EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Notas d aula Profssor: Altmir José Borgs Curitiba Agosto d 006

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Dfinição: Chama-s quação difrncial à quação qu possui as drivadas ou difrnciais d uma ou mais variávis dpndnts, m rlação a uma ou mais variávis livrs. Emplos: d a) d d d b) 7 6 d d d d c) cos d d z z d) z Classificação: A quação srá chamada d ordinária s as variávis dpndnts form função d uma única variávl livr, caso contrário, srão chamadas d quaçõs difrnciais parciais. As quaçõs dos mplos a, b c antriors são quaçõs difrnciais ordinárias a quação do mplo d é uma quação difrncial parcial. Ordm: Chama-s ordm d uma quação difrncial à ordm da drivada d maior ordm. As quaçõs a) d) são d primira ordm, já os mplos b) c) são d sgunda ordm. Grau: Grau é o maior pont da drivada d maior ordm. As quaçõs a, b d são d primiro grau o mplo c é do trciro grau. Solução: É uma função qu quando substituída na quação difrncial a transforma numa idntidad. As soluçõs podm sr: solução gral, particular ou singular. Chama-s solução gral à família d curvas intgrais qu vrifica a quação difrncial possui constants arbitrárias. Chama-s solução particular d uma quação difrncial à solução obtida a partir da solução gral impondo condiçõs iniciais ou d contorno. Gralmnt as condiçõs iniciais srão dadas para o instant inicial, já as condiçõs d contorno aparcm quando nas quaçõs d ordm suprior os valors da função d suas drivadas são dadas m pontos distintos. Por mplo: Rsolvr a quação difrncial ordinária (EDO) '' ' 6, sujita às condiçõs iniciais (0) (0), ou rsolvr a EDO '' ' 6, sujita às condiçõs d contorno (0) (). Chama-s solução singular d uma quação difrncial à nvoltória da família d curvas intgrais. Torma da istência: A quação d g(, ) admit solução s: d g(,) é contínua unívoca m uma rgião D d pontos (,). g ist é contínua m todos os pontos d D. Envoltória d uma família d curvas é a uma curva tangnt a todas as curvas da família.

3 Ercícios:. Mostr, por substituição, qu as sguints funçõs são soluçõs das quaçõs difrnciais dadas: a) b) c), " ' 6 0, " ' 6 0 C B C, " ' 6 0 d) A ln, " ' d d ) A Bln ln, ln d d. Dtrmin uma quação difrncial d mnor ordm possívl qu não contnha constants arbitrárias qu possua as sguints soluçõs: a) C b) C C c) Asn Bcos d) A B ) ln C f) C( ) g) cos c ( ) cot g( ) C. Encontr uma quação difrncial da família d circunfrências d raio d cntros sobr o io dos.. Nas quaçõs difrnciais a sguir, substitua r os quais é uma solução da quação. a) ' b) " c) " ' 0 d) " ' 0 ) " ' 8 0 r para dtrminar todos os valors d r para. Nos rcícios sguints, uma função g() é dscrita por alguma propridad gométrica d su gráfico. Escrva uma quação difrncial da forma f(,), tndo a função g() como solução: a) A inclinação (dclividad) do gráfico d g no ponto (,) é a soma d. b) A rta tangnt ao gráfico d g no ponto (,) intrcpta o io dos m (/,0). c) Cada rta normal ao gráfico d g passa plo ponto (0,). d) A rta tangnt ao gráfico d g m (,) passa plo ponto (-,).

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ª ORDEM E º GRAU: Nst studo vamos dividir as quaçõs d a ordm o grau, para um mlhor ntndimnto, m alguns tipos. TIPO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A quação d a ordm o grau M (, )d N(, )d 0 srá d variávis sparávis s: M N form funçõs d apnas uma variávl ou constants. M N form produtos d fators d uma só variávl. Obsrvação: A quação da forma d f () (), ond a função f dpnd somnt da variávl d não dpnd da variávl indpndnt, é chamada d quação autônoma. Uma propridad important dssas quaçõs é qu s () é uma solução d () ntão u ( c) também é uma solução, ond c é uma constant. Rsolução: Para rsolvrmos tal tipo d quação difrncial, como o próprio nom já diz, dvrmos sparar a variávis, isto é, dvrmos diar o coficint da difrncial d como sndo uma função clusiva da variávl o coficint da difrncial d como sndo uma função clusiva da variávl, ntão intgrarmos cada difrncial. Emplo: Dtrmin a solução gral da quação difrncial d d cos Solução: Primiramnt dvmos scrvr a EDO na forma d uma difrncial. d cos d Vamos dtrminar um fator intgrant qu spar as variávis, qu srá: FI Multiplicando ambos os mmbros da quação plo fator intgrant, vm: d cos d Intgrando ambos os mmbros, trmos: d cos d ln sn C C sn Fator intgrant é um fator qu quando multiplicado m ambos os mmbros da quação sparará as variávis ou transformará a quação num modlo conhcido.

5 Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, por sparação d variávis.. d d. d d 0. d d 0. tg. sc d tg.sc d 0. ( ) d d 0 6. ( ) d d 0 7. d d 8. d sn d 9. d d 0 d 0. ( ) 6 d. '... d d d d d d. ( ) d ( ) d 0 6. ( ) d d d 7. ln d 8. ( )sn d ( cos ) d, com (0)0 / 9. d ( ) d, com (0) d 0. ( ), com ( π ) d. ', com (-)- d. ( ) d dp. p p dt d. d d., com (0) d

6 6. cos d ( )sn d 0, com d 0 7., com (0)0 d d 8. cos( ) d 9. (Dica: Faça t) ' ( ) (Dica obsrv o. 8) 0. ' tg ( ) (Dica obsrv o. 8) ( 0) π. ' (Dica obsrv o. 8). Encontr as soluçõs singulars da quação d d 6 RESPOSTAS. C. C. ( ) ln C. cos cos C. arcsn C 6. C( ) 7. C C 8. cos C 9. C 0. ln( ) C. C. C. ln( ) C. C. C( ) 6. ln( ) C 7. ln ln C 9 8. ( cos )( ) tg( π ). ( ). tg ( ) C p t. C p. ln( ) C. 6. ( )sc 7. 0arctg 8. cos c ( ) cot( ) C 9. tg( C) 0. sn ( ) C. ( ) ( C). ou -

7 TIPO: EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 7 Dfinição: A função dfinida por zf(,) srá uma função homogêna d grau m s tivrmos f(λ,λ) λ m f(,). Emplos: a) f(,) é homogêna d grau, pois f(λ,λ)(λ) λ.(λ) λ f(,). b) f(,) / é homogêna d grau, pois f(λ,λ)λ λ/λ λf(,). Dfinição: A quação M(,)dN(,)d0 srá chamada d quação difrncial homogêna s M N form funçõs homogênas d msmo grau. Rsolução: S Md Nd 0 for uma quação difrncial homogêna, ntão la podrá sr scrita da d forma f, ond a mudança d variávis t irá sparar as variávis. d Emplo: Dtrmin a solução d ( ) d 6d 0, sujita à condição inicial ()/. Como as funçõs M(,) - N(,)-6 são funçõs homogênas d grau, ntão a quação dada é homogêna. Fazndo t, ou.t () difrnciando, trmos d.dtt.d (). Substituindo () () na quação dada vm: ( ( t) ( t ( t ) d 6. t.( t. d. dt) 0 ) d 6 6t. t( t. d. dt) 0 ) d 6. t. dt 0 ( 9t ) d 6. t. dt 0 d 6t. dt Sparando as variávis, rsulta: 0 9t. Intgrando trmos Eliminando os logaritmos Voltando para as variávis : ln ln( 9t ) C.( 9t ) C. 9 C 9 C Impondo a condição inicial ()/, trmos a solução particular: 9 Rsolva as sguints quaçõs: ) ( )d d 0 ) ( )d ( )d 0 ) ( )d d 0 ) ( )d d 0, com ) ( )d d 0

