Fernando Pinheiro Andutta EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS

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1 Frado Pihiro Adutta EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS Satos

2 Frado Pihiro Adutta EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS Trabalho d Coclusão d Curso aprstado como igêcia parcial para a obtção do Diploma d Graduação m Licciatura Pla m Matmática, do Ctro Uivrsitário Mot Srrat UNIMONTE Oritadora: Prof. Lusit Clarida da Silva Tiira Satos

3 Ficha Catalográfica A577 Adutta, Frado Pihiro. Equaçõs difrciais: métodos aalíticos uméricos/ Frado Pihiro Adutta. Satos,. 7f. Trabalho d coclusão d curso (Graduação) - Ctro Uivrsitário Mot Srrat,. Curso: Matmática Oritadora: Prof. Lusit Clarida da Silva Tiira.. Equaçõs difrciais.

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS Satos

5 Uma grad dscobrta volv a solução d um grad problma, mas há smpr uma smt d dscobrta a solução d qualqur problma. Su problma pod sr modsto; porém, s l dsafiar sua curiosidad fizr fucioar sua capacidad ivtiva, caso você o rsolva soziho, tão você podrá primtar a tsão o prazr do triufo da dscobrta. Gorg Pola

6 A miha família aos mus amigos.

7 AGRADECIMENTOS Aos mus familiars, amigos mstrs, ficam as rcordaçõs dos momtos m qu tudo parcia impossívl mas, com um spírito d um grad gurriro o apoio costat vcmos mais uma batalha. Obrigado Dus.

8 Agradcimtos spciais ao profssor Dr. Lourval dos Satos Silva pla valiosa cotribuição a st trabalho.

9 PREFÁCIO O prst trabalho foi dsvolvido para uma sqüêcia d cursos a rspito da toria aplicaçõs d técicas d rsolução d quaçõs difrciais. O tto foi laborado iicialmt para studats as áras d atas qu cocluírm ao mos a sqüêcia iicial do curso d cálculo. A itimidad com os fudamtos da álgbra liar com o cálculo umérico é d grad ajuda. Cotudo uma sqüêcia d cocitos, d grad auílio o studo d algus métodos d rsolução d quaçõs difrciais, é aprstada o cotto do trabalho, d forma qu fudamtos da álgbra liar cálculo umérico ão são pré-rquisitos para o tdimto dst trabalho. Grad part do tto é ilustrado com mplos, sdo qu sss mplos vão dsd técicas lmtars para a rsolução d quaçõs difrciais, até mplos qu implicam a gralização da tsão da toria.

10 SUMÁRIO LISTA DE TABELAS E FIGURAS LISTA DE SIGLAS RESUMO ABSTRACT CAPÍTULO I INTRODUÇÃO....- Aprstação gral....- Objtivos....- Fatos históricos....- Importâcia das quaçõs difrciais Cocitos básicos... CAPÍTULO II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM....- Itrodução....- Forma padrão forma difrcial....- Equaçõs difrciais d primira ordm sparávis....- Equaçõs difrciais d primira ordm homogêas Equaçõs difrciais d primira ordm atas Fators itgrats Equaçõs difrciais d primira ordm liars compltas Equaçõs difrciais d primira ordm liars icompltas Equação d Broulli....- Equação d Riccati

11 CAPÍTULO III EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR....- Itrodução....- Toria das soluçõs d quaçõs difrciais liars Equaçõs difrciais liars Soluçõs liarmt dpdts Soluçõs liarmt idpdts Equaçõs difrciais homogêas Propridads das quaçõs liars Equaçõs difrciais ão-homogêas O wroskiao....- Equaçõs difrciais homogêas d ordm suprior com coficits costats Raízs rais distitas Raízs rais rptidas Raízs complas distitas Raízs complas rptidas....- Método dos coficits a dtrmiar Método da variação dos parâmtros... CAPÍTULO IV MÉTODOS NUMÉRICOS....- Itrodução....- Aproimaçõs d drivadas por difrças fiitas....- Erro ordm d aproimação d uma fórmula d difrça....- A toria lmtar do problma d valor iicial Emplo d método umérico Prcisão do método d Eulr... 8

12 .5.- Covrgêcia Cosistêcia Zro stabilidad Estabilidad Problma d valor d frotira m quaçõs ordiárias....- Equaçõs difrciais parciais....-métodos d difrças fiitas... CONSIDERAÇÕES FINAIS SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS... 5 BIBLIOGRAFIA... 6

13 LISTA DE SIGLAS CD ED EDO EDOs EDP EDPs LD LI PVF PVI Coficit a Dtrmiar Equação Difrcial Equação Difrcial Ordiária Equaçõs Difrciais Ordiárias Equação Difrcial Parcial Equaçõs Difrciais Parciais Liarmt Dpdt Liarmt Idpdt Problma d Valor d Frotira Problma d Valor Iicial

14 RESUMO O âmbito gral d técicas das soluçõs atas uméricas d quaçõs difrciais é muito divrsificado comprd, tr outros, os métodos aalíticos tais como o dos coficits a dtrmiar o da variação dos parâmtros, métodos uméricos tais como métodos d lmto fiitos, difrças fiitas, volums fiitos, métodos spctrais, métodos d colocação lmtos d cotoro. Na litratura é muito comum a idéia, particularmt m quaçõs difrciais, d qu istm tatos métodos d rsolução quato são os problmas a srm rsolvidos. Por st motivo, o prst trabalho foi scrito com a itção d auiliar como tto básico para o studo d algus métodos d rsolução d quaçõs difrciais miistrados m cursos d matmática, física, gharia áras afis m ciêcias atas. O matrial dst tto stá orgaizado agrupado as técicas d rsolução d quaçõs difrciais m capítulos coscutivos, sdo qu a maior part dos três primiros capítulos do trabalho abrag problmas d quaçõs difrciais sm codiçõs iiciais, apas o quarto capítulo tm-s a cssidad d codiçõs iiciais d frotira para a utilização dos métodos uméricos. O cotúdo do trabalho foi dividido m quatro capítulos, o primiro capítulo cotém algus fatos históricos cocitos básicos a srm utilizados os dmais capítulos, além d uma brv obsrvação sobr a importâcia das quaçõs difrciais, o sgudo capítulo são aprstadas técicas para a rsolução d quaçõs difrciais ordiárias d primira ordm, tais como as quaçõs sparávis, homogêas, atas, liars, a quaçõs d Broulli d Riccati. O capitulo três é ddicado aos métodos d rsolução d quaçõs difrciais d ordm suprior, métodos sts qu comprdm, o método dos coficits a dtrmiar o da variação dos parâmtros. Já o último capítulo srão aprstados cocitos d aproimaçõs d drivadas usado difrças fiitas, rro ordm d aproimação d uma fórmula d difrça, a toria lmtar do problma d valor iicial, os pricipais problmas cotrados para s matr a stabilidad o mprgo d um método umérico algus dos métodos uméricos para a rsolução d quaçõs difrciais.

15 ABSTRACT Th scop of tchiqus of th act ad umrical solutios of diffrtial quatios is vr divrs ad icluds, amog othrs, th aaltical mthods such as: th cofficit to b dtrmid ad th paramtrs variatio, umrical mthods cocrig fiit lmts, fiit diffrcs, fiit volums, spctral mthods, placmt mthods ad outli lmts. I litratur, th cocptio that thr ar as ma rsolutio mthods as th umbr of problms to b solvd is vr commo particularl wh it coms to diffrtial quatios. For this raso, th prst papr was writt with th ittio to assist as a basic tt dvlopd for th stud of som rsolutio mthods of diffrtial quatios lcturd o Math, Phsics, Egirig ad rlatd aras i Eact Scics. Th matrial of this papr is wll orgaizd joiig th rsolutio tchiqus of diffrtial quatios i coscutiv chaptrs, also mtioig that th biggst part of th thr first chaptrs of th papr covr problms cocrig diffrtial quatios without iitial coditios. Ol i th fourth chaptr thr is th d of iitial ad frotir coditios for th us of umrical mthods. Th cott of this papr was dividd ito four chaptrs, cosidrig that th first chaptr cotais som historical facts as wll as basic cocptios to b usd i th othr chaptrs. It also brigs a brif obsrvatio about th importac of ordiar diffrtial quatios of first ordr, such as: sparabl quatios, homogous quatios, act quatios, liar quatios, Broulli ad Riccati quatios. Th chaptr thr is ddicatd to th mthods of rsolutio of diffrtial quatios of suprior ordr, mthods which iclud th mthod of th cofficits to b dtrmid ad th paramtrs variatio. I th last chaptr thr will b prstd cocptios of approimatio of drivats usig fiit diffrcs, rror ad approimatio ordr from a diffrc formula, th lmtar thor of th problm of iitial valu, th mai problms facd to kp th job stabilit from a umrical mthod as wll as som of th umrical mthods for th rsolutio of diffrtial quatios.

