A distribuição Beta apresenta

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Bta Cauchy Erlang Exponncial F (Sndkor) Gama Gumbl Laplac Logística Lognormal Normal Parto Qui-quadrado - χ Studnt - t Uniform Wibull A distribuição Bta aprsnta normalmnt duas xprssõs. Uma dnominada d fórmula gral outra d forma padrão. A forma padrão dfinida no m [; ] é mais utilizada.

2 A xprssão gral da fdp Bta é dada por: α - (x-a) (b-x) α+ α + s a x b f(x) B(, )(b a) c.c. Ond: α α - B(, ) x (-x) dx α, > A função Bta foi introduzida pla primira vz por Eulr. α α - B(, ) x (-x) dx B( α, ) B(, α) Γ( α) Γ( ) B( α, ) Γ( α + ) B( α,) / α Lonhard Eulr (77-783) A função dnsidad d probabilidad da Bta padrão é dada por: α - x (-x) s x α, > f (x) B( α, ) c.c. ( ). ( ) B(, ) - Γ α Γ α α x (-x) dx Γ( α + ) Os parâmtros d α > > são os d forma. Os valors a b rprsntam os xtrmos da distribuição. No formato padrão a b. Para a dscrição d tmpos para compltar tarfas no planjamnto projto d sistmas. Usada xtnsivamnt m PERT/CPM.,7,4,,8 B(; ) B(; ) B(;) B(; ) B(: ),5 B(5; ),,9,6,3,,,,,3,4,5,6,7,8,9,

3 ,7,4,,8,5,,9,6,3 B(; ) B(; ) B(; ) B(; ) B(3; ) B(; 3) Dtrminar a rprsntação gráfica da B(,5;,5).,,,,,3,4,5,6,7,8,9, Não xist uma xprssão analítica para F(x) gnérica. S a b são intiros, uma xpansão Binomial pod sr utilizada para obtr F(x). A xpctância ou valor sprado da Distribuição Bta é dada por: µ E(X) α α + A Variância da Distribuição da Bta é dada por: σ V(X) α ( α + + )( α+) Considrando uma B(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação. 3

4 α µ o α + µ o µ o µ o Amodal s s α > > α < < α < α > α < α > s α ( α) µ 3 ( α + + ) α + + α 3( α + + )[ α( α + 6) + ( α+) ] µ 4 α( α + + )( α + + 3) γ α( α + +) Grar valors d uma B(,5;,5). Aprsntar os rsultados d forma tabular gráfica, calculando todas as principais mdidas. A gração d uma distribuição Bta d parâmtros α a b, intiros é dada por: b G(, b) ~ ln( U j) j a G(, a) ~ ln( U i) i B(a, b) ~ G(, a) G(, a) + G(, b) A distribuição d Cauchy aprsnta normalmnt duas xprssõs. Uma dnominada d fórmula gral outra d forma padrão. 4

5 A distribuição d Cauchy também dnominada d Lorntziana é a distribuição do quocint d variávis normais padrão indpndnts. Baron Augustin Louis Cauchy ( ) Entr os físicos la é conhcida como distribuição d Lorntz ou d Brit-Wignr. Ela é important por qu é a solução d uma quação difrncial qu dscrv a rssonância forçada. A xprssão gral da distribuição d Cauchy é: f (x), > x α π + ou f (x), π[ + (x α) ] > Os parâmtros são α qu é d localização qu é o d scala. S α, ntão tm-s a distribuição d Cauchy Padrão. A função dnsidad d probabilidad da Cauchy Padrão é dada por: f (x) π(+ ) x para x R,7,5,3, C(-;,5) C(; ) C(,5; ) C(; ) , 5

6 , A FD da Cauchy é: x - α F (x) + arctg para x R, > π,5, A distribuição d Cauchy não A distribuição d Cauchy não tm valor sprado, i.. média. aprsnta variância. Considrando uma C(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ o µ o α Essa distribuição não aprsnta momntos finitos. A média o dsvio padrão podm sr assumidos como sndo α rspctivamnt. 6