8 6) d ( )d 0 7) ( )d d 0 d 8) d 9) d ( )d 0 0) d ( ) d d ) d d ) d ) cot g d d 0 ) ( ) d d 0 d ), () d d 6), () d 7) ( )d d 0, () 0 8) ( )d ( )d, () d 9) ( ), () d 0) d ( )d 0, (0) d ) ( ), d 8 TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS OU A EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS São as quaçõs qu mdiant dtrminada troca d variávis s transformam m quaçõs homogênas ou m quaçõs d variávis sparávis. Emplos: Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais: a) ( ) d ( 6 ) d 0 Obsrvmos qu a quação acima não é d variávis sparávis porqu tmos uma soma das variávis também não é homogêna pla istência d trmos indpndnts, portanto dvrmos liminar ou a soma ou o trmo indpndnt. Analisando as somas das variávis, vmos qu -6 é proporcional a -, logo s fizrmos -t as duas somas diarão d istir. Assim: t () Difrnciando (), trmos: d d dt, ou d dt d () Substituindo () () na quação dada, trmos:

9 ( t )( dt d) ( t ) d 0 Sparando as variávis: t dt d 0 t 0 Intgrando: t 7 ln( t 0) C Voltando para as variávis, trmos a solução gral: 7 ln( 0) C 9 d b) d Escrvndo a quação difrncial na forma d uma difrncial, trmos: ( ) d ( ) d 0 Obsrvmos novamnt qu a quação acima não é d variávis sparávis porqu tmos uma soma das variávis também não é homogêna pla istência d trmos indpndnts, portanto dvrmos liminar ou a soma ou o trmo indpndnt. Como as somas - não são proporcionais, não é possívl liminar stas somas simultanamnt. Logo dvrmos liminar os trmos indpndnts transformar a quação m homogêna, qu quival a ftuar uma translação d ios. v --0 P u -0 0 Dtrminando a solução do sistma d quaçõs obtrmos as u coordnadas do ponto P, qu são P,. Logo a translação irá liminar os v trmos indpndnts. Substituindo as fórmulas d translação suas rspctivas difrnciais na quação difrncial trmos: 0 0 u ( v) du ( u) ( v) dv 0 Rduzindo os trmos smlhants, vm:

10 ( u v) du (u v) dv 0, qu é homogêna, cuja solução é: 6 C 0 Rsolvr as sguints quaçõs através d uma mudança adquada d variávis: d d ) 7) d d ) ( )d ( )d 0 d d ) ( )d ( )d 0 d 9) d d ) d 6 d 6 d 6) ( )d ( )d 0 d 9 d 8) ( ) ( ) 0 0) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) 0 RESPOSTAS. C. C. C. 8. ln C 6. ( )ln( ) C( ) 7. ln C 8. ln( ) tg ( ) C 9. (ln C) 9 0. C( ). ( ) ln C. 8ln C. cos( ) C. C. ln 8 6. / / 7. ln - 8. ln ln ln / 0. ( )ln 0. ln -(- ). 6 C. 6 C. ( ) C( ). ln(0 ) C 6. 9ln( 7) C 7. ln( ) C 8. ( -) C ( - ) 9. ln( 8 ) 8 - C 0. ( - -) C( - - ). 6 C ln(6 - ) TIPO: EQUAÇÕES EXATAS Forma : A quação MdNd0 srá uma quação difrncial ata, quando istir uma função M N f(,)c tal qu dfmdnd 0 ou s a rlação for vrdadira.

11 Rsolução: Dada a quação difrncial ata MdNd0 () sja zf(,)c sua solução, cuja f f difrncial dada por dz d d (). Então, comparando () () trmos: f f M (, ) () N(, ) (). Para obtrmos a sua solução zf(,) dvrmos intgrar, por mplo,a prssão (), m rlação à variávl, da qual trmos f (, ) M (, ) d g( ) (). Drivando parcialmnt () m rlação à trmos: f M (, ) d g'( ) (6). M (, ) d Igualando (6) () rsulta: g'( ) N(, ). Isolando g () intgrando M (, ) d m rlação a acharmos g ( ) N(, ) d C (7). Substituindo (7) m () trmos a solução gral da quação ata, qu é M d f M d (, ) (, ) N (, ) (, ) d C. Emplo: Rsolvr a sguint quação difrncial ( ) d ( ) d 0. Inicialmnt vamos vrificar a qu modlo sta quação prtnc. i. Ela não é d variávis sparávis porqu tmos soma das variávis, ii. Ela não é homogêna porqu os coficints das difrnciais não são funçõs homogênas, iii. M N Para vrificarmos s a quação é ata vamos utilizar a rlação. M ( ) N ( ) M N Como a condição é vrificada tmos qu a quação é ata. f f A solução f(,)c vrifica df d d 0, assim comparando com a quação f f dada trmos M (, ) ou, qu intgrado parcialmnt m rlação a rsulta f g( ). f Comparando N(, ) intgrado nos fornc trmos g'( ). Logo g '( ) qu g( ). Daí a solução f(,)c fica: Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais: C

12 ) ( ) d d 0 ) ( ) d ( ) d 0 ) d ( ) d 0 ) ( ) d ( cos ) d 0 ) [ cos( ) ] d [ cos( ) ] d 0 6) ( ) d ( 7) d 0 7) ( ) d ( 8 ) d 0 8) ( ) d ( ) d 0 9) ( ln )d ( ln )d 0 0) ( sn ) d ( cos ) d 0 d ) d ) ( ) d ( ) d 0 ) ( ) d ( ) d 0, () ) ( ) d (6 ) d 0, ( ) ) d d 0. d 6) 0 9 d 7) ( tg snsn) d cos cos d 0 d 8) ( ) d 9) ( cos ) d (sn ln ) d 0, (0) d 0) 6 d TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A EXATAS M N Na quação MdNd0, quando as drivadas parciais difrirm, muitas vzs pod-s dtrminar um fator intgrant qu irá transformar a quação dada numa quação ata. Vjamos o mplo: Rsolvr a quação ( ) d d 0. Primiramnt, é smpr important vrificar a qu modlo sta quação prtnc: i. Ela não é d variávis sparávis porqu tmos soma das variávis. ii. Ela não é homogêna porqu os coficints das difrncias são polinômios qu não têm os msmos graus. iii. M N Para vrificarmos s a quação é ata vamos utilizar a rlação.

13 M N M ( ) N () Como, pois a quação também não é ata. Agora vamos dtrminar um fator intgrant, isto é, um fator qu ao s multiplicar ambos os mmbros da quação a transform m ata. Sja λ (, ) st fator intgrant. Impondo qu ( ) λ (, ) d λ(, ) d 0 sja ata, trmos: [( ) λ(, ) ] [ λ(, ] ) λ(, ) λ(, ). λ (, ) ( ). λ(, ) λ(, ) λ(, ) λ (, ) ( ) A quação parcial acima admit infinitas soluçõs, dpndndo da função λ. No ntanto, ncssitamos d somnt um fator intgrant prfrncialmnt o mais simpls. Assim, vamos λ impor a condição qu o fator intgrant sja uma função somnt d, isto é 0, pois nos intrssa nst mplo anular o trmo qu possui as duas variávis. Logo, trmos: d λ λ d Sparando as variávis intgrando trmos um fator intgrant: λ Multiplicando ambos os mmbros da quação dada plo fator intgrant, rsulta: ( ) d d 0 ( ) d d 0, qu é ata trá solução gral igual a: C Através do procsso antrior podmos dtrminar os sguints fators intgrants para a quação M(,)dN(,)d0 (): M N i. S f () ntão f ( ) d é um fator intgrant; N N M ii. S f () ntão f ( ) d é um fator intgrant; M iii. S M N 0 () é homogêna ntão é um fator intgrant. M N / Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, mdiant o uso d um fator intgrant adquado: ) d ( ) d 0 6) ( ) d ln d 0 ) ( ) d d 0 7) ( ) d d 0