16 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO.- Aprstação gral Um modlo matmático é uma rprstação, idalizada m muitos casos simplificada, da aturza. Quado drivado o modlo matmático d maira discrida, sua solução aparta caractrísticas ssciais dos procssos aturais comprdidos, tais como tmpratura, umidad, dirção dos vtos a prvisão do tmpo, prssão vlocidad o scoamto d um fluido, movimto d foguts satélits artificiais, movimtos vrticais, plao icliado, tr outras iúmras aplicaçõs. Dsta forma, as soluçõs das quaçõs difrciais d um modlo, dvm obtr as caractrísticas importats o comportamto do problma rsolvido, ão sdo possívl, a maioria dos casos, justificar o mprgo d hipótss simplificadoras qu altram a ssêcia do problma para torar possívl a obtção d uma solução ata. Em outras palavras, quado stamos solucioado um problma ral, gralmt, ão é possívl obrigá-lo a suprir hipótss qu prmitam a dtrmiação d uma solução ata. Daí a cssidad da procura d soluçõs uméricas, ou aproimadas. Como virtualmt todas as áras m matmática, o pricipal objtivo das quaçõs difrciais é o d modlar matmaticamt acotcimtos da aturza as iúmras áras d aplicação. Sob a domiação d quaçõs difrciais, Gottfrid Wilhlm Libiz a qum s dv a prssão, comprdia uma rlação tr as variávis (β,β,β,...,β ) suas difrciais (dβ,dβ,dβ,...,dβ ). Na acpção modra vmos qu as quaçõs difrciais ão s dstigum fudamtalmt do

17 5 próprio cálculo itgral, pois a toria das quaçõs difrciais costitui um prologamto atural do cálculo itgral propriamt dito. Com Libiz, por uma quação difrcial, comprdmos o studo dos vários métodos qu visam rduzir quadraturas, ou sja, a itgrais clássicas, itgrais lmtars ou modlagm umérica, crtas rlaçõs mais ou mos complas m qu aparçam ao lado d uma ou mais fuçõs icógitas, uma ou mais drivadas ordiárias ou parciais..- Objtivos Os objtivos dst trabalho stão rsumidos da sguit forma: Aprstar uma visão gral das chamadas quaçõs difrciais; Idtificar classificar uma quação difrcial, fatizado a scolha d um método d rsolução do poto d vista prático; Dsvolvr uma itrodução à solução aalítica d quaçõs difrciais ordiárias a solução umérica d quaçõs difrciais ordiárias parciais..- Fatos Históricos Para qu possamos discutir a história o dsvolvimto das quaçõs difrciais, é cssário um cohcimto prciso a rspito das quaçõs difrciais dos procdimtos para cotrar as soluçõs dlas. Além disso, a progrssão da toria das quaçõs difrciais stá familiarmt rlacioada ao progrsso gral da matmática ão pod sr dsagrgado dl. Farmos mção

18 6 d algus, dos matmáticos d rom dos séculos dzsst dzoito qu fizram ifluts colaboraçõs para a toria o uso prático das quaçõs difrciais. A toria das quaçõs difrcias tm suas procdêcias o pricípio do cálculo com Isaac Nwto (6-77) Gottifrid Wilhlm Libiz (66-76) o século dzsst. O turvo cohcimto a rspito da origm do dsvolvimto das quaçõs difrciais s rstrig a uma data otávl, //675, quado Libiz rdigiu a primira quação difrcial d, dsta forma, ão somt rsolvdo uma simpls quação difrcial, porém criado uma frramta ficaz, o sial d itgral, o qu rtratou um ação d grad acpção. Embora Nwto tha trabalhado pouco a toria das quaçõs difrciais, sua colaboração ao progrsso do cálculo sclarcimto dos pricípios fudamtais da mcâica compõ as bass para o dsvolvimto das aplicaçõs das quaçõs difrciais, o século dzoito fito sscialmt por Eulr. Nwto classificou da sguit ordm as quaçõs d primira ordm: / f( ), d / d f( ) d d f(, ) d d ( ) /. Sdo qu para a quação d / d f,, l dsvolvu um método d solução através d séris ifiitas quado ( ) f, é um poliômio m () (). Libiz alcaçou rsultados ssciais do cálculo idpdtmt, aida qu pouco dpois d Nwto. Libiz cotribuiu com o sial d itgral, a otação modra para drivada ( d / d), dscobriu o método da sparação d variávis (Sção.), assim como o método para quaçõs difrciais d primira ordm liars (Sçõs.7.8) quaçõs d primira ordm homogêas (Sção.). Libiz matiha uma grad rlação com outros matmáticos, pricipalmt os

19 7 irmãos Broulli. Durat ssa rlação, vários problmas d quaçõs difrciais foram solucioados, o dcorrr da última mtad do século dzsst. Dpois d Libiz Nwto surgiram os irmãos Broulli, Jakob (65-75) Joha (667-78) Dail (7-78), filho d Joha. Ests são somt três da família Broulli qu a sua época foram citistas matmáticos mits. Utilizado o cálculo, ls prssaram solucioaram como quaçõs difrciais vários problmas d mcâica. Jakob Joha colaboraram tr os aos d para a rsolução do problma da braquistócroa (a dtrmiação da curva mais rápida dscdt). Nwto também rsolvu st problma o iício d 697. A otória quação d Broulli m mcâica d fluidos é cocdida a Dail. A maioria dos métodos lmtars d rsolução d quaçõs difrciais d primira ordm (Capítulo ) já ra cohcida ao térmio do século dzsst. Logo após, o pricipal alvo das atçõs passou a sr as quaçõs difrciais parciais. Jacopo Riccati (676-75), um matmático italiao, studou as quaçõs difrciais da forma f (, ', '' ). El também studou uma famosa quação ão-liar, chamada quação d Riccati. d d P ( ) Q( ) R( ), mbora ão m forma tão gral. Lohard Eulr (77-78), um dos importats matmáticos, também vivu o dcorrr do século dzoito. El ra um matmático ddicado, sus trabalhos coligidos cdm stta volums. O trabalho d Eulr cotiuou sm itrrupçõs, apsar da cguira qu o vitimou durat sus últimos dzsst aos d vida. Eulr trabalhou a formulação d problmas da mcâica m liguagm matmática o dsvolvimto dos métodos para a rsolução dsts problmas. El também studou problmas como a covrsão d quaçõs difrciais d sguda ordm a quaçõs difrciais d primira ordm por mio d mudaças

20 8 d variávis. Eulr itroduziu o cocito d fator itgrat (Sção.6), formulou um tratamto gral para as quaçõs difrciais ordiárias liars a coficits costats (Sção.), m 79, colaborou para o método d séris d potêcias dscrvu um procsso umérico para a rsolução d quaçõs difrciais. Eulr também fz grads cotribuiçõs à toria das séris d Fourir aprstou a primira discussão matmática do cálculo das variaçõs. Aida o século dzoito, Josph-Louis Lagrag (76-8) Pirr-Simo Laplac (79-87) trouram grads cotribuiçõs à toria das quaçõs difrciais ordiárias mostraram, pla primira vz, um tratamto citífico para quaçõs difrciais parciais. A mais otória quação difrcial parcial da física- U U matmática, a quação potcial cohcida como quação d Laplac. O gradioso trabalho d Lagrag (Mécaiqu aaltiqu) aprsta as quaçõs grais do movimto d um sistma diâmico, cohcidas atualmt como quaçõs d Lagrag. O trabalho m cico volums (Traité d mécaiqu célst) du a Laplac um título a Fraça. Os últimos volums foram divulgados tr os aos d , st trabalho aprstava toda mcâica cohcida até aqula data. Nos últimos aos, part dos sforços dos matmáticos a ára d quaçõs difrciais foi dstiada ao dsvolvimto d uma toria sistmática (cotudo gral) com prcisão. O objtivo ão é apas laborar soluçõs para quaçõs difrciais particulars, porém dsvolvr métodos adquados para rsolvr classs d quaçõs.