7 Grar valors d uma C(; ). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. C (α;) {tg[π(u,5)]} + α Uma variávl alatória T tm uma distribuição xponncial s sua fdp for do tipo: λ f (t). λt s s t t < Considr um srvidor da WWW com uma taxa d acsso d λ, rquisiçõs por sgundo. Assuma qu o númro d chgadas por unidad d tmpo é Poisson qu a taxa intrchgadas, X, é uma Exponncial d parâmtro λ. Dtrmin a probabilidad d não s tnha acssos durant um intrvalo d sgundos. P ( X lim t ) [, t ],3679,, t ( 36 ),79 dt % 7

8 Fdp s - E(,) - E(,) - E(,5), A função F(t) é dada por:,5,,5 F(t) - - λ t s s t t <, FD s - E(,) - E(,) - E(,5),,9,8,7,6,5,4,3,,, E(T) [ t t λt ] λt + t.f (t)dt + λ λt λt λ t. λ dt λt dt E( [ t λ T σ V(T) E(T ) E(T) ) λt ] tλ + t λt +.f (t)dt t dt. λ λt λ t dt λ. λ λt dt A variância srá ntão: σ λ V(T) E( λ T λ ) E(T) λ λ 8

9 Sja T uma VAC com distribuição xponncial d parâmtro λ. Dtrminar o valor mdiano da distribuição. Grador Para grar uma VAC Exponncial basta fazr: F(x) u λx λx λx ln( u) ln( u) x µ ln( u) λ ou x -µln(u) Uma variávl alatória X tm uma distribuição F ou d Sndcor s sua fdp for do tipo: m n m m n + Γ m n x f (x) m n Γ Γ ( n + mx ) m+ n s x > sx Expctância ou Valor sprado, F(, 3) - F(, 5) - F(5, ) - F(, ) n E (X), n > n Variância Var(X) n (m + n - ) m(n - )(n - 4) m é o grau d librdad do numrador n do dnominador,8,6,4,,

10 O qu é tablado é a prcntil 95% ou 99% - ára à dirita d cada curva (uma para cada par d valors numrador, dnominador) igual a 5% %, isto é, x tal qu P[F(m, n) x] 5% ou P[F(m, n) x] %. Grar valors d uma F(3; ). Aprsntar os rsultados d forma tabular gráfica, calculando todas as principais mdidas. A gração d uma F(m, n) é fita através da rlação com a distribuição Qui-Quadrado. F(m, n) ~ m n m Zi i n Zi i χ m m χ n n n χ m n mχ Para s dfinir a Distribuição Gama é ncssário dfinir inicialmnt a Função Gama. A função Gama é rcursiva, isto é: Γ(n) (n - )Γ(n - ) Γ( n) n x x dx para n > S n é um intiro positivo, ntão: G(n) (n )!

11 E uma vz qu : Vrificar, ainda, qu: Γ( ) x dx A função gama é uma gnralização do Fatorial. Γ π Uma vz dfinida a Função Gama, pod-s dfinir, ntão, a Distribuição Gama: f(x) λ (λx) Γ(r) r λx s c.c. x > Ond os parâmtros r > λ > são dnominados d parâmtro d forma (r) parâmtro d scala (λ). S r for intiro ntão a distribuição Gama é dnominada d distribuição d Erlang. Agnr Krarup Erlang (878 99) Exist uma rlação bastant próxima ntr a Gama a Exponncial. S r, a distribuição gama s rduz a uma xponncial. S uma variávl alatória X é a soma d r variávis indpndnts xponncialmnt distribuídas cada uma com parâmtro λ, ntão X tm uma dnsidad Gama com parâmtros r λ.

12 ,,8 G(; ) G(; ) G(; 3),5,4 G(; ) G(3; ) G(5; ),6,3,4,,,,,, 4, 6, 8,,,,,, 4, 6, 8,,, A função F(x) é dada por: S r é um intiro positivo a FDA pod sr intgrada por parts forncndo: - x F(x) Γ λ (r) r- (λu) -λu du s x s x > r k F(x) λ x (λx) /k! s x > k qu é a soma dos trmos d uma Poisson com média λx. Assim a FDA da Poisson pod sr usada para avaliar a Gama. A vida d quipamnto ltrônico é dada por Y X + X + X 3 + X 4, a soma das vidas d sus componnts. Os componnts são indpndnts, cada um tndo tmpo d falha xponncial com média ntr falhas d 4 horas. Qual é a probabilidad d qu o sistma opr plo mnos 4 horas sm falhas? Como r 4, ntão a FDA da Gama é dada por: F(x) 3 k k x / 4 (x/4) /k! s x > qu é a soma dos trmos d uma Poisson com média λx 4/4 6.