14 ) d d d 8) d ( ) d 0 ) d d d 0 9) ( ) d d 0 ) ( d ln ) d 0 0) ( ) d d 0 RESPOSTAS Equaçõs atas.. c. c. c. sn c. sn ( ) ln c c 7. - c 8. - c 9.. ln ln C 0. cos - c. C. - - c. - / ln c tg c 7. - ln cos cos sn c c 9. sn - - ln c. ln c. c. C. C. ln C 6. ln C 0 7. C 8. C 9. 6 C 0. ln C 6 TIPO: EQUAÇÕES LINEARES DE ª ORDEM d Concito: As quaçõs da forma P( ) Q( ) (), ond P Q são funçõs d ou d constants, são chamadas d quaçõs linars d a ordm. Quando Q()0 a quação srá chamada d linar homogêna, dvido a analogia com os sistmas d quaçõs algébricas linars homogênos, ou sja, aquls qu possum trmo indpndnt igual a zro. Rsolução:. Método d Lagrang ou da substituição. A quação linar srá rsolvida através da substituição variávis, ond zz() tt() são funçõs a dtrminar. z. t () qu irá sparar as

15 dz t d dz d Drivando ambos os mmbros d () m rlação à substituindo m (), trmos dt z P( ) zt Q( ) (). d dz dt Fatorando t no primiro mmbro () vm: t Pz z Q (), impondo qu d d Pz 0, trmos: z Pd, ond PP() QQ(). Voltando para () dtrminarmos t Pd. Qd C. Assim, rsulta Pd Pd. Qd C qu é a solução gral da quação linar.. Fator d intgração O fator P( ) d λ transformará a quação () numa quação difrncial ata, isto é: Escrvndo () com difrnciais, vm d ( P Q) d 0. Quando multiplicada plo fator intgrant λ, rsultará na quação ata Pd. Pd. Pd d P Q d 0. Rsolva as sguints quaçõs difrnciais:. d d. d tg sn d. d cot g 0 d. ( sn ) d cos d 0. d ( ) arctg d 6. d d 7. d d 8. d 9. ' 0. '. ( ) d d 0. d ( sn )d d. ( ) 0 d d. cos sn d d. d d d cos snd cos d 6. ( ) 7. ( ) 0 8. d ( ) d 0 d/d) d d 6 d d 9. ( ) 0. ( ) 0 (dica scrva d. d. d ( ) d 0 dr. r scθ cosθ dθ d. ( ) 8 d d. 0, com (0) d di 6. L Ri E, sndo L, R E constants, dt com i(0)i o 7. ' ( tg) cos, com (0)- dt 8. k( T 0), com T(0)00 dt d 9. ( ) ln, sndo ()0 d

16 d d, com ()6., sndo () d d d, s 0. Encontr uma solução contínua satisfazndo f (), m qu f () d 0, s > a condição (0)0 0. ( ) 0 6 RESPOSTAS ) ( ln C) ) sn sc ( C) ) ln( sn) C ) ( tg sc )(sc tg C) ) 6) 7) 8) arctg C c c c 9) c 0) ln c ) c sn ) cos c ) ) sn c. cos ) c 7 c 6) arctg c 7) sc c. cosc 8) c 9) 6 0) c c ) ln( ) c c ) ) (sc θ tg θ ) r θ cosθ c c ) 6 ( ) ) 6) i( t) E / R ( io E / R) 7) sn. cos cos kt 8) T( t) 0 0 9) ( ) ln 0) ) 8 ), s 0 ( ), s > Rt / L 7 TIPO: EQUAÇÕES DE BERNOULLI Concito: d n As quaçõs da forma P( ) Q( ) () com n, ond P Q são funçõs d d ou constants, são chamadas d quaçõs d Brnoulli. Rsolução:

17 Para rsolvrmos a quação d Brnoulli irmos transformá-la numa quação linar multiplicando ambos os mmbros d () por -n n d n, o qu implicará m P( ) Q( ) d (). Em (), chamando n dt t, obtrmos P( ). t Q( ) qu scrita como n d dt ( n). P( ). t ( n). Q( ) rprsnta uma quação linar. d Como mplo da quação d Brnoulli, podmos citar um modlo mpírico usado para a dtrminação do pso d pis, qu é a quação d Von Brtalanffl, dp / β p αp, dt ond p é pso d cada pi m função do tmpo t, α é a constant d anabolismo, isto é, a taa d sínts d massa por unidad d suprfíci do pi β é a constant d catabolismo, rprsntando a taa d diminuição da massa por unidad d massa. 7 Rsolva as sguints quaçõs d Brnoulli:. d d. d d. d d d. d d. ( ) d 6. d d 7. d, com () / d 8. d d 9. d d d 0. 0 d d. d. d ( ) d d. ( ) d Rspostas:. C

18 . C. ( C ). C. C ln C 6. C 7. / ln C ln 0. C. C. C. C 8 8 TIPO: EQUAÇÕES DE RICCATI Concito: d As quaçõs da forma P( ) Q( ) R( ) (), ond P, Q R são funçõs d d ou constants, são chamadas d quaçõs d Riccati. Rsolução: Para sua rsolução algébrica dvrmos conhcr uma solução particular o qualqur d (), na qual a mudança d variávis z o irá liminar o trmo indpndnt R() transformando a quação d Riccati numa quação d Brnoulli. Rsolva as sguints quaçõs d Riccati, ond é uma solução conhcida para a quação:. d, com d. d ( ) 0, com d. d ( ), com d. d, com d. d, com d 6. d ( ), com d d 7., com d 8. d 0, sndo d

19 Rspostas:. ( ) C. C. C. C. C 6. C 7. C 8. C 9 9 TIPO: SUBSTITUIÇÕES DIVERSAS Tais quaçõs não s nquadram dirtamnt m nnhum dos modlos antriors, mas após a aplicação d uma dtrminada mudança d variávis las s transformarão numa quação difrncial conhcida. Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, por uma substituição apropriada: d ) ( ) d ( ) d 0 ) 6 d d d ln ) ) d d ) d ( ) d 0 6) d d d 7) ' 0 8) cosc ln( tg) d d 9) d ( ) 0) sn d d d ) cos (cos sn sn ) ). snd ( cos cos ) d 0 d ) ( 7) d ( 8) d 0 ) ( d d) ( d d) 0 ) ( sn ) d ( sn )cos d 0 Rspostas:. C. C. ( C ). ln C. ln C 6. C 7. C 8. ln( tg ) C 9. 9ln C 0... cos sn cos C cos C sn C. ( ) C( ). ( )( ) C sn

20 . 8 sn 9ln( 8sn ) C 0 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE a ORDEM E o GRAU. Dtrmin a quação das curvas qu possum a subnormal constant.. Dtrmin a quação das curvas qu possum a subtangnt constant.. Nos problmas a sguir dtrmin as trajtórias ortogonais d cada família d curvas dadas: a. c h. r ccosθ b. c c. c d. c. c f. c g. c i. r csn θ. Encontr as curvas das trajtórias ortogonais d c, qu passam por P(0,).. Um invstidor aplica dtrminada quantia qu triplica m 0 mss. Em quanto tmpo ssa quantia stará quadruplicada, supondo qu o aumnto é proporcional ao capital istnt a cada instant? 6. Sab-s qu a população d uma crta comunidad crsc a uma taa proporcional ao númro d pssoas prsnts m qualqur instant. S a população duplicou m anos, quando la triplicará? 7. Suponha qu a população da comunidad do problma 6 antrior sja após anos. Qual ra a população inicial? Qual srá a população m 0 anos? 8. A população d bactérias m uma cultura crsc a uma taa proporcional ao númro d bactérias prsnts m qualqur tmpo. Após horas, obsrva-s qu há 00 bactérias prsnts. Após 0 horas istm 000. Qual ra o númro inicial d bactérias? 9. O isótopo radioativo d chumbo, Pb-09, dcrsc a uma taa proporcional à quantidad prsnt m qualqur tmpo. Sua mia-vida é, horas. S grama d chumbo stá prsnt inicialmnt, quanto tmpo lvará para 90% d chumbo dsaparcr? 0. Quando um raio d luz vrtical passa através d uma substância transparnt, a taa na qual sua intnsidad I dcrsc é proporcional a I(t), m qu t rprsnta a spssura do mio (m mtros). No mar a intnsidad a m abaio da suprfíci é d % da intnsidad inicial I o do raio incidnt. Qual é a intnsidad do raio a m abaio da suprfíci?. Sgundo a Li d Nwton, a vlocidad d rsfriamnto d um corpo no ar é proporcional à difrnça ntr a tmpratura do corpo a tmpratura do ar. S a tmpratura do ar é 0 o C o corpo s rsfria m 0 minutos d 00 o C para 60 o C, dntro d quanto tmpo sua tmpratura dscrá para 0 o C?. Um trmômtro é rtirado d uma sala, m qu a tmpratura é 70 º F, colocado no lado fora ond a tmpratura é 0 º F. Após 0, minuto o trmômtro marcava 0 º F. Qual srá a tmpratura marcada plo trmômtro no instant t minuto? Quanto lvará para marcar º F?

