Variáveis Aleatórias

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1 Variávis Alatórias Dfiição: Uma variávl alatória v.a. é uma fução qu associa lmtos do spaço amostral a valors uméricos, ou sja, X : I, m qu I R. Esqumaticamt: As variávis alatórias são classificadas m dois tipos: VA discrta: é aqula para a qual o cojuto I é um cojuto fiito ou ifiito umrávl Es.: I = {,, 3, 4, 5, 6}, I = N = {,,, 3, 4,... }, tc. VA cotíua: é aqula para a qual o cojuto I é um cojuto ifiito ão umrávl, ou sja, é uma v.a. qu assum valors m itrvalos d úmros rais Es.: I = R = (, ), I = [,] R, tc. Notas: Para v.a. s cotíuas, a fução qu ormalmt associa potos d ao cojuto I R, é a fução idtidad; Para v.a. s discrtas, a fução qu ormalmt associa potos d ao cojuto I R, é uma cotagm ou soma.

2 Emplo : Cosidr o ascimto d três bbês sdo o so da criaça obsrvado, m qu M = so masculio F = so fmiio. Dsta forma, para cada bbê trmos duas possibilidads,, cosidrado os três ascimtos, trmos um total d 3 = 8 combiaçõs. a) Quais são os rsultados possívis? b) Como dfiir uma v.a. para ss caso? c) Como associar probabilidad a ssa v.a.? a) Para os sos dos três ascimtos trmos triplas do tipo (, y, z) m qu é o so do primiro bbê, y do sgudo z do trciro. Portato, o rsultado (MMM) idica qu os três ascimtos são do so masculio. O spcaço amostral para st caso srá: = MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF. b) Tmos plo mos duas formas para dfiir uma variávl alatória para ss caso: (i) X = úmro d bbê do so fmiio os três ascimtos ou (ii) X = úmro d bbê do so masculio os três ascimtos. Com X = úmro d bbê do so fmiio os três ascimtos X(MMM) = X(MMF) = X(MFM) = X(FMM) = X(MFF) = X(FMF) = X(FFM) = X(FFF) = 3 Vamos simplificar a otação para os possívis valors da v.a.: X(MMM) X = X(MMF) = X(MFM) = X(FMM) X = X(MFF) = X(FMF) = X(FFM) X = X(FFF) X = 3

3 Assim pod-s scrvr: P(X = 3) = P(FFF) =,5,5,5 =.5 P(X = ) = P(MFF FMF FFM) = 3.5 =,375 P(X = ) = P(MMF MFM FMM) = 3.5 =,375 P(X = ) = P(MMM) =,5 Normalmt rprstam-s os valors uma tabla com a distribuição das probabilidads, chamada d fução d probabilidad: Tabla : Fução d probabilidad da v.a. X = bbês do so fmiio os três ascimtos. Valors da v.a. X Probabilidads,5,375,375 3,5

4 A fução d probabilidad d uma v.a. discrta Fução d probabilidad d uma v.a. X, discrta, é uma fução qu atribui probabilidad a cada d sus possívis valors. A fução d distribuição d uma v.a. discrta Fução d distribuição ou fução d distribuição acumulada d uma v.a. X, discrta, é dfiida por Notas: F ( ) P( X ) p( ). i i i i i) F() é uma fução do tipo scada, m qu os potos d dscotiuidad ocorrm m i, i =,,... ii) Dada a fução d distribuição F(), tão, p ) F( ) F( ), i =,,... ( i i i Assim, a fução qu associa probabilidads aos possívis valors d uma v.a. discrta X, é chamada d fução d probabilidad (fp) ou fução massa d probabilidad (fmp). Sja X assumido valors m,,, }, tão sua fução d probabilidad p() é dfiida por: p { 3 ( i i i ) P[ w X ( w) ] P( X ), i =,,...

5 Propridads: a fução d probabilidad p() satisfaz: i) p( i ), i,, ; ii) p ( ) ; i i iii) p() é usualmt rprstada por: p() = P(X = ), I, m qu: I é o cojuto dos possívis valors d X. Tabla : No mplo dos 3 ascimtos, tmos I = {,,, 3 } : p() fução qu associa,5 probabilidads à v.a.,375 úmro d d bbês,375 do so fmiio os 3,5 três ascimtos.

6 Emplo : Sab-s qu o prctual d pssoas com tipo saguío O a população brasilira é d 9%. Cosidrado qu chgam ao stor d mrgêcias d um hospital pssoas cssitado d sagu, uma dtrmiada oit: a) Dfia uma variávl alatória para ss caso. Qual é a probabilidad d qu, dtr ssas pssoas: b) atamt um tha sagu O? c) plo mos um tha sagu O? d) o máimo três tham sagu O? Escrvdo as probabilidads m trmos da v.a.: a) Sja a v.a. X = úmro d pssoas com tipo saguío O dtr as = qu chgaram à mrgêcia. Etão, tmos qu I = {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, ou sja p() = P(X = ), m qu {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. b) Probabilidad d qu atamt uma pssoa tha sagu O é: p() = P(X = ). S a proporção d pssoas com sagu O é d,9, tão, uma pssoa tm probabilidads.9 d tr sagu O,9 d tr qualqur outro tipo. Sdo O = sagu O gativo = outro tipo d sagu tmos: O / O prob.,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9 pacit Assim, a probabilidad d qu atamt um pacit tha sagu O, sda st o primiro a é igual a: (,9)(,9) 9

7 Como o pacit com sagu O o primiro ou o sgudo ou o trciro... ou o décimo, tão tmos dz vzs ssa probabilidad, i..: P(X = ) = (,9)(,9) 9 = (,9) (,9) 9 =,385, c) S tivrmos plo mos um dos pacits com sagu O, tão pod sr um pacit ou dois ou três... ou os dz. Portato, a probabilidad d qu plo mos um pacit tha sagu O é dada por: P(X ) = P ( X ) = P(X = ) + P(X = ) P(X = ). Mas, utilizado o vto complmtar, podmos scrvr ssa probabilidad como sdo um mos a probabilidad d qu todos os pacits tham outro tipo saguío, ou sja: P(X ) = P(X = ) = (,9) =,66 d) A probabilidad d qu, o máimo três pssoas tham sagu O é scrita como: P(X 3) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3). Em qu: P(X = ) = (,9) (,9) = (,9) =,3894 P(X = ) = (,9) (,9) 9 =,385

