PTC-2433 TEORIA DAS COMUNICAÇÕES II ADENDO SOBRE CÓDIGOS CORRETORES / DETECTORES DE ERRO

Transcrição

1 TC-433 TEORIA DAS COMUNICAÇÕES II ADENDO SOBRE CÓDIGOS CORRETORES / DETECTORES DE ERRO Rcordado a visualização gométrica pod-s aida scrvr qu: ara dtctar até l rros por palavra d mi l Corrigir até t rros por palavra d mi t Corrigir até t dtctar l > t d mi t l or xmplo, para o código d bloco (3,) sab-s qu d mi = 3 assim o código dtcta até l = rros ou corrig t= rro; já para um código com d mi = 7, pod-s tr a corrção d 3 rros ou pod-s dtctar até 4 rros (l = 4) corrigir rros duplos (t = ) ou aida dtctar até l =6 rros. A distâcia míima para códigos d bloco (, k) é limitada supriormt por d mi k. ara um código (7,4), por xmplo, d mi 4 por ssa limitação. or outro lado, para qu a corrção d rros prvista pla limitação d Hammig sja obdcida dv-s tr aida d mi 3. Obsrvação adicioal para códigos d bloco Sja um código d rptição (3,). As possívis palavras código a srm trasmitidas são 0. Rcbdo uma palavra difrt dssas há um rro dtctado. Assim, ss código dtcta rros simpls duplos, mas ão triplos qu ocorrm com probabilidad 3 w =, od é a probabilidad d rro d bit idividual. Dtcção d rro por paridad Sjam (-) bits d iformação acrscidos d bit d paridad. Assim, bit rrado é imdiatamt dtctado (poddo também sr 3 ou 5 bits... mas com uma probabilidad d ocorrêcia bm mor). S <<, duplos rros são muito mais provávis qu d 4 ou 6 bits portato a probabilidad d um rro (a palavra d bits) ão dtctado ocorr com probabilidad: ( ) ( ) w, ( ) = = ara fito d comparação a trasmissão ão codificada d (-) bits aprsta uma probabilidad d rro d palavra dada por: ( ) w = ( -) or xmplo, com = 3 = W = 6 = 45 6 o caso do uso d paridad; já o caso ão 3 codificado 3 W=, com um gaho dvido à paridad d =X com fator d xpasão d apas 6 45, ss xmplo umérico. Códigos BCH (Bos-Chaudhuri-Hocqughm) Trata-s d uma grad class d códigos cíclicos (biários ou ão), qu o caso biário satisfazm à: = p ; k< pt; dmi= t com p > 3. Na forma usual o poliômio grador dv sr fator d grau (-k) d (x ). Em txtos ddicados ao assuto, por xmplo a rf. [t7], listam poliômios para vários valors d p. Exmplos: p (,k) t octal biário poliômio grador p=5 (3,6) t= 45 x 5 p=5 (3,) t= 355 x... p=7 (7,6) t= x 8...

2 Códigos d Bloco ão Biários (Códigos d Rd-Solomo) Nst caso os lmtos das palavras código são slcioados d um alfabto d q símbolos (0,,,...,q-). Usualmt q = k, d forma qu k bits d iformação são mapados m um dos q símbolos. O código é rprstado por (N,K) com K símbolos codificados o bloco d N símbolos trasmitidos. O xmplo mais importat dsta class é o código d Rd-Solomo (qu é um subcojuto dos códigos BCH, qu por sua vz é uma class d códigos cíclicos). O código RS é dfiido plos parâmtros: N=q-= k ; K=,,..., N- D mi =N-K NK D Est código pod corrigir até: t= = mi rros d símbolo. A popularidad dst código advém d suas boas propridads d distâcia da xistêcia d algoritmos ficits para a sua dcodificação hard, qu tora tão possívl a implmtação d códigos logos d forma prática. or xmplo (55, 3) é um código RS qu pod corrigir até 6 símbolos rrados (N=55 k=8; K=3, D mi=55-3=33 t=6 símbolos). Traspodo-s st código, l é quivalt a um d bloco biário (040, 784), od sua capacidad d corrção máxima sria d t=35 bits. Dcisor Hard Soft ara itroduzir o cocito sja, por xmplo, um código d bloco (7,4) como a sguir spcificado (=7, k=4, r=4/7). Obsrv-s da tabla qu: - o úmro d palavras código é d k = 4 =6; - o código é sistmático pois c i=d i para i=,,..., k; - a distâcia míima tr palavras código é D mi=3 t=; - o código é cíclico, com as palavras código 0,,, todas as prmutaçõs circulars dsts dois últimos, totalizado as 6 palavras o código é prfito 7-4 = 3 =8=7 msagm palavra palavra código código bipolarizada i d i c i c~ ( ) c i = i (vr txto) 0 0, , , , , , , , , , , - - -, , , , ,6 Supoha-s tão tr rcbido o sial (vtor): r={-0,; -0,;,;,;,;,;,} como a amplitud do sial aalógico dcodificado, corrspodt ao código viado c i={0;0;0;0;0;0;0}. O dcisor hard é aqul qu toma dcisõs sobr cada bit viado, lvado m cota as possibilidads d trasmissão (- ). Dsta forma a dcodificação hard forcrá: x={-; -; ; ; ; ; } qu, após cosulta à tabla, os idica dˆ ={; ; 0; 0}. Assim o

