Resolução comentada de Estatística - ICMS/RJ Prova Amarela

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1 Rsolução comtada d Estatística - ICMS/RJ Prova Amarla 9. Os jogadors A B s cotram para jogar uma partida d têis m o máimo cico sts, a qual srá vcdor aqul qu primiro gahar três sts. Por mplo, partidas trmiadas podrão tr como rsultado: AAA, AABA, BABAB, tc. Etão, o úmro d possívis rsultados para uma partida trmiada é: (A) 4. (B) 0. (C) 6. (D) 0. (E) 8. Para a partida trmiar m 3 sts trmos apas possibilidads: AAA ou BBB; Para a partida trmiar m 4 sts srão 6 possibilidads: AABA, BBAB, ABAA, BABB, BAAA ou ABBB; Para a partida trmiar m 5 sts, srão possibilidads: AABBA, BBAAB, ABBAA, BAABB, BBAAA, AABBB, ABABA, BABAB, BAABA, ABBAB, BABAA ou ABABB; Númro total d rsultados possívis: Gabarito oficial - ltra D. 0. Uma compahia utiliza um sistma d avaliação d dsmpho d sus fucioários por mio d dois idicadors d prformac: Qualidad das tarfas a Tmpstividad com qu as tarfas são ralizadas. Os fucioários rcbram, a última avaliação, as mdidas idicadas a tabla a sguir: Mdidas Qualidad Idicador Tmpstividad Média 50 5 Dsvio-Padrão 0,0 6,0 Coficit d Variação (%) 0 4 Com bas a tabla, é corrto afirmar qu: (A) a média aritmética ão é uma boa mdida para rprstar a prformac dos fucioários m fac do lvado ívl d disprsão das avaliaçõs. (B) as avaliaçõs da Qualidad foram mais disprsas do qu as avaliaçõs da Tmpstividad. (C) as avaliaçõs da Qualidad foram mais homogêas do qu as avaliaçõs da Tmpstividad. (D) os fucioários dmoram mais para ralizar as tarfas, mas a qualidad das tarfas é mlhor. (E) ada s pod afirmar sm o cohcimto do tamaho da amostra. Qustão muito parcida com uma das qustõs do cocurso atrior, sdo qu sta prova já foram dados, protihos, os prctuais corrspodts aos Coficits d Variação (CV's). Assim como a prova atrior, vamos rlmbrar a part tórica à págia 37 do livro "Estatística Básica para Cocursos" da Editora Frrira: "Cosidra-s qu um CV suprior a 50% idica alto grau d disprsão cosqütmt pqua rprstatividad da Média, quato para um CV ifrior a 50% a Média srá tato mais rprstativa quato mor for o valor do CV, ou sja, quato mor for o CV mais homogêa srá cosidrada a séri quato maior for o CV, mais htrogêa." Obsrvado-s a tabla dada, vmos qu o CV da Qualidad é ifrior ao da Tmpstividad, idicado qu as avaliaçõs da Qualidad foram mais homogêas do qu as da Tmpstividad. Gabarito oficial - ltra C. FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia

2 . Dtr as distribuiçõs d probabilidads a sguir, aqula m qu E( X) E( X E( X) ) (A) d dsidad f () p, π < < (B) d dsidad f (), 0 < < (C) P( X ) p ( p), 0,,,... λ λ! (D) P( X ), 0,,,... N M N + M (E) P ( X ), 0,,,... é: O qu o uciado aprsta, ada mais é do qu: E[X] V[X], ou sja, a spraça é igual à variâcia. Dtr as distribuiçõs d probabilidad, a úica m qu isso ocorr é a Distribuição d Poisso λ λ P X.! (E[X] V[X] λ), cuja probabilidad d " sucssos" é dada por: ( ) Gabarito oficial - ltra D.. Cosidr uma Amostra Alatória Simpls d uidads traídas d uma população a qual a caractrística, X, studada tm distribuição Normal com média μ variâcia σ, ambas dscohcidas, mas fiitas. Cosidr, aida, as statísticas média da amostra, X X i, variâcia da amostra i S ( Xi X). Etão, é corrto afirmar qu: i (A) X S são, ambos, ão tdciosos para a stimação da média da variâcia da população, rspctivamt. (B) X é ão-tdcioso, mas S é tdcioso para a stimação da média da variâcia da população, rspctivamt. (C) X é tdcioso, mas S é ão-tdcioso para a stimação da média da variâcia da população, rspctivamt. (D) X S são, ambos, tdciosos para a stimação da média da variâcia da população, rspctivamt. (E) X S são, ambos, ão-tdciosos para a stimação da média da variâcia da população, mas apas X é cosistt. FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia

3 X, dado por sja, X μ. X X i é um stimador ão tdcioso (ão viciado) da média populacioal μ, ou i Já a variâcia S, sdo dada por: S ( Xi X) srá um stimador viciado (tdcioso) da i variâcia populacioal σ. Justamt para corrigir ssa tdêcia, é qu prcisamos usar o Fator d Corrção d Bssl, dado por:. Assim, o stimador ão viciado d S σ é:. Para os stimadors dados o uciado: X, srá ão tdcioso para a stimação da média populacioal μ; S srá tdcioso para a stimação da variâcia populacioal σ. Gabarito oficial - ltra B. 3. Sjam A, B C três vtos quaisqur dfiidos m um spaço amostral S. Etão, P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) rfr-s à probabilidad da ocorrêcia d: (A) um ou dois vtos. (B) atamt um dos vtos. (C) plo mos um dos vtos. (D) o máimo dois vtos. (E) plo mos dois vtos. Qustão ardilosa. À primira vista dá a imprssão d qu sobrará apas um dos vtos: A, B ou C. Mas basta sabr qu a uião d 3 cojutos (A, B C) é dada por: A B C A + B + C (A B) (A C) (B C) + (A B C). Na prst qustão, vmos qu stá sdo tirada, m cada cojuto, a itrsção comum dois a dois sm qu sja icluída a itrsção dos três. Logo o uciado rfr-s à probabilidad da ocorrêcia d um ou dois dos vtos. A opção da ltra D é uma armadilha, pois "o máimo dois vtos" iclui o zro, ou sja, hum dos três, o qu ão é vrdad. Gabarito oficial - ltra A. 4. O coficit d dtrmiação d um modlo d rgrssão liar srv como uma importat frramta para avaliar o grau d ajustamto do modlo aos dados. A rspito dss coficit, assial a afirmativa icorrta. (A) Su valor varia tr 0. (B) É ivariat a uma mudaça d scala das variávis idpdts. (C) É utilizado para scolhr modlos com úmro d variávis idpdts difrts. (D) É uma fução ão dcrsct o úmro d variávis idpdts o modlo. (E) Rprsta a participação rlativa da soma dos quadrados da rgrssão sobr a soma dos quadrados total. FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia 3

4 O uciado pd para apotar a altrativa INCORRETA. A opção da ltra A stá corrta, pois o coficit d dtrmiação (R ) é o quadrado do coficit d corrlação sdo st último um úmro ral variado d até +, o coficit d dtrmiação stará comprdido tr 0 ; A opção da ltra B também stá corrta, pois uma mudaça a scala d valors das variávis ão altra o coficit d corrlação cosqütmt ão altrará o R ; A opção da ltra D também stá corrta, pois ao aumtarmos o úmro d variávis idpdts o R pod aumtar ou ficar igual, mas uca dcrscrá; A opção da ltra E também stá corrta, pois o coficit d dtrmiação idica quatos % a variação VE plicada pla rgrssão rprsta da variação total é obtido por: R, od VE é a variação VT plicada plo modlo (soma dos quadrados da rgrssão) VT é a variação total (soma total dos quadrados, ou sja, rgrssão + rsiduais); A ltra C stá icorrta, pois diz qu é utilizado para scolhr modlos com úmro d variávis alatórias idpdts difrts, quado, a ralidad, pod sr utilizado, mas ão é ssa a pricipal fialidad do R. Gabarito oficial - ltra C. 5. Sjam X Y duas variávis alatórias quaisqur. Etão: (A) VAR (X Y) VAR (X) VAR (Y). (B) VAR (X Y) VAR (X) + VAR (Y) COV (X, Y). (C) VAR (X Y) VAR (X) + VAR (Y) COV (X, Y). (D) VAR (X Y) VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). (E) VAR (X Y) VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). Qustão fácil, bastado o cohcimto das propridads da variâcia, o tato, a FGV rrou a divulgação do gabarito prlimiar, pois a variâcia da soma ou difrça tr variávis srá a soma das variâcias, acrscida ou subtraída do dobro da covariâcia, ou sja: VAR (X ± Y) VAR (X) + VAR (Y) ± COV (X, Y). Para VAR (X + Y) trmos: VAR (X + Y) VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). Para VAR (X Y) trmos: VAR (X Y) VAR (X) + VAR (Y) COV (X, Y). O gabarito prlimiar apotou, icorrtamt, para a opção da ltra E, qu sria a opção corrta s foss pdida a variâcia da soma, ão da difrça. Gabarito prlimiar - ltra E. Gabarito oficial dfiitivo - ltra C. 6. Sjam X, Y três variávis com corrlaçõs d Parso prssas pla matriz abaio: X Y X,000 Y 0,800,000 0,000 0,500,000 Pod-s, tão, afirmar qu: (A) X são idpdts. (B) a corrlação parcial tr X Y, após a corrção para, é gativa. (C) o coficit d dtrmiação da rgrssão d Y m X é maior do qu 60%. (D) a corrlação tr V a + b X W c + d, com a 0, c 0, b > 0 d < 0 é gativa. (E) a covariâcia tr X Y é igual a 0,64. FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia 4