8 P(X = ) = (,9) (,9) 8 =,74 P(X = 3) = (,9) 3 (,9) 7 =,45 3 Logo, P(X 3) =,99. Emplo: O Tabagismo é um hábito qu procupa muito os profissioais da ára da saúd dvido ao orm úmro d doças qu pod provocar. Dados d rlatórios produzidos o mudo itiro apotam qu os Russos stão tr os qu mais fumam, com 36% d adultos fumatrs a população. No Japão ss prctual é d 5% quato qu a Almaha, % d adultos são fumats. A Vrôica, por mio da itrt, cotactou uma pssoa d cada um dsss paíss prt hospdá-los m sua casa durat as Olimpíadas d 6. Ela ão fuma stá procupada, pois ão dsja qu sua casa fiqu com aqul chiro d cigarro também acha chato qustioar os três, pois já s compromtu com ls. a) Cosidrado o hábito d fumar dos covidados da Vrôica (um Russo, um Japoês um Almão), quais são os rsultados possívis? b) Como dfiir uma v.a. para ss caso? c) Como associar probabilidad a ssa v.a.? Sjam os vtos: A = o almão fuma; J = o Japoês fuma R = o Russo fuma. a) Espaço Amostral = AJR, A c JR, AJ c R, AJR c, A c J c R, A c JR c, AJ c R c, A c J c R c

9 b) Duas possibilidads para dfiir a variávl alatória: (i) X = úmro d fumats dtr os três viajats ou (ii) X = úmro d ão fumats dtr os três viajats. Vamos cosidrar X = úmro d fumats dtr os tês viajats X(AJR) = 3 X(A c JR) = X(AJ c R) = X(AJR c ) = X(A c J c R) = X(A c JR c ) = X(AJ c R c ) = X(A c J c R c ) = Simplificado a otação para os possívis valors da v.a., tmos: X(AJR) X = 3 X(A c JR) = X(AJ c R) = X(AJR c ) X = X(A c J c R) = X(A c JR c ) = X(AJ c R c ) X = X(A c J c R c ) X = Assim pod-s scrvr: P(X = 3) = P(AJR) =,36,5, =,8 P(X = ) = P(A c JR AJ c R AJR c ) =,58 P(X = ) = P(A c J c R A c JR c AJ c R c ) =,44 P(X = ) = P(A c J c R c ) =,384 Normalmt rprstam-s os valors uma tabla com a distribuição das probabilidads, chamada d fução d probabilidad: Tabla: Fução d probabilidad da v.a. X = fumats dtr os 3 viajats. Valors da v.a. X Probabilidads,384,44,58 3,8

10 Modlos discrtos d probabilidad A) O modlo d Broulli: O modlo d Broulli stá associado à saios ou vtos alatórios, ralizados d maira idpdt, com somt dois rsultados possívis: sim/ão; ocorr/ão ocorr; ou. Nos saios dst tipo stamos itrssados a ocorrêcia d apas um dos rsultados ao qual chamarmos d sucsso sdo qu, a ão ocorrêcia do vto d itrss vamos chamar d fracasso. As probabilidads d ocorrêcia d sucsso fracasso, são, rspctivamt p = P(sucsso) ( p) = P(fracasso), p. Dvido à propridad d idpdêcia, a probabilidad d sucsso p prmac costat para todos os saios. Esaios com tais caractrísticas são domiados saios d Broulli. Portato, saios d Broulli são saios saios alatórios idpdts com somt dois rsultados possívis, dotados por sucsso fracasso, cujas probabilidads prmacm costats m todas as suas ralizaçõs. No Emplo, ocorr sucsso quado o pacit qu chga a mrgêcia tm sagu O fracasso quado o pacit tm um dos outros tipos saguíos.

11 Para a costrução do modlo d Broulli tmos qu a v.a. d Broulli dfiida como uma variávl qu assum os valors, para sucsso, para fracasso, com probabilidads p ( p), rspctivamt. Sja X uma v.a. d Broulli, tão, sua fução d probabilidad (fp) é dfiida por: p( ) P( X ) p, p( ) p, s s ;. Uma forma altrativa ( mais lgat) d aprstar a fução d probabilidad d Broulli é dada por: P( X ) p ( p),,. A fução d distribuição, ou fução distribuição acumulada (fda), por sua vz, é dfiida por: F( ) P( X ), F( ) p,, s. s ; s. Notação: X Broulli( p ). Obs: p é parâmtro da distribuição d Broulli.

12 B) O modlo biomial Cosidr, agora, a rptição d saios cujos rsultados podm sr prssos como: sim/ão; ocorr/ão ocorr; ou, tal qu a probabilidad d sucsso ão s altra d um saio para outro, ou sja, os saios são idpdts. Sja a v.a. X qu cota o úmro d sucssos os saios idpdts, coform dscrito acima, tão, X tm distribuição biomial com parâmtros p, m qu p = P(sucsso) a sua fução d probabilidad é dada por: P(X = ) = p ( p), =,,,...,. O modlo biomial é caractrizado pla ralização d saios com somt dois rsultados possívis (sucsso fracasso), os quais a probabilidad d sucsso p é costat (saios d Broulli). A v.a. biomial é, tão, dfiida como sdo uma v.a. qu cota o úmro d sucssos um úmro fio d saios d Broulli. Notação: X biomial(; p). No mplo dos pacits com sagu O, = p =,9, portato, tmos qu: X biomial(;,9) =,,,...,,, sua f.p. é dada por: P(X = ) = (,9) (,9), =,,,...,.

13 A v.a. biomial como soma d Broulli s Cosidr, agora, uma squêcia d v.a. d Broulli idicado, cada uma, o rsultado d um saio. Dsta forma, trmos uma squêcia d zros us d tamaho. Sjam X, X, X 3,..., X uma squêcia d v.a. s d Broulli. Como já vimos, a v.a. biomial cota o úmro d sucssos os saios, ou sja, cota o úmro d valors a squêcia d tamaho. Uma forma prática d s cotar o úmro d sucssos os saios d Broulli é através da soma d X, X, X 3,..., X, ou sja, dfiido a v.a. S como S X i i. Etão, S cota o úmro d sucssos os saios, tdo, assim, uma distribuição biomial com parâmtros p, isto é, S biomial(, p). Emplo 3: Cosidr a fabricação d pios mtálicos para motags d motors m qu o ídic d produtos com dfito é d,5%. S um isptor slcioa um lot com 8 pios para ispção, qual a probabilidad d qu: a) apas um sja dfituoso? b) hum sja dfituoso? c) o máimo dois sjam dfituosos? d) Qual é o úmro sprado d pios dfituosos o lot?

