VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO DE SISTEMAS com 1 GL

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOOGIA DEPARTAENTO DE ENGENHARIA ECÂNICA VIBRAÇÕES DOS SISTEAS ECÂNICOS VIBRAÇÕES IVRES SE AORTECIENTO DE SISTEAS com G NOTAS DE AUAS Virgílio doça da Costa Silva Jairo 08

2 . Vibraçõs ivrs sm Amortcimto d Sistmas com G. Sistmas com Oscilaçõs Rtilías.. Dtrmiação da Equação Difrcial do ovimto A Equação Difrcial do ovimto ED d sistmas vibratórios com um Grau d ibrdad G, sm amortcimto, pod sr dtrmiada tato plo método d somatório d forças, aplicado a sguda li do movimto d Nwto, quato plo método d rgia, aplicado o pricípio d cosrvação d rgia ou através da Equação d agrag.... étodo d Somatório d Forças (Nwto) Todo sistma qu possui massa lasticidad á capaz d vibrar (oscilar). O mais simpls sistma oscilatório é o sistma massa-mola, composto d uma massa uma mola d rigidz massa dsprzívl. A Figura. mostra um sistma sm amortcimto, d um grau d librdad, m razão d o su movimto sr dfiido por uma coordada apas m X. Quado posto m movimto, havrá oscilação a frquêcia atural f, qu é uma propridad do sistma. Examiarmos st capitulo algus dos cocitos básicos associados à vibração livr d sistmas com um grau d librdad sm amortcimto. O xam do movimto do sistma basia-s, iicialmt, a sguda li do movimto d Nwto. Coform mostra a Figura., a dformação da mola a posição d quilíbrio stático é a força da mola gravitacioal W = g atuado sobr a massa. é igual à força Posição sm Dflxão Diagrama d Corpo livr ( +X) Pso X X&& Pso Sistma m Equilibrio Estático Sistma m ovimto Figura. Sistma d Vibração ivr sm Amortcimto d G

3 dido o dslocamto X da posição d quilíbrio stático, as forças qu atuam sobr a massa são ( X) + a força gravitacioal W. Cosidrado positivo a dirção d cima para baixo, todas as quatidads (força, vlocidad aclração) são também positivas a msma dirção. Aplicado a sguda li do movimto d Nwto (O somatório d todas as forças atuado m um sistma m movimto é igual ao produto da massa pla aclração). Assim tmos: ou F = X && = W - ( X + ) (.) X && + X = 0 (.) od, o sistma Itracioal d Uidads: é a massa do sistma m [g] é a rigidz do sistma m [N/m] A quação difrcial acima, é cohcida como a Equação Difrcial do ovimto - ED d um sistma d um grau d librdad, sm amortcimto. A primira parcla da quação (.) rprsta a força d iércia do sistma, quato qu a sguda parcla rprsta a força da mola.... étodo d Cosrvação d Ergia A rgia total d um sistma cosrvativo é costat. ogo podmos dtrmiar a quação difrcial do movimto aplicado o pricipio d cosrvação d rgia. Part da rgia a vibração livr d um sistma ão amortcido é ciética part é potcial. A rgia ciética T é cosrvada a massa m razão da sua vlocidad, quato qu a rgia potcial U é cosrvada sob a forma d sforço a dformação lástica (o caso d um sistma com molas liar ou torcioal) ou trabalho ralizado um campo d força como a gravidad (o caso d um pdulo simpls). Sdo costat a rgia total do sistma, sua taxa d variação m rlação ao tmpo é zro, coform mostra-s a sguir: T + U = costat (.3)

4 d ( T + U ) = 0 dt (.4) trmos: Nosso itrss aqui é dtrmiar a quação do movimto. ogo Ergia ciética: T = X Ergia Potcial: ( ) & (.5) U = + X - gx (.6) Substituido as quaçõs (.5) (.6) a quação (.4), tm-s: ou d & dt ( ) X + + X - gx = 0 (.7) X & X && + X X & = 0 (.8) Simplificado os trmos chaga-s à: X && + X = 0 (.9) S osso itrss é dtrmiar a frquêcia atural do sistma, podmos stablcr d acordo com o pricipio d cosrvação d rgia, qu: T + U = T + U (.0) od os ídics rprstam dois istats d tmpo. Admitido qu o ídic sja o istat d tmpo m qu à massa passa pla posição d quilíbrio stático, tmos rgia potcial ula, U = 0. Sja o tmpo corrspodt ao áximo dslocamto da massa. Nsta posição, a vlocidad da massa é ula, rsultado m T = 0. Assim tmos: T + 0 = 0 + U (.) Etrtato, s o sistma sta submtido a um movimto harmôico, os valors d T U são os máximos, daí:

5 T = U (.) max max Facilmt, pod-s dmostrar qu sta quação coduz dirtamt à frquêcia atural do sistma....3 Aplicação da Equação d agrag Os sistmas mcâicos sm dissipação d rgia (sm força d amortcimto) são cosidrados sistmas cosrvativos. Assim, a maira mais simpls para s dtrmiar a E.D.. - Equação Difrcial do ovimto, usado a rgia ciética potcial do sistma, é pla utilização do pricípio d Cosrvação d Ergia, como fito atriormt. No tato, podmos também obtr a E.D.. aplicado as xprssõs d rgias ciética potcial do sistma mcâico a Equação d agrag. Vimos qu a quação d agrag é rprstada por: d T T D U = Q d t q & q q & q k k k k k (.3) od: T é a rgia ciética do sistma U é a rgia potcial do sistma D é a rgia dissipada do sistma Q k é a k-éssima força xtra gralizada aplicada ao sistma q k é a k-éssima coordada gralizada do sistma Para um sistma d um grau d librdad sm amortcimto tmos apas uma coordada gralizada q = X. As quaçõs d rgia para sts sistma são: Ergia Ciética: T = X & (.4)

6 Ergia Potcial: U = ( + X ) - gx (.5) Ergia Dissipada: D = 0 (.6) Calculado as parclas da quação (.3) com bas as quaçõs (.4), (.5) (.6), tmos: T T = = X& q & X& k (.7) d T d T = = X&& d t q& d t X& k (.8) T T = = 0 q X k (.9) D D = = 0 q & X & k (.0) U U = = + X - g = X q X k (.) Q k = 0 (.) Substituido as quaçõs (.8), (.9), (.0), (.) (.) a quação (.3), obtém-s: X && + X = 0 (.3)

7 .. Solução Aális da Equação Difrcial do ovimto A quação (.) é uma quação difrcial ordiária, d sguda ordm, homogêa, com coficits costats. Portato, sua solução é do tipo: s t X( t ) = (.4) obtém-s: Substituido a solução dada pl quação (.4) a quação (.), s t ( s + ) = 0 (.5) A codição para qu a quação (.5) sja igual a zro é qu o trmo tr parêtss sja igual a zro, ou sja: s + = 0 (.6) D od s obtém: s, = - ± (.7) ou s, = i ± (.8) od: i =. Como a quação difrcial (.) tm duas soluçõs, a solução gral é a combiação gral das duas soluçõs, ou sja: ou s t ( ) s t X t = A + B (.9) ( ) + i t i t X t = A + B (.30)

