, onde F n é uma força de tracção e d o alongamento correspondente. F n [N]

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1 º Tst d CONTROLO DE SISTEMS (TP E PRO) Licciatura m Eg.ª Mcâica Prof. Rsposávl: Pdro Maul Goçalvs Lourti d bril d 00 º Smstr Duração: hora miutos. Tst com cosulta. Rsolução. Cosidr o sistma rprstado a figura. O sistma é costituído por uma massa ( m = 0Kg), apoiada uma mola d caractrística ão liar ligada ao poto d actuação da força xtra () por uma mola liar ( k = 0 N / m ) um amortcdor liar ( b = 00N.s / m ). caractrística da mola ão liar é dada a figura, poddo sr aproximada a gama d fucioamto pla sguit xprssão: = (d 0,), od é uma força d tracção d o alogamto corrspodt. ig. 000 [N] k b 000 y m 0 ig d [m] s codiçõs omiais corrspodm a uma força ula. a. [ val.] Obtha a xprssão liarizada da mola m toro das codiçõs omiais xprssão a liarizar é a dada, od s itroduziu o ídic a para rfrciar variávis absolutas: a a (d 0,) =. Para liarizar sta xprssão tmos d sabr o valor omial d d. Em codiçõs omiais é dito qu é ula, o qu sigifica qu a mola ão liar apas suporta o pso da massa m, ou sja:

2 = m.g = 98N Od o sial gativo rsulta d o pso produzir uma força d comprssão a mola é dito qu é uma força d tracção. Substituido st valor a xprssão obtém-s: d = 0,009m. xprssão liarizada srá d = dd 00.d = a (d 0,) a.d, a = d d 0. d b. [, val.] Obtha as quaçõs liars ivariats o tmpo qu dscrvm o movimto da massa m fução d variaçõs da força aplicada (). força aplicada a massa m, dvido à força xtra é igual a, dado qu a mola o amortcdor são cosidradas sm massa. Ou sja, a quação qu dscrv o comportamto da massa é: d y m. =, od é a força xrcida pla mola ão liar a massa. sado a xprssão obtida a alía atrior, od d=y, o valor da massa dado o uciado, vm d y m. =,8.0.y.. Cosidr o sistma rprstado a figura, costituído por dois taqus cilídricos ligados por uma caalização d comprimto dsprzávl. O taqu é alimtado através d uma lctroválvula d caractrística liar ( q [ m / s] =,.u[ V] ). Etr os dois taqus tr o sgudo taqu a atmosfra xistm válvulas com rsistêcia costat. No sgudo taqu xist um sistma d prssurização costituído por um êmbolo (cuja massa s pod dsprzar) uma mola liar. s áras dos dpósitos são rspctivamt = 0m = m. s rsistêcias das válvulas são rspctivamt R =.0 N.s / m R = 0 N.s / m. O líquido é água ( ρ = 0 Kg / m ). costat da mola é k =.0 N / m. u q ig. k h R h R q q s

3 a. [, val.] Obtha as quaçõs qu dscrvm o comportamto diâmico do sistma sado variávis d dsvio, é possívl scrvr as sguits quaçõs:. q =,. u (quação dada). dh q q =. (variação da quatidad d água o dpósito ). p p = R. q (quação da válvula, od p i é a prssão o fudo do dpósito). p = ρ.g. h (prssão o fudo do dpósito rsultat da colua d água). dh q qs =. (variação da quatidad d água o dpósito ) 6. p = R. q s (quação da válvula, sdo o dsvio da prssão xtrior 0) 7. k.h p = ρ.g.h (prssão o fudo do dpósito rsultat da colua d água da força da mola). b. [, val.] Obtha a fução d trasfrêcia tr o comado da válvula d trada (u) o caudal d saída (q s ). plicado trasformadas d Laplac às quaçõs da alía atrior substituido os valors dados, vm:. Q =,.. Q Q = 0.s. H. P P =.0. Q. P = 9,8.0. H. Q Qs =.s. H 6. P = 0. Qs 7. P =,98.0. H. Elimiado todas as variávis com xcpção da d trada () da d saída (Q s ), vm Qs (s) = G =.s,.s. Cosidr o sistma cujo diagrama d blocos stá rprstado a figura.

4 s s ig. a. [, val.] Dtrmi a fução d trasfrêcia tr Rsolvdo graficamt, usado = B =, vm s s B B. B.( B). Ou sja, 0.s G(s) =. (s 9).(s ) b. [, val.] Vrifiqu s o sistma é stávl (m al fchado) Dado qu o sistma tm um pólo o smi-plao dirito (s=9), plo qu o sistma é istávl.

5 c. [, val.] Dtrmi a xprssão da rsposta a um impulso uitário do sistma (m al fchado). rsposta a um impulso uitário é a trasformada ivrsa d Laplac da fução d trasfrêcia: 0.s B y(t) = L = L (s 9).(s ) s 9 s Os valors d B podrão sr calculados através d 0.s B = 9,6 = (s 9).(s ) s 9 s B = 0,7 O rsultado é: y(t) 9,6 s 9 = L L 0,7 = 9,6. s 9.t 0,7..t