Soluções de Equações em uma Variável

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1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo 4 Soluçõs d Equaçõs m uma Variávl Cosidrado o problma d um rator cotíuo d taqu agitado (CSTR) ãoisotérmico, com propridads físicas costats (, c p ): F, C A, T F ws, T ws F w, T w F s, C A, T para uma ração d primira ordm do tipo: E RT r A = k C A, od kt ( ) k0 tmos as sguits quaçõs d balaço d massa rgia do modlo: dv dt d VC dt F F A s FC F C kc V A s A A dt Vcp Fcp( T T) ( Hr) kcav UAt( T Tw ) dt

2 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL od F F s são as vazõs volumétricas d trada saída, rspctivamt, V é o volum do mio racioal, C A é a coctração molar do ragt, T T w são as tmpraturas do mio racioal do fluido d rfrigração, rspctivamt, H r é a talpia d ração, U é o coficit global d trasfrêcia d calor A t é a ára d troca térmica. dfiido No stado stacioário: F = F s F F ( C A A) C kc A V F UA ( H ) kc ( T T) ( T Tw) V c V c p t r A V como o tmpo d rsidêcia médio o rator: F CA CA k UA ( H ) ( ) t ( ) r CA k T T T Tw cv c ( k) p Substituido a quação d balaço d massa o balaço d rgia, multiplicado sta última UAt ( Hr) CA por /T dfiido os adimsioais w r, rsulta m: cv ct ( T T) ( T Tw) k w r T T k p Dividido a costat ciética k(t) pla sua prssão m fução da tmpratura T : RT k k( T ) k, tmos: 0 E k E p k R T T T ou aida kt ( ) k p T, od Aplicado a mudaça d variávl T T T ( T Tw) k ww r T k p p E RT, o balaço d rgia é rscrito como: Para prssar a costat ciética m trmos d, usamos a rlação k ( ) k p p T T : T T

3 4. MÉTODOS DIRETOS 3 Fialmt, dfiido D a k., cohcido como úmro d Damköhlr, os ovos adimsioais: w Tw T w T r w Rsulta a sguit quação algébrica a variávl, com quatro parâmtros caractrísticos do sistma,,, D a : Da p f( ) 0 Da p Por mplo, para = 0,5, = 0,, = 0 D a = 0,, tmos: 0 0,05p f( ) 0, 0 0 0,p 0,6 f() 0,4 0, 0,0-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0-0, Portato, a solução m stado stacioário do CSTR ão-isotérmico implica m cotrar as raízs da quação: f ( ) 0 Equação algébrica m uma variávl Para o caso od f() é uma quação liar: f() = a b, a solução é simplsmt: b a No mplo do rator CSTR, st caso ocorr quado ão há gração d calor ( = 0), ou sja: f() = β :

4 4 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Voltado às variávis origiais: w Tw T T T T T ( ) T T w ( T T )( ) ( T T ) w w w ( T T ) ( T T) w w cft ( T) UAT ( T), qu é o balaço d rgia sm ração. p t w Para o caso od f() é uma quação ão-liar: f() = 0,, gralmt ão ist uma solução aalítica, portato, algum método umérico dv sr aplicado, tais como: substituiçõs sucssivas (substituição dirta ou itração d poto fio) Nwto Nwto modificado Nwto-scat (ou scat) Rgula falsi Rgula falsi modificado Bissção (dicotomia) Busca alatória Cotiuação Qu são assutos dst capítulo, comçado plos métodos dirtos (qu ão fazm uso d drivadas da fução): bissção busca alatória. Os métodos da scat, rgula falsi rgula falsi modificado também podm sr classificados sta class d métodos, cotudo ls srão discutidos somt a Sção 4.4 (métodos quasi-nwto). 4. Métodos dirtos Todos os métodos dirtos d busca d raízs d quaçõs algébricas ão-liars m uma variávl iiciam com a busca do itrvalo m qu, obrigatoriamt, a raiz stá cotida. Sdo a a trmidad ifrior do itrvalo b a trmidad suprior do itrvalo, dv-s tr cssariamt: f( a) f( b) 0 O próimo poto o procdimto rcursivo d busca,, é um poto cotido tr a b, qu pod sr dscrito matmaticamt por: aba od 0 Os métodos dirtos difrm tr si simplsmt pla forma com qu o parâmtro é scolhido m cada itração.

5 4. MÉTODOS DIRETOS 5 No método da bissção, o valor d é matido costat igual a 0,5. O método da bissção é uma forma bastat simplificada do método d Wgsti (Sção 4.4), od o cálculo d (k+) é uma simpls média aritmética dos potos R L (potos à dirita à squrda da raiz, rspctivamt): od ( k) ( k) ( k) R L ( k) ( k) ( k) L R L, k = 0,,,... R ( k) ( k) ( k), s sig f ( ) sig f ( R ) R, caso cotrário L ( k) ( k) ( k), s sig f ( ) sig f ( L ) L, caso cotrário os potos iiciais dvm satisfazr a codição: (0) (0) L R od a fução sig() forc o sial d. sig f sig f f() (0) (0) ( L ) ( R ), 0 L * R 0 R O úmro máimo d bissçõs qu dvm sr ftuadas para obtr uma prcisão dsjada,, é dado por: log (0) (0) R L. No método d busca alatória, s utiliza um grador d úmros alatórios, spcífico do quipamto d cálculo qu s stá mprgado, para dtrmiar o valor d. Por mplo, a tabla abaio são mostrados os 0 primiros úmros alatórios grados o MATHCAD o itrvalo [0, ]. sortio ,47 0,847 0,456 0,983 0,739 0,96 0,839 0,50 0,07 0,573