8 Aplicado Eulr ( ± i θ = cos( ) i s( ) θ ± ), pod-s scrvr: θ X( t ) = ( A + B) cos( t) + ( A B ) i s( t) (.3) ou simplsmt X( t ) = A cos( t) + B s( t) (.3) od A A B = + ( ) iiciais imposta ao sistma. B = A + B i são costats qu dpdm das codiçõs Aplicado para as codiçõs iiciais as codiçõs d cotoro: t = 0 ( ) ( ) ( ) & ( ) X t = X 0 X& t = X 0 (.33) Chga-s à: ( ) X& 0 X( t ) = X( 0 ) cos( t) + s( t) (.34) A quação (3.34) é a solução da quação difrcial do movimto d um sistma com um grau d librdad, sm amortcimto, com vibração livr...3 Dfiição dos Parâmtros a partir das Codiçõs Iiciais Sabmos qu o sistma massa-mola m studo quado vibrado livrmt produz um movimto harmôico o tmpo, od a rsposta pod sr rprstada por uma fução soidal ou cossoidal. O movimto é simétrico m rlação à posição d quilíbrio da assa. A vlocidad é máxima a aclração é zro toda vz qu a massa passar por sta posição. Já os dslocamtos xtrmos, a vlocidad é zro a aclração é máxima. Visto qu isso rprsta movimto harmôico simpls, o próprio sistma massamola é domiado um oscilador harmôico. Nst caso a solução dada pla quação (.34) pod sr scrita da forma:

9 ( ) ω φ X t = X cos( t ) (.35) od: X é a amplitud do movimto [ µm] ω é a frquêcia agular m [rad/s] φ é o âgulo d fas (âgulo tr a origm o primiro pico) Igualado as quaçõs (.34) (.35) obtém-s: X = X( 0 ) + ( ) X& 0 ω (.36) φ X& ( 0) ( ) = tg X 0 ω (.37) ω = (.38) ogo, podmos scrvr a solução do sistma massa-mola vibrado livrmt, quação (.34), como: ( ) X& 0 X( t ) = X( 0 ) cos( ω t) + s( ω t) ω (.39) ou X& X& ( 0) X( t ) = X( 0 ) + cos t tg X( 0 ) ω (.40) Como a solução é priódica, o príodo T d vibração pod sr calculado usado a xprssão:

10 X( t ) = X( t + T ) (.4) ou sja ( ) X cos( ω t φ) = X cos( ω t + T φ) (.4) ou ( ) ω t + T φ = ω t φ + π (.43) Para = (um ciclo), obtém-s: π π T = = ω [s] (.44) Nst caso, a frquêcia atural m ciclos por sgudo srá: f = = T π [Hz] (.45) Essas quatidads são xprssas m trmos da dflxão stática, otado-s pla Figura. qu = g. Cosidrado g = 386 pol / s m polgadas, a xprssão da frquêcia atural m trmos d srá: g 3.7 f = = π [Hz] (.46) ou 87.6 f = [c.p.m.] (.47) Nstas codiçõs, a frquêcia atural do sistma d um grau d librdad é dfiida uicamt pla dflxão stática. A Figura. aprsta um gráfico m scala logarítmica da quação (.47). Embora os sistmas oscilatórios possam difrir a aparêcia, a prst discussão aplicas a todos os sistmas d um grau d librdad, submtidos a vibração livr sm amortcimto.

11 Frquêcia [C.P..] Dflxão Figura. Frquêcia Natural m Fução da Dflxão Estática S ao ivés da solução dada pla quação (.35), admitirmos para solução uma fução do tipo: ( ) ω φ X t = X s( t ) + (.48) Chga-s a: X& X( 0 ) ω X( t ) = X( 0 ) + s t + tg X& ( 0) (.49) Obsrva-s qu a úica mudaça o rsultado passa a sr o âgulo d fas, qu st caso ficará: φ ( ) X& ( 0) X 0 ω = tg (.50)..4 Rprstação Gráfica do ovimto A aturza harmôica pod sr rprstada m gráfico, como mostra a Figura.3(a). S X r dota um vtor d magitud X, qu faz um âgulo

12 ω t φ com o ixo vrtical ( ) X, tão a solução, quação (.35), pod sr vista como a projção do vtor X r sobr o ixo ( X ). As costats A B da quação (.3) são simplsmt as compots rtagulars d X r ao logo dos ixos ortogoais qu fazm o âgulo φ ( π / φ) Visto qu o âgulo ω m rlação ao vtor X r. t φ é uma fução liar do tmpo, l aumta liarmt com o tmpo; assim, todo o diagrama gira m stido ati-horário a uma vlocidad agular ω. Equato o diagrama da Figura.3(a) gira, a projção d X r sobr o ixo ( X ) varia harmoicamt, d modo qu o movimto s rpt toda vz qu o vtor prcorr um âgulo d π. A projção d X r, ou sja, X( t ), é mostrada m gráfico como uma fução d ω t a Figura.3(b) como fução d t a Figura.3(c). O âgulo d fas φ também pod sr itrprtado como âgulo tr a origm o primiro pico. Figura.3 Rprstação Gráfica do ovimto d um Oscilador Harmôico.. Sistmas com Oscilaçõs Torcioais.. Dtrmiação da Equação Difrcial do ovimto A Equação Difrcial do ovimto ED d sistmas vibratórios torcioais com um Grau d ibrdad G, sm amortcimto, pod sr

13 dtrmiada tato plo método d somatório d momtos, aplicado a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars, quato plo método d rgia, aplicado o pricípio d cosrvação d rgia ou através da Equação d agrag.... étodo d Somatório d omtos O mais simpls sistma oscilatório torcioal, o pêdulo torcioal, é o sistma massa-mola, composto d um disco com momto d iércia d massa I 0 uma barra d rigidz torcioal T massa dsprzívl. A Figura.4 mostra um sistma torcioal sm amortcimto, d um grau d librdad, m razão d o su movimto sr dfiido por uma coordada apas m θ. O xam do movimto do sistma basia-s, iicialmt, a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars. Coform mostra a Figura.4, mdido-s o dslocamto agular θ da posição d quilíbrio stático, o momto qu atuam sobr o disco srá. Cosidrado positivo a dirção d stido ati-horário, todas as quatidads (momto, vlocidad agular aclração agular) são também positivas a msma dirção. T θ Aplicado a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars (O somatório d todos os momtos atuado m um sistma m movimto agular é igual ao produto da iércia d massa pla aclração agular). Assim tmos: ou = I && 0 θ = - T θ (.5) && (.5) I θ + θ = 0 0 T od, o sistma Itracioal d Uidads: I 0 é a momto d iércia d massa do disco m [g m ] T é a rigidz torcioal da barra m [N m/rad]

14 Figura.4 Pêdulo Torcioal. A quação difrcial acima, é cohcida como a Equação Difrcial do ovimto - ED d um pêdulo torcioal d um grau d librdad, sm amortcimto. A primira parcla da quação (.5) rprsta o momto corrspodt à iércia do sistma, quato qu a sguda parcla rprsta o momto d torção da barra. A rigidz torcioal da barra, T, dpd do comprimto da barra,, do matrial da barra, rprstado plo modulo d lasticidad trasvrsal, G, do diâmtro da barra, d, como mostra o dsvolvimto a sguir. Cosidr uma barra d sção circular, d comprimto, fixa m uma xtrmidad submtida a um torqu t, a xtrmidad livr, como mostra a Figura.5. Figura.5 Barra d Sção Circular cilídrica.

