Sistemas e Sinais (LEIC) Resposta em Frequência

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1 Sismas Siais (LEIC Rsposa m Frquêcia Carlos Cardira Diaposiivos para acompahamo da bibliografia d bas (Srucur ad Irpraio of Sigals ad Sysms, Edward A. L ad Pravi Varaiya

2 Sumário Dfiiçõs Sismas sm mmória Sismas causais Sismas Ivarias o Tmpo Sismas Liars Rsposa m Frquêcia

3 Dfiiçõs x S y x Eradas = [mpo Rais ou Complxos] y Eradas = [mpo Rais ou Complxos] Tmpo = Iiros ou Rais

4 Exmplos (coíuos Gaho K Dlay T Média Móvl ( ( (,, x x G R x ( ( (,, T x x D R x T d x M x MA R C R R x M ( ( (, ],, [

5 Exmplos (coíuos Rvrs x,, Rv( x( x( Fas Forward Câmara La Ergia x,, FF ( x( x(.5 x,, CL( x( x(.5 x,, E( x( x ( d 2

6 Dfiiçõs: Rsposa Impulsiva A saída do sisma pod-s calcular aravés da covolução da rsposa impulsiva com a rada x,, H ( x( h( s x( s ds s

7 Exmplos (discros Gaho K x, Iiros, G ( x( x( Dlay T (T iiro x, Iiros, D ( x( x( T T Média Móvl x [ R R, C], Iiros, MA( x( M M x(

8 Exmplos (discros Rvrs x,, Rv( x( x( Dow Sampl (subamosrar x,, Dow( x( x(2 Up Sampl (sobramosrar, iroduzido zro ou ouro valor, os poos ão dfiidos x,, Up( x( x 2 par ímpar

9 Rsposa Impulsiva (discros A saída do sisma pod-s calcular aravés da covolução da rsposa impulsiva com a rada x,, H ( x( h( m x( m m

10 Sisma sm mmória Um sisma S ão m mmória s xisir uma fução al qu: Exmplos:, x, S( x( f ( x(, x, S( x( x 2 ( Sm mmória, x, S( x( 2x( Sm mmória, x, S( x( x( x( 2 Com mmória

11 Dfiiçõs: Sisma causal Um sisma S é causal s a saída ão dpdr d radas fuuras:, w, x, x( s w( s, s S( x( S( w( S duas radas form iguais aé um drmiado isa, a saída, aé ss isa, é igual para ambas

12 Causalidad O sisma é causal porqu para radas x w, iguais aé ao isa, produz a msma saída S(x S(w.

13 Dfiiçõs: Sisma Ivaria o mpo Cosidr-s a fução Dlay x,, D ( x( x( T T Um sisma é ivaria o mpo s, para qualqur dlay T, ivrmos: D S S D T T Ou sja: x,, D ( S( x( S( D ( x( T T

14 Exmplo: Sisma Ivaria o mpo Arasar uma rada produz um araso quival a saída. As fuçõs araso S podm sr aplicadas a ordm qu quisrmos.

15 Exmplos S(x(=x(+3 D T o S = x(+3-t S o D T = x(-t+3 O sisma é ivaria o mpo

16 Exmplos S(x(=x(- D T o S = D T (S(x((= D T (x(-( =x(--t S o D T = S(D T (x((=s(x(-t(=x(-+t Não é Ivaria o Tmpo

17 Exmplos S(x(=(x(- 2 D T o S = D T (S(x((= D T ((x(- 2 ( =(x(-t- 2 S o D T = S(D T (x((=s(x(-t(=(x(-t- 2 É causal

18 Exmplos E ( x( x ( s ds 2 É ivaria o mpo E ( x( x ( s ds a Não é ivaria o mpo. Só o sria s a fução x foss ula para <a 2

19 Exmplos - Covolução x ( h( s ds É ivaria o mpo

20 Liaridad S(x+w=S(x+S(w S(ax=aS(x S(ax+bw=aS(x+bS(w S( m qu sr porqu são ão sria possívl garair S(ax=aS(x para qualqur a

21 Liaridad

22 Exmplos Média Móvl Liar Ivaria o Tmpo Dlay Liar Ivaria o Tmpo Gaho Liar Ivaria o Tmpo Rvrs Liar Não Ivaria o Tmpo

23 Exmplos Fas Forward Liar Não Ivaria o Tmpo Câmara La Liar Não Ivaria o Tmpo Ergia Não Liar Ivaria o Tmpo Covolução Liar Ivaria o Tmpo

24 Rsposa m Frquêcia Torma: S a rada for uma xpocial complxa ( iw d drmiada frquêcia, a saída ambém rá a msma frquêcia H(w é a rsposa m frquêcia do sisma

25 Exmplo: H ( w jw H ( w j arca w w 2

26 Exmplo: H(w H ( w w 2 Filro passa baixo

27 Exmplo: fas arca(w

28 Cálculo da Rsposa m Frquêcia O circuio RC (s ormalizado d forma a R=C= m a forma: dy d y( x( Qual srá a rsposa m frquêcia?