13 , P(Y > 4) F(4) 3 ( k 6 5,% 6 k )/k!,8,6,4, G(; ) G(3; ) G(5; ),,, 4, 6, 8,,, A xpctância ou valor sprado d uma Distribuição Gama é dada por: + µ E(X) x.f (x)dx r λ A Variância da Distribuição Gama é dada por: V(X) r σ λ Grador Para grar valors d uma VAC Gama, uma possibilidad é utilizar o sguint algoritmo: (i) Grar r númros alatórios: u, u,..., u r. (ii) Calcular L i -ln(- u i ) para i,,..., r. (iii) Somar todos os L i, isto é, fazr S Soma dos L i ; (iv) Dtrminar S/λ como um valor da distribuição G(r, λ). Ess algoritmo val para valors d r intiros não é muito ficint para r grand, mas é o mais simpls. 3

14 Rsumindo: uma manira d grar valors d uma G(λ, r) é dado por: E( λ, r) ln( λ r U i i ) A distribuição d Gumbl é também conhcida como distribuição d Valors Extrmos, log-wibull ou Fishr-Tippt. Su nom é uma homnagm a Emil J. Gumbl. Emil Julius Gumbl (89-966) Lonard Hnry Calb Tipptt (9-985) A distribuição tm duas formas. Uma é basada no mnor xtrmo a outra no maior. Elas são dnominadas d casos mínimo máximo rspctivamnt. A distribuição é utilizada na Indústria m aplicaçõs d Control d Qualidad. Nas ciências ambintais é utilizada para modlar valors xtrmos associados com nchnts prcipitaçõs pluviométricas. A xprssão da distribuição d Gumbl (caso mínimo) é: f (x) x - α xp xp - x-α > A xprssão da distribuição d Gumbl (caso mínimo) é: f (x) x - α xp xp - x-α > 4

15 Os parâmtros são α qu é d localização qu é o d scala. S α ntão a distribuição d Gumbl assum a forma: y f (y) - y para y R x - α ond y,8 G(-,5;,5) G(; ),6 G(,5;,5) G(: ),4,, ,8,7,6,5 G(-,5;,5) G(; ) G(,5;,5) G(: ),4,3,,, -, A FD da Distribuição d Gumbl é: ou x α F(x) xp F(x) y para > x -α ond y,,9,8,7,6,5,4,3,,, G(-;,) G(-,5;,5) G(; ) G(,5;,5) G(; )

16 ,,9,8,7,6,5,4,3,,, G(-;,) G(-,5;,5) G(; ) G(,5;,5) G(; ) A xpctância ou valor sprado da distribuição d Gumbl é dado por: µ E(X) α + Γ () α γ ond Γ () é a drivada d Γ(n) quando n, isto é, Γ() -,5776 γ constant d Eulr. ' A Variância da Distribuição d Gumbl é dada por: ( π ) σ V(X) 6 Considrando uma G(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ α + [ln(ln( ))] α, 3665 µ o α µ 3 3,444 γ,395 3 µ ( π) π γ 3( π) 6 µ 4 γ 5,4 4 ( ) µ π 6 π α 3,463 Grar valors d uma G(-; ). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. 6

17 Valors da distribuição d Gumbl podm sr grados através do método da invrsão: G(α;) α + ln ln u A distribuição d Laplac s origina da difrnça ntr duas VA xponnciais IID. É um movimnto Browniano avaliado m um tmpo alatório xponncialmnt distribuído. Pirr Simon Marquis d Laplac (749-87) A distribuição é conhcida também plo nom d Exponncial Dupla, mbora ss nom também sja aplicado a distribuição d valors xtrmos. É conhcida ainda por Exponncial d Dupla Cauda Exponncial Bilatral. A xprssão da distribuição d Laplac é: Os parâmtros são α qu é d f (x) xp x - α x α > localização qu é o d scala. 7