21 . Um indivíduo é ncontrado morto m su scritório pla scrtária qu liga imdiatamnt para a polícia. Quando a polícia chga, horas dpois da chamada, amina o cadávr o ambint tirando os sguints dados. A tmpratura do scritório ra d 0 o C, o cadávr inicialmnt tinha uma tmpratura d o C. Uma hora dpois mdindo novamnt a tmpratura do corpo obtv. o C. O invstigador, supondo qu a tmpratura d uma pssoa viva é d 6. o C, prnd a scrtária. Por qu?. No dia sguint o advogado da scrtária a librta, algando o qu?. Em um dpósito há 00l d uma solução aquosa qu contém 0kg d sal. Jogas água nst dpósito com uma vlocidad d l/min ao msmo tmpo m qu, através d um orifício dss tanqu, a mistura scoa com uma vlocidad d l/min. A mistura s mantém homogêna por agitação. Qu quantidad d sal havrá no tanqu h dpois d iniciada a opração. Inicialmnt, 0 gramas d sal são dissolvidos m um tanqu contndo 00 litros d água. Uma solução salina é bombada para dntro do tanqu a uma taa d litros por minuto a solução bm misturada é ntão drnada na msma taa. S a concntração da solução qu ntra é gramas por litro, dtrmin a quantidad d sal no tanqu m qualqur instant. Quantas gramas d sal stão prsnts após 0 minutos? E após um longo tmpo? 6. Um tanqu contém 00 litros d água pura. Uma solução salina contndo g d sal por litro é bombada para dntro do tanqu a uma taa d litros por minuto. A mistura é drnada à msma taa. Encontr a quantidad d gramas d sal no tanqu m qualqur instant. 7. Suponha qu um studant infctado com um vírus da grip rtorn a uma faculdad isolada no campus ond s ncontra 000 studants. Prsumindo qu a taa na qual o vírus s spalha é proporcional não somnt à quantidad d alunos infctados, mas também à quantidad d alunos não infctados, dtrmin o númro d alunos infctados após 6 dias s ainda é obsrvado qu dpois d dias () Uma lancha s dsloca numa lagoa com uma vlocidad d 0m/s. Em dado instant su motor é dsligado, com isso a lancha sofr uma rdução d vlocidad proporcional à vlocidad instantâna. Sabndo qu ao final d sgundos sua vlocidad é d 8m/s, qual srá o tmpo ncssário para qu a lancha adquira vlocidad d m/s? 9. Um bot stá sndo rbocado a uma vlocidad d nós(6,7m/s). No instant m qu o cabo do rboqu é largado, um homm no bot comça a rmar, no sntido do movimnto com uma força d 0N. Sabndo qu o pso do homm do bot é 00N qu a rsistência ao dslocamnto, m N, é d.6v, sndo v a vlocidad m m/s, achar a vlocidad do bot no fim d 0 sgundos. 0. Uma batria d volts é conctada a um circuito m séri no qual a indutância é d 0. Hnr a rsistência 0 ohms. Dtrmin a corrnt i s a corrnt inicial é zro.. Achar a quação da curva qu passa plo ponto P(,6), conhcndo-s a d dclividad d sua tangnt num ponto qualqur. d. Achar a quação da curva cuja subtangnt sja o dobro da abscissa do ponto d contato.. Achar a quação da curva cuja subtangnt num ponto P(,) sja igual à ordnada d P.

22 . Uma curva dada passa plos pontos (0,0) (,9). Achar a sua quação sabndo qu a msma tm a propridad d dividir o rtângulo formado plos ios coordnados plas rtas parallas a sts, tomadas por um ponto P(,), m duas parts, sndo a ára d uma dla o triplo da outra.. Achar a quação da família d curvas m qu a subnormal, num ponto P(,) sja igual à abscissa dss ponto. 6. Um marca passo, como indicado na figura abaio, consist m uma batria, um capacitor o coração como rsistor. Quando a chav S stá m P, o capacitor C é carrgado; quando S stá m Q, o capacitor R dscarrgado, nviando um impulso létrico ao coração. Durant ss tmpo, a voltagm E aplicada ao de coração é dada por E, t < t < t, ond R C são constants. dt RC Dtrmin E(t) s E(t )E 0. (É claro qu a chav é abrta fchada priodicamnt para simular o batimnto cardíaco natural.) Coração R Q S P C E 0 7. Em março d 987 a população mundial atingiu cinco bilhõs, stava crscndo à taa d 80 mil pssoas por dia. Assumindo-s taas d natalidad mortalidad constants, para quando s dv sprar uma população mundial d 0 bilhõs d pssoas. 8. É um fato da física qu os lmntos radioativos s dsintgram spontanamnt m um procsso chamado dcaimnto radioativo. Os primntos têm mostrado qu a taa d dsintgração é proporcional à quantidad d lmnto prsnt. Sab-s qu a mia-vida spcífica do carbono- radioativo stá m torno d 70 anos. Em 988, o Vaticano autorizou o Musu Britânico a datar a rlíquia d pano conhcida como o Sudário d Turim, possivlmnt o sudário d Jsus d Nazaré. Est pano, qu aparcu m 6, contém o ngativo da imagm d um corpo humano qu s acrditava no mundo intiro sr o d Jsus. O rlatório do Musu mostrou qu as fibras no pano continham ntr 9 9% do carbono- original. Us sta informação para stimar a idad do sudário.

23 9. Ach uma curva do plano qu passa plo ponto P(0,) cuja rta tangnt m um ponto qualqur tm inclinação /. 0. Uma bala d massa m.60 - kg é disparada para cima com uma vlocidad inicial v o 988m/s, torna-s mais lnta pla força da gravidad uma força d rsistência do ar d kv, sndo k7.0-6 kg/m. Dtrmin a altura máima atingida pla bala.(considr g9,8m/s ). Considr um compartimnto qu contém litros d água salgada. Suponha qu água, contndo gramas d sal por litro, stja sndo bombada no compartimnto a uma taa d litros por hora, a mistura, qu é homognizada continuamnt é bombada para fora do compartimnto com a msma taa. Encontr a concntração d sal na mistura após horas.. Em uma crta florsta tropical, rstos vgtais (principalmnt dvido à vgtação morta) s acumulam no solo a uma taa d 0 g/cm /ano. Ao msmo tmpo, ntrtanto, sts rstos vgtais s dcompõm a uma taa d 80% ao ano. Dtrmin a quantidad d rstos vgtais, m g/cm, após anos, sabndo-s qu inicialmnt sta quantidad ra d 00g/cm.. Um assado psando libras, inicialmnt a 0ºF, é posto num forno a 7ºF às horas da tard. Dpois d 7 minutos a tmpratura do assado é d ºF. Quando srá a tmpratura do assado d 0ºF (mio mal passado).. Uma pdra é solta a partir do rpouso d uma altura h acima da suprfíci da Trra. Dsprzando a rsistência do ar, qual a vlocidad com qu ating o solo?. Um tanqu hmisférico tm raio do topo d.9cm no instant t0s stá chio d água. Nst momnto um buraco circular com diâmtro d.cm é abrto no fundo do tanqu. Quanto dmorará para qu toda a água do tanqu d tnha scoado? (Dica: Us a quação d Torriclli A( ) a g g9,8m/s para dt d chgar a π (8 ) π 6 ) dt 6. Um atrrissador lunar stá m quda livr m dirção à suprfíci da lua a uma vlocidad d 000mi/h. Sus foguts rtro propulsors, quando disparados no spaço livr, produzm uma dsaclração d 000mi/h. A qu altura da suprfíci lunar dvm os foguts rtro propulsors sr ativados para assgurar um pouso suav (v0) no impacto? (Considr g Lua kmi/h r Lua,08kmi) 7. Suponha qu uma corda flívl d pés d tnsão comça com pés d su comprimnto arrumados num mont bm junto à borda d uma msa horizontal, com o rsto pndurado (m rpouso) para fora da msa. No instant t0 o mont comça a dsnrolar a corda comça gradualmnt a cair para fora da msa, sob a força da gravidad puando a part pndurada. Assumindo qu as forças d atrito d quaisqur tipo sjam nglignciávis, quanto tmpo lvará para toda d( ωv) dv d a corda cair para fora da msa? (Dica: ω g ω( v ). Você dt dt dt / arccos/ 8 / chgará na intgral imprópriat (scu) du, ond sc u qu g 0 dvrá dr rsolvida pla Rgra d Simpsom com 00 subintrvalos ou por intgração numérica.) RESPOSTAS ) K C