21 9.- Importâcia das Equaçõs Difrciais O studo das quaçõs difrciais além d sr importat do poto d vista matmático, é muito importat do poto d vista físico. Ao s studar algum fômo físico, dvmos primiramt dscrvê-lo d forma qualitativa, por mio d palavras. Somt após a comprsão qualitativa do primto, ttamos obtr uma plicação quatitativa, a forma d uma ou mais quaçõs matmáticas, qu buscam dscrvr uma priêcia matmaticamt fazr suposiçõs qu podm sr costatadas por itrmédio d outras priêcias. É dsta maira qu s costrói uma toria física, tdo smpr como apoio priêcias, d modo qu a toria s adapta ao fômo obsrvado, ão o ivrso. Um fômo físico é dscrito quatitativamt por mio d uma ou mais quaçõs. Por sort, um úmro bastat aprciávl d fômos físicos é dscrito d alguma forma por algum tipo d quação difrcial, plo mos d forma aproimada. Sdo assim, é cssário cohcr métodos d rsolução dssas quaçõs difrciais, msmo qu sja impossívl cotrar a solução ata. Caso uma solução ata ão possa sr cosguida, dvm-s buscar soluçõs aproimadas, ou msmo soluçõs uméricas. Pod acotcr também qu ão s obtha hum tipo d solução, por privação d fudamtos matmáticos, físicos ou ambos, ão prmitido a rsolução da quação. Nsta situação, é cssário aalisar a própria quação difrcial, para ttar obtr dla a maior quatidad d iformaçõs, msmo ão a rsolvdo.

22 .5- Cocitos Básicos Para pricipiarmos osso studo rlativo a quaçõs difrciais, é imprscidívl dfiir algus cocitos prlimiars: Variávl Idpdt Dfição.- Caso uma variávl possa tomar sobr si qualqur valor, idpdtmt d outra variávl, la é dita idpdt. Por mplo, as variávis,,z,w,α,β,φ,γ,ρ,λ são idpdts. Variávl Dpdt Dfiição.- Quado uma variávl cssita d outra para tomar um valor sobr si, la é chamada dpdt. Dizmos também qu ssa variávl é uma fução das variávis das quais la dpd. São mplos d variávis dpdts as sguits fuçõs: (), z(,), β(φ,ψ,θ), h(m,), f(,), λ(ρ,ƒ). Equação Difrcial Dfiição.- Uma quação difrcial é, sscialmt, uma quação qu abrag as drivadas d uma ou mais variávis dpdts com rlação a uma ou mais variávis idpdts. São mplos d quaçõs difrciais. d dz d dz l ( z)

23 ( ) ρ β ψ β ρ ψ ψ arctg 5 d d d d φ φ φ sc θ α α θ l. Ordm Dfiição.- A drivada d maior ordm d uma quação difrcial dtrmia a ordm da quação difrcial. Assim, a quação ( ) h t t h Y t 5, é d. a ordm a quação ( ) α α β β γ γ α γ γ 5 l é d. a ordm a quação 8 5 d d d d é d. a ordm a quação ( ) 9 sc 5 z z arc z z. é d. a ordm

24 Grau Dfiição.5- Quado uma quação difrcial s aprsta a forma d um poliômio as difrts drivadas qu tram a sua composição, dirmos qu o grau da quação srá dfiido d acordo com o grau da drivada d maior ordm qu s aprsta a quação. Etão, a quação ( ) gk f k f g f l é do.º grau a quação z z é do.º grau a quação ( ) ( ) α α β α β 7 s 5 arctg d d d d é do.º grau a quação 7 ψ ψ φ ψ φ ψ tg d d d d h. é do.º grau Equação Difrcial Ordiária Dfiição.6- Uma quação difrcial qu abrag somt drivadas ordiárias d uma ou mais variávis dpdts m rlação à somt uma variávl idpdt é chamada quação difrcial ordiária. Uma quação difrcial ordiária d ordm é scrita a forma ξ[ρ,φ(ρ),φ`(ρ),φ``(ρ),...,φ (ρ)] (.)

25 od (φ) é uma fução d (ρ). A quação (.) rtrata a rlação tr a variávl autôoma (ρ) os valors da fução (φ) suas () primiras drivadas φ`,φ``,...,φ. É vatajoso starmos d acordo com a otação formal das quaçõs difrciais, rdigir (ψ) m vz d φ(ρ), com ρ ψ d d, ρ ψ d d,..., d d ρ ψ m vz d φ`(ρ),φ``(ρ),...,φ () (ρ). Assim a quação (.) pod sr rdigida a forma,...,,,, d d d d d d ρ ψ ρ ψ ρ ψ ψ ρ ξ. (.) As quaçõs ( ) ( ) d d s cos d d λ λ µ β µ ξ κ d d h d d ( ) cos s sc ψ θ θ ψ θ θ θ m ww d d d d são mplos d quaçõs difrciais ordiárias. Equação Difrcial Parcial Dfiição.7- Uma quação difrcial qu comprd drivadas parciais d uma ou mais variávis dpdts rfrt à o míimo duas variávis idpdts, é dita quação difrcial parcial. Etão as quaçõs s p r p

26 f f w w 6 6 t fw t G z h ψ dy d (, ) ψ(, ) d Z d α são mplos d quaçõs difrciais parciais. β Equaçõs Difrciais Liars Dfiição.8- Quado m uma quação a variávl dpdt (fução icógita) suas drivadas são todas do primiro grau ão aprstam produtos dstas a quação, la é chamada quação liar. Uma quação difrcial liar d ordm () quado possui apas uma variávl dpdt, pod sr aprstada a forma gral d d d ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) φ( )... (.) d d d od ψ ( ) ão é idticamt ulo, ( ) ψ é clusiva fução d(), () é a variávl idpdt. A prssão acima é a maira mais gral para uma quação difrcial liar ordiária d ordm () com apas uma variávl dpdt. Sdo assim, as quaçõs d d s d d ( ) cos d dk ρ d ρ dk tg( k) ψ φ φ

27 5 ξ γ d 7ξ γ dγ são mplos d quaçõs liars. Equaçõs Difrciais Não-Liars Dfiição.9- Caso uma quação difrcial for d tal aspcto qu os sus trmos aparcm Fuçõs trascdtais da variávl ou variávis dpdts ou d suas drivadas, como, por mplo, sc d d, ξ cot θ g, φ ( ( ρ) ) l ; Produto tr as variávis dpdts suas drivadas, tr as drivadas das variávis dpdts, ou tr as variávis dpdts, como por mplo, β, γ [ ( ) ] dφ, φ ( ), Z( ) d (, ) Z( ) Z,, ; Etão a quação difrcial é uma quação difrcial ão-liar. Solução Eplícita Dfiição.- Uma solução plícita d uma quação difrcial é uma fução β( φ) θ do cojuto das variávis idpdts, o qual, quado substituído a quação difrcial, a covrt m uma igualdad.como por mplo, a quação difrcial dθ θ dφ φ tm uma solução plícita dada por

28 6 β k ( φ) φ pois, s substituirmos β(φ) a quação, tmos (k é uma costat) d k k ( φ ) ( φ ) dφ φ φ φ k k qu é vidtmt uma igualdad. Solução Implícita Dfiição.- Uma solução implícita d uma quação difrcial é uma fução Y(w,z) do cojuto das variávis idpdts dpdts, o qual, por tr drivaçõs implícitas, rproduz a quação difrcial iicial. Y z ( w, z) w é uma solução implícita da quação difrcial dw w dz z pois, pgado a drivada implícita d (w,z) com rlação à (z), tmos z ( w, z) d( w ) dy dz dz dw z w dz d dz dw w dz z qu é a quação difrcial iicial. Esta solução implícita pod sr fragmtada m outras duas, (w ) (w ), qu st caso são plícitas, a sabr, w z ( z)

29 7 z ( z) w. Cotudo, ssa fragmtação gralmt ão é possívl, ficamos somt com a solução implícita.

