MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Distribuições Notáveis

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1 MOQ-: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Distribuiçõs Discrtas: Distribuição Uiform Discrta: Distribuiçõs Notávis Uma va discrta dfiida os potos,,..., tm distribuição uiform discrta s assum cada um dos valors possívis com igual probabilidad. Tmos: f ( ) i, 0, para i,..., caso cotrário Torma: Sja uma va discrta qu s distribui uiformmt os potos dfiidos pla sqüêcia d úmros itiros coscutivos,,...,. Etão: E [ ] ; Var [ ] ; m ( t) E[ t ] i ti OBS: - S o spaço amostral é um cojuto umrávl ifiito ( +, por mplo), tão ão é possívl dfiir um primto uiformmt distribuído st cojuto. - S o spaço amostral for um cojuto ão-umrávl, fiito, tal como o itrvalo ral [0,], utilizamos a distribuição uiform cotíua. Emplo : Gração d úmros alatórios Dpddo do pacot computacioal dispoívl, podmos grar um úmro alatório d duas mairas: (i) um itiro alatório um crto itrvalo d úmros itiros coscutivos, ou (ii) um úmro ral qualqur o itrvalo [0,]. No primiro caso, os úmros rais são scolhidos d forma qu a probabilidad d qu o úmro cotr-s dtro d um sub-itrvalo cotido m [0,] sja igual ao comprimto do sub-itrvalo m qustão. No sgudo caso, cada itiro tm a msma probabilidad d sr scolhido.

2 Sja uma va com fdp dada por f(), od prtc ao cojuto{,, 3 } f( ) = /, f( ) = /3 f( 3 ) = /6. Caso : Gração d úmros itiros alatórios um cojuto itiro dfiido. S o computador for capaz d grar úmros alatórios o cojuto {,,...,6}, por mplo, fazmos: : s rsultar, ou 3 : s rsultar 4 ou 5 3 : s rsultar 6 Obtivmos, tão a distribuição dsjada a partir d um grador d úmros itiros alatórios. Caso : Gração d úmros rais alatórios o itrvalo [0,]. S r é um úmro ral alatório o itrvalo [0,] grado plo computador, fazdo: R = 6r +, Obtmos um úmro itiro alatório tr 6 (a otação itiro mor do qu ), a partir d úmros rais alatórios. sigifica o maior úmro A distribuição dsjada pod sr obtida como o primiro caso ou, aida, gra-s um cojuto d úmros rais alatórios, r i, o itrvalo [0,], d forma qu tmos: : s r i /; : s / < r i 5/6; 3 : s r i > 5/6.

3 Distribuição d Broulli: A distribuição d Broulli é cosqüêcia do chamado primto d Broulli, qu pod sr dscrito como:. Um primto alatório m qu há apas dois possívis rsultados: sucsso fracasso.. A probabilidad d ocorrr sucsso val p, quato para fracasso, val -p. Podmos dfiir a va qu rprsta o rsultado do primto. Esta variávl sgu a distribuição d Broulli com parâmtro p. Dfiição: Uma va discrta tm distribuição d Broulli s sua fdp é dada por: f ( ) p 0, q -, para 0,, od 0 p q=(-p) caso cotrário Torma: Sja uma va discrta qu tm distribuição d Broulli. Etão: Emplo : t t E [ ] p ; Var [ ] pq ; m ( t) E[ p q ] - Um mdicamto cuja probabilidad d curar uma dtrmiada doça é d 0,9 é admiistrado a um pacit. Os rsultados possívis são curado ou ão-curado. S = rsultado após mdicação, tão ~ Broulli (p=0,9).