14 Vamos dfiir a v.a. X = úmro d pios dfituosos dtr os 8. Como stamos itrssados os dfitos (sucsso dfito), tão: p = P(dfito) =,5 X biomial(8;,5) 8 a) P(X = ) = (,5) (,975) 79 =,76 8 b) P(X = ) = (,5) (,975) 8 =,39 c) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =,6767. d) Espra-s: 8,5 = pças dfituosas o lot, ou sja, spra-s p pças com dfito. Rsultado: O úmro sprado d sucssos m saios d Broulli, tal qu, P(sucsso) = p é dado por p. Emplo 4: Sgudo psquisa Lac!/IBOPE (ago/) 9,% dos Paulistas são torcdors do Satos. S pssoas do stado d São Paulo são scolhidas ao acaso, a) qual é a probabilidad d qu plo mos uma sja Satista? b) qual é a probabilidad d qu o máimo duas sjam Satistas? c) qual o úmro sprado d Satistas tr as pssoas? Sja a v.a. X = úmro d torcdors do Satos a amostra. X biomial(;,9) a) P(X ) = P(X = ) = (,98) =,868 b) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =,696 c) Espra-s:,9 =,93 torcdors do Satos a amostra

15 C) O modlo gométrico Cosidr, agora, uma squêcia ilimitada d saios d Broulli sja a v.a. X qu cota o úmro d saios ralizados até a ocorrêcia do primiro sucsso. Etão X tm distribuição gométrica com parâmtro p sua fução d probabilidad é dada por: p() = p ( p), =,, 3,... (3) Notação: X gométrica(p). A fução d distribuição, ou fução distribuição acumulada (fda), do modlo gométrico é dado por: F ( ) P( X ) P( X ) i i k p( p) k p( p) p( p) p( p) p( p) Da soma dos ifiitos trmos da séri gométrica, vamos scrvr a probabilidad acima como: F ( ) P( X ) P( X ) k p ( p) k

16 p( p) ( p) p( p) ( p p) Logo, a f.d.a. para o modlo dfiido m (3) é dada por: F ( ) ( p), =,, 3,... Emplo 5: Num procsso d produção d placas ltrôicas, o ídic d dfitos é d %. Sabdo qu as pças são produzidas idpdtmt umas das outras, dtrmi: a) A probabilidad d qu a primira placa com dfito sja atamt a quita a sr produzida? b) Eist uma orma a mprsa qu diz qu s a primira placa dfituosa for produzida ats qu a ª placa tha sido produzida, tão o procsso dv sr ajustado. Qual a probabilidad d qu o procsso prcis sr ajustado? Nst Emplo 5 tmos qu ocorr sucsso s um dfito é obsrvado, logo, o vto a quita placa produzida é a primira com dfito pod sr rprstado pla squcia FFFFS, m qu S = sucsso F = fracasso. Como as placas são produzidas d maira idpdts,, como P ( S), P ( F), 99, tmos a probabilidad: P(FFFFS) =,99,99,99,99, P(FFFFS) = (,99) 4, =,96

17 Dfiido a v.a. X = úmro d placas produzidas até a ocorrêcia da primira com dfito, tão X tm distribuição gométrica com parâmtro p =,, logo, sua f.p. é dada por: p() =,(,99), =,, 3,... Portato, p(5) =P(X = 5) =,(,99) 5 =,96 Para o itm (b) tmos qu calcular: P[ (º. dfito é a ª. placa produzida) ou (º. dfito é a ª. placa produzida) ou... (º. dfito é a ª. placa produzida) ] = = P[ S FS FFS FFFS... FFFFFFFFFS ] = P[ S ] + P[ FS ] + P[ FFS ] P[ FFFFFFFFFS ] =,95679 Squêcia v.a. probabilidad valor S X =,, FS X =,,99,99 FFS X = 3,(,99),98 FFFS X = 4,(,99) 3,973 FFFFS X = 5,(,99) 4,966 FFFFFS X = 6,(,99) 5,9599 FFFFFFS X = 7,(,99) 6,9448 FFFFFFFS X = 8,(,99) 7,937 FFFFFFFFS X = 8,(,99) 8,974 FFFFFFFFFS X =,(,99) 9,935,95679

18 Utilizado a f.d.a.: P ( X ) F () (.99),95679 O modlo gométrico pod, aida, sr caractrizado pla v.a. Y qu cota o úmro d fracassos qu prcd o º. sucsso. Nst caso tmos a fução d probabilidad dada por: p(y) = p ( p) y, y =,,,... Obs: a rlação tr a v.a. X, dfiida atriormt, a v.a. Y é, portato, X = Y +. D) O modlo d Poisso Sja uma a v.a. X qu cota o úmro d ocorrêcias d um vto por uidad d tmpo, sdo a taa d ocorrêcias, tão, X tm distribuição d Poisso com parâmtro sua fução d probabilidad é dada por: p( ), =,,,... (4)! Notação: X Poisso().

19 Emplos: úmro d chamadas qu chgam a uma ctral tlfôica por miuto; úmro d aviõs qu chgam para atrrissagm m um aroporto, por itrvalos d mia hora; úmro d carros, por hora, qu passam por uma cabi d pdágio; úmro d caias d crvja vdidas um bar, por smaa; tc A distribuição d Poisso s aplica, aida, a vtos qu ocorrm por uidads d mdidas qu ão sjam o tmpo, como por mplo: a idústria calçadista cotrola-s a qualidad do couro qu chga para a produção plo úmro d falhas por m couro; o cotrol da qualidad da água é importat moitorar o úmro d coliforms fcais por amostras d ml d água; a idústria tipográfica a qualidad a produção d livros é quatificada plo úmro d rros tipográficos, por págias publicadas; m studos pidmiológicos spaciais rgistra-s a ocorrêcias d casos d uma doça por uidad d ára; o futbol, por mplo, cota-s o úmro d gols por partida d um campoato; tc, tc,