24 ) ) a) C K C f) C b) C g) ln C c) ln C h) r C snθ d ) C ) C ) ) 7.8 mss 6) 7.9 anos 7). 698; 69 8). 00 9) horas 0) I() I o ) t 60 minutos ) T()6.67 º F m.06 minutos ) ).9 kg d sal ) A(0)66. gramas A( ) 600 gramas t 6) A( t) ) 76 stuants 8),6 sgundos 9),9 m/s 0t 0) i( t).. ) v gh ) t0s 6) milhas 7) t0,s i) r Ccos θ ) 8 ) C ) C ) ou ) a a ( t t ) / RC 6) E( t) E 0 ln 7) t anos 0 0,078 8) D 600 a 689 anos 9) ( ) / 7 0) 98,m ) 7( 0-7). - ) 7,76g/cm ) t0minutos 6hmin ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Curvas intgrais: Família d curvas qu rprsnta a solução gral d uma quação difrncial. Envolvida: É cada uma das curvas intgrais. Rprsnta gomtricamnt uma solução particular da quação. Envoltória:

25 É a curva tangnt, m cada um dos sus pontos, a uma curva da família d curvas intgrais. (Cf. PISKOUNOV N. Cálculo difrncial intgral. V II, Porto: Lops da Silva, 98, p. ). Equação da nvoltória: Sja a família d nvolvidas cuja quação é dada por f(, C) F (,, C) 0, ond C é um parâmtro com as sguints caractrísticas: Nas nvolvidas, C é uma constant; Na nvoltória g(), C é uma função d, ou sja, CC(,) constant. Um ponto P(,) prtncnt à nvoltória também satisfaz a quação F(,, C(,))0, pois prtnc a crta curva da família. d d Nst ponto P(,),, ond : d d E d é a dclividad da rta tangnt à nvolvida ; d F(,,C(,))0 E d é a dclividad da rta tangnt à nvoltória E d E F F F C F C Drivando F(,, C(,))0 m rlação a, vm: () C C F F F d d Nas nvolvidas, como C constant, vm d ():. 0 F, 0. d d F Na nvoltória, como m qualqur ponto P (,) d d d d E, vm d () qu: F C F C F C C C C C F Como C C(,) constant, vm qu 0. C F(,, C(, )) 0 Daí, a quação da nvoltória é dada rsolvndo-s o sguint sistma: F. 0 C EXERCÍCIOS: ) Dar a nvoltória das sguints famílias d curvas, ond α é o parâmtro. Rprsnt num msmo sistma cartsiano as curvas intgrais sua nvoltória: a) α. b).( α ). α 0 α

26 6 0) Dtrminar a nvoltória da família d rtas qu forma com os smi-ios positivos um triângulo d ára constant igual a 0. Rsposta: ) a) 7 b) 0 ).0 Solução singular d uma quação difrncial: Concito: A solução singular d uma quação difrncial é uma solução qu satisfaz a quação, mas não é uma d suas soluçõs particulars. Gomtricamnt, a solução singular é rprsntada pla nvoltória das curvas intgrais, quando sta nvoltória ist. Isto dcorr do fato d qu m cada ponto ( 0, 0 ) da nvoltória, o d coficint angular da rta tangnt à nvoltória à curva intgral corrspond a 0. Assim, os d d lmntos 0, 0 0 m cada ponto da nvoltória satisfazm a quação difrncial F(,, d d )0, uma vz qu são smpr lmntos d uma linha intgral. d EXERCÍCIOS: 0) Encontr a solução singular da quação. d d. Rprsnt gomtricamnt a solução gral a singular num msmo sistma cartsiano. 0) Obtr a solução gral singular das sguints quaçõs: a) d d b) -. d d d d d c) d ).( ) d -. d d d). d d - ln d Rsposta: 0) sn( C) ± 0) a) (-C) ± b) C C - c) C C d) C lnc ln ) C C como solução singular o ponto P(0,0).

27 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ª ORDEM E GRAU DIFERENTE DE : EQUAÇÕES DE CLAIRAUT d d Concito: São as quaçõs da forma f. d d Rsolução: Chamando d p a quação d Clairaut fica p f ( p ). d Drivando a quação antrior m rlação a, trmos: d dp dp p. f '( p) d d d dp ( f '( p) ) 0 d Logo pc a solução gral srá: C f ( C) Drivando a solução gral parcialmnt m rlação ao parâmtro C, trmos f '( C) 0, qu é a condição para obtrmos a solução singular. Rsolva as sguints quaçõs obtnha uma solução singular:. ' ln '.. d d d d ' ' ' '. ( ) d d. 0 d d 6. ' ( ' ) d d 7. 0 d d d d 8. 0 d d 9. ' ( ' ) d d 0. d d Aplicaçõs:. Achar a curva, m qu a soma dos sgmntos dtrminados sobr os ios cartsianos pla rta tangnt sja igual a k.

28 . Achar a curva, m qu o produto dos sgmntos dtrminados sobr os ios cartsianos pla rta tangnt sja igual a k. 8 Rspostas:. c ln c, ln. c c, 7 c. c, ln - c. c, -. c c, 6. c c, 7. c, 7 c c c 0, ( ) ( ) 9. c / c, 7 / 0. c c. ( k). k, - EQUAÇÕES DE LAGRANGE d d Concito: São as quaçõs da forma f g. d d Rsolução: Chamando d p a quação d Lagrang fica f ( p) g ( p ). d Drivando a quação antrior m rlação a, trmos: d dp dp f '( p) f ( p). g'( p) d d d dp p f ( p) ( f '( p) g'( p) ) d d ( p f ( p) ) f '( p) g'( p) dp d f '( p) g'( p) (qu é uma quação linar). dp p f ( p) p f ( p) Como m gral não srá possívl isolar p na solução da quação linar antrior, a solução gral da quação d Lagrang srá dada na forma paramétrica: ( p) ( p) Rsolva as sguints quaçõs: d d. d d

29 . d d d d d d. d d d d. d d. d d d d d d d 6.. d d 7. d d 8. d d d ln d d d d d d d d 9 Aplicação:. Achar a curva m qu a rta tangnt m qualqur ponto P, da curva, sja bisstriz do ângulo formado pla rta vrtical qu passa por P pla rta qu un P à origm. Rspostas: p [ ln( p p ) C] p. [ ln( p p ) C] p p C. p C C p p c p. p c( p) p / ( ). cp p ( cp / p ) 6 c / p p /. (c p ) / p p p p c p p. p c / p p ln p ln p C p ln p C p ln p arcsnp C p p p. C C 0