30 8 CAPÍTULO II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM.- Itrodução Est capítulo tm por objtivo aprstar rapidamt os pricipais métodos para a rsolvr quaçõs difrciais ordiárias d primira ordm, tais como as quaçõs sparávis, homogêas, atas, a quação d Broulli a quação d Riccati. Não tho a mor itção d aprstar matrial suficit para o studo da toria das quaçõs difrciais. Para o litor itrssado m aprofudar-s sss assutos é fortmt corajado a buscar outras fots od ls são tratados com o rigor cssário. Por mplo, algus dos livros citados a bibliografia..- Forma Padrão Forma Difrcial A forma padrão d uma quação difrcial d primira ordm a fução icógita () é d d (, ) g (.) d sdo qu a drivada s aprsta somt o mmbro squrdo d (.). d Várias quaçõs difrciais d primira ordm podm sr prssas m forma d padrão rsolvdo-s algbricamt com rlação a d igualado g(,) ao mmbro dirito d (.).O mmbro dirito da quação rsultat pod smpr s

31 9 rprstar como o quocit d duas outras fuçõs A(,) B(,). (.) covrt-s tão m d d (, ) (, ) A, qu quival a forma difrcial B (, ) d B(, ) d A. (.).- Equaçõs Difrciais d Primira Ordm Sparávis Dfiição.- Cosidr uma quação difrcial a forma (.). Caso A (, ) ψ( ) (fução apas d ) B( ) φ( ), (fução apas d ), a quação difrcial é sparávl ou d variávis sparávis. Uma quação difrcial d primira ordm pod sr rsolvida por itgração, quado for possívl agrupar todos os trmos m () com (d) todos os trmos m () com (d). Ou sja, s for possívl rprstar a quação sob a forma ( ) d φ( ) d ψ (.) pois tão a solução gral srá dada por ( ) d φ( ) d ψ c (.) od (c) é uma costat arbitrária. Algumas vzs ão é possívl calcular as itgrais obtidas a Equação (.). Em tais situaçõs, mprgam-s técicas uméricas para cosguir soluçõs aproimadas. E msmo qu sja possívl ralizar as itgraçõs idicadas m (.), ás vzs ão é possívl rsolvr algbricamt m rlação a () m trmos d (). Nsts casos, dia-s a solução a forma implícita.

32 Emplo.- Rsolvdo a quação dξ ( ρ ) ρ( ξ ) dρ. Rscrvamos a quação a sua forma difrcial, dsuido as variávis tão itgrado: ( ρ d ) ξ ρ( ξ ) dρ ρ dξ dρ ξ ρ ρ d ξ dρ ξ ρ ρ ξ ρ dξ dρ ξ ρ dξ dρ ( ) ρ ρ c arctg ξ l. c c Soluçõs do Problma d Codição Iicial Para dtrmiar a solução satisfazdo a codição iicial ψ ( ) d φ( ) d, sdo ( ) (.5) primiramt rsolvmos a itgral da quação difrcial aplicamos m sguida a codição iicial dirtamt para calcular (c). Opcioalmt, a solução da Equação (.5) pod sr cosguida d ( ) d φ( ) d ψ. (.6)

33 Todavia, a Equação (.6), pod ão dcidir d modo úico a solução d (.5); ou sja, (.6) pod dispor d muitas soluçõs, das quais somt uma satisfaz o problma d valor iicial. Emplo.- Dada a quação β ( ) dβ ( θ) dθ, od ( ) θ. Para obtrmos a solução itgramos ambos os mmbros da igualdad. β ( ) dβ ( θ) dθ β θ c c β θ k, sdo k c. Emprgado a codição iicial, cosguimos ( ) k, k. Etão, a solução do problma d valor iicial é β β θ ou θ. Prcba qu ão podmos optar pla raiz quadrada gativa, por trasgrdir a codição iicial. Para assgurar qu (θ) prmaça ral, dvmos limitar (β) d modo qu β. E para assgurar a istêcia d d θ, dvmos limitar (β) d forma qu dβ β. Cojutamt, stas codiçõs prssupõ β > ou > l( / ) β..- Equaçõs Difrciais d Primira Ordm Homogêas Dfiição.- Uma fução (ξ) é dita homogêa d grau () s ocorrr qu ( t, t) t ξ(, ) ξ (.7)

34 isto é, quado m ξ(,) substituímos () por (t) () por (t) postriormt fatoramos o (t), a prssão rsultat fica a forma (.7). Por mplo, dada a fução ξ ξ ξ ξ λψ ( λ, ψ) ( tλ, tψ) ( t λ, tψ), tmos ψ λ ( tλ) ( tψ) ( tψ) ( tλ) t t λψ ( ψ λ ) λψ ( t λ, tψ) t ψ λ ( t λ, tψ) t ξ( λψ) ξ, portato ξ(λ,ψ) é homogêa d grau. Aqui os itrssam somt fuçõs d duas variávis, porém a dfiição é valida para qualqur úmro d variávis. Por mplo, s tivrmos ξ(φ,φ,...,φ m), a fução srá homogêa d ordm () s ocorrr. ( tφ tφ,..., tφ ) t ξ( tφ, tφ tφ ), m m. (.8) ξ,..., Uma quação difrcial d primira ordm, quado scrita a forma ( ) d B(, ) d o A, é homogêa s, quado scrita a forma d d (, ) g (.9) istir uma fução (h) tal qu possa sr colocada a forma g (, ) h (.) a quação difrcial fica

35 d d h. (.) D forma quivalt, a quação difrcial é homogêa quado usufrui a propridad d qu g ( t, t) t g(, ), isto é, s as fuçõs A(,) B(,) form homogêas d msmo grau. Assim podmos trasformar ossa quação difrcial homogêa m uma quação difrcial sparávl por mio da substituição v (.) jutamt com a drivada corrspodt d d dv v. (.) d Dpois da simplificação, a quação rsultat as variávis () () é solucioada como uma quação difrcial sparávl; a solução da Equação (.9) é cosguida por mio d uma outra substituição m (v) od v. Opcioalmt, a solução d (.9) pod sr cosguida scrvdo-s a quação difrcial como d d (.) g (, ) mdiat a substituição u (.5) jutamt com a drivada corrspodt d d du u (.6) d a Equação (.). A quação rsultat as variávis () (u) é rsolvida como uma quação difrcial sparávl, sdo qu a solução procurada da Equação (.) é cosguida por mio d uma outra substituição m (u) od

36 u. Na maioria dos casos, é idifrt qual o método a sr utilizado a rsolução (vja os Emplos..). Há situaçõs, cotudo, m qu uma das substituiçõs (.) ou (.5) é trmiatmt suprior à outra. Em tais situaçõs, a própria forma da quação difrcial idica a mlhor substituição (vja o Emplo.5). Emplo.- Rsolva a quação difrcial a sguir usado a substituição v. d d. d d Esta quação difrcial tm a forma ξ(, ) ξ (, ) od ( t) ( t) ( t) ( t) ( ) t ( ) ( ) t t ξ ( t, t) ( t, t) t ξ(, ) ξ d modo qu é homogêa d grau (). Lvado m cota a substituição v a quação difrcial origial, obtmos v dv d ( v) ( v) qu pod simplificar-s algbricamt como dv d v v v dv d v v ou d dv. v v

37 5 Vja qu sta última quação difrcial é sparávl; od sua solução é c dv v v d Itgrado, obtmos ( ) c v l l como v isolado (v), tmos v v substituido a quação cotrada, obtmos c l l c l l c l l c l c ( ) 8 c fazdo ( ) c c, obtmos 8 c ± c c ou c.

38 6 Emplo.- Rsolva a quação difrcial do mplo atrior utilizado a substituição u d d. Primiramt, scrvmos a quação difrcial como d. d A sguir, lvado m cota a substituição u, obtmos u du d ( u) ( u) qu pod simplificar-s algbricamt para du d u u u 5 du u u u ou d du u 5 d u u. Vja qu sta ultima quação difrcial é sparávl; sua solução é d d u u du c ( u ) u du c u u d u Itgrado, obtmos u u du du c. ( u ) l lu l c

39 7 sdo u isolado (u),ficamos com u u substituido a solução cotrada, obtmos l l l c l l c l c c 8 ( ) c c ( ) 8 fazdo ( ) c c, obtmos 8 c ± c ou c. c Emplo.5- Rsolva a quação difrcial d ( / ) ( / ). d ( / ) Esta quação difrcial ão é sparávl, porém é homogêa. Em vista da prsça do trmo (/) a pocial, ttamos a substituição v /, qu é

40 8 quivalt tmos v. Escrvdo a quação difrcial pla substituição v, v dv d v v v v v dv d v v v v v v v dv v d v v d v v dv. Od a solução dsta ultima quação difrcial é dada por v d dv v l l v v ( ) c c sdo v isolado (v), tmos v v, logo l l / ( ) c / c fazdo co c, obtmos c c / c c / l c