18 S α ntão a distribuição d Laplac assum a forma f (x) x para x R Essa distribuição é, às vzs, dnominada d primira li do Erro d Poisson., La(-;,5) La(; ),8 La(,5; ) La(; ),6,4,, A FD da Distribuição d Laplac é: x - α xp F(x) x - α xp s x α s x > α,,8,6,4, La(-;,5) La(; ) La(,5; ) La(; ), A Expctância da distribuição d Laplac é dada por: A variância da distribuição d Laplac é dada por: µ E(X) α σ V(X) 8

19 Considrando uma Lp(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ o µ µ µ 3 µ 4 6 γ α α α Grar valors d uma La(-; ). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. L( α; ) α sgn(u)ln( u ) Ond U é uma uniform no intrvalo [-,5;,5] A xprssão da fdp da Log- Normal é dada por: f (x) xp σx π Ou ( ln x µ ) σ s x, σ > f(x) ln x xp µ π x σ σ s x, σ > 9

20 O modlo aprsnta um parâmtro d localização µ um d scala σ.,,8,6,4,, LN(; /8) LN(, /4) LN(; /) LN(; ) LN(; 3/) LN(; ),8,6,4,, -,,,4,8,,6,,4,8 A FD d Distribuição Log-Normal é: ln(x) µ F (x) G s x, σ > σ Ond G é a FD da N(µ; σ),,9,8,7,6,5,4,3,, R(,5) R() R(,5) R(), x,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, A xpctância ou valor sprada da Distribuição da Log-Normal é dada por: µ E(X) xp( µ + σ / ) A variância da distribuição Log- Normal é dada por: V(X) xp( ) xp( σ µ + σ µ + σ )

21 Considrando uma LN(µ, σ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ xp( µ ) µ o xp( µ σ ) γ xp( ) xp( σ + σ ) ) γ xp( 4 ) xp( 3 ) 3xp( σ + σ σ ) 3 γ xp( σ ) Grar valors d uma LN(, ). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. A gração d valors dssa distribuição é fito através do método da convolução: LN( µ, σ ) xp( µ )xp σ Ui 6 i A distribuição Logística aprsnta normalmnt duas xprssõs. Uma dnominada d fórmula gral outra d forma padrão.

22 A distribuição Logística é drivada do trabalho d Vrhulst, Profssor d Anális na Faculdad Militar Blga. El a utilizou para modlar o crscimnto da população na Bélgica no início d 8. Pirr François Vrhulst (84-849) A xprssão gral da fdp Logística é dada por: f (x) [+ (x ou (x (/ ) y f (y) y [+ ] α) / α) / ] para x R, > x para x R, y α Os parâmtros são α qu é d localização qu é o d scala. A função dnsidad d probabilidad da Logística padrão é dada por: Ou x f (x) [+ f (x) [+ ] x para x R para x R ] x,,8,6,4,, L(;) L(-; ) L(-;,5) L(; ) Suponha qu X tm uma distribuição d Parto com α. Mostr qu Y ln(x - ) tm uma distribuição Logística Padrão.

23 A FD da Logística é: (x-α) > F(x) para x R, + (x-α)/ ou F(x) para x R, > + -(x-α)/ ou ainda: x - α F(y) para y R, y + -y,,5, A xpctância ou valor sprado da Distribuição Logística é dada por: µ E(X) α A Variância da Distribuição Logística é dada por: σ π V(X) 3 Considrando uma L(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ o µ µ µ 3 µ 4 6 /5 4, π γ 3 α α π 3α 3