30 0 EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM SUPERIOR Tipos spciais d quaçõs d ª ordm: d º) Equação do tipo: f ( ) d Solução: d d d d f ( ) f ( ) d f ( ) d. Intgrando ambos os mmbros, d d d d vm: d d f ( ) d C d [ f ( ) d C ]d [ f ( ) d C] d C d E: Rsolva a quação d d d º) Equação do tipo f (, ) : d d d d dp Faz-s p, p p( ), vm:. d d d dp Assim, tm-s f (, p), qu é uma quação d primira ordm m rlação a p, cuja d solução gral dsta quação é p F(, C ). d Como p, vm: d d d F(, C d F(, C ) d F(, C) d ) C E.: Rsolva as quaçõs: d d a) () 0 d d b) 6 d º) Equação do tipo f ( ) : d d Faz-s p, p p( ), dond vm: d d dp dp d dp. p. d d d d d dp p f ( ) pdp f ( ) d pdp f ( ) d p f ( ) d C d. Como [ ]

31 Daí vm: d d d [ f ( ) d] C ± [ f ( ) d] qu é uma quação d variávis sparadas m. E.: Rsolva a quação 9 0 d C d ± d [ f ( ) d] C E: Uma partícula d massa m s dsloca ao longo do io dos atraída por outra, situada na origm, com a força F -m -, sndo > 0. Dtrminar a quação do movimnto, sabndo-s qu para t 0 s tm a vlocidad v -. d d º) Equação do tipo f (, ) : d d dp Procdndo d modo análogo ao antrior, a quação s rduz a p f (, p). d d Rsolvndo-a m rlação a p substituindo plo su valor, obtém-s uma quação d d variávis sparadas. E.: Rsolvr a quação. -. ( ) Equaçõs linars d ordm suprior Forma: Equaçõs difrnciais linars d ordm suprior são as quaçõs da forma n n d d d d An A A A A B n n L n 0 (), ond A i B são constants ou d d d d funçõs d, com i 0... n. Quando B0 dirmos qu a quação é linar homogêna. Rsolução: Irmos inicialmnt rsolvr as quaçõs linars homogênas d coficints constants. Obsrv qu s fizrmos A n...a 0 trmos uma quação linar d primira ordm cuja r solução particular pod sr da forma. Impondo qu tal solução sja também uma solução particular da quação linar homogêna d coficints constants, trmos a quação polinomial n n Anr An r L Ar A r A0 0, chamada d quação caractrística. Em rlação à quação caractrística podmos tr três casos a considrar: i. Todas as raízs da quação caractrística são rais distintas Sjam r, r, r,..., r n as raízs rais distintas da quação caractrística, ntão a solução gral srá dada por: r r r C C C C n rn ii. A quação caractrística tm raízs complas

32 Sjam r a bj r a bj as raízs complas da quação caractrística 0 d d A A0 A r A r A 0, provnint da quação linar d sgunda ordm A d d 0, ntão a solução gral srá dada por: a ( C b C snb) cos iii. A quação caractrística tm raízs múltiplas Sjam r r raízs múltiplas da quação caractrística A r A r A0 0, provnint da quação linar d sgunda ordm por: d d A A A0 B, ntão a solução gral srá dada d d r r C C EXERCÍCIOS: Encontr a solução gral para cada quação dada:. " ' 0 0. ''' " ' 0. " 6 0. " 9 0. " ' 6 0. " 8' " ' 0 7. " ' 0 8. " ' 0 9. " ' 0. ''' 0. ''' '' ' 9 0. ''' '' 0. ''' '' ' 0 d d d. 0 d d d d d d d Rsolva as sguints quaçõs sujita às condiçõs indicadas: 7. '' 6 0, (0) '(0) - 8. '' 6' 0, (0) 0 '(0) 9. '' ' 0, (0) - '(0) 0 0. '' ' 0, (0) '(0) 0. '' ' 0, () 0 '(). ''' '' 6' 0, (0) 0 '(0) ''(0) -7 Rspostas:. / c c. 6 6 c c

33 . c cos c sn. c c. c c 6. ( c 9) / ( c 9) / 7. / / c c 8. (c cos c sn ) 9. / (c cos c sn ) 0. c c c /. c (c cos c sn ). c c c. c (c cos c sn ). c c c /. c c c cos c sn 6. c cos csn. c cos csn sn 7. cos 8. / / sn( / ) 9. cos( / ) EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS A solução gral d uma quação linar não homogêna tm a forma: c p, ond: c é chamada solução caractrística ou complmntar é dtrminada rsolvndo a quação linar como s foss homogêna; já para dtrminarmos p, dnominada solução particular, dispomos dos sguints métodos: i. Método dos coficints a dtrminar ou método d Dscarts ii. Método da variação d parâmtros ou método d Lagrang iii. Método do oprador drivada D.

34 MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR Nst método impõm-s uma solução particular, d acordo com a forma do trmo indpndnt da quação linar. Podmos dividir st método nos sguints casos particulars: a caso: O trmo indpndnt B é uma ponncial da forma B. A solução particular trá a forma: p h a A, ond h é a multiplicidad da raiz ra na quação caractrística A é um coficint a dtrminar. caso: O trmo indpndnt B é da forma B sna ou B cos a. A solução particular trá a forma: h p ( Asna B cos a), ond h é a multiplicidad da raiz raj na quação caractrística A B são coficints a dtrminar. caso: O trmo indpndnt B é um polinômio d grau m. A solução particular srá um polinômio d grau mr, ond r é a ordm da drivada d mnor ordm da quação linar. caso: O trmo indpndnt B é uma soma, subtração ou multiplicação d ponnciais, polinômios, snos ou cossnos. A solução particular srá uma soma, subtração ou multiplicação dos trmos do trmo indpndnt. EXERCÌCIOS: Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, plo método dos coficints a dtrminar:. " ' 6. " '. " 0' 0. " '. '' ' 6. '' 9 6. ' ' ' sn 7. '' 6sn () / 6 ' ' ' 8 d d d 0. d d d. " 8. " '. " sn. " sn 6. " ' cos 7. " ' sn cos 8. ' '' 6'' cos ' '' '' ' d d ( ) d d. ' ' 8sn Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, sujita às condiçõs iniciais dadas:

35 . 8 ' 8, ' ' π π. -0 '(0) 0 (0), 6 ' ''. '(0) - (0), ' ''. 0 0 '(0) (0), sn t F dt d o ω ω 6. 0 ' 0, sn cos ' ' π π ''(0) '(0), (0), 0 ' '' ''' Rspostas. B A. 6 B A. 7 / B A. 9 6 ) ( 6 ) ( B A. 6 B A cos ) cos ( / sn Bsn A 7. cos sn Bsn A 8. 8 / / / cos / / / Dsn C B A 9. 8 B A 0. ( ) D C B A. Bsn A / ) ( cos. B A. / / / B A. Bsn A cos cos. sn B Asn cos cos 6. ) cos ( sn Bsn A 7. 9cos cos sn B A cos 6 sn C B A

36 9. A B C 0. Acos Bsn Ccos Dsn cos. Asn B cos. sn / / cos 9 sn 7 Fo Fo. snωt t cosωt ω ω cos πsn sn sn / 6 MÉTODO DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS (LAGRANGE) Vamos dsnvolvr o método inicialmnt para uma quação linar d sgunda ordm d d A A0 B (). A solução caractrística d () é dada por c C C a d d solução particular srá dada por p u u, ond u u são funçõs qu srão dtrminadas pla rsolução do sistma: u' u' 0 u' ' u' ' B EXERCÍCIOS: Rsolva as sguints quaçõs difrnciais plo método da variação d parâmtros:. " sc 8. " cosh. " '. " sn. " 9 cot g. " 6. " sn 7. " cos 9. " cos 0. " '. " ' sn. ' ' 9 sc. '' '. ' ' sn Rspostas:. Acos Bsn sn cos.ln(cos )

37 . ( A B) ln. Acos Bsn.cos sn.ln( sn) sn. Acos Bsn ln tg 9. A B 6. cos Acos Bsn 7. Acos Bsn cos 6 8. A B A B 9. A B ( sn cos ) 0 0. A B ( ) ln( ) snh. A B sn. Asn Bcos sn (cos)ln(cos) 9. A B ( ln ). Asn B cos ( sn) 8 7 MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Concito: Dada uma função dfinida por f(), chama-s oprador drivada, dnotado por D, a d D, d d D, d d D,... d Propridads: Sjam uu() v v(): P. D(uv)DuDv P. D(a.u)a.Du, a R P. D m (D n u)d mn u, com m R n R. P. O oprador dirto ( D a) u Du a. u a P. O oprador invrso u D a a, a R.. u. d, a R. Emplo: Rsolvr a quação ( D D 6) ( D D 6) ( D )( D ) ( D ) D ( D ), utilizando o oprador invrso.. d