41 9 l c sja ( c ) c, tmos [ ( c )] ± l ou da forma / ± l og ( c ) sdo assim, podmos tr a rsposta como l ( c ) ou l ( c )..5- Equaçõs Difrciais d Primira Ordm Eatas Dfiição.- Sja (ψ) uma fução d duas variávis rais, d modo qu (ψ) ψ é cotha as drivadas parciais cotíuas. A drivada total d(ψ) da fução (, ) dfiida por (, ) ψ(, ) d d ψ dψ (, ). (.7) Como por mplo, cosidr a fução tmos ψ (, ) ψ, portato, (, ) 9 6 ψ (, ) 6 (, ) ( 9 6 ) d ( 6 )d dψ. Dfiição.- Uma quação difrcial (, ) d N(, ) d M (.8)

42 é chamada uma quação difrcial ata s ist uma fução ψ(,) d modo qu s vrifiqu ψ (, ) M (, ) ψ (, ) N (, ). (.9) Torma.- Sjam as fuçõs M, N, ( ) ψ, ( ) ψ, cotíuas a rgião rtagular IR: α < < β, λ < < δ. Etão tmos qu a quação difrcial M (, ) d N(, ) d for vrificado qu (, ) N( ) M,, é uma quação difrcial ata m IR s somt s, m cada poto d IR. Ou sja, ist uma fução (ψ) satisfazdo as Equaçõs, ψ (, ) M (, ) ψ (, ) N (, ). Dmostração. A prova do Torma (.) os coduz ao método d rsolução d uma quação difrcial ata. Aalismos a primira part. Cosidrmos qu a M, d N d é ata qu, portato, ist uma quação difrcial ( ) (, ) fução ψ(,) d modo qu. ψ (, ) M (, ) ψ (, ) N (, ). Logo, (, ) M( ) ψ, (, ) N( ) ψ,.

43 Como ( ) M, ( ) N, são cotíuas sgu qu ( ) ψ, ( ) ψ, também são cotíuas. Isto garat sua igualdad (, ) N( ) M,. Na outra part da prova, pricipiamos com a hipóts (, ) N( ) M, qu qurmos provar qu ist uma fução ψ(,) tal qu ψ (, ) M (, ) ψ (, ) N (, ) M, d N d sja ata. Vamos d modo qu a quação difrcial ( ) (, ) assumir qu a prssão ψ (, ) M (, ) sja vrdadira. Etão, podmos fazr, ( ) M( θ ) θ φ( ) ψ, (.) od a itgral é ralizada somt m (θ), sdo() cosidrado como uma costat. O trmo φ() aparc pois dvmos tr a solução mais gral possívl para ψ(,) para isso, fazmos ψ (, ) (, ) ( ) dφ M(, ) M θ θ d M (, ) A drivada da itgral é a própria fução, quato a drivada m rlação à () d uma fução somt d () é ula, o qu complta a prova. Agora, difrciamos a Equação (.) com rlação à (), isto é,.

44 ψ (, ) ( θ ) M, d θ φ( ) d S qurmos provar qu a difrcial é ata, dvmos tr também ψ (, ) N tão cosguimos N (, ) (, ) M(, ) ( ) dφ d N d θ θ φ( ) d (, ) M( θ, ) θ, rsolvdo sta prssão para φ(), tmos φ ( ) N(, ρ) M ρ ( θ, ρ). θ ρ qu, combia com a Equação (.), forc, fialmt, ψ ( ) M( θ, ) θ N(, ρ) ( θ, ρ) M, θ ρ (.) ρ sta fução sta sujita as codiçõs também (, ) N( ) M, ψ (, ) M (, ) ψ (, ) N (, ), por cosguit, a quação difrcial (, ) d N(, ) d M é ata. S, ao ivés d iiciarmos a dmostração lvado m cota a quação ψ (, ) M (, ) usássmos a outra quação,

45 ψ (, ) N (, ) o rsultado a sr obtido sria ψ ( ) N(, ρ) ρ M( θ, ) ( θ, ρ) N, ρ θ. (.) θ ( ) C A solução da quação difrcial ata é a fução ψ,, od ψ(,) é dada por uma das prssõs (.) ou (.), (C) é uma costat umérica qu pod sr dtrmiada s houvr alguma codição adicioal. Vjamos um mplo complto, lvado m cota a quação difrcial abaio: ( ) d ( ) d Dsta quação, tmos M (, ) N(, ).. Portato, dvmos vrificar s la é uma quação difrcial ata, para tato, calculmos M, ( ) ( ) N,. Vmos qu são iguais, tão, a quação é ata. Sdo assim, tmos ψ (, ) M (, ) Utilizado a primira, obtmos ψ ψ (, ) φ( ) M(, ) (, ) φ( ) ( ) (, ) ( ) ψ φ ψ (, ) N (, ). drivado ambos os trmos da igualdad apas m (Y), sdo (X) cosidrado como uma costat, obtmos

46 ( ) dφ( ) ψ, d mas a sguda os diz qu ψ (, ) N por substituição tmos ( ) d φ d ( ) dφ d. (, ) A quação acima dá, dirtamt, ( ) ( )d dφ φ ( ) ( ) dφ d ( ) c, portato tmos ψ (, ) c ( ) c mas a solução da quação difrcial é da forma ψ, ψ (, ) c c ou, fialmt, icorporado (C ) a (C), tmos, tão, c qu é a solução gral da quação difrcial ata iicial.

47 5.6- Fators Itgrats Gralmt, a Equação (.8) ão é ata. Casualmt, é possívl covrtr Equação (.8) m uma quação difrcial ata por itrmédio d uma multiplicação adquada. Uma fução I(,) é um fator itgrat da Equação (.8) s a quação (, ) [ M(, ) d N(, ) d] I (.) é ata. Obtém-s uma solução da Equação (.) rsolvdo-s a quação difrcial ata dfiida por (.). Na tabla (.) são aprstados algus fators itgrats mais comus plas codiçõs qu sgum: S M (, ) (, ) N( ) M, g( ) é fução somt d (), tão ( ) I, g d (.) ( ) S N (, ) (, ) N( ) M, h( ) é fução somt d (), tão h( ) d I, (.5) ( ) S M (, ). g( ) N ( ). f( ) I (, ),, tão. (.6) M. (, ). N(, )

48 6 TABELA. Grupo d trmos Fator itgrat I(,) Difrcial ata df(,) dd dd d dd d d d arctg dd dd d l dd d d d ( ) ( ) dd d d d l dd d d d ( ) ( ) dd dd d arcs dd d d d ( l) dd, > d d d ( ) ( ) ( )( ) d d d d d l ( ) dd ( ), > d d d ( ) ( )( ) d d d d d [ l( )]

49 7 Gralmt, é difícil dscobrir os fators itgrats. S uma Equação difrcial ão tm uma das formas dada acima, é possívl qu a ivstigação d um fator itgrat ão dê rsultado; acoslham-s tão outros métodos d rsolução. Vjamos agora algus mplos d covrsão d quaçõs difrciais m quaçõs difrciais atas, com a utilização d fators itgrats. Emplo.6- Covrta a quação difrcial a sguir m ata dh th. dt t Escrvdo a quação a forma difrcial, tmos ( th) dt ( t) dh h. Aqui M( t, h) h( th) N ( t h) t,. Como M h ( t, h) th N t ( t, h) ão são iguais, tão a quação difrcial dada ão é ata. Porém, aplicado a Equação (.6), obtmos o fator itgrat I ( t, h) th th ( t, h) ( th) I. ( th) ht ( th) ( ) Multiplicado a quação difrcial m sua forma difrcial por I(t,h), obtmos th dt t h th dh agora tmos qu ( ( th) M(, ) ) th t h( th) h h t h t h t ( th)

50 8 ( ( th) N(, ) ) t ( th) portato a quação difrcial obtida por mio da multiplicação do fator itgrat ( t, h) ( th) I é ata. Emplo.7- Dada a quação difrcial d d scrvdo sta quação a forma difrcial, tmos ( ) d d. Com M(, ) N (, ). Como M (, ) N (, ) São difrts, portato a quação difrcial ão é ata. Porém N (, ) M (, ) N(, ) ( ) ( ) logo ( ) h é fução apas d (). Utilizado a Equação (.9), tmos I(, ) d como fator itgrat. Multiplicado a quação difrcial m sua forma difrcial por ( ), obtmos ( ) d d agora tmos qu ( M(, ) ) ( ) ( (, N ) ) ( ) portato a quação obtida por mio da multiplicação do fator itgrat I(, ) é ata.

