m irs, s mos q, poro, Como é coí, qdo mos q D msm orm, qdo, ão mbém d zro Por oro ldo, pr qlqr l ididd: Como is é dir d zro pr qlqr, b obmos Coclímos q is l Emplos: - Sj A s irs é dd por Tmos - Sj Como 8 S irs é d d Loo, ão podmos plicr o orm pr é mior q zro pr odo mos Pr mos 6 - Drids ds Fçõs Elmrs Drid d Fção Epocil S, sdo >, ão l Em priclr, s, ão l Dmosrção: Sj Tmos: l 7

13 Drid d Fção Lorímic S lo, sdo >, ão lo Em priclr, s l, ão l Dmosrção: Sj lo Tmos: lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo Drid d Fção Epocil Compos S, od são çõs d, driáis m irlo bro I >, I, ão l Dmosrção: Usdo s propridds d lorimos, podmos scrr l l Assim, o, od l w w w Como ism s drids l w w, pl rr d cdi mos: l l l l l w w Obsrção: Usdo rr d cdi obmos s órmls ris ds drids ds çõs pocil lorímic: l > lo lo > l Emplos: Drmir drid ds sis çõs: 7

14 b c d l lo 7 l Drids ds Fçõs Trioomérics Drid d Fção So S s, ão cos Dmosrção: s cos s cos s s s cos cos cos b Drid d Fção Cosso S cos, ão s Dmosrção: s s s s s cos cos s s s 7

15 c Drids ds dmis Fçõs Trioomérics Como s dmis çõs Trioomérics são diids prir do so o cosso, podmos sr s rrs d drição pr corr ss drids Por mplo, s s cos cos s s cos s ão sc cos cos cos cos Alom, cormos: co cossc sc sc cossc cossc co Obsrção: Usdo rr d cdi obmos s órmls ris ds drids ds çõs rioomérics: s cos cos s sc co cossc sc sc cossc cossc co Emplos: Drmir drid ds sis çõs: s b cos c co d cos co sc 7 cossc 7

16 5 Drids ds Fçõs Trioomérics Irss Drid d Fção Arco So Sj : [, ] π π, diid por rc s Eão é driál m, Dmosrção: Sbmos q: rcs s, π π, Como s is é dir d zro pr π π odo,, plicdo o orm d ção irs obmos: s cos s, pr, b Drid d Fção Arco Cosso Sj : [, ] [,π ] diid por rc cos Eão é driál m, Dmosrção: Usdo rlção rc cos π rc s obmos: π rc cos rc s, pr, c Drid d Fção Arco T π π Sj : R, diid por rc Eão é driál Dmosrção: Sbmos q: rc, π π, Como is é dir d zro pr odo π π,, plicdo o orm d ção irs obmos: sc 75

17 d Drid d Fção Arco Co Sj : R,π diid por rc co Eão é driál Dmosrção: Usdo rlção rc co π rc obmos: π rc co rc Drid d Fção Arco Sc π π Sj :, ] [,,, π diid por rc sc Eão é driál m,, Dmosrção: Usdo rlção rc sc rc cos rr d cdi obmos: rc sc rc cos, od > Drid d Fção Arco Cossc π π Sj :, ] [,,, diid por rc cossc Eão é driál m,, Dmosrção: Usdo rlção rc cossc rc s rr d cdi obmos: rc s, od > rc cossc 76

18 Obsrção: Usdo rr d cdi obmos s órmls ris ds drids ds çõs rioomérics irss: rc s rc cos rc rc co rc sc rc cossc Emplos: Drmir drid ds sis çõs: rc s b rc 6 Drids ds Fçõs Hiprbólics Como s Fçõs Hiprbólics são diids m rmos d ção pocil, podmos drmir ss drids sdo s rrs d drição já sblcids Alom, obmos s drids ds dmis çõs iprbólics Por mplo, s s ão cos Obsrção: Usdo rr d cdi obmos s órmls ris ds drids ds çõs iprbólics: s cos cos s sc co cossc sc sc cossc cossc co 77

19 Emplos: Drmir drid ds sis çõs: s b sc c l[ ] d co 7 Drids ds Fçõs Hiprbólics Irss Vimos q r s pod sr prsso orm l Assim, Alom obmos s drids ds dmis çõs iprbólics irss Obsrção: Usdo rr d cdi obmos s órmls ris ds drids ds çõs iprbólics irss: r s r cos, > r, < r co, > r sc, < < r cossc, Emplos: Drmir drid ds sis çõs: r cos b r s c r s 78

20 - Tbl Grl d Drids Sjm çõs driáis d c, α coss 79

21 5- Ercícios Páis 59, 6, 6, 6 6 do liro o 6- Drids Scssis Diição Sj m ção driál S mbém or driál, ão s drid é cmd drid d sd d é rprsd por lê-s ds lis o lê-s drid sd d m d rlção S é m ção driál, s drid, rprsd por, é cmd drid rcir d A drid d ordm o -ésim drid d, rprsd por, é obid drido-s drid d ordm d Emplos: - S 8, ão S, ão sc sc sc sc - S, ão - S 5 8, ão 5 5 6, 6 6, 8, 6, 6, 6 5-, ão,,, 8 6- S s, ão cos, s, cos, s, o sj, cos, pr,5,9, s, pr,6,, cos, pr,7,, s, pr,8,, 8

22 7- Drição Implíci Diição Fção orm implíci Cosidrmos qção F, Dizmos q ção é diid implicim pl qção F,, s sbsiirmos por m F,, s qção s rsorm m m ididd Emplos: - A qção di implicim ção D o, sbsiido qção, obmos ididd - A qção di implicim m iiidd d çõs, s c Por mplo,,, c, od c R, < c <, s < c - Nm smpr é possíl corr orm plíci d m ção diid implicim, como por mplo diid implicim pl qção l A Drid d m Fção Form Implíci Spomos q F, di implicim m ção driál Os mplos q sm mosrm q, sdo rr d cdi, podmos drmir sm plicir - Sbdo q é m ção driál diid implicim pl qção, drmir 8

23 - Sbdo q é diid pl qção, drmir - S é diid por s, drmir - Drmir qção d r à cr o poo, 5- Drmir s qçõs d r d r orml à circrêci d cro, poos d bsciss rio, os 8- Ercícios Páis do liro o úmros o 8

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