20 Emplo 6: Um sistma qu ofrc um srviço via Wb rcb acssos a uma taa d,4 por miuto. Dtrmi a probabilidad d qu o sistma: a) rcba 4 acssos um miuto? b) rcba o máimo 3 acssos um miuto? c) rcba plo mos um acsso m 3 sgudos? d) rcba 8 acssos m 5 miutos? (fazr m sala) Sja a v.a. X = úmro d acssos/miuto o sistma. X Poisso(,4),4 (,4),9473 a) p (4) P( X 4), 395 4! 4 4 b) F (3) P( X 3) 3 (,4)!,4,4,4,4 (,4),4 3 (,4) 6,4,466,345,47,8,9463 c) S o sistma rcb acssos a uma taa d,4/mi, tão, m 3 sgudos, a taa srá d,7 acssos. S Y = úmro d acssos m príodos d 3 sgudos, tão, Y Poisso(,7) Logo, dvmos calcular: P ( Y ) P( Y ),7,534

21 Uma forma d aprstar a distribuição d Poisso é através da fução d probabilidad: t ( t) p( ), =,,,..., (4)! m qu t é o itrvalo d tmpo para o cálculo da probabilidad. Notação: X Poisso(t). Dsta forma, o itm (c) do mplo 6, como 3s =.5mi, podmos cosidrar a taa d ocorrêcia m fução da uidad d tmpo, ou sja, X Poisso(,4 acssos/mi), ou X Poisso(,4,5 acssos/3s). Assim, pod-s calcular a probabilidad m (c) fazdo t =,5: P ( X ) P( X ),4,5,534 Emplo 7: (fazr m sala) Um porto cosgu atdr a até 4 avios qu chgam para dscarga d mrcadorias m um dia. Caso chgum mais do qu 4 avios um dia, o csso dv sr viado a um outro porto. S os avios chgam a st porto uma taa d avios/dia, a) qual a probabilidad d qu chgum atamt 3 avios um dia? b) qual a probabilidad d sja cssário viar avio(s) para dscarga m outro porto? c) D quato dv sr ampliado o porto para qu sjam atdidos todos os avios qu chgum para dscarga m 99% dos dias?

22 Emplo 8: Um produtor d lit tipo A afirma qu su produto é distribuído aos cosumidors com uma média d.nmp/ml (Númro Mais Provávl) d coliforms totais. Qual a probabilidad d qu, uma amostra d ml sja cotrado: a) Cotagm zro d coliform totais? b) Não mais do qu NMP? c) Eatamt 3NMP/litro? Sgudo Istrução Normativa o 5, d 8/9/, do Miistério da Saúd, o úmro máimo d coliforms prmitido o lit é d.3/ml. d) Assim sdo, qual a probabilidad d qu um litro do produto, comprado o suprmrcado stja impróprio para cosumo? ) Qual o úmro sprado d coliforms totais um galão d lit? (gal 4.55 litros) Emplo 9: Uma ctral d tlfôica rcb, m média, 4 chamadas a cada miuto. Qual a probabilidad da ctral rcbr: a) Mais do qu ligaçõs um miuto? b) Nhuma ligação um príodo d 3 sgudos? c) 5 ligaçõs m 5 miutos? d) Sab-s qu o sistma ão comporta mais do qu ligaçõs simultaamt, qual a probabilidad d qu uma ligação para ss úmro d ocupado?

23 Aproimação da biomial pla Poisso: Sja X biomial(, p), tão, para grad p pquo, tal qu = p é costat, a distribuição biomial pod sr aproimada pla Poisso. Prova: p p p ) ( )!!(! ) ( Para = p, tmos p = /, p )!!( )! ( ) )( ( ) (! ) ( ) )( (!! k k p! ) (

24 Aplicado o limit para m cada um dos fators acima, tmos: i) lim k k ii) lim iii) lim (limit fudamtal) Dsta forma, p() pod sr aproimada por: p( ).! Emplo: O tipo saguío AB é cohcido como sagu raro, pois aparc m apas.8% da população. Num grupo d 3 pssoas, qual é a probabilidad d qu: a) 4 sjam AB ; b) No máimo sjam AB.

25 Valor Esprado Variâcia d uma v.a. discrta A-) O valor sprado, spraça ou média d uma variávl alatória discrta é dfiido por: E ( X ) p( ) Propridads d Espraça: a) S k é uma costat, E( k) k ; b) g X ) E ( g( ) p( ) ; c) E( ax b) ae( X ) b. B-) A variâcia d uma variávl alatória discrta é dfiida por: X E( ) Var( X ) E X. Mostra-s facilmt qu a Var (X ) pod sr scrita como: E( ) ) Var( X ) E( X X, m qu: E ( X ) p( ). Propridads d Variâcia: a) S k é uma costat, Var ( k) ; b) Var( ax b) a Var( X )

26 Emplo 8: Cosidr o mplo do so dos bbês m três ascimtos m qu a f.p. da v.a. é rprstada por Tabla : Númro d bbês do so fmiio os três ascimtos. p(),5,375,375 3,5 O valor sprado (ou média) d X é calculado por: E ( X ) 3 p( ) E ( X ) (),5 (),375 (),375 (3),5 E ( X ),375,75.375,5 ascimtos Para calcular a variâcia d X, primiro calculamos E ( X ). E ( X 3 ) p( ) (),5 (),375 (4),375 (9),5 E ( X ) 3, logo, a variâcia d X é: Var( X ) E( X ) [ E( X )] Var ( X ) 3, (,5) Var ( X ),75,75

27 o dsvio padrão: DP ( X ) Var( X ), 75 DP ( X ),866 ascimtos Emplo 9: Sja uma v.a. discrta X com f.p. dada por: p ( ), k > {,,,, 4 }. k 3 a) Achar o valor d k para qu p() sja uma fução d probabilidad; b) Calcular o valor sprado d X ; c) Calcular a variâcia d X; d) Ecotr P( X < 4 ); ) Quais os valors d a b para os quais (ax + b) tha média zro variâcia um? a) Achar o valor d k: 4 p ( ) k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 4 k 4 k 4 k Dsta forma: p ( )., sua f.p. é rprstada por 4 p()

28 b) Valor sprado d X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). (). (). (4).3 E( X ). 6 c) Variâcia d X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). (). (). (4) Var( X ) 6.6 (.6) 6. 4 DP( X ) d) P( X < 4 ) = =.4 ) E ( ax b) ae( X ) b.6a b Var ( ax b) a Var( X ) 6.4a a Assim, tmos qu: b