15 Da Figura.5(a) pod-s scrvr: ' AA = r θ = γ (.53) ou γ = r θ (.54) od: r é o raio da barra, d / θ é o âgulo d torção γ é a distorção Dsd qu os diâmtros, da sção trasvrsal, prmacm diâmtros, após a dformação, a distorção γ, à distacia gérica ρ, pod sr scrita, Figura.5(b), como: γ = ρ θ (.55) Cosqutmt, as distorçõs variam liarmt com o raio ρ. E, admitida a validad da li d Hook, pod s dizr qu as tsõs d cisalhamto a sção trasvrsal, variam liarmt com o raio, aulado-s o ctro da barra, para ρ = 0. Por simtria, a distribuição das tsõs d cisalhamtos, τ, dv sr simétrica m rlação ao ctro, tal como mostra a Figura.5(b). Para havr quilíbrio é cssário qu a soma dos momtos dsss sforços, qu atuam m toda a sção trasvrsal, sja igual a t, assim: r = τ ρ ds = a ρ ρ ds = a J t r (.56) od a é a costat d proporcioalidad tr τ ρ, isto é: τ = a ρ (.57)

16 J 0 é o momto d iércia d ára, dfiido por: J = 0 r ρ ds (.58) 0 Explicitado o valor d a a quação (.57), substituido a quação (.56), obtém-s: τ = J 0 t ρ (.59) Na suprfíci da barra, od a tsão d cisalhamto é máxima, pod-s scrvr: τ J t = r 0 (.60) Sabmos, por dfiição (i d Hook para torção), qu: τ = G γ (.6) Assim, podmos scrvr: γ r t = (.6) J G 0 Substituido o valor da distorção γ, obtido a quação (.55), a quação (.6), chga-s: od, = T G J 0 (.63) = θ (.64) t T D acordo com a Figura.6, o momto polar d iércia J 0, para uma barra d sção circular é dado por: J = ρ ds = ρ π ρ d ρ = 0 π d 3 r r 4 (.65) 0 0

17 Figura.6 Sção Circular da Barra. Substituido a quação (.65) a quação (.63), obtém-s: = T G d 3 π 4 (.66)... étodo d Cosrvação d Ergia Como os casos d sistmas com movimtos rtilíos, a rgia total d um sistma cosrvativo com movimto agular é costat. ogo podmos dtrmiar a quação difrcial do movimto aplicado o pricipio d cosrvação d rgia. Part da rgia a vibração livr d um sistma ão amortcido é ciética part é potcial. A rgia ciética T é cosrvada a iércia d massa m razão da sua vlocidad agular, quato qu a rgia potcial U é cosrvada sob a forma d sforço a dformação lástica torcioal. Sdo costat a rgia total do sistma, sua taxa d variação m rlação ao tmpo é zro, coform mostra-s a sguir: T + U = costat (.67) d ( T + U ) = 0 dt (.68) trmos: Nosso itrss aqui é dtrmiar a quação do movimto. ogo Ergia ciética: T = I θ& 0 (.69) Ergia Potcial: U = θ T (.70)

18 Substituido as quaçõs (.69) (.70) a quação (.68), tm-s: ou d I 0 θ& + T θ = 0 dt (.7) I 0 θ & && θ + T θ θ & = 0 (.7) Simplificado os trmos chaga-s à: && (.73) I θ + θ = 0 0 T...3 Aplicação da Equação d agrag Os sistmas mcâicos torcioais sm dissipação d rgia (sm amortcimto) são cosidrados sistmas cosrvativos. Assim, a maira mais simpls para s dtrmiar a E.D.. - Equação Difrcial do ovimto, usado a rgia ciética potcial do sistma, é pla utilização do pricípio d Cosrvação d Ergia, como fito atriormt. No tato, podmos também obtr a E.D.. aplicado as xprssõs d rgias ciética potcial do sistma mcâico a Equação d agrag. Vimos qu a quação d agrag é rprstada por: d T T D U = Q d t q & q q & q k k k k k (.74) od: T é a rgia ciética do sistma U é a rgia potcial do sistma D é a rgia dissipada do sistma Q k é a k-éssima força xtra gralizada aplicada ao sistma q k é a k-éssima coordada gralizada do sistma Para um sistma d um grau d librdad sm amortcimto tmos apas uma coordada gralizada q = θ. As quaçõs d rgia para sts sistma são:

19 Ergia Ciética: T = I 0 θ & (.75) Ergia Potcial: U = θ T (.76) Ergia Dissipada: D = 0 (.77) Calculado as parclas da quação (.74) com bas as quaçõs (.75), (.76) (.77), tmos: T T = = θ& q& θ& k (.78) d T d T = = && θ d t q& d t θ& k (.79) T T = = 0 q θ k (.80) D D = = 0 q & θ & k (.8) U U = = T θ = q θ k T θ (.8) Q k = 0 (.83)

20 Substituido as quaçõs (.79), (.80), (.8), (.8) (.83) a quação (.74), obtém-s: && (.84) I θ + θ = 0 0 T.. Solução Aális da Equação Difrcial do ovimto Dsvolvimto aálogo ao da sção.., pod sr fito para obtção da solução da quação difrcial do movimto dada pla quação (.84). O rsultado srá idêtico aos obtidos plas quaçõs (.3), (.34) (.35), bastado para isto substituir por I 0, por T, vidtmt X( t ) por θ( t ), ou sja: t = A cos( t) + B s( t) ( ) T T θ I0 I0 (.85) ou, aplicado para as codiçõs iiciais as codiçõs d cotoro: t = 0 θ θ& ( t ) = θ( 0) ( t ) = θ& ( 0) (.86) θ( & 0) T T θ( t ) = θ( 0 ) cos( t) + s( t) I0 I T 0 I 0 (.87) ou aida, como sabmos qu trata-s d movimto harmôico simpls: od: ( ) θ t = θ cos( ω t φ) (.88) θ é a amplitud do movimto [rad] ω é a frquêcia agular m [rad/s] φ é o âgulo d fas (âgulo tr a origm o primiro pico)

21 θ = θ( 0 ) + θ( & 0) ω (.89) φ θ& ( 0) ( 0 ) = tg θ ω (.90) ω = I 0 T (.9) ogo, podmos scrvr a solução do sistma torcioal massa-mola vibrado livrmt, quação (.84), como: ( ) ( ) θ( & 0) θ t = θ 0 cos( ω t) + s( ω t) ω (.9) ou θ& ( 0) θ& T ( 0) θ( t ) = θ( 0 ) + cos t tg I 0 θ( 0 ) ω T I 0 (.93)..3 Dfiição dos Parâmtros a partir das Codiçõs Iiciais Como a solução é priódica, o príodo T d vibração pod sr calculado usado a xprssão: θ ( ) θ( ) t = t + T (.94) ou sja ou ( ) θ cos( ω t φ) = θ cos( ω t + T φ) (.95) ( ) ω t + T φ = ω t φ + π (.96)

22 Para = (um ciclo), obtém-s: π π T = = ω I 0 T [s] (.97) Nst caso, a frquêcia atural m ciclos por sgudo srá: f = = T π I 0 T [Hz] (.98)..4 Rprstação Gráfica do ovimto A rprstação gráfica do movimto é idêtica à obtida a Figura.3, bastado para isto fazr a substituição adquada das gradzas dfiidas a sção....3 Sistmas com Oscilaçõs Agulars.3. Dtrmiação da Equação Difrcial do ovimto A Equação Difrcial do ovimto ED d sistmas vibratórios com movimtos agulars, d um Grau d ibrdad G, sm amortcimto, pod sr dtrmiada tato plo método d somatório d momtos, aplicado a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars, quato plo método d rgia, aplicado o pricípio d cosrvação d rgia ou através da Equação d agrag..3.. étodo d Somatório d omtos O mais simpls sistma oscilatório com movimto agular, o pêdulo simpls, é o sistma composto d uma massa prsa à xtrmidad d uma corda com a outra xtrmidad fixa. A Figura.7 mostra um pêdulo simpls sm amortcimto, d um grau d librdad, m razão d o su movimto sr dfiido por uma coordada apas m θ. O xam do movimto do sistma basia-s, iicialmt, a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars.