6 6 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Algoritmo: Métodos dirtos Dados a, b,, k máimo o método para cálculo d, f a f(a) f b f(b) s f a. f b > 0 tão trar com ovos valors d a b k 0 Faça h(a, b) a + (b a) y f() s y. f a > 0, tão f a y a são f b y b b a k k + quato ( > ou y > ) k < k máimo Ao fial do algoritmo, s k < k máimo tão cotém a raiz cotrada d f() y cotém o valor d f(), são o úmro máimo d itraçõs foi atigido sm covrgêcia, dvdo-s modificar o itrvalo iicial [a, b] ou trocar o método d cálculo d. A fução h(a, b) dv sr scolhida d acordo com o método: ) Método da bissção: h(a, b) = 0,5; ) Método da busca alatória: h(a, b) = rad(), od rad() é uma fução gradora d úmros alatórios tr Substituiçõs sucssivas No método das substituiçõs sucssivas, o procsso itrativo é aplicado à quação algébrica a forma modificada: = g() da quação f() = 0, qu pod sr obtida por um rarrajo itro dsta quação ou pla simpls adição d m ambos os lados da igualdad. Assim,

7 4. SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 7 (k+) = g( (k) ), k = 0,,,... g() 45 * 0 qu covrgirá para a solução * s, para alguma costat 0 < <, g g ( k) ( k) ( ) ( *) * Isto é, s g() for um mapamto cotrativo. Esta rlação pod sr vista padido f ( ) g( ) m séri d Taylor m toro da solução * trucado o sgudo trmo: Como f(*) = 0, tão: g ( ) f( ) f( *) f( *)( *) g( ) ( g( *))( *) ( *) g( *)( *) Como * é um poto fio, isto é, * = g(*), obtmos: g ( ) g ( *) g( *)( *) Not qu st rsultado também pod sr obtido pla pasão m séri d Taylor d g() m toro d *. Aplicado o módulo sta prssão comparado com a dsigualdad acima, chgamos a: g ( ) g ( *) g( *) ( *) g(*) Portato, s g(*) o procsso itrativo ão covrg. Além disto, a prssão acima scrita para a k-ésima itração: * ( *) ( *) ( k) ( k) g mostra qu o método das substituiçõs sucssivas aprsta covrgêcia liar. O gráfico a sguir ilustra uma situação od g(*) g( *) 0, od a primira codição lva a ão covrgêcia a sguda a uma sqücia oscilatória m toro da solução.

8 8 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL g() 45 * 0 Emplos: ) Aplicado o método das substituiçõs sucssivas ao caso do rator CSTR: Da p Da p g( ) D p ( ) Da p a g( ) 0,6 0,4 g() 0, 0,0-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6-0, Partido d duas stimativas iiciais distitas, (0) = 0, (0) = 0,, vrificamos qu a sguda raiz ão pod sr obtida por sta scolha d g(), pois g(*) st poto.

9 4. SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 9 0,6 0,4 g() 0, 0,0-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6-0, Itração (0) = 0, (0) = 0, (0) 0, ,0000 () 0, ,064 () 0,0750 0,0787 (3) 0, ,8 (4) -0,0058 0,3870 (5) -0, ,798 (6) -0, ,597 (7) -0, ,4875 (8) -0, ,773 (9) -0, ,774 (0) -0, ,3067 () -0, , () -0, ,37509 (3) 0, (4) 0, (5) 0, (6) 0,38069 (7) 0,38066 (8) 0,38067 (9) 0,38068 (0) 0,38068 ) f ( ) s( ) a) g ( ) ls b) g arcs

10 0 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL c) Nwto-Raphso s( ) g ( ) cos() CASO a b c (0) 0, , , () 0, ,5097 0,30908 () 0, , ,35737 (3) -0, ,3490 0,35737 (4) ARGUMENTO INVÁLIDO 0,3633 0, Método d Nwto-Raphso No método d Nwto-Raphso, o procsso itrativo é aplicado dirtamt sobr a quação algébrica f() = 0 a forma: f( ), k = 0,,,... f ( ) ( k) ( k) f() * 0

11 4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Isto é, a fução é liarizada m toro da stimativa iicial o próimo poto é cotrado d modo a satisfazr sta fução liarizada. Difrt da covrgêcia do ( k) ( k) método das substituiçõs sucssivas, qu covrg liarmt (pois * * para 0 < < ), o método d Nwto covrg quadraticamt: ( k) ( k) * * od 0 < <. Para vrificar tal covrgêcia, pad-s f( (k) ) m toro da solução *: (*) f ( ) f( *) f( *)( *) ( *) ( k) ( k) f ( k) substitui-s sta prssão a quação d Nwto-Raphso, cosidrado qu (k) stja próimo da solução d modo qu s pod fazr a aproimação f ( ) f( * ) sabdo qu f(*) = 0: ( k) f(*) ( k) f(*)( *) ( *) f(*) ( *) ( *) f(*) f(*) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) qu rarrajado rsulta m: f(*) * ( *) f( *) ( k) ( k) Aplicado-s o módulo a quação rsultat, chga-s a: od f(*) f( *) ( k) f(*) ( k) * * f( *). A prssão acima mostra qu o método d Nwto-Raphso aprsta covrgêcia quadrática. Eprssado o método d Nwto-Raphso como um mapamto: ( k) ( k) f( ) ( k) g( ) f( ) podmos aalisar a covrgêcia d maira similar ao método das substituiçõs sucssivas. Etão padido g() m séri d Taylor m toro d *: g(*) g ( ) g ( *) g( *)( *) ( *) f(*) f(*) Como g(*) 0, é cssário utilizar o trmo d sguda ordm dsta [ f( *)] f (*) pasão od g(*), chgado ao msmo rsultado da aális atrior. f (*)