29 Rsultado: v.a. padroizada. Sja uma v.a. b ax Y, tal qu ) ( ) ( X DP X E X Y, tão Y é uma v.a. padroizada, tdo média variâcia. Emplo 8: Calcular E(X) Var(X) para os modlos: i) biomial(, p); ii) gométrica(p); iii) Poisso() - fazr como rcício. i) X biomial(, p) p p X E ) ( ) ( p p X E ) ( )!!(! ) ( p p X E ) ( )! )!( ( )! ( ) ( p p p X E ) ( )! )!( ( )! ( ) ( ot qu ) ( ) (, tão, trmos p p p X E ) ( ) (

30 Fazdo y ( ) m ( ), podmos rscrvr a soma a prssão acima por m m y E( X ) p p ( p) y y = my Obsrv qu a soma rsultat a E (X ) ada mais é do qu a soma das probabilidads d uma distribuição rsultado o valor. biomial(m; p), tdo como Dsta forma, E( X ) p. Portato, s uma v.a. tm distribuição biomial(; p), tão, sua média é E( X ) p. Para o cálculo da variâcia tmos qu cotrar E( X ) E( X ) p ( p) Num procdimto smlhat ao atrior, obtém-s: ) E ( X p p p. Logo, a variâcia d uma v.a. biomial(; p) é dada por: Var( X ) E( X ) [ E( X )] Var( X ) p p p ( p). : Uma forma altrativa é calcular E[X(X )],, a partir d E[X(X-)] = E(X ) E(X), obtr Var(X).

31 Var( X ) p( p) Portato, s X é uma v.a. com distribuição biomial(; p), tão sua média variâcia são dadas por: E( X ) p Var( X ) p( p). ii) X gométrica(p) E ( X ) p( p) Obsrv qu o trmo ( p) a soma é a drivada d ( m rlação a p, logo, aplicado a rgra da drivada d uma soma, tmos d E ( X ) p ( p) dp d E ( X ) p ( p) dp Mas a soma m E (X ) é a soma d uma séri gométrica, logo p) E ( X ) p d dp ( p) ( p) E ( X ) p d dp ( p) p p p ( p p) E( X ) p

32 Calculado E ( X ) para a distribuição gométrica, tmos: E( X ( p) ), p, a variâcia da gométrica é dada por Var( X ) E( X ) [ E( X )] ( p) Var ( X ) p p Var( X ) ( p p) Portato, s X gométrica(p), tão, sua média variâcia são dadas por: E( X ) p Var( X ) ( p p) iii) Poisso() - mostrar qu E ( X ) Var( X ).

33 Fução d probabilidad d uma v.a. cotíua Para modlarmos as probabilidads associadas a uma v.a. cotíua, tmos d cosidrar qu stas assumm valors m itrvalos dos rias. Dsta forma, o cojuto d possívis valors qu uma v.a. cotíua X pod assumir é dado por I = { R k k }, k < k. Como istm ifiitos potos o itrvalo [k, k ], ão faz stido psarmos a probabilidad d X assumir um valor I, uma vz qu ssa probabilidad srá igual a zro. Dsta forma, para uma v.a. cotíua, P(X = ) =. No tato, podmos dtrmiar a probabilidad d X assumir um valor tr dois potos quaisqur prtcts a I: P(a X b) ; P(X b); P(X a); tc Dfiição : Sja um fução f() ão gativa tal qu a) f(), I; b) f ( ) d ; I c) lim f ( ) lim f ( ) ; b Etão para a b, tais qu a < b: P(a X b) = a f ( ) d A fução f() é chamada d fução dsidad d probabilidad (fdp) da v.a. X, ou simplsmt fução dsidad d X srv para dscrvr a distribuição d probabilidad d uma v.a. cotíua.

34 A fução d probabilidad f() pod sr aproimada plo histograma da v.a. X., coform podmos obsrvar pla figura.

35 Dfiição : Sja um fução F() tal qu F ( ) P( X ) f ( u) du. a) F(), I; b) F() é ão dcrsct: s F( ) F( ) ; c) F() é cotíua à dirita, ou sja, lim F( ) F( a) ; a d) lim F( ) lim F( ) ; F() é chamada fução d distribuição acumulada (fda) da v.a. X, ou simplsmt fução d distribuição. Nota: Da dfiição d fdp sgu-s qu: b P(a X b) = a f ( ) d = F(b) F(a) Emplo 9: Sja uma v.a. X com fdp f() dada por k f ( ), { R }. a) Para qu valor d k, f() dfi uma fdp? k D f ( ) d d, fazdo w = k, sgu-s qu dw = kd.

36 Portato, k k k dw d w w k, d od s obtém: k k. b) Ecotrar a fda / / / ) ( u u du F. Portato, / ) ( ) ( X P F. Dsta forma, podmos cotrar P( X ) = F() F(), ou sja P( X ) = / / / =.387.

37 Valor Esprado Variâcia d uma v.a.cotíua A-) O valor sprado, spraça ou média d uma variávl alatória cotíua é dfiido por: Propridads d Espraça: a) E( k) k, k costat. b) g( X ) E g( ) f ( ) d c) E( ax b) ae( X ) b E ( X ) f ( ) d B-) A variâcia d uma variávl alatória cotíua é dfiida por: X E( X ) E( X ) E( ) Var( X ) E X, Propridads d Variâcia: a) Var ( k), k costat. b) Var( ax b) a Var( X )

38 Emplo : Sja uma v.a. cotíua com fdp dada por: k f ( ), k > { R < }: a) Achar o valor d k para qu f() sja uma dsidad d probabilidad; b) Calcular o valor sprado d X ; c) Calcular a variâcia d X; d) Ecotr a fução distribuição acumulada d X; ) Ecotr P(X /) P(/4 < X < 9/6); f) Quais os valors d k k tal qu P(X k ) =.5 P(X k ) =.5? a) Achar o valor d k: f ( ) d k d / k / k ( ) k k Logo: f ( ), <, é uma fdp.

39 b) Valor sprado d X : ) ( d d X E 3 3/ 3/ 3 ) ( X E c) Variâcia d X: 3/ ) ( d d X E 5 5/ 5/ ) ( X Var ) ( X DP d) fda d X: u du u F / / ) ( Logo:,,, ) ( F.