4 Distribuição Biomial: Supoha qu o primto d Broulli sja rptido vzs, d forma qu sjam válidas:. Hipóts d Idpdêcia: Cada rptição do primto é idpdt do atrior.. Hipóts d Estacioaridad: A probabilidad p d sucsso prmac costat para todos os primtos. O msmo val para a probabilidad d fracasso, dada por q = -p. S é uma va qu rprsta o úmro d sucssos obtidos os primtos, tão sgu a distribuição Biomial, com parâmtros (, p). Dfiição: Uma va discrta tm distribuição Biomial s sua fdp é dada por: f ( ) p q -, para 0,,...,, od 0 p q=(-p) 0, caso cotrário Torma: Sja uma va discrta qu tm distribuição biomial. Etão: E [ ] p ; Var [ ] pq ; t m ( t) E[ ] p t q Emplo 3: A sguir, aprstamos algus mplos m qu os rsultados d um primto podm sr modlados como uma va Biomial: - Um mdicamto cuja probabilidad d curar uma dtrmiada doça é d 0,9 é admiistrado a 00 pacits. Os rsultados possívis para cada pacit são curado ou ão-curado. S = úmro d pacits curados, tão ~ Biomial (00; 0,9). - Psquisas rvlam qu há 0% d chac d qu uma pssoa adulta sofra d algum tipo d dsordm psiquiátrica. Um grupo d 5 pssoas é slcioado alatoriamt. Dfiido o úmro d pssoas qu aprstam uma dsordm psiquiátrica, tmos qu ~ Biomial (5; 0,0). - Um fabricat d chips d computador acrdita qu, m média, 5% dos its produzidos são dfituosos. A fim d moitorar o procsso d fabricação, toma uma amostra d 75 its. S a amostra cotivr mais do qu 5 chips dfituosos, o procsso é itrrompido. A distribuição Biomial d parâmtros (75; 0,05) pod sr utilizada para modlar a va dfiida como sdo o úmro d chips dfituosos cotrados.

5 Simulação o MATLAB: Psquisas rvlam qu há 0% d chac d qu uma pssoa adulta sofra d algum tipo d dsordm psiquiátrica. Um grupo d 5 pssoas é slcioado alatoriamt. Dfiido o úmro d pssoas qu aprstam uma dsordm psiquiátrica, tmos qu ~ Biomial (5; 0,0). Qual a probabilidad d qu o máimo 3 pssoas do grupo slcioado tham a dsordm. Solução Maual: Qurmos P( 3): P( 3) p(0) p() p() p(3) mas, p ) ( p q - : p (0) ,.0,8 5 3, p() p() 5.0,.0,8 5.0,.0,8 4 3,36.0 7,08.0 P ( 3) 0,34 p(3) ,.0,8 0,36

6 Distribuição d Poisso: A distribuição d Poisso ocorr m muitas situaçõs práticas. Jutamt com as distribuiçõs Uiform Biomial é uma das três distribuiçõs discrtas mais importats. Eistm crtos fômos m qu stamos itrssados m cotar alguma gradza. No caso da va Biomial, stávamos itrssados o úmro d sucssos m um dtrmiado úmro d primtos. A distribuição d Poisso é um modlo ralista quado aplicada a fômos alatórios m qu a cotagm d ocorrêcias um dtrmiado itrvalo é a variávl m aális. Dado um itrvalo ral qualqur, supoha qu os vtos ocorram alatoriamt o itrvalo. S o itrvalo pudr sr particioado m pquos sub-itrvalos, d forma qu:. A probabilidad d mais d uma ocorrêcia m um sub-itrvalo é dsprzívl;. A probabilidad d uma ocorrêcia m qualqur sub-itrvalo é proporcioal ao comprimto do sub-itrvalo; 3. O úmro d ocorrêcias m um dtrmiado sub-itrvalo idpd das ocorrêcias m outros sub-itrvalos; tão O primto dscrito é chamado procsso d Poisso. A va qu rprsta o úmro d ocorrêcias o itrvalo é uma va d Poisso d parâmtro. A média d tal va rprsta o valor sprado d ocorrêcias o itrvalo cosidrado. Dfiição: Uma va discrta tm distribuição d Poisso s sua fdp é dada por: f ( )! 0,, para 0,,..., od >0. caso cotrário Torma: Sja uma va discrta qu tm distribuição d Poisso. Etão: E [ ] ; Var [ ] ; m ( t) E[ t ] t