12 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Algoritmo: Nwto-Raphso Substituição Sucssiva Dados, k máimo 0 k 0 Faça g( 0 ) y f( ) 0 0 k k + quato ( > ou y > ) k < k máimo Ao fial do algoritmo, s k < k máimo tão 0 cotém a raiz cotrada d f() y cotém o valor d f( 0 ), são o úmro máimo d itraçõs foi atigido sm covrgêcia, dvdos modificar a stimativa iicial, 0, ou trocar d fução g(). A fução g() dv sr scolhida d acordo com o método: ) Método das Substituiçõs Sucssivas: g() é scolhida plo usuário tomado o cuidado m assgurar qu g( ) m todo o itrvalo d busca da raiz; ) Método d Nwto-Raphso com drivada aalítica: f ( ) g ( ) f ( ) ; 3) Método d Nwto-Raphso com drivada umérica: g ( ) f( ). f ( ) f( ) Nwto-Raphso modificado Uma modificação simpls o método d Nwto é cosidrar costat a drivada da fução f() durat todo, ou part, do procsso itrativo: f( ), k = 0,,,... ( m) f ( ) ( k) ( k) od m k. S m = 0, todas as rtas qu itrcptam a fução f() os potos das itraçõs são parallas.

13 4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 3 f() * 0 Esta modificação tm a vatagm d calcular um úmro mor d drivadas da fução, mas aprsta uma mor taa d covrgêcia. Modificaçõs d ords mais lvadas, qu covrgm mais rapidamt, basiam-s a pasão m séri d Taylor d f() trucada o trciro trmo: f( ) f(*) f() f() 0 a) f( ) f ( ) f( ) (isolado o do trmo d primira ordm) b) f( ) f( ) f ( ) (fatorado o dos trmos d ª ª ords) A scolha d é qu vai dtrmiar o tipo d modificação do método d Nwto. No caso 0 tm-s o método clássico d Nwto. chga-s a: caso a) Usado o método d Nwto para dfiir, isto é, f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f f f( ) f( )

14 4 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL caso b) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Outra forma d dfiir é através da solução da quação do sgudo grau m rsultat da pasão m séri d Taylor: f ( ) ( ) ( ) f f f( ) f( ) substituir sta prssão os casos (a) (b) dfiidos acima, ou usá-la dirtamt para o cálculo d. Poliômios d coficits rais Quado a fução f() é um poliômio, gralmt, dsja-s obtr todas as suas raízs. Nst caso os métodos uméricos podm sr adaptados para st tipo spcial d fução. Para isto, primiro vrmos uma forma difrt d calcular o valor d um poliômio sua drivada m um poto dado. ) Cálculo do valor do poliômio d sua drivada m um poto Sja um poliômio m d grau, rprstado por: i i i i0 p ( ) a com a 0 a para i 0,,, para calcular o valor d p () para =, cosidr a divisão: p ( ) b0 q ( ) p( ) ( ) q ( ) b od q - () é um poliômio m d grau () prsso por: 0 assim: q ( ) b i i0 i i i i i i i i i0 i0 i ( ) q b b b b b b i ( ) 0 i i ( ) i0 i0 q b b b b p a Igualado os coficits dos trmos qüipotts d, tm-s a forma rcursiva: i i

15 4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 5 b a b b a b b a para i,,,, 0 i i i i i i Not qu com = tm-s: p b0 qu é o rsto da divisão d p () por ( ). Est procdimto aprsta mor rro d trucamto do qu calcular p () dirtamt por: i P( ) ai qu volv o cálculo d todos as potêcias d d a, quato qu o i0 procsso rcursivo: b a bi bi ai para i,,,, 0 od b p, volv apas a primira potêcia d. 0 a a - a - a -3 a a a a 0.b.b -.b -.b -3.b 3.b.b b b - b - b -3 b b 3 b b b 0 Obsrv qu st procdimto é aálogo à forma aihada d cálculo d um poliômio, discutida o capítulo atrior: p ( ) a ( a ( a ( a a )) )) 0 qu pod sr implmtada coform o algoritmo: p a Para i =,,...,,, 0, faça p p + a i Dividido-s ovamt q - () por ( ), tm-s: q ( ) c0 q( ) q ( ) ( ) q( ) c 0 cosidrado q ( ) c i0 i i. Aplicado o msmo procdimto rcursivo atrior: c b ci ci bi para i, 3,,, 0 Substituido a prssão d q - () m fução d q - () m: p ( ) ( ) q ( ) b, tm-s: 0 p ( ) ( ) ( ) q ( ) c b ( ) q ( ) ( ) c b

16 6 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Drivado mmbro a mmbro da prssão acima m, tm-s: p( ) ( ) q ( ) ( ) q ( ) c 0 assim: p( ) c0, isto é, o valor da drivada d p () m = é o rsto da divisão d q - () por (). b b - b - b -3 b b b.c -.c -.c -3.c -4.c.c c - c - c -3 c -4 c c c c 0 ) Localização prlimiar das raízs d p () Rgra d siais d Dscarts: a) Sja p o úmro d trocas d sial dos coficits d p () tão o úmro d raízs rais positivas d p () é igual a p ou p ou p4... ou [zro (s p é par) ou (s p é ímpar)]. b) Sja q o úmro d trocas d sial dos coficits d p () tão o úmro d raízs rais gativas d p () é igual a q ou q ou q4... ou [zro (s q é par) ou (s q é ímpar)]. Nas rgras acima s algum coficit for ulo cosidr-o com o msmo sial do último vrificado. Emplo: p ( ) Assim: p = 4 havdo assim as possibilidads: 4 ou ou 0 raízs rais positivas. p ( ) Assim: q = havdo apas a possibilidad d istêcia d raiz ral gativa. A aturza das raízs d p 7 () é assim rsumida: Hipóts Rais positivas Ral gativa Pars d Cojugadas A 0 3 B C 4 Establcimto do domíio máimo o plao complo d localização das raízs: Todas as raízs d p () localizam-s, o plao complo, o itrior do círculo d raio, dtrmiado por: Emplo: a i i ma ; i 0,,, a p ( )

