Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias Multidimensionais. Variáveis Aleatórias Multidimensionais. Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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1 Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probbilidde Vriáveis Aletóris Funções de Um Vriável Aletóri Funções de Váris Vriáveis Aletóris Momentos e Esttístic Condicionl Teorem do Limite Centrl Processos Estocásticos Análise Espectrl Filtrgem e Predição Estocástic Processos Mrkovinos Um V.A. pr o cso contínuo, é um vriável (domínio d função) pertencente os reis. V.A. mpei R em R. S e P() S Pr o cso multidimensionl, temos que n V.A. (contínus), são o domínio d função distribuição de probbilidde pertencente os reis. V.A. multidimensionl mpei R n em R. P(,) (e) e (e) (e) (e) (e) (e) Esttístic Conjunt de V.A.: Interesse de se estudr simultnemente váris crcterístics num determindo experimento. Interesse de estudo d inter-relção desss vriáveis. Definição: Sejm,,, n v.. definids em S, um ponto nesse conjunto n-dimensionl mpei um único ponto no espço unidimensionl. 0 P(x,x,, xn) = k Esttístic Conjunt de V.A.: Exemplos: Num pesquis de opinião de votos, colet-se lém d intenção de voto, idde, sexo e rend: tridimensionl f(idde, Sexo, Rend). Experimento de se lnçr um moed () e um ddo () simultnemente: bidimensionl f(,) Desej-se bsicmente obter-se s inter-relções ou independêncis entre s diverss v.. envolvids no experimento.

2 Pr o cso de V.A. discrets, temos um tbel de n+ coluns. b b P( =x, =x, ) k k y y Pr o cso de V.A. bidimensionl: F x (x) = P( x) F y (y) = P( y) F x,y (,) = P( x; y) Probbilidde conjunt de e. P(x x ; y y ) =? x x Volume cuj bse é dd pelos limites em e. y x y x Pr o cso de V.A. bidimensionl: Cso Discreto: F x,y (x,y) = P( x; y) = Σ i Σ j P(=xi, =yj) Cso Contínuo: F x,y (x,y) = P( x; y) = -,y -,x f(x,y) dx dy Distribuições Mrginis: Cso bidimensionl: Dd F(x,y), clculr distribuição de, independentemente do vlor de Distribuição Mrginl de. F x (x) = F xy (x,+ ) ; {y<+ } F (y) = F xy (y,+ ) ; {x<+ } Cso discreto: P(=yj) = Σ i P(=xi, =yj) Cso contínuo: f x (x) = -,+ f(x,y) dy P[(,) D] = D f(x,y) dxdy Distribuições Mrginis: Cso n-dimensionl: Dd F(x,x,,x n ) clculr distribuição mrginl de. Cso discreto: P( = x ) = Σ x Σ xn P( =x,, n =x n ) Cso contínuo: f x (x ) = x xn f(x,,x n ) dx dx n E[ + ] = E[] + E[] Distribuições Mrginis: Proprieddes: F xy (x,- ) = 0; F xy (-,y) = 0; F xy (+,+ ) = P(x x ; y) = F xy (x,y) - F xy (x,y) P( x; y y ) = F xy (x,y ) - F xy (x,y ) P(x x ; y y ) = F xy (x,y ) - F xy (x,y ) -F xy (x,y ) +F xy (x,y ) f x (x) = -,+ f x,y (x,y)dy