24 Grar valors d uma L(-; 5). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. u L(α;) α + ln u A distribuição foi introduzida por D Moivr m um artigo m 733. O su rsultado foi stndido por Laplac no su livro Toria Analítica das Probabilidads d 8. Abraham DE MOIVRE ( ) Laplac utilizou a normal na anális d rros d xprimntos. O método dos mínimos quadrados foi introduzido por Lgndr m 85. Pirr-Simon, Marquis d LAPLACE (749-87) Adrin Mari LEGENDRE (75-833) El foi justificado por Gauss, supondo uma distribuição normal dos rros, m 89 qu algou qu já utilizava o método dsd 794. Hoj la é também conhcida como distribuição d Gauss- Moivr-Laplac. Carl Fridrich GAUSS ( ) 4

25 Uma variávl alatória X tm uma distribuição normal s sua fdp for do tipo: f (x). π. σ x µ. σ, x R com - < µ < σ > A distribuição Normal aprsnta dois parâmtros. Uma d localização µ outro d forma σ >. Nst caso os parâmtros rprsntam a média a variabilidad do modlo.,8,6 N(; ) N(;,5) N(; ) N(; ) P(X x) x. π. σ u µ. σ du?,4,, A normal não é intgrávl através do TFC, isto é, não xist F(x) tal qu F (x) f(x). Utilizar intgração numérica. Como não é possívl fazr isto com todas as curvas, scolhu-s uma para sr tablada (intgrada numricamnt). A curva scolhida é a N(, ), isto é, com µ σ. S X é uma N(µ, σ), ntão: Z X µ σ Srá uma N(; ) 5

26 A fdp da variávl Z é dada por:,4 ϕ(z). π z., z R,3,, uma vz qu µ σ., -4, -3, -, -,,,, 3, 4, O qu é tablado é a FDA da variávl Z, isto é: P(Z z) z -. π z - ϕ(u)du u. du Φ(z),,9,8,7,6,5 Φ(z),4,3, z,, -4, -3, -, -,,,, 3, 4, A xpctância ou valor sprado da Distribuição Bta é dada por: A Variância da Distribuição Normal é dada por: µ E(X) µ V(X) σ 6

27 Considrando uma N(µ; σ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação. µ µ µ o γ γ 3 ou µ γ σ Grar valors d uma N(, ). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. Um dos possívis métodos d gração d valors da normal é pla convolução: k Ui N(,) i k k Fazndo k, tm-s: N(,) Ui 6 i A Distribuição d Parto é também conhcida como Exponncial Dupla, Hiprbólica ou Li do Podr. É usada para modlar tmpo d CPU tamanho d arquivos na Intrnt. Vilfrdo Fdrigo Samaso PARETO (848-93) 7

28 Distribuiçõs sócio-conômicas com grands caudas à dirita. Tamanho d populaçõs, ocorrência d fnômnos naturais, prços d açõs, rnda pssoal, A função dnsidad d probabilidad d Parto é dada por: α α -( α+ ) s x, α, > f (x) x c.c. tc. Os parâmtros d locação, > rprsnta o mnor valor possívl da variávl. O parâmtro α > rprsnta a forma da distribuição.,,8,6,4,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3, 4, Suponha qu a rnda d uma dtrminada população tnha uma distribuição d Parto com parâmtro d forma igual a 3 parâmtro d scala igual a. Dtrmin o prcntual da população qu tm rnda ntr F(x) x s x s x < P( < X < 4) F(4) F() ,94%

29 A função F(x) é dada pla sguint xprssão rlativamnt simpls:,,8,6 α - F(x) x s s x x <,4,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3, 4, A xpctância ou valor sprado d uma distribuição d Parto é dada por: A variância da distribuição d Parto é dada por: α µ E (X) s α > α α σ V(X) s α > ( α ) ( α ) Grar valors d uma P(;,). Fazr um diagrama dos rsultados calcular as sguints mdidas: média, dsvio padrão, moda, mdiana, assimtria curtos. Considrando uma P(α; ), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos. 9

30 m o m ( α + ) α µ 3 s α > 3 α 3 α 3(3 α + α + )( α ) µ 4 s α > 4 α( α 3)( α 4) Um grador para obtr valors d uma variávl d Parto é dado por: F(x) x ( u) x /α α x x u α /α u Uma variávl alatória X tm uma distribuição Qui-Quadrado s sua fdp for do tipo: υ x x sx > υ f (x) υ Γ sx Dtrminar a rprsntação gráfica, m um msmo diagrama, das sguints distribuiçõs: χ, χ, χ 3, χ 4 χ 5,6,4, Q() Q() Q(3) Q(4) Q(5),,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 3