38 ( D ). ( C) ( D ) C ( C D ( C C ) ( C C) C ) d 8 SIMPLIFICAÇÃO DO MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Casos particulars a a. Na quação difrncial P ( D) a solução particular srá dada por p P( a), s P(a) 0. Na quação difrncial P ( D ) sn( a) a solução particular srá dada por p sn( a). P( a ). Na quação difrncial P ( D ) cos( a) a solução particular srá dada por p cos( a). P( a ) m m. Na quação difrncial P ( D) a solução particular srá dada por p P( D), ond dvrá sr dsnvolvido m séri d potências crscnts m D. P( D) a. Na quação difrncial P( D). f ( ) a solução particular srá dada por a p f ( ). P( D a) EXERCÍCIOS: Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais mprgando o oprador invrso:. ( D D ) sn. ( D 6D) D 7 D. ( ) D D. ( ) Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais mprgando o método dos opradors:. ( D D ) 9. ( D ) cos D D 6. ( ) D D 7. ( ) ( ) D D 8. ( ) 0. ( D D ) sn. ( D ) 0sn. ( D )

39 9. ( ) D D. ( ) D D D. ( ) 9 D D 6. ( ) D 7. ( ) sn D D 8. ( ) D D sn 9. ( ) D D D sn 0. ( ) D D cos Rspostas. ) (cos sn B A. 6 C B A. B A. 8 7 C B A. B A 6. B A 7. C B A B A 9. Bsn A cos cos 0. ) (cos 0 sn B A. Bsn A cos cos. B A. B A. 8 C B A. B A B A 7. ( ) sn B A cos 0 8. ) cos ( sn Bsn A 9. ( ) sn D C B A cos

40 0. A B ( ) ( sn cos ) 8 0 EQUAÇÃO DE EULER-CAUCHY A quação d Eulr-Cauch tm a sguint forma: n n d d d An ( a b) L A a b A a b A B n ( ) ( ) 0, ond A 0, A,..., A n, a b d d d são constants. Para rsolvr tal quação farmos variávis. EXERCÍCIOS: Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais:. d d ( ) ( ) 6 d d. d d 0 d d. d d ln d d. ' ' '. d d d d 6. ' '' ' ' ' 0 7. ' '' ' ln 8. ( ) ' '' 9( ) ' ' 8( ) ' 6 ln( ) 9. '' ' 0, com () 0 '() 0. '' ' 0, com () '() t a b a., qu irá liminar os coficints Rsolva as sguints quaçõs difrnciais por dsnvolvimnto m séri: d. 0 d. ' 0. ( ) '' ' 0 Rspostas. A B. A B. A B ln ln. A B. A B ln 6 6

41 6. A Bln C ln ln( ) 6 7. A [ B cos(ln ) Csn(ln ) ] ln 8. A B ( ) C ( ) cos(ln ) sn(ln ). A. A Ao Ao. Ao A APLICAÇÕES. Molas Um corpo d massa m é conctado a uma mola d comprimnto l constant lástica k, provocando um dslocamnto s na mola, atingindo o quilíbrio. Após o quilíbrio, s a massa for dslocada d uma distância solta, trmos um movimnto harmônico simpls. l Posição inicial s quilíbrio K(s) mg d Pla ª li d Nwton F ma. Como a trmos: dt d m ks k mg dt Mas como na posição d quilíbrio mgks, vm: d m k, () dt sujito às condiçõs iniciais (0) 0 (0). Rsolvndo, trmos a quação do movimnto.

42 Obs.: Quando tivrmos uma força d rsistência ao movimnto, dvida ao mio ambint, por mplo, vamos supor qu sta força sja proporcional à vlocidad. Assim a quação () acima ficará: d d m k α, ond α é uma constant d proporcionalidad. dt dt. Dformação m vigas horizontais Dada uma viga simplsmnt apoiada d comprimnto (vão) l, sujita a uma carga uniformmnt distribuída q. l Para dtrminar as raçõs d apoio, podrmos associar a carga uniformmnt distribuída a uma carga concntrada quivalnt, aplicada no cntro d gravidad da carga uniform. ql R A l Aplicando as quaçõs d quilíbrio da Estática ( H 0, V 0 M 0 ) chgarmos a RA RB ql, ond H, V M são as componnts horizontais, vrticais momntos státicos, rspctivamnt. Para a dtrminação da quação dos momntos, tomarmos uma sção S, qualqur, na strutura. S l R B ql q Chgando a: M S RA. q.. EI Sabmos da Mcânica qu M, ond E é o módulo d lasticidad, I é o momnto d R inércia da sção transvrsal, R é o raio d curvatura da linha lástica. Do Cálculo Difrncial, sabmos qu R A / d d R. Como a inclinação da linha lástica é muito pquna, podmos d d

43 d d impor qu 0, chgando a d d nos dará a quação da linha lástica. M EI, qu sujita as condiçõs d contorno (0)0 (l)0,. Circuitos létricos RLC m séri R L C E Aplicando a sgunda Li d Kirchoff, chgamos a: d q dq q L R E( t), qu sujito às condiçõs iniciais i(0)i o q(0)q o, nos dará a quação dt dt C da carga qq(t) num circuito RLC, m séri. Ercícios:. Uma crta mola, cuja constant é k8lb/ft, é mantida na vrtical, stando sua trmidad suprior prsa a um suport. Um corpo psando 6lb é amarrado à trmidad infrior da mola. Dpois do sistma m rpouso, o corpo é puado polgadas para baio m sguida solto. Dsprzando a rsistência do ar, discutir o movimnto.. Uma viga horizontal simplsmnt apoiada, d comprimnto l stá sujita a uma carga uniformmnt distribuída q. Dtrminar a quação da linha lástica a dformação máima (flcha).. Dtrminar a quação da corrnt (i) a quação da carga (q) m um circuito com uma indutância d 0, hnr, uma rsistência d 0 ohms, uma capacitância d 00 microfarads uma força ltromotriz dada por E( t) 00 cos 00t, sujito às condiçõs iniciais i0 q0 quando t0.. Um pso d 0,kg é atado a uma mola d,m d comprimnto. Na posição d quilíbrio, o comprimnto da mola é d,8m. S o pso for suspnso solto a partir do rpouso d um ponto m acima da posição d quilíbrio, ncontr o dslocamnto (t) s é sabido ainda qu o mio ambint ofrc uma rsistência numricamnt igual à vlocidad instantâna. Rspostas: cos 96t ql q ql ql.. EI, ma 6 6 EI 00t. q ( 0,0cos 00t 0,007sn00t) 0,0cos 00t 0,00sn00t 00t i ( cos 00t,sn00t) sn00t cos 00t

44 . t snt ( t) cost SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Chama-s sistma d quaçõs difrnciais a um conjunto d quaçõs difrnciais qu tnham as msmas funçõs incógnitas qu s vrifiqum simultanamnt para as msmas soluçõs. Nst itm irmos studar somnt os sistmas d quaçõs difrnciais ordinárias d coficints constants m qu o númro d quaçõs sja igual ao númro d funçõs incógnitas. A rsolução dos sistmas d quaçõs difrnciais é análoga à rsolução dos sistmas d quaçõs algébricas linars. É smpr convnint scrvr o sistma m função do oprador drivada D. EXERCÍCIOS: Rsolvr os sguints sistmas d quaçõs difrnciais: d dz. d d d d z z d d d 6 z 0 du d. 8z 0 du dz z snu du d dz z. d d d z 0 d ( D ) ( D ) z sn. ( D ) ( D ) z cos d dz. d d d dz z d d 6. ', ' -, com (t), (t), (0)0 (0) 7. t ' ', '-' - -t Rspostas: z ) A A B C cos Dsn B C cos Dsn