3 rcptor "psará" tr havido um rro o sxto dígito o corrigirá (como rsultado fial comt-s rros). O dcisor soft, por outro lado, calculará a distâcia Euclidiaa tr a palavra rcbida todas as possívis palavras código. A dcisão basar-s-á sta distâcia míima: i = i= ( ci ri ) dada a última colua da tabla atrior. Ao mor valor, o xmplo i =, 04, corrspodrá dˆ ={0; 0; 0; 0;} ão {,,0,0}, para o qual i = 5, 6, como o dcisor hard. Est xmplo simpls mostra um dsmpho suprior do dcisor soft sobr o hard. No primiro ão há rro quato o sgudo comtu-s dois rros (m vrdad o úmro d rros ultrapassou a capacidad d corrção do sistma). Est rsultado é gral para caais com AWGN a difrça é da ordm d a db m λ. O xmplo mostra aida qu a dcodificação dos códigos d bloco, basia-s m comparar, sgudo algum critério d distâcia (Euclidiaa ou d Hammig, para dcisors soft hard, rspctivamt), o sial rcbido com as possívis palavras código mprgadas a trasmissão. O procsso pod sr sistmatizado através do cálculo d sídroms da palavra rcbida, para sta abordagm ovamt rmt-s o litor para a rfrêcia [ro8]. Um xrcício adicioal com código covolucioal Esboc o diagrama d stados corrspodt ao código covolucioal abaixo rprstado. Nst código para cada bit d iformação são trasmitidos dois (N=3, k=, =). i out Cosidr a trasmissão d quatro bits d iformação sguidos d tatos zros quatos form cssários. a) Qual é a squêcia d bits trasmitida m sua forma bipolar b i=(-) Ci? Cosidr agora a squêcia bipolarizada rcbida (sial a saída do amostrador, ats do limitador, do dtctor d corrlação) c={ 0,; -0,; -,0; -,0;,0; -0,8;,0; -0,8; -,0; 0,;,0; -,0 }. b) Dcodifiqu ssa squêcia, utilizado o algoritmo d Vitrbi, as duas hipótss: dcisor hard dcisor soft. Comt su rsultado. Rsolução a) O diagrama d stados tm 4 stados, corrspodt ao cotúdo das duas primiras posiçõs do rgistrador d dslocamto, é rprstado abaixo: / / / 0/ / 0/ 0/ 0/ O diagrama d trliças corrspodt é:

4 trada trada 0 Uma trasmissão dv sr smpr sguida d dois zros para lvar o rgistrador para su stado iicial. Assim para s trasmitir dv-s trasmitir plo diagrama d stados vrifica-s qu a saída corrspodt srá a forma biária: { ; ; 0; 0; 0; ; ; 0; 0; ; 0; 0 } a forma bipolar: { -; -; ; ; ; -; -; ; ; -; ; }. b) ara a dcodificação solicitada dvmos, o caso hard, rscrvr o vtor d trada após passar por um limitador assim, a forma biária, tmos: { 0; ; ; ; 0; ; 0; ; ; 0; 0; } agora trar com a dcodificação d Vitrbi cosidrado distâcias d Hammig, como abaixo. trada () () () () () () (6) () () 0 () (5) () () 0 () () Saída Dcodificada: ; Dado Dcodificado: 0 corrigidos ara a dcodificação soft cosidra-s o vtor d trada como o rcbido: c={ 0,; -0,; -,0; -,0;,0; -0,8;,0; -0,8; -,0; 0,;,0; -,0 } agora tra-s com a dcodificação d Vitrbi com distâcias uclidiaas, como abaixo. trada 0,; -0,; -,0; -,0;,0; -0,8,0; -0,8 -,0; 0,,0; -,0 (),0;,0;,0;,0;,0;,0 (4,86) -,0; -,0; -,0; -,0;,0; -,0 (3,66) ; -; - (6,0) (7,70) ; (,) ; (,7) (4,) (6,) () (),0;,0;,0;,0; -,0; -,0 -,0; -,0; -,0; -,0; -,0;,0,0;,0; -,0; -,0; -,0; -,0 -,0; -,0;,0;,0; -,0;,0 (5,66) (,86) (7,66) (8,86) ; - ; -; (7,70) (4,0) -; -; - (4,0) (4,) -; ; - -; - (,3) (6,) ; - (),0;,0; -,0; -,0;,0;,0 -,0; -,0;,0;,0;,0; -,0 (6,86) (,66) ; - (4,) (6,0) Saída Dcodificada: é a msma do hard dcisio!

5 Vrifica-s ss caso qu os dois rsultados são idêticos (dois rros foram corrigidos: a sguda sxta posição) qu os potos d "idcisão" do hard ão xistm o soft. Exmplos adicioais d códigos covolucioais r=/ r=/3 L g g d fr L g g g 3 d fr Gaho d Codificação ara trada biária caal AWGN o gaho d codificação é xprsso por CG = log (dfr r) m db, od CG idica um gaho a potêcia para um msmo dsmpho imposto (codificado ou ão). or xmplo com r=/ d fr=5 rsulta um gaho d codificação d CG=3,8 db. Etrlaçamto Vid a rfrêcia [] da mta da disciplia. Códigos Cocatados Vid a rfrêcia [], sguda dição (), itm.8., da mta da disciplia. Códigos Turbo Vid a rfrêcia [], sguda dição d (), itm.8.3, da mta da disciplia. Rlação tr a probabilidad d rro d bit o caal ( ) a probabilidad d rro d bit fial, isto é, após corrção d rros ( b) Como já visto, a probabilidad d rro d palavra ( W) para um código d bloco (,k), com capacidad d corrção d t bits, cosidrado apas o trmo mais rlvat (o d maior probabilidad d ocorrêcia), é dada por: = i i W C,i ( ) i= t t t! C t,t ( ) ( t )!(t )! or outro lado, a probabilidad d rro d bit fial pod sr scrita como: t b = W t! = t t = C,t ( t )!(t )! od cosidrou-s, ovamt, qu o vto mais provávl é o da ocorrêcia d t rros (portato, ão corrigívl) m um bloco d bits. JEJ /