17 4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ma 6;5;4;3;0;;0,83 Im = R Dst modo todas as raízs rais stão cotidas tr. Na Figura abaio p 7 () é plotado, o itrvalo d a,7. 40 y i i Visualmt vê-s qu há uma raiz ral gativa próima d, duas raízs rais positivas (uma próima d, outra próima d,55), sdo assim a hipóts B (aprstada atriormt) a vrdadira. 3) Dtrmiação das raízs plo método d Nwto-Raphso Após a rprstação gráfica do poliômio, pod-s caractrizar a aturza d suas raízs, assim para dtrmiar a mor raiz ral aplica-s dirtamt o método d Nwto- Raphso adotado como stimativa iicial =, d acordo com o procsso itrativo: p ( ) Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) =. ( k) ( k) p( ) Not qu o valor d p () d sua drivada para = (k) são calculados plo algoritmo rcursivo dscrito o itm () acima. Sja o valor covrgido da primira raiz ral, para dtrmiar a sguda raiz ral, divid-s o poliômio p () plo moômio: ( ), assim:

18 8 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL p ( ) ( ) p como é raiz d p () sta divisão é ata (isto é o rsto é ulo). Aplicados o método d Nwto-Raphso ao ovo poliômio p - (), tm-s: p ( ) Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = + (od 0). ( k) ( k) p ( ) Esta forma, trtato, cssita a divisão d p () por ( ) o cômputo da drivada do poliômio rsultat. Além do trabalho adicioal, aprsta também as dsvatags d a primira raiz aftar a dtrmiação da sguda raiz dsta sr a raiz do poliômio dflatado p - (). Uma maira d s vitar stas dsvatags o trabalho p adicioal é aplicar a fução logaritmo m: ( ) ( ) p, assim: p p l ( ) l ( ) l Calculado a sguir a drivada m rlação à d ambos os mmbros da quação acima, rsulta: p p p p p p p, p p p p p p p Substituido sta prssão o procdimto itrativo acima, tm-s: ( k) ( k) p k k ( k) ( k) p ( ) p ( ) k p Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = + (od 0). Est ovo procdimto, além d vitar a divisão d p () por ( ), prmit qu a ova raiz obtida rport-s dirtamt ao poliômio p (), pois à mdida qu o procsso itrativo aproima-s da solução tm-s: p p ( k) ( k) 0 ( k) ( k) p( ) p( ), qu é o método d Nwto-Raphso aplicado dirtamt ao poliômio p (). As dmais raízs rais são dtrmiadas aplicado-s o msmo procdimto, rsultado a dtrmiação da raiz r m:

19 4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 9 ( k) ( k) p ( k) ( k) p ( k) p r ( k) k p j j Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = r- + (od 0). Para dtrmiar as raízs complas (qu aparcm smpr m pars cojugados), procd-s d forma aáloga à atrior, assim para dtrmiar a primira raiz compla aplica-s o procdimto itrativo: ( k) ( k) p ( k) ( k) p ( k) p ( k) ral k p j j Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = i (stimativa iicial situada o io imagiário) od ral é o úmro total d raízs rais. O valor covrgido dsta raiz srá: compla i como todos os coficits do poliômio são rais, o par cojugado dsta raiz é também raiz do poliômio, assim: compla i é também raiz d p (). Para limiar st par d raízs do poliômio, compla compla divid-s o msmo plo trmo: ( ) = ( )( ), rsultado assim, a dtrmiação da sguda raiz compla, o procdimto itrativo: ( k) ( k) ( k) p ( k) p ( k) p ( k) k k p ral j j Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = i. Para a dtrmiação da raiz compla r, o procdimto itrativo é: ( k) ( k) ( k) p ( k) p ( k) p ( ) k ral r j ( k) k k p j j j j j Para k = 0,,... (até a covrgêcia) com (0) = r r i.

20 0 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Aplicado st procdimto ao mplo dado: p7( ) , cuja aturza das raízs já havia sido caractrizada a sabr: raízs rais positivas + raiz ral gativa + pars cojugados d raízs complas, rsulta m: Raiz -,96,08,538 0,305-0,99.i -0,646-,7.i p 7 (Raiz) -, ,.0-4, , ,4.0 - i Itraçõs Uma outra maira bastat ficit d dtrmiar as raízs complas d poliômios é através do método d Mullr (Sção 4.5) qu dv sr aplicado após a dtrmiação d todas as raízs rais. Tm aida o método d Nwto-Bairstow qu dtrmia todas as raízs d um poliômio (rais complas) sm a cssidad d primiro obtr todas as raízs rais. A idéia básica dst último é prssar o poliômio p ( ) ( ) q ( ) b ( ) b dtrmiar as costats d modo a 0 aular os coficits b 0 b. Uma vz cotradas rsolv-s a quação 0 para dtrmiar um par d raízs d p (), qu pod sr complo. 4.4 Métodos quasi-nwto O método d Nwto-scat, ou simplsmt método da scat, basia-s a aproimação da drivada da fução f(), qu aparc o método clássico d Nwto-Raphso, pla quação d difrças à squrda: f df f f ( ) f ( d ( ) rsultado o sguit procsso itrativo: ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) f( ) f( ) f( ), k =,, 3,... ( k) ( k) ( k) f( ) f( ) f( ) f( ) sdo, st caso, cssários dois potos para iiciar as itraçõs ( (0) () ), pois a quação da rta dscrita plo procsso itrativo é dfiida pla passagm por dois potos, ao passo qu o método d Nwto-Raphso a quação da rta é dfiida por um poto a tagt st poto. ) f() * 0