45 u u u A B C snu cos u u u B C snu cos u ) u u u A B C 7snu cos u z 0 0 Acos Bsn ) z (A B)cos ( A B) sn A B (8sn cos ) ) 6 B cos 6sn z A 0 0 z A B C ) 9 8 B C 8 6 6) t t t ( ), (6 t ) t t t 7) Acost Bsnt, {( A B)cost ( A B) sn t} 0 0 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Concitos: São as quaçõs difrnciais qu possum drivadas parciais d uma função d várias variávis. A maior ordm da drivada qu aparc na quação difrncial é chamada d ordm da quação difrncial parcial. Com rspito às soluçõs d uma quação difrncial parcial dvmos citar as soluçõs: Solução gral qu é aqula qu possui funçõs arbitrárias, a solução complta qu possui constants arbitrárias a solução singular qu é a nvoltória da família d suprfícis corrspondnts à solução complta. Usualmnt, nas quaçõs difrnciais parciais qu possuam drivadas parciais da função z z z z zf(,), dnota-s p q, ou sja, a quação z z pod sr scrita da forma zp zq. As quaçõs da forma P. p Q. q R são chamadas d quaçõs linars, ond PP(,,z), QQ(,,z) RR(,,z) Dtrminação da solução gral: Nos casos particulars das quaçõs linars P. p Q. q R, ond P0 ou Q0 a solução gral é facilmnt dtrminada por intgração, vjamos os mplos:

46 z a) trá solução gral z f ( ) z b) trá solução gral z f ( ) 6 EXERCÍCIOS: Dtrmin a solução gral das quaçõs difrnciais parciais:. p 0 z z. p z 6. z. q 0 z. p z 7. z z. 6z z 8. Rspostas:. z φ( ) φ. z ( ). z φ( ). z ln φ ( ). z φ ( ). φ ( ). 6. z φ ( ). φ ( ) z φ ( ) φ ( ) 8. z φ ( ) φ ( ) Nos casos grais podrmos mprgar o método d Lagrang, qu consist na rsolução d d dz do sistma, cujas soluçõs são uu(,,z)a vv(,,z)b as rlaçõs P Q R φ ( u, v) 0 ou u φ(v) ou ainda v φ(u) srão soluçõs grais da quação difrncial linar, dsd qu plo mnos u ou v tnham a variávl z. Emplos: Dtrmin a solução gral das sguints quaçõs difrnciais parciais: ) p q z Na comparação com a quação linar vmos qu P, Q R z, qu d d dz d d dz substituído no sistma d Lagrang, rsulta. P Q R z d d d dz D obtmos a d trmos z b z Assim uma solução gral pod sr z φ( ) ) p q 0

47 Substituindo no sistma d Lagrang P, Q R 0, trmos: d d dz 0 D d d obtmos d dz a d trmos z b, logo: 0 z φ ( ) é uma solução gral. 7 ) ( ) p ( z) q z d d dz O sistma auiliar é dado por z z z d dz d D vm a quação linar cuja solução é a z z dz z z z Para dtrminarmos uma sgunda quação difrncial a partir do sistma auiliar, vamos aplicar propridads das proporçõs, assim: d d dz d d d( ), d ond obtrmos: z z z z z dz d( ) z z b Logo z φ é uma solução gral. z z EXERCÍCIOS: Dtrmin a solução gral das quaçõs difrnciais parciais:. p q 8. p q z. zp zq 9. p q z z z z 0. p. sn q.cos. t t t t.. p q z p q z. p q. ( ) p q ( ) z 6. p q z 7. zp zq Rspostas:. φ ( z, ) 0. z φ ( ). φ ( /, t /, t z) 0. z φ ( ). z φ ( ) 6. z φ() 7. φ ( z ) 8. φ ( / / z) 9. z. φ ( ) 0. ln( sn) φ z ln( tg )

48 6 6. φ, 0. z ( ) ln z φ 8 Dtrminação da solução complta Método d Charpit: Dada uma quação difrncial não linar f (,, z, p, q) 0 (), com z uma função d. O método d Charpit para a dtrminação da solução complta (), consist m ncontrar uma quação F (,, z, p, q) 0 () tal qu na rsolução simultâna d () () possamos dtrminar uma rlação p P(,, z) q Q(,, z) d modo qu a na difrncial total dz p. d q. d possa sr intgrada. Para a obtnção d () dvrmos rsolvr o sistma auiliar: d d dp dq dz df () f f f f f f f f 0 p q p q p q z z p q Emplos: Dtrmin a solução complta das sguints quaçõs difrnciais parciais: a) q p p A função f (,, z, p, q) 0 () é f q p p 0 substituída no sistma auiliar nos fornc: d d dp dq dz df p p 0 p p q 0 d dp A partir d vm p a. p Substituindo na quação difrncial dada implica m: a a q p p. Substituindo p q m dz p. d q. d, trmos: dz a. d ( a. a )d, qu é uma difrncial ata, pois a. ( a. a z a. ), intgrada rsulta m: a b, qu é a solução complta. b) p q 0 O sistma auiliar srá d d dp dq dz q 0 0 p q p a, qu substituído na quação dada nos fornc q a. df da razão 0 Substituindo p q m dz p. d q. d, trmos dz ad ad. Intgrando a difrncial antrior trmos a solução complta: z a a b dp trmos 0

49 c) p q 0 O sistma auiliar srá d p d dp dq 0 q dz df p q 0 da razão dp trmos 0 a a p a, qu substituído na quação dada nos fornc q, assim dz a. d d nos a dará a solução complta z a b. d) pq z d d dp dq dz df f f f f f f f f 0 p q p q p q z z p q d d dp dq dz df q p p q pq 0 dp dq D vm p a. q p q p aq Rsolvndo trmos: pq z p az z q qu substituído na difrncial dz p. d q. d nos fornc a z a az d d dz, qu intgrado nos dará a solução complta z b. a a 9 A aplicação do método d Charpit para dtrminadas formas d quaçõs difrnciais parciais nos darão rgras mais simplificadas para a obtnção da solução complta. Podmos citar os sguints casos: i. f ( p, q) 0 Uma solução complta é z a b c, ond f ( p, q) 0 com a p b q. ii. f (, p, q) 0 Fazndo q a m f (, p, q) 0 dtrminarmos p f ( a, ), qu substituído m ) dz p. d q. d intgrado nos dará a solução complta z f ( a, d a b. iii. f (, p, q) 0 Fazndo p a m f (, p, q) 0 dtrminarmos q f ( a, ), qu substituído m dz p. d q. d intgrado nos dará a solução complta z a f ( a, ) d b. iv. f ( z, p, q) 0 A partir das quaçõs auiliars do método d Charpit trmos q ap (), assim a quação f ( z, p, q) 0 ficará f ( z, p, ap) 0 (). A intgração d dz p. d q. d após a substituição d q p, das quaçõs () () antriors, nos dará a solução complta.

50 v. z p q f ( p, q) Uma solução complta tm a forma z a b c, com c f ( p, q). 0 EXERCÍCIOS: Dtrmin a solução complta das quaçõs difrnciais parciais:. p q 9. pq p q 0.. z p q p pq q z p q. p q Rspostas: q p. z a 9 a b a. z a b a. z a b c, ond c a b ab. z a b a b. / z ± a. a b 6. p q 7. pq p q q 8. p 9. p q 0. p qz 0. a z az a z ln( az a z ) a( a b) 6. z a a b a 7. z a b a 8. z a ± a ln b 9. z a a ln b REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ABUNAHMAN, Sérgio A. Equaçõs difrnciais. São Paulo: LTCE. AYRES Jr, Frank. Equaçõs difrnciais. Rio d Janiro: McGraw-Hill do Brasil, 970. EDWARDS Jr, C. H. Equaçõs difrnciais lmntars com problmas d contorno. Rio d Janiro: Prntic-Hall do Brasil, 99. ZILL, Dnnis G. Equaçõs difrnciais com aplicaçõs m modlagm. São Paulo: Pionira Thompson Larning, 00.