3 Distribuições Mrginis: Exemplo: Determine s distribuições mrginis de e. \ 3 P() 0,0 0,08 0,0 0,05 0,05 0,0 3 0,0 0,0 0,04 4 0,07 0,9 0,00 P() Distribuições Mrginis: Exemplo: sejm (,) um v.. bidimensionl cuj densidde de probbilidde é dd por: f(x,y) = (3/80) (x +xy), 0<x< e 0<y<4 f(x,y) = 0, pr s outrs regiões Determine s densiddes mrginis de e. Clculr probbilidde de P[+<3]. Resp.=/ Determinr F(x,y). 3 Distribuições Mrginis: Exemplo: sejm (,) um v.. bidimensionl cuj densidde de probbilidde é dd por: f(x,y) = 8xy, 0<x<y< f(x,y) = 0, pr s outrs regiões Determine s densiddes mrginis de e. Clculr probbilidde de P[0<<0,5; 0<<0,5]. Resp.=0,065 Função Densidde de Probbilidde Conjunt f xy (x,y) = F x,y (x,y)/ dx dy F x,y (x,y)/ dx = -,y f x,y (x,v)dv f x,,xn (x,, x n ) = n F x,xn (x,, x n )/ dx dx n 0,5 0,5 V.A. Independentes: As v..,, n são dits independentes se pr todos os seus vlores tivermos: P[ =x,, n =xn] = P[ =x] P[ n =xn] V.A. Independentes: Conseqüêncis: F x,y (x,y) = F x (x). F y (y) f x,y (x,y) = f x (x). f y (y) E[] = E[] E[] Vr(+) = Vr(-) = Vr() + Vr() Se s v.. são independentes, então distribuição conjunt é dd pelo produto ds distribuições mrginis.

4 Covriânci Sejm s v.. e. As sus vriâncis fornecem um medid de dispersão em relção às sus médis. A covriânci fornece um medid de dispersão de um v.. bidimensionl em relção o ponto (E[], E[]). Cov(,) = E{ (-E[]) (-E[]) } Covriânci Cov(,) = E{ (-E[]) (-E[]) } Cov(,) = Σ i Σ j (x i -m x ) (y i -m y ) P(=x i, =y j ) Cov(,) = y x (x i -m x ) (y i -m y ) f(x,y) dx dy Cov(,) = E[] E[] E[] C x,y = R x,y -m x.my ; R x,y = y x x i y i f(x,y) dx dy Correlção Covriânci Conseqüêncis: Vr(+) = Vr() + Vr() +Cov(,) Se e são independente Cov(,) = 0 Se e tendem vrir no mesmo sentido, Cov(,) será positiv. Se e tendem vrir em sentidos opostos, Cov(,) será negtiv. Covriânci e Coeficiente de Correlção Sejm dus V.A. e. Se = e = b: Cov(, ) = b Cov(,) Cov(,) = E[] E[x] E[] Então, covriânci depende ds escls ds v.. Seri interessnte se trblhr com um medid de dispersão independente de escl! Coeficiente de Correlção ρ(,) = Cov(,)/ ( σ() σ() ) ρ(,) normlizção d covriânci Descorrelção Cov(,) = C x,y = 0 ρ(,) = 0; E[] = E[] E[] Se = e = b: Cov(, ) = b Cov(,) ρ(, ) = b Cov(,)/ ( σ() bσ() ) = ρ(,) Se = + b ρ(,) = signl(). Ortogonlidde: E[] = 0 e são ortogonis.

5 = [,,, n ] R n = R R n Mtriz de Correlção R n R nn C n = C C n Mtriz de Covriânci C n Vnn C n =R n Ν x Ν t x ; N xt = [η x η x η xn ] Distribuição n-dimensionl conjutmente norml: f(x,,x n ) = (π) -n/ [C x ] - / exp{-0.5 [x-] t [C x ] - [x-]} Exemplo pr o cso bidimensionl. f(x,y) = (π) - (σ x σ y ) - (-r ) -/. exp{-0.5 (-r ) -/ [(x-η x ) /σ x +(y-η y ) /σ y + - r(x-η x )(y-η y )/ σ x σ y ] } Sejm e com distribuição conjunt dd por F(x,y) e densidde de probbilidde f(x,y). F(x,y) f(x,y)? Outr questão importnte: Ddo f(x,y) e se Z= g(,) f(z)? G(Z) = P[Z z] = P[(,) D z ]; D z = {(x,y):g(x,y) z} Cso : Z=+ D z = {(x,y): x+y z} G z (Z) = Dz f(x,y)dxdy = -, { -,z-x f(x,y)dy}dx F z (Z) = -, { -,z f(x,u-x)du}dx u=x+y y = u - y z=x+y F z (Z) = -,z { -, f(x,u-x)dx}du integrndo não negtivo f z (z) = { -, f(x,z-x)dx} Se e forem independentes: f z (z) = f x (x). f y (y) f z (z) = -, f x (x) f y (z-x)dx Integrl de Convolução Cso : Z=+ Se e forem independentes: f z (z) = f x (x). f y (y) f z (z) = -, f x (x) f y (z-x)dx Integrl de Convolução. Exemplo : f z (z) = f x (x) f y (y) f(x) Cso : Z=+ Se e forem independentes: f z (z) = f x (x). f y (y) f z (z) = -, f x (x) f y (z-x)dx Integrl de Convolução. Exemplo : f z (z) = f x (x) f y (y) f(x) f(z) / b f(z) f(y) f(y) Z +c b+d Z c d

