VII- PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.

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1 VII- PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE. 7.. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS;. UNIFORME DISCRETA: Uma v.a. X tm distribuição uiform discrta quado sua fução d probabilidad for dada por:,,..., N p() N I N N c/c { }(),,..., Propridads: Emplo: + N E(X) V(X) N M X (t) N j jt. N Sja ε laçar um dado, tão: X {,, 3, 4, 5, 6 } p( i ) /6 E(X) 3,5 V(X),9 Discrt Uiform Distributio,3 Lowr limit,upp,7 probability,,

2 . BERNOULLI: Uma v.a. X tm distr. Broulli s sua f.p. for dada por: Propridads: p ( p), p() p ( p) I c/c E(X) p V(X) p.q M X (t) p t + q { }(), Procsso d Broulli: É o procsso d amostragm o qual :. Em cada ttativa istm rsultados possívis mutuamt clusivos (sucsso fracasso).. As séris d ttativas são idpdts. 3. A probabilidad d sucsso (p) prmac costat d ttativa para ttativa ou sja o procsso é stacioário. Broulli Distributio probability,6,5,4,3,,,,4,6,8 Evt prob.,4 3. BINOMIAL: Uma v.a. possui distribuição biomial s sua f.p. for dada por: p().p.q,,...,.p.q { }() I,,..., C!!( )!

3 A distribuição biomial é utilizada para dtrmiar a probabilidad d s obtr um dado úmro d sucssos m um procsso d Broulli. Propridads: X úmro d sucssos úmro d ttativas p probabilidad d sucssos m cada ttativa. E(X) p V(X) pq M X (t) (p t + q) Biomial Distributio probability,4,,6,,8, Evt prob.,tria,, 4. HIPERGEOMÉTRICA: Uma v.a. X tm distribuição hiprgométrica s sua f.p. for dada por: r N r r N r p/,,..., p() N N I c/c { }(),,.., A distr. hiprgométrica é utilizada quado a amostragm é fita sm rposição d cada itm amostrado d uma população fiita, pois st caso ão s pod aplicar o procsso d Broulli, uma vz qu ist uma mudaça sistmática a probabilidad d sucsso a mdida qu os íts são rtirados da população (vtos dpdts). Assim: X úmro dado d sucssos N úmro total d its da população r úmro total d sucssos a população úmro d its a amostra.

4 Obs: Quado a pop. for grad a amostra rlativamt pqua, o fato da amostragm sr fita sm rposição tm pqua ifluêcia a prob. d sucsso d cada ttativa, tão pod-s usar a distribuição biomial como uma aproimação da hiprgométrica. A aproimação pla biomial é cosidrado boa s N <,. Propridads: r E (X ). p N r N r N V (X ). N N M X (t) ão é utilizado Hyprgomtric Distributio probability,4,,6,,8, Evt prob.,tria,5,, 5. GEOMÉTRICA: Uma v.a tm distribuição gométrica s sua f.p. for dada por: pq,, 3,... p() pq I,... c/c { }(),,3 X úmro d saios cssários para a primira ocorrêcia do vto. a Obs: Na distr. biomial o úmro d rptiçõs ra pré-dtrmiado, quado gométrica é a v.a. Propridads: E ( X ) V ( X ) M X p p q p. ( t) q t t

5 Gomtric Distributio probability,,8,6,4, Evt prob., PASCAL: Um v.a. X tm distr. d Pascal s sua f.p. for dada por: r r p q r,r +,r +,... r r p() r p q I { r,r+,r +,... }() r c/c X No. d rptiçõs cssárias para qu o vto A ocorra r vzs. Obs: Uma gralização da distr. gométrica é a distr. d Pascal. Assim: para r X~Gométrica Propridads: E(X) r p rq V(X) p M (t) X p t ( q ) r t 7. BINOMIAL NEGATIVA: Uma v.a. Y tm distribuição biomial gativa s sua f.p. for dada por: r + y r y p q y,,,... r + y r y p(y) y p q y I,,,... c/c { }(y) Y úmro d falhas ats do r-ésimo sucsso. Propridads:

6 E (Y ) rq p V(Y) rq p M Y r p (t) tq Obs: a passagm da Pascal para a Biomial Ngativa: p( ) p q r r X r fazdo r + y y - r r p( y) + y r + y + p q p q r y r r y r r y (X,) 5 probability Ngativ Biomial Distributio Evt prob.,succ,, 8. MULTINOMIAL: Cosidr-s um primto ε, su spaço amostral Ω, a partição d Ω m k vtos mutualmt clusivos A, A,..., A k. Cosidrm-s rptiçõs d ε. Etão p i P(A i ) supodo qu p i prmaça costat durat todas as rptiçõs, tmos qu p i. k i X i úmro d vzs qu A i ocorr as rptiçõs d ε. (i,,..., k) Os X i são v.a. idpdts por qu X p(x, X,..., X k k )!!!... k p. Etão: Obs: A distr. multiomial é cosidrada como uma gralização da biomial. Propridads:...p k k E(X i ) p i V(X i ) p i q i