5 Basta obsrvar, a tabla, qu a corrlação tr X Y é igual a 0,8. O coficit d dtrmiação da rgrssão d Y m X srá o quadrado dss valor, ou sja: R (0,8) 0,64 64%, sdo, portato, maior do qu 60%, coform a opção C. A opção da ltra A ão é válida porqu o fato d X trm corrlação igual a zro ão implica, cssariamt, qu X sjam idpdts, podm sr ou ão. Já quado sabmos qu duas variávis são idpdts, aí sim, podmos afirmar qu a corrlação tr las srá, com crtza, igual a zro; A ltra D stá rrada porqu, s a corrlação tr X é ula, a corrlação tr as variávis V W ão srá gativa, também srá ula; A afirmativa da ltra E ão pod sr vrificada sm o cohcimto do dsvio padrão d X do dsvio cov(, y) padrão d Y, pois a corrlação é dada por ρ y. Portato cov(, y) ρy σ σy. No uciado σ σy da qustão é forcido, apas, o valor do coficit d corrlação, ρ y 0,8, ão sdo forcidos os valors dos dsvios d X d Y. Gabarito oficial - ltra C. 9. Em um país, a probabilidad d um cotribuit comtr rro a dclaração aual d ajust d rdimtos aumta a mdida m qu o valor do imposto fial também aumta. Estudos idicam qu a probabilidad d um cotribuit comtr rro a dclaração aual d ajust (Y ) é prssa por mio d: + 0,0X P(Y X), + 0,0X od X é um úmro ral qu rprsta o valor do ajust do imposto (difrça tr o imposto pago ao logo do ao o qu dvria pagar d acordo com os rdimtos, rtçõs abatimtos), m $.000. S X > 0, o cotribuit tm imposto dvido a pagar; s X < 0, tm imposto a sr rstituído;, s X 0, o imposto rtido ao logo do ao foi igual ao imposto total dvido. A ss rspito, é corrto afirmar qu: (A) a cada acréscimo d $.000 o imposto, a probabilidad d o cotribuit comtr rro a dclaração d ajust aumta m %. (B) a probabilidad d a dclaração d ajust aprstar rro (Y ) é maior do qu a probabilidad d ão havr rro (Y 0), para todos os cotribuits com X > 0. (C) ssa fução d probabilidad tm su poto d iflão m X 0. (D) o logaritmo priao da razão tr a probabilidad d havr rro a dclaração a d ão havr é uma fução liar m X, prssa por + 0,0 X. (E) cotribuits com imposto dvido têm probabilidad 0,5 d comtr rro a dclaração. A fução, qu é aprstada a qustão, é a fução LOGIT. Para facilitar, vamos comçar fazdo a sguit trasformação a fução: + 0,0X. Logo, a fução fica: P(Y X). A opção d rsposta da ltra A, pod sr rapidamt dscartada, pois só sria vrdadira s tivéssmos uma fução liar, o qu ão é o caso. Também podmos dscartar a opção da ltra C, já qu o poto d iflão da fução ão srá zro sim,4, pois: + 0,0X 0 0,0X 0,048 X,4. Idm para a opção da ltra E, pois a probabilidad dpd d X a fução ão é uma fução costat. FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia 5

6 Para chgarmos à opção d rsposta, vamos aalisar qu: A probabilidad d havr rro, P(Y ), srá dada por P i ; Logo, a probabilidad d ão havr rro, P(Y 0), srá dada por P i, od Mas como fizmos a trasformação + 0,0X fica:, qu é a probabilidad d havr rro, P(Y ). + 0,0X ; + 0,0X A probabilidad d ão havr rro, P(Y 0), dada por P i, srá: S 0, tão 0 0,5 (probabilidad d havr rro) ( ) também srá igual a 0,5; 0 A probabilidad d havr rro (Y ) comçará a sr maior do qu a probabilidad d ão havr rro (Y 0) a partir d > 0. Mas, como já vimos, para qu X sja maior do qu zro, dvrá sr maior do qu,4 (qu é o poto d iflão da curva). Logo, a opção da ltra B também stá rrada, pois ão é com X > 0 sim com X >,4 qu P(Y ) > P(Y 0). Assim, tmos a sguit razão tr a probabilidad d havr rro a d ão havr rro: P(Y ) P(Y 0) Portato, a razão é o logaritmo priao da razão srá: l log. Plas propridads dos logaritmos, o logaritmo da potêcia fica sdo: Mas log (o logaritmo d msma bas é uitário). Logo, o logaritmo priao da razão é igual a, ou sja, l log. Mas + 0,0X, qu é uma fução liar m X, como afirma a opção d rsposta da ltra D. Gabarito oficial - ltra D. GABARITOS: 9. D 0. C. D. B 3. A 4. C 5. C 6. C 9. D FGV-ICMS-RJ_008.doc Pdro Bllo Págia 6