21 4.4 MÉTODOS QUASI-NEWTON A covrgêcia dst método é supr-liar, isto é, mais rápida qu a covrgêcia liar do método das substituiçõs sucssivas mais lta qu a covrgêcia quadrática do método d Nwto-Raphso, possuido a sguit forma: Algoritmo: Nwto-scat Dados, k máimo, 0 k 0 y 0 f( 0 ) y f( ) Faça y 0 y y f() ( k) ( k) * 0 y y 0 y y 0 k k + quato ( > ou y > ) k < k máimo,68 *, od 0 < <. 0 Ao fial do algoritmo, s k < k máimo tão cotém a raiz cotrada d f() y cotém o valor d f(), são o úmro máimo d itraçõs foi atigido sm covrgêcia, dvdo-s modificar as stimativas iiciais, 0 /ou. O método da rgula falsi (ou posição falsa) é uma modificação do método da scat, od a drivada da fução f() é grossiramt aproimada pla quação das difrças m rlação a um poto fio: f df f f ( ) f ( (0) d ( ) rsultado o sguit procsso itrativo: ( k) ( k) ( k) f( ) ou rscrvdo d outra forma: f f (0) (0) ( ) ( ) (0) ( k) ( k) (0) f( ) f( ) (0) f( ) f( ) (0) ), k =,, 3,..., k =,, 3,...

22 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL f() * 0 Algoritmo: Rgula falsi Dados, k máimo, 0 k 0 y 0 f( 0 ) y f( ) Faça 0 y y 0 y y y f() k k + 0 quato ( > ou y > ) k < k máimo Ao fial do algoritmo, s k < k máimo tão cotém a raiz cotrada d f() y cotém o valor d f(), são o úmro máimo d itraçõs foi atigido sm covrgêcia, dvdo-s modificar as stimativas iiciais, 0 /ou. No método da rgula falsi modificado (ou método d Wgsti), ao ivés d matr fio o poto bas para o cálculo da aproimação da drivada da fução f(), atualiza-s st poto d acordo com a posição do poto obtido m cada itração. Assim, o procsso itrativo aprsta a sguit forma: od f( ) f( f ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) R L L R R L R ( R ) ( k) ( k) ( k) ( k) f( R ) f( L ) f( R ) f( L ) R ( k) ( k) ( k), s sig f ( ) sig f ( R ) R, caso cotrário ), k = 0,,,...

23 4.4 MÉTODOS QUASI-NEWTON 3 L ( k) ( k) ( k), s sig f ( ) sig f ( L ) L, caso cotrário os potos iiciais dvm satisfazr a codição: (0) (0) L R od a fução sig() forc o sial d. (0) (0) sig f ( L ) sig f ( R ), f() 0 L L * 0 R Obsrv qu st método é similar ao método da scat quado ocorr altrâcia d sial da fução f() tr itraçõs adjacts do método da scat. Est método pod sr implmtado plo msmo algoritmo dscrito a Sção 4., para os métodos dirtos, od a fução h(a, b) é dada por: fa hab (, ) f f Ests métodos também têm um mbasamto gométrico d acordo com o rprstado a figura abaio: a b Nsta figura, tm-s a smlhaça dos triâgulos: PQ TS, mas: PQ = f(a); TS = f(b); QR = (b a) SR = ( )(b a), QR SR f( a) f( b) f a rsultado m: ba ba f a f b

24 4 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL od f a a ba a 0. f b f a b a 4.5 Método d Müllr O método d Müllr pod sr classificado como um método d busca dirta (sm cômputo d drivadas) ficit para a dtrmiação d raízs rais múltiplas raízs complas d fuçõs, spcialmt poliômios. Est método s fudamta a busca d raízs d itrpolaçõs parabólicas sucssivas da fução qu s dsja dtrmiar as raízs, assim o procsso s iicia após a spcificação d 3 valors da variávl idpdt : 0. Calculado-s a sguir: [ETAPA A] f 0 y0 y f y, com sts três potos calculam-s: f y y y0 h h f, f, f, h ; f,, h y y h h h Com sts valors é possívl calcular o poliômio itrpolador d sgudo grau sgudo: p f f f,,, mostrado a figura abaio: f, 0, 0 6 f k P k fx j k k Nsta figura, a curva cotíua é a fução f() a curva traço-poto é a parábola itrpoladora qu utiliza os 3 potos assialados. Rscrvdo o poliômio itrpolador m trmos da variávl: z =, rsulta: X j,,, f 0,, z f 0,, h f, z f p z f z f z h z f 0 4

25 4.5 MÉTODO DE MÜLLER 5 Idtificado: a f,, ; b f,, h f, c f são: r 4 a b b a c, as raízs d p 0 0 r 4 a b b ac, como há a possibilidad d b a f 0,, 0, sabdo qu r r a r r c, é mais covit prssar a stas raízs por: c c r a r b b 4ac r c c a r b b 4ac Como stas raízs stão prssas m trmos da variávl z =, opta-s para calcular o próimo valor da variávl idpdt por: ovo b b 4 a c c 4 b b a c assuma o maior valor possívl. o sial + ou é scolhido d modo qu: A sguir ovos valors dos potos itrpoladors são scolhidos d acordo com: y y y, a ralidad, dscartou-s o poto 0 rordou-s os ovo f ovo compots do vtor. Após isto, o procdimto é rptido a partir da ETAPA A dstacada atriormt. O procdimto é rptido até: r * < ou f( ovo ) <, com valors d slcioados plo usuário. Emplo: Dtrmiação da raiz ral positiva d f ( ) Itração , ,500000, , ,6578 0,500000, , ,6578 0,6598, , ,6578 0,6598 0,6599 y 0, ,7880-0,63-0,059 0,00035 y 0,7880-0,63-0,059 0, , y -0,63-0,059 0, , , Solução: ˆ 0,6599 f ˆ 0.