51 9 Emplo.8- Dada a quação difrcial ( γ ) δ ( δγ) dγ d. M N ( δ, γ) ( δγ) Aqui, ( δ, γ) ( γ ). Como M γ ( δ, γ) γ ( δ γ) N, δ γ são difrts, portato a quação difrcial ão é ata. Mas M, ( δ γ) M γ ( δ, γ) N( δ, γ) δ γ γ γ γ logo g ( γ) γ é fução apas d (γ). Utilizado a Equação (.8), tmos como fator itgrat I ( δ, γ) ( / γ) dγ γ l γ I,. γ tão ( δ γ) Multiplicado a quação difrcial dada por I ( δ, γ) γ Como ( γ γ ) d δ ( γ δγ) dγ ( γ) δ ( δ) dγ d., obtmos a quação ( γ M( δ, γ) ) dγ γ dγ ( γ N( δ, γ) ) dδ δ dδ. Etão a quação ( ) ( ) d itgrat ( δ, γ) γ γ d δ δ γ obtida por mio da multiplicação do fator I é ata..7- Equaçõs Difrciais d Primira Ordm Liars Compltas Muitas quaçõs difrciais ão são sparávis. Por mplo, é impossívl sparar as variávis a quação dh dt t 7ht t.

52 5 Cotudo, sta quação pd sr rsolvida por um método difrt qu cosidrarmos agora. Dfiição.5- Uma quação difrcial d primira ordm é chamada liar complta s for possívl scrvr a forma d d ( ) Q( ) P (.7) od as fuçõs Q() P() são cotiuas podm ou ão sr costats. Algus mplos são d d, ( ) P ( ) Q d d d d ( cos ), P( ) cos Q( ) 5 arctg( ), P ( ) 5 Q( ) arctg( ) Um procdimto para rsolvr a Equação (.7) sta basado a utilização d um fator itgrat. Dfiição.6- Um fator itgrat µ(,) é uma fução qu, ao sr multiplicada pla quação difrcial M (, ) d N(, ) d a covrt uma quação difrcial ata, isto é, a quação µ (, ) M(, ) d µ (, ) N(, ) d qu é por dfiição ata.s utilizarmos fators itgrats, a Equação (.7) pod sr rsolvida através do sguit torma:

53 5 Torma.- Sjam P() Q() fuçõs cotíuas um itrvalo abrto δ < < λ cotdo o poto quação difrcial d d para δ < λ ( ) Q( ), tão ist uma úica fução f( ) qu satisfaz a P (.8) <, qu corrspod o valor iicial ( ) sdo qu é um valor qualqur prfiado. A Equação (.8) tm um fator itgrat a forma P( φ) dφ µ, (.9) ( ) sua solução é dada por ( ) ψ P ( φ) dφ P( φ) φ d Q ( ψ) dψ c. Dmostração. Cosidr a Equação (.8) a forma difrcial [ ( ) Q( ) ] d d P. Agora, multiplica-s a quação por um fator itgrat µ ( ) qu a covrta uma quação ata, isto é, [ ( ) P( ) µ ( ) Q( ) ] d µ ( ) d µ. (.) Por dfiição, a Equação (.) é ata, tão, d d [ µ ( ) P( ) µ ( ) Q( ) ] [ µ ( ) ] d d d d [ µ ( ) P( ) ] [ µ ( ) Q( ) ] [ µ ( ) ] simplificado tmos dµ µ P( ) d

54 5 qu pod sr colocada a forma d µ µ P( )d itgrado ambos os lados da igualdad, obtmos l µ ( ) ( ) P d P( φ) dφ µ. Vamos multiplicar a Equação (.8) plo fator itgrat, ou sja, P ( φ) dφ d P d ( ) P ( φ) dφ Q ( ) P( φ) dφ o lado squrdo pod sr rscrito, pois d d d d P P d d d d ( φ) dφ P( φ) dφ P( φ) dφ ( φ) dφ P( φ) dφ d P d ( ) P dsta forma, a quação difrcial fica d d d P P ( φ) dφ ( φ) dφ Q Q ( ) ( ) P P ( φ) dφ ( φ) dφ d ( φ) dφ para obtr a solução, itgra-s a quação obtida d P ( φ) dφ Q ( ) P ( φ) dφ d

55 5 P ( φ) dφ Q ( ψ) ψ P ( φ) dφ dψ c P ( φ) dφ P( φ) dφ P( φ) dφ fialmt tmos ( ) P φ dφ Q ( ψ) ψ P ( φ) dφ Q ( ψ) ψ P dψ c. ( φ) dφ dψ c.8- Equaçõs Difrciais d Primira Ordm Liars Icompltas Dfiição.7- S, m particular, ( ) assumido a forma d d ( ) P. Q, a quação s diz liar icomplta, Esta quação s itgra sm dificuldad por sparação das variávis, basta diá-la a forma difrcial d P d itgrado, tmos ( ) ( ) d P d c d ou l P( ) c isolado (), cosguimos c P ( ) d fazdo c c, obtmos fialmt

56 5 P( ) d c. Vjamos agora um mplo d aplicação. Emplo.9- Rsolva a quação difrcial liar d d ou aida como d d d. d qu é do tipo P( ) Q( ) Nsta quação, P( ) ( ) Q µ µ µ ( ) ( ) P ( ) d d l ( ) ( ) µ. Multiplicado o fator itgrat pla quação difrcial, tmos Como obtmos d. d ( ) d d d ( ) d d d

57 55 ( ) d d c c ( ) qu é a solução do Emplo (.9). Vjamos um outro mplo. Emplo.- Cosidr a quação difrcial dψ ψ δ dδ δ qu é do tipo dψ P dδ ( δ) ψ Q( δ) é uma quação difrcial liar m (ψ), poddo sr rsolvida por mio da utilização da Equação (.7), com a substituição d () por (ψ) () por (δ). O fator itgrat é µ µ µ ( δ) ( δ) P ( δ) dδ dδ δ δ ( δ) l ( δ) δ µ. Usado o fator itgrat ( δ) δ µ, tmos dψ dδ 5 δ ψδ δ scrvdo sta quação difrcial a forma

58 56 5 ( ψ ) d ψ ( ψδ δ ) dδ cosguimos uma quação difrcial ata, od M ( ψ, δ) dψ N( ψ, δ) dδ 5 od M ( ψ, δ) δ N ( ψ, δ) ψδ δ assim tmos ( ψ, δ) ξ ψ ( ψ, δ) δ M ( ψ, δ) ξ δ 5 ( ψ, δ) ψδ δ N. Utilizado a primira, obtmos ( ψ, δ) φ( δ) M ( ψ δ) ξ, ψ ξ ( ψ, δ) φ( δ) ( ψ ) ψ ( ψ, δ) ψδ φ( δ) ξ drivado m rlação a (δ), vm ( ψ, δ) dφ( δ) ξ δ ψδ dδ mas a sguda os diz qu ( ψ, δ) 5 ξ δ ψδ δ substituido, sgu-s dφ d δ ( δ) 5 ψδ ψδ δ dφ dδ φ ( δ) 5 ( δ ) δ dφ δ 5 dδ 6 ( δ) δ c

59 57 od ( c ) é uma costat umérica qualqur qu pod sr dtrmiada s houvr uma codição iicial. Sdo assim, tmos 6 ( ψ, δ) ψδ δ c ξ. A solução da quação difrcial ata é a fução ( ) ψ c c δ ( δ) δ ou, fialmt, substituido ( c c ) por ( ) ψ c. δ ( δ) δ c, tmos ξ ψ, δ c, sdo assim obtmos.9- Equação d Broulli A quação d Broulli é, d crta maira, um prologamto da quação liar s rduz, por itrmédio d substituição adquada. Dfiição.8- Uma quação difrcial da forma gral d d P ( ) Q( ) é domiada como quação difrcial d Broulli d grau (), od () é um úmro ral. Caso a quação d Broulli tivrmos ou, tão a quação é liar pod sr solucioada mdiat algum dos métodos já vistos. Em outras situaçõs, a quação difrcial ão é liar la pod sr solucioada utilizado o sguit torma:

60 58 Torma.- A quação difrcial d Broulli ão-liar d d ( ) Q( ) P (.) sdo, pod sr modificada uma quação difrcial liar mdiat a mudaça d variávis v qu rsulta quação difrcial m (u). Dmostração. Primiro, multiplicamos a Equação (.) por ( ), isto é, d P d ( ) Q( ) (.) s v, tão, dv d ( ) ( ) d d assim a Equação (.) fica dv d ( ) vp( ) Q( ) ou,d outra forma dv d chamado tmos d d ( ). vp( ) ( ) Q( ) ( ) ( ) P( ) Q ( ) ( ) Q( ) P dv d P ( ) v Q( ) qu é liar m (v). Caso a quação difrcial s aprst da forma

61 59 ( ) df d dv d f ( ) P( ) Q( ) od f() é alguma fução d (), pod sr covrtida uma quação difrcial liar através da mudaça d variávis f( ) dv d ( ) df d d d a quação fica da forma dv d P ( ) v Q( ) qu é uma quação difrcial liar. Eamimos um mplo. v, pois Emplo.- Sja a quação difrcial d d. Aqui, tão, dvmos multiplicar a quação por, ou sja, d. d Como v ( ), tmos dv d d d d d fazdo a substituição, ficamos com ou tão, dv d v dv d v

62 6 qu sta a forma das quaçõs difrciais liars, com P( ) Q ( ) fator itgrat é µ µ µ ( ) ( ) P l ( ) µ ( ). ( ) d d Multiplicado a quação difrcial plo fator itgrat, tmos como obtmos Sdo dv v d ( v) d d ( v) d d dv v d ( v ) ( ) d d v c. v, tmos c c ( ) qu é a solução procurada. v, cosguimos fialmt. O

63 6.- Equação d Riccati A quação d Riccati, como a quação d Broulli, rprsta uma gralização da quação liar. Dfiição.9- Uma quação difrcial da forma gral d d P ( ) Q( ) R( ) (.) é chamada quação difrcial d Riccati, od P(), Q() R() são fuçõs d somt d (), s aprsta como uma fução quadrática d (). d Caso a quação d Riccati tivrmos ( ) P, a quação é uma quação d Broulli. A quação d Riccati pod sr solucioada utilizado o sguit torma: Torma.- A quação d Riccati (.) s rduz a uma dtrmiada quação liar icomplta d. a ordm, mdiat duas trasformaçõs, prcisamt, fazdo sucssivamt z P( ) (.) dψ z (.5) ψ d od (ψ) é fução somt d (). Com fito, drivado a Equação (.), ficamos com dz d P ( ) d d dp( ) d

64 6 como z P( ) tão z P( ), sdo assim dz d P ( ) d dp d d ( ) z P( ) d substituido tirado da Equação (.), tmos d dz d Sdo P( ) [ P( ) ] P( ) Q( ) P( ) R( ) z tão z [ P( ) ] dz d z Q ( ) z P( ) R( ) dp d fatorado ordado m (z), obtmos dz d z Q Daqui, traspodo ( ) ( ) dp d P ( ), logo ( ) z P( ) z P dp d ( ) R( ) ( ) z P( ) z ao lado squrdo da igualdad, ficamos com.. dz z d Q ( ) ( ) dp d P ( ) z P ( ) R( ) (.6) d acordo com a Equação (.5), sab-s qu dψ z ψ d drivado, obtmos dz d d ψ dψ ψ d d ψ dz d dψ d ψ d ψ d ψ da Equação (.5), tm-s z da forma

65 6 dψ z. d ψ Agora substituido as prssõs z, ( ) d ψ dp dψ Q( ) P d ψ d P( ) d ψ dz z, a Equação (.6), ficamos com d ( ) R( ) ou, multiplicado tudo por ( ψ) traspodo tudo ao lado squrdo da igualdad, chgamos fialmt a quação d ψ Q d ( ) ( ) dp d P ( ) dψ P d ( ) R( ) ψ qu é uma quação liar homogêa ou icomplta d. a ordm m (ψ).

66 6 CAPÍTULO III EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR.- Itrodução Prtd-s st capítulo rlatar sucitamt, algus métodos para a rsolução d quaçõs difrciais ordiárias liars d ordm suprior, tr os quais s dstacam os métodos dos coficits a dtrmiar o da variação dos parâmtros. Para o litor itrssado m maiors dtalhs sobr os métodos d rsolução, rcomdo a litura d algus dos livros mcioados a bibliografia..- Toria das Soluçõs d Equaçõs Difrciais Liars Aida qu apart uma quação d pouca complidad, ão há um modo gral d rsolução da quação difrcial d d d ψ ( ) ψ ( )... ψ( ) ψ ( ). (.) d d d Eistm apas situaçõs pculiars, dsvolvidas para srm usadas m situaçõs spcíficas. Uma dssas situaçõs ocorr quado os coficits ψ ( ) sdo ( j,,,...,) a Equação (.), são a vrdad costats uméricas ão fuçõs d (). Nsta situação, ist um método spcífico a sr utilizado a rsolução d quaçõs difrciais com coficits costats, trtato, ats d aprstarmos st método, é cssário dfiir algus cocitos qu srão cssários dpois, m particular os cocitos d dpdêcia idpdêcia liar. j

67 65..- Equaçõs Difrciais Liars Dfiição.- Uma quação difrcial liar d ordm () quado possui somt uma variávl dpdt tm a forma gral d d d ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) φ( )... (.) d d d od φ ( ) os coficits ψ ( ) od ( j,,,...,) variávl ().Caso thamos ( ) φ j dpdm somt da, tão a Equação (.) é homogêa, caso cotrário a quação é dita ão-homogêa. Uma quação difrcial é chamada quação difrcial d coficits costats s todos os coficits ( ) ψ m (.) são costats, caso aparça m (.) plo mos um coficit qu ão sja costat, tão a Equação (.) é dita quação difrcial d coficits variávis. j Torma.- Cosidr o problma do valor iicial forcido pla Equação (.) as () codiçõs iiciais ( ) c, ( ) d d, c ( ) d o c,..., d d d ( ) o c (.) S φ ( ) ψ ( ) são cotíuas m um itrvalo (δ) cotdo ( ) s ( ) j ψ m (δ), tão o problma do valor iicial dado por (.) (.) tm uma úica solução dfiida m todo o itrvalo (δ). Satisfitas as codiçõs sobr ( ) (.), podmos dfiir o oprador difrcial L() como sdo L d d ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ( ) ψ o Torma d d... ψ (.) d d

68 66 od ψ ( ) ( i,,,...,) i é cotíua o itrvalo d itrss. Sdo assim (.) pod sr prssa da forma ( ) ( ) L φ (.5) φ, caso ( ) ( ), a Equação (.5) é homogêa poddo sr prssa como L. (.6) Obsrvação. No cotto das quaçõs difrciais a palavra homogêa tm um sigificado itiramt difrt quado rlacioamos ao cotto das quaçõs difrciais d primira ordm, od uma quação é homogêa caso ocorra d aparcr uma fução qu satisfaça f ( tt) f(, ),...- Soluçõs Liarmt Dpdts Dfiição.- Um cojuto d fuçõs { ( ) ( ),..., ( ) }, é liarmt dpdt (LD) m p q s istm costats k, k,..., k ão simultaamt ulas d modo qu k ( ) k ( )... k ( ). (.7) Emplo.- O cojuto {,, cos}, é liarmt dpdt, porqu istm costats k, k, k k, ão simultaamt ulas, tais qu (.8) é vrificada. Em particular....cos. Vja qu k k... k é um cojuto qu smpr satisfaz (.7). Um cojuto d fuçõs é dito liarmt dpdt (LD) caso ista um cojuto d

69 67 costats, od plo mos um dos ( k j ) for difrt d zro, d modo qu também satisfaça a Equação (.7)...- Soluçõs Liarmt Idpdts Dfiição.- um cojuto d fuçõs m p q { ( ) ( ),..., ( ) }, é liarmt idpdt (LI), caso a úica solução da Equação (.8) é k k... k k, d tal forma, qu para s tr ( ) k ( )... k ( ) é cssário qu thamos k k... k. (.8) 5 Emplo.- O cojuto {,tg} k 5 ktg é prciso qu k k. é liarmt idpdt (LI), pois, para qu..- Equaçõs Difrciais Homogêas Caso thamos φ ( ) o oprador difrcial L( ) φ( ) dito homogêo sua solução é obtida através do sguit torma:, st oprador é Torma.- A quação difrcial liar homogêa d ordm () L ( ) smpr tm () soluçõs liarmt idpdts. S ( ) ( ),..., ( ) rprstam ssas soluçõs, logo a solução gral d ( ) ( ) k( ) k ( )... k ( ) L é (.9),

70 68 d forma qu k,...,, k k são costats quaisqur...5- Propridads das Equaçõs Liars Propridad.- Opradors d d d d d d D ( ), D ( ),..., D ( ) L ψ D D... ψ ψ L d d d d ( ) ( ψ D... ψ D ψ ) ψ... ψ ψ d d ψ... ψ ψ L( ). d d Propridad.- Liaridad (... ) L( ) L( )... L( ) com i ( i,,..., ) L ( k) kl( ) L sdo (k) uma costat qualqur. Propridad.- Soluçõs d Equaçõs Difrciais Homogêas S, são soluçõs d L ( ),...,, tão c c... c é solução d ( ), ( c, c,..., c ) L. S, são soluçõs (LI) d ( ),..., L, qualqur outra solução ( ) é da forma c c c....