7 9. POISSON: Uma v.a. X tm distr. Poisso s sua f.p. for dada por: λ λ. λ,,,... λ. p()! I,...! c/c { }(),, A distr. d Poisso pod sr usada para dtrmiar a probabilidad d um dado úmro d sucssos quado os vtos ocorrm m um cotiuum d tmpo ou spaço. É similar ao procsso d Broulli, cto qu os vtos ocorrm m um cotiuum ao ivés d ocorrrm m ttativas fiadas, tal como o procsso d Broulli os vtos são idpdts o procsso é stacioário. λ úmro médio d sucssos para uma spcífica dimsão d tmpo spaço. X úmro d sucssos dsjados. Propridad: λ ( t ) E(X) λ V(X) λ M (t) X OBS:. Dmo: p() λ lim p() p lim p()q p λ λ p p ( )!! ( )( )...( ) p p λ λ! λ! λ λ +... λ λ λ! λ λ - limp() lim.... -! λ. Quado o úmro d obsrvaçõs ou primtos m um procsso d Broulli for muito grad a distribuição d Poisso é apropriada como uma aproimação das distribuiçõs biomiais quado: 3

8 p < 5 λ p Poisso Distributio probability,5,,9,6,3 Ma

9 7. DISTIBUIÇÕES CONTINUAS DE PROBABILIDADE:. UNIFORME OU RETANGULAR: Uma v.a. X é uiformmt distribuida am b s sua f.d.p. for: a b f ( ) b a I [ a, b ] ( ) b a c / c < a ( a) ( a) F( ) a b I[ a, b ) ( ) + I[ b, ) ( ) ( b a) ( b a) > b Propridads: Uiform Distributio,5,4 Lowr limit,upp, dsity,3,,,4,8,,6 ( ) a + b E ( X ) V (X ) b - a M X ( t ) bt at a t ( b ) E: Tmpo d spra do ôibus, a fução dpd apas dos trmos do itrvalo. Uma máquia gra um úmro ral tr -. Qual a probabilidad d sr positivo? R: f() /b-a /-(-) / Obs: S tivrmos valor tr - + ão há rsposta. Não há itrvalos.

10 . EXPONENCIAL: Uma v.a. X tm distr. pocial com parâmtro λ >, s sua f.d.p. for dada por: f () λ λ I () [, ), λ > PROPRIEDADES: λ E(X) V(X) M (t), < λ λ λ λ t t X F() P(X ) Assim: P(X>) -λ λ λt dt λ, Obs: S os vtos, ou sucssos, ocorrm m um cotto d um procsso d Poisso, tão o comprimto do tmpo ou spaço tr vtos sucssivos sgu uma distribuição d probabilidad pocial. Uma vz qu tmpo ou spaço são um cotiuum,a distr. srá cotíua. Epotial Distributio,,8 Ma dsity,6,4, PROPRIEDADE DE PERDA DE MEMÓRIA: Sja X ~ Epocial ( λ ), sjam s, t, tão: P( X > s+t / X > t ) P (X > t) s, t

11 Dmo: ( > + > ) P( X > t) P X s t X t P( X > s + t X > t) λs λ λt t ( ) λs P X > s ( > + ) P( X > t) P X s t ( s t) λ + λt Emplo : Em média, um avio atraca m crto porto a cada dias. Qual a prob. d qu, a partir da partida d um avio, s passm 4 dias ats da chgada do próimo avio? R: média por dias λ média por dia / P(X>4) -λ -4./ 3,53% Emplo : Um dpartamto d cosrto d máquias rcb, m média, 5 chamadas por hora. Iiciado m um poto do tmpo alatoriamt scolhido, qual a prob d qu a primira chamada chgu dtro d ½ hora? R: média por hora 5 λ média por hora 5 P(X /) - -λ - -5./ ,79% 3. DISTRIBUIÇÃO GAMA: Fução Gama: p Γ( p) d p > S itgrarmos por parts, fazdo : - d dv p- µ obtrmos: p p Γ( ). ( p ) p + ( p ) d p Γ p [ d] p ( ) ( )