31 O qu é tablado é a função invrsa (prcntis), m rlação a ára à dirita (unilatral) d cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilatral), isto é, a tabla rtorna um valor t tal qu P(Τ t) α (unilatral) ou P( T t) α. Não xist uma xprssão analítica para F(x) gnérica. Ela é avaliada numricamnt. A xpctância ou valor sprado da Distribuição Qui-Quadrado é dado por: A Variância da Distribuição da Qui- Quadrado é dada por: E(X) υ Var(X) υ O qu é tablado é a função invrsa, m rlação a ára à dirita d cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor d ára na cauda dirita (α), a tabla rtorna um valor x tal qu P(χ x) α Considrando uma χ (ν), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação. 3

32 µ o ν s ν > µ ν γ γ 8 ν ν / 3 γ ν χ 3 Grar valors d uma. Aprsntar os rsultados d forma tabular gráfica, calculando todas as principais mdidas. A gração d valors d uma Qui- Quadrado com ν gl é divido m dois casos: ν par (primiro algoritmo) ν ímpar (sgundo algoritmo) r χν ~ ln( U i), r ν/ i r χ ~ ln( U ) ν i + Z, r ( ν )/ i A distribuição d Rayligh pod sr obtida através d duas componnts ortogonais normalmnt IID. O valor absoluto (p.. vlocidad do vnto) trá uma distribuição d Rayligh. John William Strutt (Lord) RAYLEIGH (84-99) S for tomado um númro complxo ao acaso com as componnts ral imaginária normalmnt IID o valor absoluto trá uma distribuição d Rayligh. 3

33 S, ntão R() ~ χ ; A χ é uma gnralização da Rayligh; A Wibull é, também, uma gnralização da Rayligh. A xprssão da distribuição d Rayligh é: x x f (x) xp b s x, > O modlo aprsnta um parâmtro d scala.,4,,,8,6,4, R(,5) R() R(,5) R(),,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, A FD da Distribuição d Rayligh é: x F(x) xp sx, >,,9,8,7 R(,5),6 R(),5 R(,5),4 R(),3,,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 33

34 A xpctância ou valor sprada da Distribuição d Gumbl é dado por: A Variância da Distribuição d Rayligh é dada por: µ E(X) π σ V(X) π (4 π) Considrando uma R(), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação µ o π ( π 3) µ 3 γ,63 3 3/ µ π γ µ ln(,5), 3863 π π 6 π 4π + 6 γ (4 π),45 4 π,57 π Grar valors d uma R(). Rprsntar os rsultados graficamnt calcular todas as principais mdidas. A gração d valors dssa distribuição é fita através d uma quiquadrado. U [ ln(u) ] 34

35 A origm da distribuição t foi um artigo publicado m 98 por Gosst, químico da crvjaria Guinnss d Dublin. William Saly Gosst ( ) El não pod publicar o artigo com o su vrdadiro nom daí o psudônimo. Sir Ronald Aylmr Fishr (89-96) A distribuição t, principalmnt o tst t, s tornaram bm conhcidos através do trabalho d Fishr, qu foi qum a batizou d distribuição d Studnt. Ela surg m quas todo trabalho statístico smpr qu s tnha qu stimar o dsvio padrão a partir d dados amostrais. Uma variávl alatória X tm uma distribuição t ou d Studnt s sua fdp for do tipo: f (x) υ + Γ υ+ υ. x πυ Γ + υ ν > Dtrminar a rprsntação gráfica, m um msmo diagrama, das sguints distribuiçõs: t(), t(3), t(), t(5) Z.,4,3,, t() t(3) t() t(5) N(: ),