23 Coform mostra a Figura.7, mdido-s o dslocamto agular θ da posição d quilíbrio stático, o momto qu atua srá g s ( θ). Cosidrado positivo a dirção d stido ati-horário, todas as quatidads (momto, vlocidad agular aclração agular) são também positivas a msma dirção. Aplicado a sguda li do movimto d Nwto para sistmas com movimtos agulars (O somatório d todos os momtos atuado m um sistma m movimto agular é igual ao produto da iércia d massa pla aclração agular). Assim tmos: = I && 0 θ = - g s( θ) (.99) ou, cosidrado pquas oscilaçõs, od ( θ) s θ, obtém-s: I θ + g θ = 0 0 && (.00) Como o momto d iércia da massa com rlação ao poto O é I 0 =, chga-s a: && (.0) θ + g θ = 0 ou && g θ + θ = 0 (.0) O θ g s θ h X g Figura.7 Pêdulo Simpls.

24 A quação difrcial (.0), é cohcida como a Equação Difrcial do ovimto - ED d um pêdulo simpls d um grau d librdad, sm amortcimto. Pla quação obsrva-s qu a frquêcia atural dpd apas do comprimto da corda..3.. étodo d Cosrvação d Ergia Como os caso d sistmas com movimtos rtilíos, a rgia total d um sistma cosrvativo com movimto agular é costat. ogo podmos dtrmiar a quação difrcial do movimto aplicado o pricipio d cosrvação d rgia. Part da rgia a vibração livr d um sistma ão amortcido é ciética part é potcial. A rgia ciética T é cosrvada a iércia d massa m razão da sua vlocidad agular, quato qu a rgia potcial U é cosrvada plo trabalho ralizado um campo d força como a gravidad. Sdo costat a rgia total do sistma, sua taxa d variação m rlação ao tmpo é zro, coform mostra-s a sguir: T + U = costat (.03) d ( T + U ) = 0 dt (.04) trmos: Nosso itrss aqui é dtrmiar a quação do movimto. ogo Ergia ciética: T = X & (.05) ( ) Ergia Potcial: U g h = g - cos( θ) = (.06) Da Figura.7, obsrva-s qu: logo, X = s ( θ) X = cos ( θ) T = & θ& (.07) cos( θ) θ& (.08)

25 Substituido as quaçõs (.06) (.08) a quação (.04),, m sguida cosidrado pquas oscilaçõs, od s ( θ) θ ( θ) obtém-s: θ cos -, θ& && θ + g θ θ& = 0 (.09) Simplificado os trmos chaga-s à: && (.0) θ + g θ = Aplicação da Equação d agrag Os sistmas mcâicos costituídos por pêdulos sm dissipação d rgia (sm amortcimto) são cosidrados sistmas cosrvativos. Assim, a maira mais simpls para s dtrmiar a E.D.. - Equação Difrcial do ovimto, usado a rgia ciética potcial do sistma, é pla utilização do pricípio d Cosrvação d Ergia, como fito atriormt. No tato, podmos também obtr a E.D.. aplicado as xprssõs d rgias ciética potcial do sistma mcâico a Equação d agrag. Vimos qu a quação d agrag é rprstada por: d T T D U = Q d t q & q q & q k k k k k (.) od: T é a rgia ciética do sistma U é a rgia potcial do sistma D é a rgia dissipada do sistma Q k é a k-éssima força xtra gralizada aplicada ao sistma q k é a k-éssima coordada gralizada do sistma Para um sistma d um grau d librdad sm amortcimto tmos apas uma coordada gralizada q = θ. As quaçõs d rgia para sts sistma são:

26 Ergia Ciética: T = cos ( θ) θ& = θ& (.) Ergia Potcial: U = g h = g ( - cos ( θ) ) = g θ (.3) Ergia Dissipada: D = 0 (.4) Calculado as parclas da quação (.) com bas as quaçõs (.), (.3) (.4), tmos: T T = = θ& q& θ& k (.5) d T d T = = d t q& d t θ& k && θ (.6) T T = = 0 q θ k (.7) D D = = 0 q & θ & k (.8) U U = = g θ = g θ q θ k (.9) Q k = 0 (.0)

27 Substituido as quaçõs (.6), (.7), (.8), (.9) (.0) a quação (.), obtém-s: && (.) θ + g θ = 0.3. Solução Aális da Equação Difrcial do ovimto Dsvolvimto aálogo ao da sção.., pod sr fito para obtção da solução da quação difrcial do movimto dada pla quação (.). O rsultado srá idêtico aos obtidos plas quaçõs (.3), (.34) (.35), bastado para isto substituir por, por g, vidtmt X( t ) por θ( t ), ou sja: g g t = A cos( t) + B s( t) ( ) θ (.) ou, aplicado para as codiçõs iiciais as codiçõs d cotoro: θ t = 0 ( ) θ( ) θ θ& ( t ) = θ( 0) ( t ) = θ& ( 0) θ( & 0) t = 0 cos( g g t) + s( t) g (3.3) (.4) ou aida, como sabmos qu trata-s d movimto harmôico simpls: od: ( ) θ t = θ cos( ω t φ) (.5) θ é a amplitud do movimto [rad] ω é a frquêcia agular m [rad/s] φ é o âgulo d fas (âgulo tr a origm o primiro pico)

28 θ = θ( 0 ) + θ( & 0) ω (.6) φ θ& ( 0) ( 0 ) = tg θ ω (.7) ω = g (.8) ogo, podmos scrvr a solução do sistma pêdulo simpls, quação (.), como: ou ( ) ( ) θ( & 0) θ t = θ 0 cos( ω t) + s( ω t) ω (.9) θ& ( 0) g θ& ( 0) θ( t ) = θ( 0 ) + cos t tg g θ( 0 ) ω (.30)..3 Dfiição dos Parâmtros a partir das Codiçõs Iiciais Como a solução é priódica, o príodo T d vibração pod sr calculado usado a xprssão: ou sja θ ( ) θ( ) t = t + T (.3) ( ) θ cos( ω t φ) = θ cos( ω t + T φ) (.3) ou ( ) ω t + T φ = ω t φ + π (.33) Para = (um ciclo), obtém-s:

29 π π T = = ω g [s] (.34) Nst caso, a frquêcia atural m ciclos por sgudo srá: g f = = T π [Hz] (.35).3.4 Rprstação Gráfica do ovimto A rprstação gráfica do movimto é idêtica à obtida a Figura.3, bastado para isto fazr a substituição adquada das gradzas dfiidas a sção Equivalêcia d Sistmas Na prática muitos sistmas mcâicos d um grau d librdad s aprstam com mais d um lmto lástico (molas), várias massas ou iércias qu podm sr substituídos rspctivamt por uma úica mola, cohcido como mola quivalt ou uma úica massa (ou iércia), massa quivalt (ou iércia quivalt), trasformado-s assim m um sistma massa-mola quivalt. Portato ssa quivalêcia pod sr d lasticidad, associação d rigidz ou flxibilidad, d massa, massa quivalt ou d iércia, iércia quivalt..4. Equivalêcia d Elasticidad (Associação d Rigidz ou Flxibilidads).4.. Rigidz Equivalt d olas m Séri. Cosidr o sistma massa-mola-mola da Figura.8(a), composto d uma massa duas molas d rigidz, d massas dsprzívis, associadas m séri. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.8(b), composto da msma massa uma úica mola d rigidz, d massa dsprzívl. Nst caso, td-s qu dois sistmas mcâicos são quivalts s quado submtidos às msmas prturbaçõs aprstam rspostas iguais.