7 Simulação o MATLAB: Supoha qu acidts d trâsito ocorram m um dtrmiado cruzamto d forma qu satisfaça as codiçõs d um procsso d Poisso, com taa d acidts por smaa. Dfiido o úmro d acidts m smaas, tmos qu ~ Poisso ( =. = 4). Qual a probabilidad d qu o máimo 3 acidts ocorram as próimas smaas? Solução Maual: Qurmos P( 3): P( 3) p(0) p() p() p(3) mas, p( ) -! : p (0) 4 4 0,83.0 p() 4 4 7,33.0 p() p(3) ,47 0,95 P ( 3) 0,433

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9 Distribuiçõs Cotíuas: Distribuição Uiform: A distribuição cotíua mais simpls é aáloga a sua quivalt discrta. Uma va cotíua tm distribuição uiform o itrvalo [a,b] s sua fdp é dada por: OBS: f ( ), para a b, od - <a<b< b a. S ~ Uiform (a,b), tão o valor d rprsta o rsultado do primto m qu um úmro ral é alatoriamt scolhido dtro do itrvalo [a,b].. Embora a distribuição uiform tha sido dfiida o itrvalo [a,b], também podria sr igualmt dfiida os itrvalos (a,b], [a,b) ou (a,b), vrificado-s a ão uicidad da fdp d uma va cotíua. Torma: S é uma va cotíua qu s distribui uiformmt o itrvalo [a,b], tão: b a ( b a) E [ ] ; Var [ ] ; m ( t) bt ( b at a) t

10 Distribuição Epocial: Vimos atriormt qu, um Procsso d Poisso, podmos associar uma va ao úmro d ocorrêcias d um dtrmiado vto um crto itrvalo (d tmpo). Esta va aprsta distribuição d Poisso. Podmos, também dsjar obtr iformaçõs a rspito do tmpo trascorrido tr duas ocorrêcias ou do tmpo d spra até a primira ocorrêcia. S os vtos ocorrm d acordo com um Procsso d Poisso, tão ambas va s aprstam distribuição pocial. Dfiição: Uma va cotíua tm distribuição pocial s sua fdp é dada por: Torma: f ) (, para 0 < >0. S é uma va cotíua qu s distribui pocialmt, tão: Emplo: E [ ] ; Var [ ] ; m t) (, para t< t Supoha qu ao comprar um computador com um dtrmiado tipo d disco rígido, o vddor afirmou qu a durabilidad média d um disco dsts é d 30 mss. Podmos modlar a durabilidad (ou sja, o tmpo d vida) do disco como uma va ~ Epocial ( =/30). Supoha qu o computador já stja fucioado por 5 mss o disco rígido origial cotiua fucioado. Alguém podria sprar qu l foss durar, m média, mais 5 mss. O tmpo d vida rstat sria, tão, rprstado por Y =-5. Podmos simular valors d Y o computador. Obsrvamos qu o valor médio simulado d Y é d 9, 74 qu é próimo do valor médio origial para o tmpo d vida do disco rígido, ao ivés dos 5 mss qu s podria imagiar. Além disto, obsrva-s qu a distribuição do Y simulado é bm smlhat à d, o qu ão é d s strahar pois, a vrdad também tmos Y ~ Epocial ( =/30). Esta é uma ilustração da chamada Propridad d Ausêcia d Mmória.