6 Cso : Z=+ Se e forem independentes: f z (z) = f x (x). f y (y) f z (z) = -, f x (x) f y (z-x)dx Integrl de Convolução. Exemplo 3: f z (z) = f x (x) f y (y) f(x) Distribuições Condicionis Cso Bidimensionl: Sejm e v.. conjunts. P[=y =x] = P[=x,=y] / P[=x] P[ y x< x+ x] = P[x< x + x,=y] / P[x< x+ x] f(y) / f(z) 3 Z f(y/x) = f(x,y) / f(x) f(x,y) = f(y/x). f(x) Exemplo: f(x,y) = x.y 3 pr 0<x<y< e 0 pr outros vlores. Determine f(x), f(y), f(x y) e f(y x). Distribuições Condicionis Cso Bidimensionl: Espernç condicionl E[ =x] = y y. P[=y =x] pr cd x há um espernç correspondente. E[ =x] = -,+ y. f(y x)dy Exemplo: Obter E[ =x] pr exemplo nterior. f(y x) = 4y 3 / (-x 4 ) ; pr 0<x<y<. E[ =x] =? Distribuições Condicionis Cso N-dimensionl: f(x n x n-,,x ) = f(x n,x n-,,x ) / f xn-,,x (x n-,,x ) f(x n,x n- x n-,,x )= f(x n,x n-,,x ) / f xn-,,x (x n-,,x ) E[ n n- =x n-, =x ] = -,+ x n. f(x n x n-,,x )dx n Teorem do Limite Centrl Se s v.. i são independentes, então sob condições geris, densidde f(x) d su som (x = x +x + +x n ) normlizd propridmente, tende pr curv norml qundo n tende infinito. Se né suficientemente grnde: f(x) (/σ π). exp{-(x-η) /σ } Teorem do Limite Centrl Se s v.. forem independentes: Se x = x + x + +x n Então, f(x) = f (x ) f (x ) f n (x n ) Pr n suficientemente grnde, f(x) tende um distribuição norml. Se x i s têm médi η e desvio pdrão σ: E[x] = n. η Vr[x] = n. σ

7 Teorem do Limite Centrl Exemplo: Um ddo é lnçdo.500 vezes. Clculr probbilidde de que som dos pontos obtidos sej menor que Como n =.500 é muito grnde proximção norml. = P( j =i) = /6 ; i é número d fce no j-ésimo lnçmento. E[ j ] = /6=3,5 ; Vr[ j ] =,9 σ( j ) =,7 E[] =.500 * 3,5 = 8.750; Vr[] =.500 *,9 =7.30 σ() = 85,5 P[<8.850] = P[Z< ( )/85,5] = P[Z<,7] = 0,879 Z = ( médi x )/ σ normlizção pr N(0,). Teorem do Limite Centrl Exemplo: = n i s são independentes entre si. i s têm distribuição uniforme entre 0 e T. E[ i ] = η = T/ σ [ i ] = E[( i - η)] = T / σ[ i ] = T/ () / E[] = n. E[ i ] = n. η = n. T/ σ [] = n. E[( i - η)] = n. T / Pr o cso de T = e n = E[] = 6 e σ [] =.