12 S p for itiro positivo p. Aplicado a rlação acima rptidas vzs trmos: Γ ( ) ( ) Γ( ) ( )( ) Γ( ) ( )( )... Γ( ) Porém, ( ) Γ d Γ() (-)! tão: p/ itiro positivo também vrifica-s: ( / ) Γ Distribuição Gama: / d π Sja X um v.a. cotíua, qu tom somt valors ão gativos. Etão, X ~ GAMA(α,λ) s sua f.d.p., for dada por: λ f () Γ α ( α) r λ, > c/c Γ(α) (α-)! p/ α λ > od: α úmro d ocorrêcias o tmpo. X o tamaho do tmpo tr o tmpo o istat quado a α-ésima ocorrêcia acotc.. Gamma Distributio,8 Shap,Scal, dsity,6,4,

13 PROPRIEDADES:. S α tão f() λ -λ distr. pocial (caso particular da Gama) A soma d v.a. pociais distribuidas idticamt idpdts é uma distr. Gama. E(X). α λ α V(X) λ M X (t) λ λ α t,p/ t < λ 4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS): Uma v.a. X ~ N(µ,σ ) s sua f.d.p. for dada por: f () σ π µ σ - < <, - < µ < σ > F() σ π t µ σ dt Φµ, σ () Normal Distributio dsity,4,3,, Ma,Std. dv., PROPRIEDADES:. f X () >, R. f X () lim ± 3. f X () é cotíua difrciavl. 4. f X () é crsct para (-, µ) dcrsct para (µ, ).

14 5. Poto d máimo da fução m µ. Etão µ é também a moda da distribuição. f () f(). (-µ)/σ f (µ) f () f() [ (-µ) /σ - /σ ] f (µ) -f(µ)/σ < 6. Eistm dois ou mais potos d iflão m µ+σ µ-σ. ( a sguda drivada s aula) 7. f X () é simétrica m rlação a µ. (-µ). 8. Valor sprado : µ Variâcia σ M X (t) tµ+/.tσ IMPORTÂCIA:. Podr d modlamto. Mdidas produzidas m divrsos procssos alatórios sgum a distr. ormal.. Capacidad d aproimação d outras distr. como Biomial Poisso. 3. As distr. d statísticas da amostra frqutmt sgum a distr. ormal idpdt da distr. da população. APROXIMAÇÕES PELA NORMAL:. Biomial: quado 3 p 5 tão: µ p σ pq. Poisso: quado λ tão: µ λ σ λ DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA: Quado µ σ (caso particular) (chamada stadart, ormalizada, padrão) f( z) z π F(z) Φ(z) π z t p/ z dt i µ σ valor tablado

15 P(a b) Φ(b) - Φ(a) P( a) Φ(a) P( > a) - Φ(a) E: Dtrmi a ára limitada pla curva ormal m cada um dos casos:. Z, R:, ,68 Z, ,46 Z,, Z -,6, Z,6,676 6.,8 Z,6,3 7. -,95 Z -,4, Z < -,5 Z >,5,3 9. Z > -.5, TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Sja X, X,..., X v.a.idpdt idticamt distribuídas (iid); com a msma µ σ sja S X + X X a soma d v.a. iid: - S E( S V( S ) S µ σ ) Z Z N(,) N(,) ou sja pois E(S ) E(X +X +...+X ) µ +µ +...+µ µ V(S ) σ +σ +...+σ σ Uma ddução fita através do Torma do Limit Ctral é qu uma distribuição amostral d médias td uma distr. ormal quado é suficitmt grad ( 3). X E( X ) σ V( X ) N µ µ, σ X X od: X + X X µ E(X) E X X + X X σ V(X) V X [ E( X ) + E( X ) E( X )] µ µ [ V( X ) + V( X ) V( X )] σ σ

16 NOTA HISTÓRICA: A distribuição ormal é chamada historicamt d li dos rros. Foi usada por Gauss para modlar rros m obsrvaçõs astroômicas. Gauss drivou a distribuição ormal, ão como limit d somas d variávis alatórias idpdts, mas a partir d crtas hipótss tr las a d cosidrar a média aritmética das obsrvaçõs. Hoj m dia o Torma do Limit Ctral dá apoio ao uso da ormal como distribuição d rros, pois m muitas situaçõs rais é possívl itrprtar o rro d uma obsrvação como rsultat d muitos rros pquos idpdts. Pod-s itrprtar também qu uma obsrvação é grada da soma d muitos fitos pquos idpdts. No MATLAB: Cumulativ Distributio Fuctios (cdf): ormcdf Normal (Gaussia) poisscdf Poisso Probability Dsity Fuctios (pdf): biopdf chipdf ppdf Biomial pdf Chi-squar pd Epotial pdf Ivrs Cumulativ Distributio Fuctios: goiv hygiv Gomtric critical valus Hyprgomtric critical valus Momts of Distributio Fuctios Biostat chistat pstat Biomial ma ad variac Chi-squar ma ad variac Epotial ma ad variac Radom Numbr Grators ormrd poissrd Normal (Gaussia) radom umbrs Poisso radom umbrs