26 6 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL 4.6 Homotopia método da cotiuação O método da cotiuação stá basado a variação cotíua d um parâmtro a fução, d modo a proporcioar codiçõs d covrgêcia mais forts para os métodos d busca d raízs d fuçõs, spcialmt o método d Nwto. Quado st parâmtro rprsta uma combiação tr a fução f() uma outra fução cohcida d fácil solução tm-s o método da cotiuação homotópica (ou método da homotopia). O tipo mais comum d homotopia é a fução cova: h(; p) = ( p) f() + p g() = 0 od g() é uma fução com solução cohcida o parâmtro p [0, ]. É fácil obsrvar qu h(; ) = g() h(; 0) = f(), portato, fazdo o parâmtro p variar d a 0 part-s d um poto com solução cohcida m dirção a uma solução d f(). As soluçõs d h(; p) são fuçõs d p, isto é, * = *(p), com *() sdo a solução d g() *(0) a solução d f(). O cálculo das raízs d h(; p) = 0, para cada valor fio d p, é gralmt ralizado pla aplicação do método d Nwto-Raphso. f()=0 g()=0 * 0 0 t p (0) (0) Uma scolha razoávl para g() é g ( ) f( )( ), cohcida como homotopia affi, qu rprsta uma liarização m toro do poto (0). Outra dfiição da fução h(; p) é a homotopia d Nwto: h(; p) = f() p f( (0) ) od g() = f() f( (0) ), com a msma solução da atrior, isto é, *() = (0). Uma propridad itrssat do método da homotopia é qu s f() possuir mais d uma raiz for prmitido ao parâmtro p variar sm rstrição d itrvalo, tão é possívl cotrar todas as raízs d f(), sguido o camiho d variação d p. Para isto, é importat qu o método raliz procdimtos d rparamtrização quado d/dp tdr ao ifiito, coform dscrito a sguir. D um modo mais gral, o método da cotiuação (ou path followig) cosist a solução d sistmas ão-liars do tipo: F((s), p(s)) = 0, p r

27 4.6 HOMOTOPIA E MÉTODO DA CONTINUAÇÃO 7 od p é um vtor d parâmtros s é alguma paramtrização, como por mplo o comprimto d arco do camiho grado. Tratado, por simplicidad, do caso m qu p aplicado o torma da fução implícita, tm-s: F F s () ps () 0, com p d od coclui-s qu o vtor dirção (, p ) F DF d ds dp p ds stá o spaço ulo da drivada d Frcht: F p O vtor dirção pod sr scaloado através d alguma ormalização N(, p, s) = 0, como, por mplo, a do comprimto d arco: s (,, ) ( o ) so N p s p dt s s od F((s o ), p(s o )) = 0 é uma solução cohcida. Aplicado o torma da fução implícita a prssão acima, tm-s: grado o sistma d quaçõs: ou gricamt: p T 0 F F 0 p p p F F 0 p N N N p s p Outro mplo d orma é a do psudo comprimto d arco: T N(, p, s) ( o) o ( p po) p o ( sso) F F 0 p p o p o qu é mais fácil d implmtar computacioalmt. Outra orma muito utilizada é a da paramtrização local (ou itra): T o N3(, p, s) k ( s so) p p o od k é o k-ésimo vtor uitário d dimsão +, qu rsulta m:

28 8 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL F F 0 p k od + = p. Uma maira d scolhr o ídic k é plo critério da maior drivada dircioal: k arg mi(,,...,, ) k Eistm vários algoritmos para ralizar cotiuação m camihos rgulars, algus outros qu cosgum dtrmiar potos limits (ou turig poits) poucos qu localizam potos d bifurcação cotiuam sobr as ramificaçõs. Um poto ( o, p o ) é: F( o, po) rgular s for ão-sigular; F( o, po) poto limit s for sigular DF tivr rak = ; F( o, po) bifurcação s for sigular DF tivr rak <. No caso d um poto limit, F pod sr torada ão-sigular por um procdimto d rparamtrização, tal como scolhr como parâmtro a variávl com maior drivada dircioal, possibilitado a cotiuação através dst poto. Métodos tipo prdição-corrção para a cotiuação paramétrica são métodos qu sgum os sguits passos pricipais: ) obtção d uma solução iicial ( o, p o ); ) prdição: solução do sistma F F 0 p N N N p s p ralizado rparamtrização quado cssário dtrmiado o tamaho do passo, s = s s o, a dirção (, p ), para tão prdizr (trapolar) o s p p p s; o 3) corrção: rsolução do sistma ão-liar F((s), p(s)) = 0.

29 4.7 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA Aális d covrgêcia Dsja-s *, od é a tolrâcia. Porém, a solução do problma, *, ão é cohcida, logo prcisamos d alguma stimativa do rro. Critério do rro absoluto m : ( k) ( k) Rqur um cohcimto da ordm d gradza d *. Critério do rro rlativo m : abs ( k) ( k) ( k) rl Pod causar problmas quado * ~ 0. Critério do rro absoluto m F(): F Pod mascarar a covrgêcia m : F() (k) (k+) Combiação dos critérios do rro absoluto rlativo m : ( k) ( k) ( k) rl abs Aida ão rsolv o problma d scala das variávis, prst m todos os critérios m dscritos acima, pois N i, com apas um rl abs. i Etão, um critério qu rsolv também o problma d scala é: ( k) ( k) ( k) i i rl, i i abs, i, i =,..., Pod-s aida dfiir uma orma podral: w N i N i w i od wi rl, i Xi abs, i, i =,..., X i é um valor rprstativo d i.