40 Figura: fdp fda, rspctivamt. ) P(X /) P(/4 X < 9/6): i) P ( X / ) F(/ ) / ii) 3 P ( / 4 X 9/ 6) F(9/6) F(/ 4) 4 4 f) k k tal qu P(X k ) =.5 P(X k ) =.5: i) P ( X k) k. 5 k. 5 ii) P X k ) P( X k ) k. 5 ( k. 95 k. 95

41 Modlos cotíuos d probabilidad A) O modlo Epocial: Sja X uma v.a. cotíua com fdp dada por: / f ( ), > { R }. Etão X tm distribuição pocial com parâmtro. Notação: X pocial( ). A média variâcia d uma v.a. pocial() são: E(X) = Var(X) = Obs: O modlo pocial aparc, aida, a forma: f ( ), > { R }, m qu = /. Como o modlo pocial é muito utilizado a modlagm d tmpos até a ocorrêcia d um vto (ou tmpos d vida), ssas situaçõs é a taa d ocorrêcia do vto por uidad d tmpo.

42 Emplo : No mplo (9), cuja v.a. cotíua, tm fdp, ) ( / f tmos qu =, ou sja, X pocial( ). Aida: / / ) ( d d X E, itgrado por parts, ) ( X E. / / ) ( d d X E, itgrado p. parts, 8 ) ( X E. Logo: 4 ) ( X Var.

43 B) A distribuição d probabilidad Normal. Uma v.a. X tm distribuição ormal ou Gaussiaa, com parâmtros s a sua fdp for: f,,. Notação: X ormal( ; ) ou X N( ; ). As pricipais caractrísticas da distribuição ormal são: a) X tm média E(X) = variâcia Var(X) = ; b) f() é uma fução simétrica m toro d : f( k) = f( + k); c) f() tm potos d iflão m ( ) ( + ); d) f() tm o cohcido formato d sio com 95% d probabilidad tr ( ) ( + ) (vr figura).

44 A fução d distribuição acumulada (fda) do modlo ormal ão pod sr dtrmiada uma vz qu a itgral F w dw, ão tm solução algébrica, o qu dificulta as coisas, pois tmos d rcorrr à programação umérica. No tato, o rsultado a sguir vm facilitar as coisas: Cosidr a va ormal padroizada, dada pla trasformação liar Z X. Essa trasformação padroiza a va X m rlação ao su dsvio padrão, além d ctralizá-la a origm. Dsta forma, tm-s qu E(Z) = Var(Z) =.

45 Rsultado: Sja X uma va com distribuição ormal com média variâcia, tão a variávl Z tm distribuição ormal padrão, com média variâcia, ou sja: Z N(; ), z a sua fdp é dada por: ( z), z. Nota: Com st rsultado, basta costruir uma úica tabla d probabilidads para a distribuição ormal padroizada qu trmos as probabilidads para uma va ormal qualqur. Emplo : Sja uma va X com distribuição ormal com média variâcia 6, ou sja, X N(; 6). Calcular as probabilidads abaio: a) P(X 5) X 5 P(X 5) = P PZ,5 =,

46 b) P( X 8) X 8 P( X 8) = P P,5 Z, Z, PZ, P 5,9773,6 =,97 c) Qual o valor d k tal qu P(X k) =,? P(X k) = X k P =,, 4 4 k Da tabla tmos qu, 33 4 k =,38 d) Quais os valors k k simétricos m toro d, tal qu P(k X k ) =,95? P(k X k ) = k k P Z =,95, 4 4 k Da tabla tmos qu k P Z PZ =,5,, 4 4 k 4,96 k =,6 Como k k simétricos m toro da média, tão k 4,96 k = 7,84

47 Emplo 3: Supoha qu o ívl d durza d uma pça d spuma N 4; 36. Qual a probabilidad d qu: tha distribuição a) Um itm produzido tha durza ifrior a 8,7? E acima d 5,5? b) A spcificação para ss produto é qu plo mos 95% dos its produzidos tha durza tr 8 5. A spcificação é atdida? a) P(X < 8,7) 8,7 4 P =,3 6 P(X < 8,7) = Z PZ,88 P(X > 5,5) 5,5 4 P =,4 6 P(X > 5,5) = Z PZ,75 b) P(8 < X < 5) P(8 < X < 5) = P, Z, PZ, PZ, =,9773,8 =,9545

48 Emplo 4: O tmpo até a falha dos tlvisors da marca X-Viw tm distribuição ormal com média 35 mil horas ( 4 aos) dsvio padrão d,675 mil horas ( 3,7 mss). A mprsa dsja fiar a garatia do produto d forma qu, o máimo 5% dos tlvisors aprstm problmas ats dss limit. a) Ecotr o limit d garatia. P(X < L) =,5 35 L L 35 P Z,5, 645,675,675 L = 3,6 mil horas ( 3,5 aos) b) Os dirtors da compahia traçam um plao d ação para rduzir a variabilidad do procsso d produção. D quato dv sr rduzido o dsvio padrão do procsso para qu, matido o limit obtido m (a), o prctual d its abaio do limit garatia caia pla mtad? P(X < 3,6) =,5 3, P Z,5, 96 * * * =,45 mil horas ( 3, mss)

49 Quatis da distribuição ormal Sja Z γ o quatil γ % da distribuição N(, ), tão, Z γ é tal qu P(Z Z γ ) = γ Pricipais quatis da distribuição Normal γ Quatil Z γ γ =, % Z, =,33 γ =,5,5% Z,5 =,96 γ =,5 5% Z,5 =,645 γ =, % Z, =,8 γ =,5 5% ou md () Z,5 = γ =,9 9% Z,9 =,8 γ =,95 95% Z,95 =,645 γ =,975 97,5% Z,975 =,96 γ =,99 99% Z,99 =,33 Obs: ) Not qu Z γ = Z ( γ), por mplo Z,5 = Z,975 ; ) No programa R os quatis da ormal são obtidos plo comado: qorm(γ), γ.