71 69 Propridad.- Soluçõs d Equaçõs Difrciais Não-Homogêas Para L( ) φ( ) istm procssos algébricos bm simpls, plo mos para algus casos d φ ( ), para cotrar uma solução particular p ρ( ) ( ) ( ) L φ : ( ) D ψ ρ... ψd ρ ψ ρ φ. da quação Supohamos qu s cohçam, (LI) da quação homogêa ( ),..., L. Etão a família d fuçõs c... c c p, ( c, c,..., c ) dá todas as soluçõs da quação L( ) φ( ) ( ) L( c c... c ) L, pois ( ) cl( ) cl( )... cl( ) L( ) L ( )... L( ) ( ) L p φ L ( ) φ ( ) φ( ). p p..6- Equaçõs Difrciais Não-Homogêas Sja ( ) p uma solução particular da Equação (.5) sja ( ) ( daqui por diat chamada solução homogêa ou complmtar ) a solução gral da quação ão-homogêa associada a quação L ( ) torma., é obtida através do sguit h Torma.- A solução gral d L( ) φ( ) é obtida por h p. (.)

72 7..7- O Wroskiao Dfiição.- O Wroskiao d um cojuto d fuçõs { h( ) h ( ),..., h ( ) }, o itrvalo p q, usufruido da propridad qu cada fução possui (-) drivadas ss itrvalo, é o dtrmiat W ( h( ), h ( ) h ( ) ),..., h dh d d h d M d h d ( ) h( ) L h( ) ( dh dh ( ) ( ) d h ( ) d d d h d M L L O L d d h d M d h d. Torma.- S o Wroskiao d um cojuto () fuçõs dfiidas o itrvalo p q é difrt d zro m ao mos um poto dss itrvalo, tão o cojuto d fuçõs é liarmt idpdt (LI). S o Wroskiao é idticamt ulo ss itrvalo s cada uma das fuçõs é solução da msma quação difrcial liar, tão o cojuto d fuçõs é liarmt dpdt (LD). Caso o Wroskiao é idticamt ulo as fuçõs ão são soluçõs da msma quação difrcial, é cssário tstar dirtamt s a Equação (.7) é satisfita. Emplo.- Calculmos o Wroskiao das sguits fuçõs, ( ) f, ( ), f( ) 5 f 7 até sguda ordm, isto é,. Tmos três fuçõs, tão prcisamos achar suas drivadas ( ) f df ( ) d f ( ) d d

73 7 ( ) f 7 ( ) f 5 df ( ) d f ( ) 7 d d df ( ) d f ( ) 5 d d. Agora, substituímos o dtrmiat f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( ), f ( ) f ( ) ) W, df d d f d ( ) df ( ) df ( ) d ( ) d f ( ) d f ( ) d d d (,7, 5) 7 5 W 7 5 W (,7, 5) as fuçõs são liarmt dpdts (LD). Emplo.- Vamos agora calcular o Wroskiao das sguits fuçõs, g ( ), g ( ) s( ) até a primira ordm.. Tmos duas fuçõs prcisamos achar suas drivadas g g ( ) ( ) s ( ) dg d dg d ( ) cos o Wroskiao é W ( g ( ) g ( ) ), g dg d ( ) g ( ) ( ) dg ( ) d

74 7 W ( s), s cos (,s) cos s W (,s) ( cos s) W como o Wroskiao é difrt d zro, tmos qu as fuçõs são liarmt idpdts (LI)..- Equaçõs Difrciais Homogêas d Ordm Suprior com Coficits Costats As quaçõs difrciais homogêas com coficits costats podm sr prssas da forma d d d ψ ( ) ψ ( )... ψ( ) ψ ( ) (.) d d d com coficits costats ψ ( j,, ) uma outra, mdiat a substituição m ( ). Lmbrado qu j,...,. Esta quação pod sr covrtida d m d m, m m d d, d m m,..., d d d m m tmos a Equação (.) como ψ m m m m m ( ) m ψ ( ) m ψ ( ) m ψ ( )... ( ψ ( ) m ψ ( ) m ψ ( ) m ψ ( ) ) m como, obtmos... ( ) m ψ ( ) m ψ ( ) m ψ ( ) ψ... (.)

75 7 sdo ( ) ψ coficits costats, substituímos j ( ) c ψ ( ) c,..., ψ ( ) c ψ( ) c ψ,, tão a Equação (.) fica c m c m... cm c. (.) A Equação (.) é um poliômio d grau () m (m), chamado d quação m caractrística da quação (.). S ( ) é solução d (.), tão (m) dv sr solução d (.), isto é, (m) é uma raiz do poliômio. Como tmos () raízs um poliômio d grau (), tão tmos também () valors d (m), corrspodts às () soluçõs da Equação (.). Agora cssitamos somt aprstar os casos d raízs rais distitas, raízs rais rptidas o caso d raízs complas...- Raízs Rais Distitas S as raízs da Equação (.) são rais distitas, tão a solução é o cojuto d fuçõs { } m m m,,..., m m m ( ) c c... c qu são (LI), a solução gral é. (.) Emplo.5- Cosidr a quação difrcial d d 5 dt dt mt substituido ( t), tmos m mt m mt 5 mt mt como, vm

76 7 m m 5 as raízs da quação caractrística m (m) são distitas m 7, m 5 a solução é o cojuto d fuçõs (LI) { 7 t 5, t } 7t 5t ( t) c c., com st cojuto tmos a solução gral..- Raízs Rais Rptidas S as raízs são rais rptidas, tão a solução é um cojuto liarmt dpdt (LD). Emplo.6- Cosidrmos a quação difrcial d d 6 9 d d (.5) m substituido ( ), tmos m m 6m m 9 m m sdo, tão m 6m 9 sta quação caractrística possui a raiz dupla m. Logo a solução sria o cojuto d fuçõs (LD) { },. Porém é apas uma solução, como a quação difrcial é d ordm, falta mais uma solução. Para cotrar a outra solução, vamos ttar utilizar z com isso ttar rsolvr o problma. Tmos tão d d z dz d z dz d

77 75 drivado ovamt d d d d dz 9z d dz d z d d dz d z 9z 6. d d Substituido ssas fuçõs a Equação (.5), obtmos dz d z 9z 6 6 d d z dz d 9z sdo, tão dz d z dz z 6 8z 6 9z d d d 9 d z d. (.6) A Equação (.6) é bm simpls d rsolvr. Vamos usar w dz d dw dz d z d dw dz w c od(c) é uma costat poddo sr tomada como sdo c sm prda d gralidad. Agora, dz d dz d z k

78 76 od (k) é outra costat, qu st caso tomamos como sdo k. O rsultado é z, a outra solução da Equação (.5) é. Vja qu sta outra solução é (LI) m rlação a solução. Sdo assim, cotramos a solução gral como ( ) c c ( ) ( c c). O método utilizado o Emplo (.6) é absolutamt gral, por ss motivo quado uma quação difrcial possui uma raiz ( m i ) qu s rpt (k) vzs, as soluçõs associadas a ssa raiz são m m m k m,,,..., sua solução gral s aprsta a forma k ( c c c ) m i... k. Caso haja mais d uma raiz rptida, o procsso utilizado m (.6) é valido para cada uma dssas raízs. Emplo.7- Vamos cosidrar a quação difrcial 5 d d d d d 8 5 d d d d d (.7) m substituido ( ), tmos 5 m m m m m m m m m m 8 m m sdo, obtmos 5 m m m m m 8