30 (b) (a) Figura.8 Associação d olas m Séri. Aplicado-s uma força F as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.8(a).8(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.36) Na mola d rigidz : Na mola d rigidz : F = (.37) F = (.38) Para qu os sistmas sjam quivalts, é cssário qu: = + (.39) Substituido a quação (.39) os valors d, xtraídos rspctivamt das quaçõs (.36), (.37) (.38) obtém: F F F = + (.40) ou,

31 = (.4) Rigidz Equivalt d olas m Parallo. Cosidr o sistma massa-mola-mola da Figura.9(a), composto d uma massa duas molas d rigidz, d massas dsprzívis, associadas m parallo. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.8(b), composto da msma massa uma úica mola d rigidz, d massa dsprzívl. (a) (b) Figura.9 Associação d olas m Parallo. Aplicado-s uma força Fas massas dos sistmas rprstados plas Figuras.9(a).9(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.4) Na mola d rigidz : F = (.43) Na mola d rigidz : F = (.44)

32 Para qu os sistmas sjam quivalts é cssário qu as dflxõs, sjam iguais. Nst caso a força aplicada a massa do sistma da Figura.9(a) srá distribuída para as duas molas, ou sja: F = F + F (.45) Substituido a quação (.45) os valors d F, F F das quaçõs (.4), (.43) (.44) obtém: ou, = + (.46) = + (.47) Dsvolvimto igual pod sr fito para o sistma da Figura.0(a). Obsrv qu os sistmas m parallos a dflxõs as molas smpr são iguais. Assim, para o sistma da Figura.0(b) a rigidz quivalt é calculada também pla quação (.47). (b) (a) Figura.0 Associação d olas m Parallo Rigidz Equivalt d olas Nm m Séri Nm m Parallo. Cosidr o sistma massa-mola-mola composto d uma massa, com ctro d massa m 0, duas molas d rigidz, d massas dsprzívis, associadas como mostra a Figura.(a). Podmos cotrar o

33 sistma massa-mola quivalt, Figura.(b), composto da msma massa uma úica mola d rigidz d massa dsprzívl. Nst caso, td-s qu as duas molas stão submtidas a sforços difrts sofrrão dformaçõs difrts, m dcorrêcia ctro d massa d star mais próximo da mola d rigidz. 0 0 a b a b (a) (b) Figura. Associação d olas Nm m Séri Nm m Parallo. Aplicado-s uma força F m 0, as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.(a).(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.48) Na mola d rigidz : F = (.49) Na mola d rigidz : F = 0 (.50) Nst caso a força aplicada a massa do sistma da Figura.(a) srá distribuída para as duas molas, ou sja: F = F + F (.5) Aplicado o somatório d momtos com rlação ao poto 0, tm-s: F a = F b (.5)

34 Das quaçõs (.5) (.5) obtém-s: F = F = b F a + b a F a + b (.53) (.54) Substituido os valors d F F das quaçõs (.53) (.54), as quaçõs (.48) (.49) xplicitado os valors das dflxõs, obtém-s: = b F ( a + b ) = a F ( a + b ) (.55) (.56) Da Figura., obsrva-s qu: 0 y 0 a b Figura. Diagrama das Dflxõs. 0 = + y (.57) od, por smlhaça d triâgulos, Figura.: a = - a + b ( ) y (.58) Assim, tm-s qu: a = + - a + b ( ) 0 (.59)

35 Substituido os valors d a quação (.59), chga-s a: F a b = + ( a + b) 0 (.60) Como, 0 = F, vr quação (.50), chga-s qu: = ( a + b) a + b (.6).4..4 Rigidz Equivalt d Barras com Dformação iar Cosidr o sistma diâmico da Figura.3(a), composto d uma massa fixa a xtrmidad ifrior d uma barra lástica d comprimto ára d sção trasvrsal A, d massa dsprzívl. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.3(b), composto da msma massa uma mola d rigidz d massa dsprzívl. A (a) (b) Figura.3 Sistma assa-barra Elástica com ovimto iar. Aplicado-s uma força F as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.3(a).3(b), obtém-s: Na Barra: F i d Hook = σ = E ε A (.6)

36 od σ é a tsão a barra [N/m ] ε é a dformação axial da barra [adimsioal] Eé o modulo d lasticidad [N/m ] Como ε =, obtém-s: F = A E (.63) Na mola d rigidz : F = (.64) Igualado as quaçõs (.63) (.64), chga-s a: = A E (.65).4..5 Rigidz Equivalt d Vigas m Balaço (Egast-ivr) Cosidr o sistma diâmico da Figura.4(a), composto d uma massa fixa a xtrmidad livr d uma viga m balaço d comprimto propridads d rigidz E I, d massa dsprzívl. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.4(b), composto da msma massa uma mola d rigidz d massa dsprzívl. E I (a) (b) Figura.4 Viga m Balaço com assa Fixa a Extrmidad ivr.

37 Aplicado-s uma força F as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.4(a).4(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.66) Para viga m balaço, podmos dtrmiar a dflxão a uma distacia x do gast, dvido à aplicação da força, através da quação da liha lástica. Assim, d acordo com a Figura.5, pod-s scrvr: E I d y dx = = F - F x f (.67) od, f é o momto fltor m x. F x x y max y Figura.5 Dformação da Viga m Balaço Dvido a Carga. Itgrado a quação (.67) obtém-s a xprssão para o cálculo d icliação m qualqur poto x da viga, ou sja: dy F x E I = F x - + C dx (.68) od, C é uma costat d itgração. Itgrado a quação (.68) obtém-s a xprssão para o cálculo da dflxão m qualqur poto x da viga, ou sja:

38 3 F x F x E I y = - + C x + C 6 (.69) od, C é uma costat d itgração. cotoro: As costats d itgração C C podm sr obtidas das codiçõs d x = 0 dy = 0 C = 0 dx y = 0 C = 0 (.70) ogo as quaçõs (.68) (.69) podm sr scritas como: dy F x E I = F x - dx (.7) F x F x E I y = (.7) Como stamos itrssados m calcular a dflxão o poto d aplicação da força F, tmos qu m x =, quação (.7), tm-s: y =. ogo, fazdo x = y = max a E I = 3 F 3 (.73) chga-s a: Substituido o valor d F, da quação (.66), a quação (.73), 3 E I = 3 od, I é o momto d iércia d ára da sção trasvrsal da viga. (.74).4..6 Rigidz Equivalt d Vigas Bi-Egastadas Cosidr o sistma diâmico da Figura.6(a), composto d uma massa fixa o mio do vão d uma viga bi-gastada, d comprimto, propridads d rigidz E I, d massa dsprzívl. Podmos cotrar o

39 sistma massa-mola quivalt, Figura.6(b), composto da msma massa uma mola d rigidz d massa dsprzívl. / A (a) B (b) Figura.6 Viga m Bi-gastada. Aplicado-s uma força F as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.6(a).6(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.75) A dflxão da viga bi-gastada da Figura.6(a) pod sr dtrmiada plo método d suprposição, substituido-s o gast o poto B por uma carga F um momto. Nst caso, a viga da Figura.6(a) pod sr substituída pla composição d vigas m balaço mostrada a Figura.7. / F A B F A B A B Figura.7 Composição d Vigas m Balaço Equivalt a Viga Bi-gastada.