29 Cálculo da Rsposa m Frquêcia do circuio R/C x( jw y( H ( w jw jwh ( w jw H ( w jw jw H ( w jw Filro passa baixo

30 Exmplo: Rsposa m Frquêcia da Média Móvl

31 Exmplo: Rsposa m Frquêcia da fução Dlay A ampliud maém-s, apas a fas do sial varia

32 Exmplo: Rsposa m Frquêcia da fução Gaho K x,, G x( H ( w jw jw H ( w A ampliud é muliplicada por K, a fas maém-s

33 Rsposa m Frquêcia

34 Liar Ivaria o Tmpo Liar porqu as drivadas são opradors liars Ivaria o mpo s a i b i ão dpdrm d

35 Causalidad Rsposa Impulsiva Cosidr-s um sisma dfiido pla covolução: S( x( h( s x( s ds h( h( s x( s ds, h( s x( s ds ( causalidad

36 Rsposa m Frquêcia A rsposa m frquêcia d um sisma dfiido pla covolução da rada com a rsposa impulsiva é: S( x( s h( s x( s ds H ( w jw s h( s jws ds jw s h( s jw( s ds jw jwu h( u du s H ( w O qu sigifica qu a rsposa m frquêcia d um sisma é a rasformada d Fourir da rsposa impulsiva

37 Rsposa m Frquêcia d Sismas Discros Aalogam:, x( jw y( H( w jw

38 Exmplo: média móvl 2( ( 2 2 ( ( ( 2 ( (,, ( jw jw jw jw jw jw w H w H x x x MA x

39 Exmplo: média móvl + auorgrssão y( y( 2 x( x( x( 3 H ( w( j2w jw jw ( jw j3w H ( w jw j2w j3w D uma forma gral, a compo média móvl fica o umrador a compo auorgrssiva o domiador. Cosgu-s scrvr a rsposa m frquêcia sm r qu fazr as coas

40 Exmplo: quação às difrças gérica

41 Pridicidad da rsposa m frquêcia para sismas discros x( jw y( H ( w jw x ' ( j( w 2 y( H ( w 2 j( w 2 Mas como x(=x ( : H( w H( w 2 Em sismas discros, H(w m smpr príodo 2 E, por covção, dsha-s apas r - ou ão apas r porqu a fução é par

42 Rsposa m frquêcia d dois sismas LTI m cascaa A rsposa m frquêcia é o produo das rsposas m frquêcia d cada sisma H(w G(w jw H(w jw H(wG(W jw

43 Rsposa m Frquêcia d dois sismas com fdbac. jw E(w jw Y(w jw + H R(w jw G Y(w=E(w.H(w R(w=Y(w.G(w E(w=+R(w

44 Rsposa m Frquêcia d sismas com fdbac Y(w=E(w.H(w R(w=Y(w.G(w E(w=+R(w Y(w=(+R(w.H(w= =(+Y(w.G(wH(w Y(w=H(w/(-G(wH(w

45 Ampliud fas H(w= H(w H(w, H(w rprsa o agulo d H(w com o ixo ral H(w é a ampliud da rsposa m Frq. H(w é a fas da rsposa m frquêcia

46 Exmplo: y(=/2(x(+x(- H(w=/2(+ -jw H(w =/2 +cos(w-jsi(w = =/2 sqr((+cos(w 2 +si 2 (w H(w=-aa(si(w/(+cos(w

47 Exmplo: >> w=-2*pi:pi/:2*pi; %mbora basass d a pi >> H=(+xp(-i*w/2; >> subplo(2,, >> plo(w,abs(h >> subplo(2,,2 >> plo(w,agl(h

48 Exmplo

49 Dcibls É vulgar mdir a ampliud m db db 2log H( w

50 Propridads (siais rais

51 Propridads S a rada for priódica d príodo p a saída é priodica com o msmo príodo Como cos(w=cos(-w rmos H(w=H*(w H(w = H(-w ampliud é par H(w=- H(-w fas é ímpar

52 Propridads (Discros

53 Exmplo d fdbac para aumar a largura d bada

54 Exmplo d fdbac para aumar a largura d bada

55 Fdbac para mlhorar a rsposa m frquêcia S s prd qu o sisma rspoda mais rapidam a rsposa às alas frquêcias m qu mlhorar À par o problma das sauraçõs s é um mcaismo usado m robôs.

56 Propridads (Discros S a rada for priódica d príodo p a saída é priodica com o msmo príodo Como cos(w=cos(-w rmos H(w=H*(w H(w = H(-w ampliud é par H(w=- H(-w fas é ímpar E porqu jw = j(w+2 Tmos: H(w=H(w+2 (m sismas discros a rsposa m frquêcia é priódica

57 Coficis da Séri d Fourir X : R R, p, w 2 P rad / sc x( A A cos( w

58 Séri d Fourir A é a compo DC (valor médio do sial Prmi rprsar qualqur sial priódico S o sial ão for priódico mas for fiio (o mpo, pod ambém sr rprsado por uma séri s o rplicarmos ao logo do mpo.

59 A forma xpocial é mais práica x( X jw o X X *

60 Equivalêcia r as formas xpocial coso ( 2 ( 2 ( ( 2 2 cos( ( ( ( A X A X A X X x A A A w A A x j j jw w j w j X X - são Complxos Cojugados

61 Obção dos coficis A parir d X o jw jw jw jw jw o X X A X w X X X X X X w A X A o o o o o 2 cos( 2 2 R cos( *

62 Cálculo dos coficis X ( ( ( ( 2 ( ( ( ( p d d d X d X d X d x X x p p j p w j p w j p w j p jw jw p jw jw

63 Cálculo dos Coficis x( p X x( p jw p X x( jw d X jw p d

64 Bas As fuçõs qu compõm a séri d Fourir cosium uma bas. Qualqur fução pod sr rprsada por uma combiação liar dlas.

65 Cálculo dos Coficis (mpo discro C X X x ou w A A x amosra rad p w Is Is X l p l jlw l p, (, cos( (, / 2, : 2 /

66 Cálculo d X (discro ( ( ( ( p jw p l p w l j l p p l w l j l p jw x p X p X X X x Muliplicado ambos os lados por xp(-jw o

67 Cálculo dos Coficis (mpo discro p j( l w s l l

68

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