30 30 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Assim: ( k) ( k) w S rl i = 0 i abs, i N ( k) ( k) ( k) ( k) S abs,i = 0 i rl, i N X = (k) w ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) w Como garatir qu ( k) impliqu m *? Usado o cocito d taa d covrgêcia: cosidrado 0 < < costat. chga-s a: ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k)... ( k j) ( k j) j ( k) ( k) Usado a dsigualdad triagular: a b ac c b covrgêcia, rsulta m: como para m m ( km) ( k) ( k j) ( k j) j j ( k) ( k) ( k) ( k),, qu ao substituir a dsigualdad da taa d m ( km) ( k) j ( k) ( k) * (0 < < ), tm-s: m j j, portato, s * k ( k) ( k) ( k) ( ) tão * O problma é cohcr Uma possívl stimativa vm d: ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) k () (0)

31 4.7 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA 3 ( k) ( k) k assim:, k =,, 3,...,, por qustão d cosrvadorismo, é () (0) comum utilizar = 0,99 para a primira itração (k = 0). Emplo: Taa d covrgêcia lta: 0,99 ( k) 00 0 Taa d covrgêcia rápida: 0,0 ( k) 0, 0 0 Taa d covrgêcia 0,5 ( k) A ordm d covrgêcia d um procdimto itrativo é a costat qu satisfaz o limit: lim k * * Od é o coficit assitótico d covrgêcia. S =, o procdimto covrg liarmt s = l tm covrgêcia quadrática. Rtomado a aális d covrgêcia da Sção 4., od foi vrificado qu o método das substituiçõs sucssivas tm covrgêcia liar ( = ), com g( *), pod-s cocluir qu para st método: s g(*) 0, g(*) 0,..., (k+) = g( (k) ), k = 0,,,... ( g ) (*) 0 ( g ) (*) 0, tão: lim k ( ) g * ( *) *! tdo, para stas situaçõs, ordm covrgêcia supraliar >. No caso do método d Nwto-Raphso, od f ( ) g ( ) f ( ) é fácil vrificar qu g(*) 0 f (*) g(*), portato: f (*) lim k g * ( *) *! tdo, plo mos, covrgêcia quadrática.

32 3 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Lista d rcícios ) Em dois rators taqu d mistura prfita é coduzida a ração m fas líquida: A+BC+D d forma isotérmica. Os balaços stacioários d massa do ragt A st sistma são dscritos plas quaçõs algébricas: q Primiro rator: kc C0 C V q Sgudo rator: kc CC V Od k: costat d vlocidad da ração = 0,075 L/mol/mi; q: vazão volumétrica d alimtação do sistma = 30 L/mi; V: volum dos rators (L) C 0 : coctração d A a alimtação do sistma =,6 mol/l; C : coctração d A a saída do primiro rator [mol/l]; C : coctração d A a saída do sgudo rator [mol/l]. Calcul o volum dos rators sabdo-s qu a covrsão global d A é igual a 80%. Graliz sus rsultados para rators iguais m séri compar o volum d um PFR qu coduz à msma covrsão. ) A quação d stado d Va dr Waals é dscrita por: od P é a prssão (atm); é o volum spcífico molar (L/mol); T é a tmpratura absoluta (K); a P b RT R é a costat uivrsal dos gass = 0,08054 L.atm/mol/K; a é uma costat dpdt do gás (L.atm/mol ) b é uma costat dpdt do gás (L/mol).. Os valors das costats a b para difrts gass são tablados abaio: Gás a (L.atm/mol ) b (L/mol) Gás carbôico 3,59 0,0467 Ailia dimtílica 37,49 0,970 Hélio 0,034 0,0370 Óido ítrico,340 0,0789 Sabdo-s qu a tmpratura crítica do gás (tmpratura acima da qual o gás ão pod s 8 a liqufazr) é dada por: Tc, rsolva o problma adotado T > T c st caso mostr 7 R b qu para qualqur prssão há apas uma solução da quação. Adotado T < T c adot valors d P m qu há apas solução valors d P m qu a quação aprsta três soluçõs,

33 4.7 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA 33 st último caso: < < 3 sdo o volum spcífico molar da fas líquida, 3 o volum spcífico molar da fas gás ão aprsta sigificado físico. Mostr também como calcular a faia d prssão dtro da qual o sistma aprsta três soluçõs. 3) Em problmas d trasfrêcia d calor é importat calcular as raízs rais positivas da tg quação: K, od K é uma costat cohcida, ot qu, cto o caso m qu K =, = 0 ão é raiz dsta quação. Para vitar as dscotiuidads da fução tagt rscrv-s a quação origial a forma: f skcos 0. Aprst o procdimto itrativo qu traduz o método d Nwto-Raphso aplicado a sta quação apliqu-o para dtrmiar a primira raiz positiva, com uma prcisão até a quarta casa dcimal, da quação com K =, mostrado claramt m su procdimto como vitou o valor = 0. Sugira uma mtodologia para dtrmiar as 0 primiras raízs dsta quação. 4) F mols por hora d gás atural são alimtados cotiuamt m um vaso d flash, m acordo com o squma abaio: V (vapor) F (alimtação) L(líquido) A opração stacioária dst vaso é dscrita plos balaços: Balaço global: F = L + V Balaço do compot i: Fz V y L para i,,, i i i Rlação d quilíbrio: y K para i,,,. i i i Além dstas quaçõs as rstriçõs algébricas, dcorrts da dfiição d fração molar, dvm também sr rspitadas: y i i i Mostr como maipulado stas quaçõs s obtém a quação ão-liar: Ki zi, od = V / F. K i i Sabdo-s qu as composiçõs d alimtação costats d quilíbrio, à tmpratura do vaso, são cohcidas tabladas abaio, dtrmi os valors d, i y i, i =,,...,. i