11 Torma (Propridad d Ausêcia d Mmória): S é uma va cotíua qu s distribui pocialmt, tão: OBS: P ( t h t) P( h), para t>0 h>0 - S md o tmpo d vida d um dtrmiado compot, tão a probabilidad d qu o compot rsista (t+h) uidads d tmpo, dado já tr durado t uidads é igual à probabilidad d qu rsista h uidads d tmpo. - Isto sigifica qu o tmpo d vida d um compot vlho tm a msma distribuição d probabilidad do tmpo d um ovo ; ou sja, o compot ão sofr dsgast ou fadiga. - Essa propridad ão s vrifica a prática. Por mplo, s md o tmpo d vida d uma lâmpada, st dpd do tmpo qu la já durou. No tato, a distribuição pocial é usada como uma boa aproimação para va s qu mdm tmpo d vida d vários produtos. Torma: S as va s,..., formam uma amostra alatória d uma distribuição pocial d parâmtro, tão: Y = mi{,..., } ~ Epocial ( ) Emplo (Tsts d Vida): Supoha qu lâmpadas sjam postas a fucioar um tst para dtrmiar su tmpo d vida. Supoha qu as lâmpadas fucioam idpdtmt tr si. Sja: i = tmpo d vida da i-ésima lâmpada, i=,..., i ~ Epocial ( ). Tmos: Y = itrvalo d tmpo até qu a primira lâmpada falh ~ Epocial ( )

12 Distribuição Gama: Uma va pocial rprsta o tmpo d spra até a primira ocorrêcia d um vto m um procsso d Poisso. Uma gralização da distribuição pocial pod sr formulada quado dsjamos studar o tmpo d spra até a r-ésima ocorrêcia d um vto o procsso d Poisso. Dfiição: Uma va cotíua tm distribuição gama s sua fdp é dada por: f r r ( ), para 0 <, r >0 >0. ( r) od, r ( r) d 0, para r >0. Para r : ( r ) ( r )! Torma: S é uma va cotíua qu tm distribuição gama, com parâmtros r, tão: r r E [ ] ; Var [ ] ; m ( t), para t< t r OBS: - A distribuição pocial gama stão rlacioadas:. A distribuição pocial é um caso spcial da gama, para r =.. A soma d v.a.i.i.d. pociais distribui-s como uma gama. 3. As distribuiçõs Epocial Gama são os aálogos cotíuos das distribuiçõs Gométrica Biomial Ngativa, rspctivamt. - A distribuição Gama ão é utilizada com frqüêcia para modlar sistmas físicos, ao cotrário d um caso spcial (para r ) a distribuição d Erlag.

13 Distribuição Normal: Uma va cotíua tm distribuição ormal s sua fdp é dada por: ( ) f ( ), od - < < >0. Torma: S é uma va cotíua qu s distribui ormalmt, tão: E [ ] ; Var [ ] ; m ( t) t ( t) Torma: S ~ N(, ) Y = a +b, tão Y ~ N(a +b, a ). Distribuição Normal Padroizada: S ~ N( =0, =), tão é uma va ormal padroizada. A fdp FDA dsta va são rprstadas como: ( ) ( ) ( u) du OBS: Os valors d probabilidad para a distribuição ormal ão podm sr obtidos aaliticamt, apas através d aproimaçõs uméricas ou valors tablados para (). Torma: S ~ N(, ), tão: P [ a b] b a OBS: (-) = - ()

14 Torma: S ~ N(, ), tão P( - k ) = g(k). OBS: k = : P( - ) = 0,686 k = : P( - ) = 0,9544 k = 3: P( - 3 ) = 0,9974 Emplo: Um profssor acrdita qu as otas dos aluos sjam ormalmt distribuídas com média variâcia. S o profssor dcidir passar uma curva tal qu as corrspodêcias a tabla abaio sjam válidas. Quais as proporçõs para cada cocito? D I R B MB L < - - << - - << << + + << + > + Torma do Limit Ctral: S para cada +,,..., são vaiid com média variâcia, tão, para cada z: F Z (z) (z), coform, od: Z E[ var[ ] ] pois: E [ ] var[ ]

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