40 Assim, a dflxão o poto A da viga da Figura.6(a), srá dada por: y A = y AF - y AF + y A (.76) od: y AF é a dflxão o poto A dvido a carga F aplicada o poto A. y AF é a dflxão o poto A dvido a carga F aplicada o poto B. y A é a dflxão o poto A dvido o momto aplicado o poto B. mbramos qu a carga F o momto aplicados o poto B dvm tr suas magituds tal qu o dslocamto a icliação rsultats da composição da Figura.7, o poto B, sjam ulos, codiçõs stas impostas por um gast, ou sja: y B = y BF - y BF + y B = 0 (.77) od: dyb dy dy BF BF dyb = - + = 0 dx dx dx dx (.78) y BF é a dflxão o poto B dvido a carga F aplicada o poto A. y BF é a dflxão o poto B dvido a carga F aplicada o poto B. y B é a dflxão o poto B dvido o momto aplicado o poto B. dy BF dx dy BF dx dy B dx é a icliação o poto B dvido a carga F aplicada o poto A. é a icliação o poto B dvido a carga F aplicada o poto B. é a icliação o poto B dvido o momto aplicado o poto B. Rsolvdo o sistma d quaçõs (.77) (.78) obtém-s os valors d F m fução da carga F. Como a carga F srá aplicada o mio do vão da viga da Figura.6(a), sab-s qu: F = F (.79)

41 Nst caso, como s sab o valor d F, quação (.79), basta substituílo m uma das quaçõs (.77) ou (.78), para s obtr o valor d m fução da carga F. Ats d rsolvrmos a quação (.76), para o cálculo d y A, rlmbramos as quaçõs para o cálculo d dflxão icliação d vigas m balaço. Cosidr as vigas m balaço das Figuras.8(a).8(b) submtidas a força momto as xtrmidads. P x x x x y (a) y (b) Figura.8 Vigas m Balaço Submtidos a Força omto as Extrmidads. Através da toria da quação da liha lástica, vr dsvolvimto da sção.4..5., pod-s scrvr: P x P x E I y x = (.80) dy P x dx x E I = P x - (.8) S x = tmos a dflxão máxima a icliação máxima, a xtrmidad da viga: E I y = P 3 3 (.8) dy P dx E I = (.83)

42 Usado o msmo dsvolvimto pod-s scrvr para o momto, aplicado a xtrmidad: E I y = x x (.84) E I dy x dx = x (.85) S x = tmos a dflxão máxima a icliação máxima, a xtrmidad da viga: E I y = (.86) E I dy dx = (.87) Com bas as quaçõs (.8) até (.87) podmos agora rsolvr a quação (.77) para o cálculo d m fução d F. Com bas as quaçõs (.8), (.83) Figura.9 tm-s: 3 ( ) ( ) ( ) F F 3 5 F y BF = + = + = 3 E I E I 48 E I (.88) y F / / A B x Figura.9 Viga m Balaço Submtida a uma Força o io do Vão. Com bas as quaçõs (.8) (.79), tm-s: F F 3 E I 6 E I 3 3 y BF = = (.89) Com bas a quação (.86), tm-s:

43 y = B E I (.90) Substituido os valors d y BF, (.89) (.99), a quação (.77), obtém-s: y BF y B, obtidos as quaçõs (.88), ou F F - + = 0 48 E I 6 E I E I = F 8 (.9) (.9) Substituido os valors d F, quação (.79),, quação (.9), a quação (.76), tm-s: Com bas a quação (.8): ( ) 3 3 F F y AF = = 3 E I 4 E I (.93) Com bas a quação (.80): ( ) ( ) 3 F 3 F 5 F y AF = - = E I 6 E I 96 E I (.94) Com bas a quação (.86), tm-s: ( ) 3 F y A = = E I 64 E I (.95) Substituido os valors d y AF, (.94) (.95), a quação (.76), obtém-s: y AF y A, obtidos as quaçõs (.93),

44 ou F 5 F F y A = E I 96 E I 64 E I F y A 9 E I = 3 (.96) (.97) Como y =, chga-s a: A 9 E I = 3 (.98).4. Equivalêcia d assas (assa Eftiva) O método da rgia pod sr usado para um sistma multimassas ou sistma d massas distribuídas, forcdo o movimto d cada poto o sistma cohcido. Assim é possívl xprssar o movimto d varias massas m trmos do movimto d um poto spcifico, trasformado-o m um sistma d um G. A rgia ciética pod sr scrita como: T = X f & (.99).4.. assa Eftiva d uma ola Cosidr o sistma massa-mola da Figura.0(a), composto d uma massa uma mola d rigidz massas m. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.0(b), composto da msma massa q uma mola d rigidz d massa dsprzívl. Cosidrado a mola como um sistma liar, podmos scrvr rspctivamt para massa vlocidad do lmto da mola d comprimto dy: = m dy (.00)

45 X = X & y & (.0) y dy (a) q (b) Figura.0 assa Eftiva da ola. A rgia ciética da mola srá: ou dy X & y m T m = 0 (.0) m X& T m = y dy = X 3 3 m & (.03) 0 Comparado a quação (.99), com a quação (.03), coclui-s qu a massa ftiva dada por: = f 3 m (.04) Nst caso a massa total do sistma, massa quivalt, cosidrado a cotribuição da massa da mola srá: = + (.05) q f Assim, a frquêcia atural d vibração livr sm amortcimto d um sistma massa-mola composto d uma massa uma mola d rigidz massa m, srá:

46 f = π + 3 m (.06).4.. assa Eftiva d uma Viga Bi-apoiada Cosidr o sistma diâmico da Figura.(a), composto d uma massa fixa o mio do vão d uma viga bi-apoiada d comprimto propridads d rigidz E I, d massa v. Podmos cotrar o sistma massa-mola quivalt, Figura.4(b), composto da msma massa q uma mola d rigidz d massa dsprzívl. Assim é possívl xprssar o movimto da massa da viga m trmos do movimto d um poto spcifico, trasformado-o m um sistma d um G. A rgia ciética pod sr scrita como: T = y& (.07) v f max E I x x q y (a) (b) Figura. assa Eftiva d uma Viga Bi-apoiada. Aplicado-s uma força F as massas dos sistmas rprstados plas Figuras.(a).(b), obtém-s: Na mola d rigidz : F = (.08)

47 Para viga m bi-apoiada, podmos dtrmiar a dflxão a uma distacia x do gast, dvido à aplicação da força, através da quação da liha lástica. Assim, pod-s scrvr: d y F dx f E I = = x para 0 x (. 09) od, f é o momto fltor m x. Itgrado a quação (.09) obtém-s a xprssão para o cálculo d icliação m qualqur poto x da viga, ou sja: dy F x E I = + C dx 4 (.0) od, C é uma costat d itgração. Itgrado a quação (.0) obtém-s a xprssão para o cálculo da dflxão m qualqur poto x da viga, ou sja: E I y = F x 3 + C x + C (.) od, C é uma costat d itgração. cotoro: As costats d itgração C C podm sr obtidas das codiçõs d x = 0 y = 0 C = 0 (.) dy F x = = 0 C = - (.3) dx 6 ogo as quaçõs (.0) (.) podm sr scritas como: dy F x F E I = - dx 4 6 (.4)