50 Emplo 5: O diâmtro D (cm) d sfras usadas a fabricação d um rolamto tm distribuição N (,64 ; 6,5 ). Uma sfra é classificada como: boa s,6 D, 68; rcuprávl s,68 D, 6 ou,68 D, 6 dscart s D, 68 ou D, 6. Quais as probabilidads d uma sfra sr boa, rcuprávl dscart? -6 P( boa ) = P(,6 D,68) = P = P(Z,6) P(Z,6),4,5 Z,4,5 =,945,548 =,894 P( rc ) = P(,68 D <,6) + P(,68 < D,6) = [P(Z,6) P(Z,4)] + [P(Z,4) P(Z,6)] = [,548,8] + [,998,945] =,466 +,466 =,93 P( ds ) = P(D <,68) + P(D >,6) = P(Z,4) + [ P(Z,4)] =,8 + [,998] =,64

51 Classificação Probabilidad boa,894 rcuprávl,93 dscart,64 O fabricat dsja fiar limits d spcificação (ifrior suprior) para o produto bom d tal forma qu apas,5% dos rolamtos fiqum d fora. Quais dvm sr sss limits? P(k D k ) =,5 k =,64 k,64 P Z =,995,5,5 k,64 Z,5,5,8 k =,67 Como k k são simétricos m toro da média, tão k,64 Z,5,9975,8 k =,6 Logo, P(,67 D,6 ) =,995

52 Cosidr qu cada sfra é produzida a um custo d R$,5 vdida a R$,5 por uidad, calcul o lucro sprado a vda d 5 mil uidads do produto s cada pça rcuprávl tm um custo adicioal d R$,5 d rtrabalho. Sja L o lucro a vda d uma sfra, tão Pça Probabilidad Custo C Vda V Lucro L boa,894,5,5, rcuprávl,93,5 +,5,5,5 dscart,64,5,5 E(L) =,894(,) +,93(,5) +,64(,5) = R$,94/sfra Em 5 mil sfras, tmos: 5 E(L) = 5 (,94) = R$ 4.56, Obs: Pod-s, aida, cotrar o lucro sprado fazdo: L = V C E(L) = E(V) E(C), m qu V é o valor da vda d uma sfra. Como E(V) = R$,459/u., E(C) = R$,5466/u., tão E(L) = R$,459 R$,5466 = R$,94/u.

53 Emplo 6: Um produto é vdido m pacots d um quilograma, sdo qu a distribuição do pso dos pacots é ormal com média 5g dsvio padrão g. a) Qual a probabilidad d qu um pacot saia com pso 5g abaio da média? b) Num fardo com pacots, qual é a probabilidad d o máimo stjam abaio d 99g? c) Um fiscal iformou o produtor d qu são acitos apas 5% dos pacots com pso abaio d 995g. D quato dv dimiuir a variabilidad para qu ss limit sja atdido? d) Como o procsso ão prmit o ajust a variabilidad, a opção sria aumtar a média para atdr a spcificação. D quato dv sr a ova média? ) Com a ova média obtida o itm atrior, d quato s spra aumtar a prda do mpacotador m uma tolada do produto.

54 C) O Modlo Uiform: Sja X uma va cotíua com distribuição Uiform o itrvalo [a, b] R, a < b, tão sua fdp é dada por: f ( ) ( b a), { R a b}. Notação: X U(a, b) ou X uiform(a,b) A média variâcia d uma v.a. uiform(a, b) são: E( ) a b Var( ) ( b a) Caso spcial: O modlo uiform o itrvalo [ ; ], X U(, ): f ( ), { R }. Para o modlo U(, ): E ( ) Var ( )

55 Nota: O modlo uiform(, ) é muito importat a statística pois l srv d bas para muitos procssos d simulação, a gração d valors psudoalatórios dvido ao rsultado a sguir: Rsultado: Sja a v.a. X distribuída sgudo uma fdp f(), ou sja, X f(). Cosidr a trasformação dada por Y = F(X), m qu F(.) é a fda d X, tão, Y tm distribuição uiform(, ), ou sja, Y U(, ).

56 D) O Modlo Gama: Uma v.a. X tm distribuição gama com parâmtros > > s a sua fdp é dada por: f ( ) / ( ),, m qu y ( ) y dy é a fução gama. Notação: X ~ gama(, ) O parâmtro é chamado d parâmtro d forma quato qu é o parâmtro d scala. Gráfico da distribuição Gama Figura: fdp gama para = =.5 < (azul); = (vrmlho) =.5 > (vrd).

57 Notas: i) Itgrado por parts o lado dirito d () tm-s: y () y ( ) ( ) y y ( ) y dy ( ) ( ) S for um itiro, digamos, =, tão: () ( ) ( ) y ( )( ) ( ) ( )( ) () ( )! dy Ou sja, s é um itiro, tão: () = ( )! ii) Uma prssão para a fução gama, cohcida como forma d Wirstrass, é dada por: ( ) l, k k k Em qu γ é a costat d Eulr-Maschroi (com casas dcimais, ) Tomado o logaritmo d (), tmos qu: l. k k ( ) l( ) k l

58 A fução gama pod, aida, sr aproimada pla fórmula d Strlig (vr Abramowitz & Stgu ) iii) Um caso spcial da fução gama é: ( / ). Milto Abramowitz Ir Stgu. Hadbook of Mathmatical Fuctios with Formulas, Graphs, ad Mathmatical Tabls. ª d. Nova Iorqu: Dovr Publicatios, 964.

59 Média Variâcia Sja uma v.a. X ~ gama(, ), tão sua média variâcia são dados por: E(X) = Var(X) = Prova: E( X ) / ( ) d / ( ) d ( ) ( ) / d ( ) ( ) ( ) ( ) Num procdimto smlhat, E ( X ) d / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

60 Logo, tmos qu: Var (X ) ( ) Portato, E (X ) Var ( X ).

61 Casos Particulars da distribuição gama: i) = > : ) ( ~ pocial X., ) ( / f ii) = /, itiro = : ~ X (distribuição quiquadrado)., ) / ( ) ( / / / f É a distribuição quiquadrado com graus d librdad. iii) =, itiro = / > : ), ( ~ Erlag X., ) ( ) ( f

62 Fução d distribuição acumulada A f.d.a. d uma v.a. X ~ gama(, ), é obtida d F () u u / ( ) du F () ( ) u u / du Fazdo z u /, tão du dz / F () ( ) z z dz ( ) / F () z z dz A fução F() acima ão tm solução algébrica, sdo idtificada como gama icomplta, ou sja F z ) IG(, z ) z z dz, ( ) ( m qu z /. No softwar R a gama icomplta IG(, z ) pod sr calculada com o comado: pgamma(z,).