36 O qu é tablado é a função invrsa (prcntis), m rlação a ára à dirita (unilatral) d cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilatral), isto é, a tabla rtorna um valor t tal qu P(Τ t) α (unilatral) ou P( T t) α. Não xist uma xprssão analítica para F(x) gnérica. Ela é avaliada numricamnt. A xpctância ou valor sprado da Distribuição t é dado por: A Variância da Distribuição da t é dada por: µ E (X) Var(X) υ υ - Considrando uma t(ν), dtrminar: () A moda; () A mdiana; (3) A assimtria; (4) A curtos; (5) O coficint d variação. µ o µ γ 3ν 6 γ ν > 4 ν 4 36

37 Grar valors d uma t(3). Aprsntar os rsultados d forma tabular gráfica, calculando todas as principais mdidas. A gração dos valors d uma distribuição t é fito através do quocint d uma normal uma Qui- Quadrado. t n ~ Z n χ n Ond Z é a normal padrão. Uma VAC X é uniform no intrvalo [a; b] s assum todos os valors com igual probabilidad. Isto é, s f(x) for: f (x) b a s a x b c.c. Fdp da U(; 6) Sja X uma VAC com distribuição uniform no intrvalo [; 6], isto é, X ~ U(; 6). Então a fdp é dada por: f (x) 6-4 c.c. s x 6,3,5,,5,,

38 A função F(x) é dada por: Sja X uma uniform no intrvalo [; 6], ntão a FDA d X é dada por: x a F(x) b a s x < a sa x b s x > b x F(x) 4 s x < s x 6 s x > 6 FDA da U(; 6),9,8,7,6,5,4,3,, E(X) + b x b a x.f (x)dx b a (b a) (b a).(b + a) a + b (b a) a b a x dx b a A variância srá ntão: σ V(X) E(X ) E(X) E(X ) + 3 x b a 3 b x x.f (x)dx dx a b a b 3 a 3 b a 3(b a) σ V(X) E(X ) E(X) 3 3 b a a+ b 3(b a) 3 3 b a a 3(b a) (b a) + b ab 4 38

39 Grador Para grar uma VAC Uniform m um intrvalo [a, b], basta fazr: x a F(x) b a x a u b a x a + (b a)u A Distribuição d Wibull (95) é aplicávl a uma séri d fnômnos, sndo uma das principais áras os tmpos d falha d componnts létricos mcânicos. Ernst Hjalmar Waloddi WEIBULL ( ) A função dnsidad d probabilidad d Wibull é dada por: x γ x γ xp f (x) δ δ δ s x γ c.c. Os parâmtros são γ (- < γ < ) o d locação, δ > o d scala > o d forma. Quando γ, a Wibull s rduz a uma xponncial d parâmtro λ /δ.,6,4 W(,,) W(,,) W(,3,), W(,4,),,8,6,4,,,,4,8,,6,,4,8 3, 3,6 4, 39

40 A vida d quipamnto ltrônico é dada por Y X + X + X 3 + X 4, a soma das vidas d sus componnts. Os componnts são indpndnts, cada um tndo tmpo d falha xponncial com média ntr falhas d 4 horas. Qual é a probabilidad d qu o sistma opr plo mnos 4 horas sm falhas? P(Y > 4) F(4) 3 6 ( k 6 )/k! k 5,% A função F(x) é dada pla sguint xprssão rlativamnt simpls: x-γ - xp - F(x) δ s x s x < γ γ,,9,8,7,6,5,4,3,, W(,,) W(,,) W(,3,) W(,4,),,,4,8,,6,,4,8 3, 3,6 4, A distribuição do tmpo d falha para um quipamnto ltrônico é uma Wibull com parâmtros γ, ½ δ. Dtrmin a fração d quipamntos qu spra rsistam mais d 4 horas P(X > 4) F(4) xp( 4/) - 3,53% 4

41 A xpctância ou valor sprado d uma Distribuição d Wibull é dada por: µ E(X) γ + δ Γ + A Variância da Distribuição d Wibull é dada por: V(X) σ δ Γ + Γ + Grador Para grar valors d uma VAC Wibull, uma possibilidad é utilizar o sguint algoritmo: x-γ -xp - u δ x-γ xp x-γ - u ln( u) δ δ [ ln( u)] / x δ[ ln( u)] x -γ δ / x -γ δ[ ln( u)] + γ x δ[ ln( u)] / / + γ 4