48 3 F x F x E I y = - 6 (.5) Como stamos itrssados m calcular a dflxão o poto d aplicação da força F, tmos qu m x =, y max =. ogo, da quação (.5), tm-s: E I = 3 F 48 (.6) chga-s a: Substituido o valor d F, da quação (.08), a quação (.6), 48 E I = 3 (.7) od, I é o momto d iércia d ára da sção trasvrsal da viga. Para cálculo da massa ftiva, podmos calcular com bas a as quaçõs (.5) (.6): ou y y max = - E I 6 3 F 48 E I 3 F x F x 3 x x y = y max 4-3 para 0 x (.8) (.9) Como fito para mola, sção.4.., cosidrado a viga como um sistma liar, pod scrvr para massa d um lmto da viga d comprimto dx: = v dx (.0) A rgia ciética da viga srá:

49 ou ou 3 v dx T V = y & max X X (.) 3 & v max y X X T V = 4-3 dx 0 T = (.) y& (.3) V v max Comparado a quação (.3), com a quação (.07), coclui-s qu a massa ftiva dada por: = (.4) f v Nst caso a massa total do sistma, massa quivalt, cosidrado a cotribuição da massa da mola srá: = + (.5) q f Assim, a frquêcia atural d vibração livr sm amortcimto d um sistma composto d uma massa fixa o mio do vão d uma viga bi-apoiada d comprimto propridads d rigidz E I, d massa v, srá: f = (.6) π v Exrcício : ostr qu para um sistma diâmico composto d uma massa fixa a xtrmidad d uma viga gast-livr d comprimto, propridads d rigidz E I, d massa v, a massa ftiva é dada por = 0.3. f v Exrcício : uitas vzs os sistmas oscilatórios são compostos d alavacas, grags outras ligaçõs qu complicam apartmt a aális. Um xmplo típico dsss casos stá o sistma d válvulas d motor idicado a

50 Figura.. É gralmt vatajosa a rdução d tal sistma para outro quivalt mais simpls. Figura. Sistma d Válvula otor. O balacim com momto d iércia J, a válvula com massa m v a mola com massa m s podm sr rduzidos a uma simpls massa m A pla sguit formulação da quação da rgia ciética. T = T b + T v + T s (.7) ou T = J + m v b + m b 3 θ& s (.8) Admitido-s qu a vlocidad m A sja trasforma m: x & = a θ, a quação acima s T = J + m b + v s 3 a m b x& (.9) Nstas codiçõs, a massa ftiva m A srá:

51 m = J + m v b + a ff A m b 3 s (.30).4.3 Equivalêcia m Sistmas Torcioais (Rigidz Iércia).4.3. Rigidz Torcioal m Séri Equivalêcia d Iércia. Cosidr o sistma torcioal da Figura.3(a), composto d um disco com momto d iércia d massa I duas barra uma com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto a outra com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto, ambas com massas dsprzívis associadas m séris. Podmos cotrar o sistma torcioal quivalt, Figura.3(b), composto d um disco com msmo momto d iércia d massa I uma úica barra d rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto q ou d comprimto q, d massa dsprzívl. Para o sistma da Figura.3(a), também é possívl s cotrar o sistma torcioal quivalt, Figura.3(c), composto d um disco com momto d iércia d massa I q uma úica barra d rigidz torcioal T, com diâmtro qualqur d comprimto qualqur, d massa dsprzívl. d d d ou d d I q I I q (a) (b) (c) Figura.3 Sistma com Rigidz Torcioal m séri Equivalêcia d Iércia. Aplicado-s um torqu t os discos dos sistmas rprstados plas Figuras.3(a).3(b), obtém-s: Na barra d rigidz T:

52 t = T θ (.3) Na barra d rigidz T: t = T θ (.3) Na barra d rigidz T: = θ (.33) t T Para qu os sistmas sjam quivalts, é cssário qu os âgulos d torção satisfaçam à quação: θ = θ + θ (.34) Substituido a quação (.34) os valors d θ, θ θ xtraídos rspctivamt das quaçõs (.3), (.3) (.33) obtém: = + t t t T T T (.35) Podmos scrvr cada rigidz torcioal m fução do matrial da barra, do diâmtro do comprimto, como mostra a quação (.66), assim tm-s: Para barra d rigidz T: = T G d 3 π 4 (.36) Para barra d rigidz T: = T G d 3 π 4 (.37) Admitido msmo matrial, G = G = G, substituido os valors d rigidz torcioal das quaçõs (.36) (.37) a quação (.35), obtém-s:

53 3 3 = π d G π d G t t t (.38) S admitirmos qu a barra d rigidz torcioal quivalt fiqu com o diâmtro d, a quação (.38) passa a sr scrita como: 3 d = + π d G d 4 t t 4 4 (.39) Na quação (.39), o trmo tr parêts é cohcido como comprimto quivalt, assim: d = d 4 q 4 + (.40) Nst caso, a rigidz torcioal quivalt srá: = T G d 3 π 4 q (.4) S admitirmos qu a barra d rigidz torcioal quivalt fiqu com o diâmtro d, a quação (.38) passa a sr scrita como: 4 t 3 t d = π d G d (.4) Nst caso o comprimto quivalt passa a sr: d = 4 q 4 d a rigidz torcioal quivalt srá: + (.43) G π d 4 = (.44) 3 T q Para stas codiçõs frquêcia atural d vibração livr srá:

54 4 G π d f = (.45) π 3 I q ou 4 G π d f = (.46) π 3 I q od os valors d q q das quaçõs (.45) (.46) são rspctivamt os valors obtidos das quaçõs (.40) (.43). S optarmos por uma cofiguração como mostra a Figura.3(c), com a barra d rigidz torcioal com diâmtro d comprimto, as frquêcias aturais dadas plas quaçõs (.45) (.46) passam a sr: f = G π d π 3 I 4 q (.47) od I é a iércia d massa quivalt dada por: ou 4 d q q 4 I = I d (.48) 4 d q q 4 I = I d (.49) mbr qu os valors d q q das quaçõs (.45) (.46) são rspctivamt os valors obtidos das quaçõs (.40) (.43) Rigidz Torcioal m Parallo Equivalêcia d Iércia. Cosidr o sistma torcioal da Figura.4(a), composto d um disco com momto d iércia d massa I duas barra uma com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto a outra com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto, ambas com massas dsprzívis associadas m parallo. Podmos cotrar o sistma torcioal quivalt,

55 Figura.4(b), composto d um disco com msmo momto d iércia d massa I uma úica barra d rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto q ou d comprimto q, d massa dsprzívl. Para o sistma da Figura.4(a), também é possívl s cotrar o sistma torcioal quivalt, Figura.4(c), composto d um disco com momto d iércia d massa I q uma úica barra d rigidz torcioal T, com diâmtro qualqur d comprimto qualqur, d massa dsprzívl. d d ou d d I I I q d q (b) (c) (a) Figura.4 Sistma com Rigidz Torcioal m séri Equivalêcia d Iércia. Aplicado-s um torqu t os discos dos sistmas rprstados plas Figuras.4(a).4(b), obtém-s: Na barra d rigidz T: t = T θ (.50) Na barra d rigidz T: t = T θ (.5) Na barra d rigidz T: = θ (.5) t T