34 34 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Compot z i K i Gás carbôico 0,0046,650 Mtao 0,8345 3,090 Etao 0,038 0,70 Propao 0,063 0,390 Isobutao 0,0050 0,0 -Butao 0,0074 0,75 Ptaos 0,087 0,093 Haoss 0,00 0,065 Hptaos + 0,0434 0,036 =,0000 5) Uma ração química d primira ordm, irrvrsívl m fas líquida é coduzida m um rator taqu oprado d forma cíclica. Assim, coduz-s uma batlada por um tmpo t, dpois d trascorrido st tmpo, svazia-s s limpa o rator, lvado sta última opração um tmpo igual a t c. Após passar pla tapa d svaziamto/limpza coduz-s ovamt uma batlada por um tmpo t, assim sucssivamt. Pod-s dmostrar qu o tmpo ótimo da fas batlada qu maimiza a taa d produção do procsso é obtido através da quação ão-liar: kt k ttc 0 ou a forma logarítmica: ktl k tt c 0 () Sdo k: costat d vlocidad da ração =,5 h - t c : tmpo da opração d svaziamto/limpza = 0,5 h. Para calcular t ttam-s dois procdimtos itrativos: (a) d () tm-s: t tc sugrido a sguit forma rcursiva: k kt ( j ) kt ( j) (0) c para = 0,, com t t j t t k l k tt (b) d () tm-s: t k t k c c, sugrido a sguit forma rcursiva: ( j) l k t t ( j) c (0) para j=0,, com t t c () O procdimto (a) ão covrg, quato qu o procdimto (b) covrg à solução do problma (para o cojuto d parâmtros utilizados) t = 0,5055 h após 6 itraçõs. Epliqu porqu isto ocorr.

35 4.7 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA 35 6) Os balaços d massa d ragt d rgia m um rator d mistura prfita od é coduzida uma ração d sguda ordm, irrvrsívl otérmica são prssos plas sguits quaçõs (m forma adimsioal): Balaço d massa do ragt: Da p () Balaço d Ergia: Da p () Od é a coctração adimsioal do ragt é a tmpratura adimsioal da mistura racioal o itrior do rator; Da, são parâmtros adimsioais qu tm os sguits valors uméricos: Da = 0,038, = 0,6 = 0. Multiplicado a Eq. () por subtraido sta ova quação d (), chga-s a:, substituido sta última prssão m (), chga-s fialmt a: Da Da g Esta fução g() é plotada a figura abaio assim como a bisstriz do primiro quadrat, y =. p ou p ( ) Poto 3 Poto 0.5 Poto os três potos d itrsçõs dstas curvas são: 0,849 [poto ]; 0, [poto ] 0,96563 [poto 3]. a) Mostr porqu quado s utiliza o procdimto itrativo: ( k) ( k) g( ) para k=0,,,, apas o poto 3 é obtido. b) Sugira um procdimto itrativo qu assgur a covrgêcia do procsso d busca das três raízs do problma. Mostr claramt m su procdimto a codição iicial a sr adotada a dtrmiação d cada solução. 7) Sugr-s o sguit procdimto para dtrmiar itrativamt as raízs d uma simpls fução ão-liar, f() = 0:

36 36 4. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES EM UMA VARIÁVEL Busca-s o míimo d g() = [f()] isto é os valors d qu aulam a drivada d g(): dg( ) df ( ) f( ), ou sja, buscam-s as raízs d uma ova fução: d d dg( ) df ( ) F( ) f( ) d d. Apliqu o método d Nwto-Raphso a sta ova fução F() mostr o algoritmo rcursivo corrspodt compar-o com o obtido aplicado-s dirtamt o método d Nwto-Raphso à fução origial. Ilustr o procsso itrativo, m ambos os casos, aplicado-o a uma fução simpls d sua scolha, por mplo: f() = ou f() = -. Aalis comt os rsultados obtidos. 8) Dtrmiar todas as raízs dos sguits poliômios: P ( ) P ( ) P 4 3 4( ) P ( ) ) Sdo ASC o úmro d Algarismos Sigificativos Corrtos, (a) Rsolva = cos por substituiçõs sucssivas, tomado (0) =. (6 ASC) (b) Mostr qu = cos pod sr trasformado m = - (s ) / ( + ), vrificado m quatos passos obtém-s a msma solução do problma atrior. (c) Mostr qu = cos pod sr trasformado m = ( cos ) ½, vrificado m quatos passos obtém-s a msma solução do problma atrior. (d) Esboc o gráfico da fução s = cotg rsolva plo método d Nwto, tomado como (0) =. (6 ASC) () Formul as itraçõs d Nwto para calcular raízs cúbicas calcul tomado como (0) =. (6 ASC) 3 7, (f) Rsolva o problma (d) usado o método da scat, tomado como potos d partida (0) = 0,5 () =, compar os rsultados. (6 ASC) (g) Rsolva = plo método da bissção o itrvalo [0, ]. (4 ASC) (h) Ecotr a solução ral da quação 3 = plos métodos da rgula falsi da rgula falsi modificado. (4 ASC)

37 4.7 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA 37 0) No dsvolvimto d uma modificação do método d Wigsti s utiliza uma ova paramtrização do itrvalo d busca d acordo com a prssão: ab ba com Nssa ova forma s vrifica: (i) com a (trmidad ifrior do itrvalo d busca); (ii) com a b 0 (poto médio do itrvalo d busca); (iii) com b (trmidad suprior do itrvalo d busca). Para dtrmiar o valor d m cada itração s utiliza uma itrpolação quadrática ivrsa fudamtada os 3 potos: a a b b y = f() f a y a b f a f b yb ym Essa itrpolação quadrática ivrsa é dscrita por: y yby ym y ya y y p y m y y y y y y y y, calculado o valor d a itração por: itração b a a m b a b m y y y y p y y y y y y y y 0 b m a m b a a m b a b m Est ovo procdimto é traduzido através do algoritmo: Dados: a, b b a,, k MAX, calcul: ya f a yb f b, caso y ENTÃO ayb 0 trar com ovos valors d a b. k 0 FAÇA a b y y y y ym f a b b a y f SE yy a 0 ENTÃO ya y a SENÃO y y b b b m a m y y y y y y y y b a a m b a b m ba ; k k ENQUANTO y ou > k k MAX (a) Eist alguma limitação à aplicação dst ovo procdimto? Qual? Justifiqu sua rsposta. (b) Apliqu o procdimto a dtrmiação da raiz ral positiva da fução: f, cosidrado o primiro itrvalo d busca: 0. Compar a vlocidad d covrgêcia do método com a obtida o método da bissção. (Cosidr m sua plaação apas as cico primiras itraçõs).