63 a) Comados do Ecl para calcular a distribuição gama: f() F() =DISTGAMA(; ; ; Cumulativo) F (q) =INVGAMA(q, ; ; ) Em qu: é o parâmtro d forma; é o d scala Cumulativo é um valor lógico (VERDADEIRO para f.d.a. FALSO para f.d.p.). b) Comados do softwar R para calcular a distribuição gama: fdp: f() dgamma(, shap =, scal = ) fda: F() pgamma(, shap =, scal = ) q : F (q) qgamma(q, shap =, scal = )

64 O computador os cálculos das probabilidads: o uso do Ecl Os modlos d probabilidads discrtos cotíuos volvm fórmulas somas, muitas vzs complicadas, qu dificulta a obtção dos rsultados dsjados. Em outras situaçõs, os rsultados ão podm sr obtidos algbricamt, cssitado d métodos uméricos para a obtção d itgrais, como é o caso da ormal. Diat disto, os softwars statísticos plailhas trazm m sua bibliotca fuçõs pré-programadas para o cálculo das probabilidads, dsidads, fuçõs acumuladas quatis das pricipais distribuiçõs. A sguir, aprstarmos os modlos: biomial; gométrico; Poisso; uiform cotíuo; gama ormal o Ecl. Para a aprstação dos modlos, vamos utilizar as sguits abrviaçõs: fp: fução d probabilidad (para o caso discrto): p( ) P( X ) ; fdp: fução dsidad d probabilidad (para o caso cotíuo): f (); fda: fução distribuição acumulada: F( ) P( X ) ; caso discrto caso cotíuo F( ) P( X k) : k F ( ) f ( u) du: γ = F (γ): quatil d ordm γ, é tal qu P ( X )

65 i) Modlo biomial(, p): =DISTR.BINOM(; ; p; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fp fda =DISTR.BINOM(; ; p; falso) =DISTR.BINOM(; ; p; vrdadiro) γ =INV.BINOM(; p; γ) Emplo: Cosidr X ~ biomial(;,4) ; tão, = p =,4. Obtr: a) P ( X 3) : comado: =DISTR.BINOM(3; ;,4; falso) rsultado:,4894 b) P ( X 3) : comado: =DISTR.BINOM(3; ;,4; vrdadiro) rsultado:,5337, tal qu P ( X 75), 75 c), 75, comado: =INV.BINOM(;,4;,75) rsultado: 6 ou sja, 6.,75

66 ii) Modlo gométrico(p): =DISTR.BIN.NEG(; ; p; Cumulativo) O modlo gométrico é um caso spcial do modlo biomial gativo quado r = (por isso o valor como sgudo parâmtro do comado). fp =DISTR.BIN.NEG(; ; p) fda γ ão tm ão tm Emplo: Cosidr X ~ grométrica(,) ; tão, p =,. Obtr: a) P ( X 4) : comado: =DISTR.BIN.NEG(4; ;,) rsultado:,89 Nota: O modlo gométrico o Ecl é dfiido pla va X qu cota o úmro d fracassos ( ão o úmro d saios) até o primiro sucsso. Dsta forma, a fução d probabilidad é da forma: p( ) P( X ) p ( p),,,, Nst caso, a fda é dada por: F ( ) P( X ) ( p).

67 iii) Modlo Poisso(): =DIST.POISSON(; ; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fp fda γ =DIST.POISSON(; ; falso) =DIST.POISSON(; ; vrdadiro) ão tm Emplo: Cosidr X ~ Poisso(3,6 ); tão, = 3.6. Obtr: a) P ( X 6) : comado: =DIST.POISSON(6; 3,6; falso) rsultado:,868 b) P ( X 6) : comado: =DIST.POISSON(6; 3,6; vrdadiro) rsultado:,9677

68 iv) Modlo pocial(): =DISTR.EXPON(; ; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fdp fda γ =DISTR.EXPON(; ; falso) =DISTR.EXPON(; ; vrdadiro) ão tm Emplo: Cosidr X ~ pocial(,5) ; tão, =,5 (ou = 4). Obtr:,5 f ( ),5. a) f (), fdp para = : comado: =DISTR.EXPON(;,5; falso) rsultado:,5633 b) F ( ) P( X ) : comado: =DISTR.EXPON(;,5; vrdadiro) rsultado:, Nota: O modlo pocial o Ecl é dfiido pla dsidad: f ( ), m qu é a taa d ocorrêcia.

69 v) Modlo gama(; ): =DIST.GAMA(; ; ; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fdp fda =DIST.GAMA(; ; ; falso) =DIST.GAMA(; ; ; vrdadiro) γ =INV.GAMA(γ; ; ) Emplo: Cosidr X ~ gama(4 ;,5) ; tão, = 4 =,5 Obtr: 3 /,5 f ( ). 4 (,5) (4) a) f (), fdp para = : comado: =DIST.GAMA(; 4;,5; falso) rsultado:,39734 b) F ( ) P( X ) : comado: =DIST.GAMA(; 4;,5; vrdadiro) rsultado:,56653, tal qu P ( X 5), 5 d), 5 comado: =INV.GAMA(,5; 4;,5), rsultado:,68 ou sja,, 68.,5

70 vi) Modlo N(; ): =DIST.NORM.N(; ; ; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fdp fda =DIST.NORM.N(; ; ; falso) =DIST.NORM.N(; ; ; vrdadiro) γ =INV.NORM.N(γ; ; ) Emplo: Cosidr X ~ N(5; 9) ; tão, = 5 = 3 (dsv. padrão). Obtr: a) f (48), fdp para = 48: comado: =DIST.NORM.N(48; 5; 3; falso) rsultado:,6483 b) F ( 48) P( X 48) : comado: =DIST.NORM.N(48; 5; 3; vrdadiro) rsultado:,5493, tal qu P ( X 9), 9 ), 9 comado: =INV.NORM.N(,9; 5; 3), rsultado: 53,845 ou sja, 53, 845.,9

71 vii) Modlo ormal padrão N(; ): =DIST.NORMP.N(z; Cumulativo) Sdo qu Cumulativo assum os valors lógicos: FALSO para a fp VERDADEIRO para a fda. fdp fda γ =DIST.NORMP.N(z; falso) =DIST.NORMP.N(z; vrdadiro) =INV.NORMP.N(γ) Emplo: Cosidr Z ~ N( ;) ; tão, = =. Obtr: a) f (), fdp para = : comado: =DIST.NORMP.N(-; falso) rsultado:,497 b) F ( ) P( X ) : comado: =DIST.NORMP.N(48; 5; 3; vrdadiro) rsultado:,58655, tal qu P ( X 9), 9 f), 9 comado: =INV.NORMP.N(,95), rsultado:,645 ou sja, z, 645.,95