56 Como as duas barras vão sr submtidas ao msmo âgulo d torção, θ = θ = θ, cada barra tm rigidz torcioal difrt stão às msmas são submtidas a momtos d torção difrts. Nst caso, tm-s qu: t = t + t (.53) Substituido a quação (.53) os valors d t, t t das quaçõs (.50), (.5) (.5) obtém: θ T = θ T + θ T (.54) Podmos scrvr cada rigidz torcioal m fução do matrial da barra, do diâmtro do comprimto, como mostra a quação (.66), assim tm-s: Para barra d rigidz T: = T G π d 3 4 (.55) Para barra d rigidz T: = T G π d 3 4 (.56) Admitido msmo matrial, G = G = G, substituido os valors d rigidz torcioal das quaçõs (.55) (.56) a quação (.54), obtém-s: 4 4 π d G π d G = (.57) S admitirmos qu a barra d rigidz torcioal quivalt fiqu com o diâmtro d, a quação (.57) pod sr scrita como: d G π d = d (.58)

57 Da quação (.58) pod-s obtr o comprimto quivalt, ou sja: = q 4 d + 4 d (.59) Nst caso a rigidz torcioal quivalt srá: = T G d 3 π 4 q (.60) S admitirmos qu a barra d rigidz torcioal quivalt fiqu com o diâmtro d, a quação (.57) pod sr scrita como: π d = d G d (.6) Nst caso o comprimto quivalt passa a sr: = q 4 d + 4 d (.6) a rigidz torcioal quivalt srá: G π d 4 = (.63) 3 T q Dsvolvimto aálogo ao da sção..3. pod sr fito para sistmas torcioais m parallos, mas é muito comum sts sistmas as barras trm o msmo diâmtro, d = d = d. Nst caso as quaçõs (.59) (.6) s trasformam m: q = (.64) + Para sta codição a frquêcia atural d vibração livr srá:

58 4 G π d f = (.65) π 3 I q S optarmos para uma cofiguração como mostra a Figura.4(c), com a barra d rigidz torcioal com diâmtro d comprimto, a frqüêcia atural dada pla quação (.65) passa a sr: f = G π d π 3 I 4 q (.66) od I q é a iércia d massa quivalt dada por: I q = I (.67) ( + ) Equivalêcia d Iércia d Sistmas Iércia-Barra-Iércia. Cosidr o sistma torcioal da Figura.5(a), composto d um disco com momto d iércia d massa I fixado a uma barra uma com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto, d massa dsprzívl, tdo a outra xtrmidad fixa a um disco com momto d iércia d massa I. Podmos cotrar o sistma torcioal quivalt, Figura.5(b), composto d um disco com momto d iércia d massa I q a msma barra d rigidz torcioal T, com diâmtro d, comprimto massa dsprzívl. d d I I I q (a) (b) Figura.5 Sistma Torcioal com Duas Iércia.

59 Apsar d o sistma aprstar duas iércias, o msmo tm apas uma frquêcia atural d vibraçõs. Ou sja, trata-s d um sistma d dois graus d librdad, mas com os dois discos vibrado smpr a msma frquêcia. Outra curiosidad dst sistma é qu apsar d uma úica barra, part dla fucioa como mola torcioal para uma das iércias part para outra iércia. Como os movimtos são m stidos cotrários, vr Figura.6, vai xistir uma sção da barra qu ão sofr torção, ou sja, é como s a barra stivss gastada st poto, formado dois sistmas torcioais m posição oposta. S as iércias fossm iguais st poto staria a mtad da barra. θ a b ó θ Figura.6 Âgulos d Torção do Sistma Torcioal com Duas Iércia. Nst caso, é possívl s dtrmiar a iércia quivalt partido da frquêcia atural do sistma da Figura.5(a), ou sja: Para o disco d iércia I : f = π I T (.68) Para o disco d iércia I : f = π I T (.69) Como stas frquêcias são iguais, pod-s scrvr:

60 ou, T = π I π I = I I T T T (.70) (.7) Substituido as quaçõs (.68) (.69) os valors d rigidz torcioal m fução do matrial da barra, do diâmtro do comprimto, obtém-s: f = G π d π 3 a I 4 (.7) 4 G π d f = (.73) π 3 b I Da quação (.7), chga-s a: 4 G π d 3 a I = 4 G π d I 3 b b = a I I (.74) as, pla Figura.6, obsrva-s qu: a + b = (.75) Rsolvdo o sistma d quaçõs (.74) (.75), obtém-s: I a = (.76) I + I I b = (.77) I + I Substituido os valors obtidos d a ou b rspctivamt as quaçõs (.7) ou (.73), obtém-s:

61 f = ( ) 4 G π d I + I π 3 I I (.78) ou, f = G π d π 3 I 4 (.79) od, I = I I ( I + I ) (.90) Equivalêcia d Iércia d Sistmas com Egrags. Cosidr o sistma torcioal da Figura.7(a), composto d um disco com momto d iércia d massa I fixado a uma barra uma com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto, d massa dsprzívl, tdo a outra xtrmidad uma gragm d raio r, acoplada a uma sguda gragm d raio r, ambas d iércia dsprzívl. A sguda gragm stá fixa a xtrmidad d outra barra com rigidz torcioal T, com diâmtro d, comprimto massa dsprzívl, tdo a outra xtrmidad fixa a um disco com momto d iércia d massa I. Podmos cotrar o sistma torcioal quivalt, Figura.7(b), m sguida trasformá-lo m outro sistma torcioal quivalt, Figura.7(c), composto d um disco com momto d iércia d massa I q a msma barra d rigidz torcioal T, com diâmtro d, comprimto q massa dsprzívl. d I r (raio) d T T d d I I I q I q r (raio) (a) (b) (c) Figura.7 Equivalêcia d Iércia d Sistmas com Egrags.

62 O Disco com momto d iércia d massa I, quado submtida a um torqu qu provoqu um dslocamto agular θ a gragm d raio r, faz com qu a gragm d raio r tha um dslocamto agular θ. Da cimática d sistmas com grags, pod-s scrvr: r θ = r θ (.9) ou, θ r = (.9) θ r Podmos usar o método d rgia para trasformar o sistma torcioal d Figura.7(a) m o sistma torcioal quivalt rprstado pla Figura.7(b). Assim, a rgia ciética T potcial U do sistma diâmico rprstado pla Figura.7(a) podrão sr scritas como: T = I θ& + I θ& (.93) U = θ + θ T T (.94) Substituido o valor d θ, quação (.9), as quaçõs (.93) (.94) obtém-s: T = I θ& + I θ& (.95) U = θ + θ T T (.96) od, = r r. As quaçõs (.95) (.96) rprstam o sistma torcioal da Figura.7(b), composto d um disco com momto d iércia d massa I fixado a uma barra uma com rigidz torcioal T, com diâmtro d comprimto m séri com outra barra rigidz torcioal, com diâmtro d difrt d d comprimto, ambas com massas dsprzívis, fixa a outra xtrmidad um disco com momto d iércia d massa I.

63 Nst caso, podmos cotrar uma barra d rigidz torcioal quivalt às duas barras m séri trasformar o sistma da Figura.7(b) m um sistma idêtico ao da Figura.5(a), da sção Nst caso a rigidz quivalt srá dada por: = + ' Tq T T (.97) ou ' T T Tq = (.98) ' T + T od, =. ' T T Substituido os valors d rigidz torcioal m fução do matrial, diâmtro da barra comprimto da barra, tm-s: = 4 π d 3 π d π d Tq 4 4 (.99) ou, π d 4 = (.300) 3 Tq q od: 4 4 d r = + q d r (.30) D poss do dsvolvimto da sção coclui-s qu a iércia quivalt do sistma torcioal quivalt d um grau d librdad da Figura.7(c), srá: I I q I = ( I + I ) (.30) a frquêcia atural d vibração livr, srá dada por: f = 4 G π d π 3 I q q (.303)