Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

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3 Marília Brasil Xavir REITORA Pro. Rubs Vilha Fosca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

4 MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Tiira Lops ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Tiira Lops REALIZAÇÃO Dados Itracioais d Catalogação a Publicação (CIP F676c Fosca, Rubs Vilha Cálculo / Rubs Vilha Fosca Blém: UEPA / Ctro d Ciêcias Sociais Educação,. 8 p.; ii. ISBN: Cálculo dircial.. Cálculo itgral. I. Uivrsidad Estadual do Pará. II. Título. CDU: 7. CDD:. Ídic para catálogo sistmático. Cálculo: 7. BELÉM PARÁ BRASIL - -

5 Capítulo LIMITES O cálculo dircial itgral s basia m um procdimto cohcido como it. O objtivo dss procdimto é avaliar o qu acotc com uma ução quado a variávl idpdt td a um crto valor. O it d uma ução pod sr avaliado das sguits ormas: Graicamt, aalisado o comportamto gráico da ução m um sotwar matmático; Numricamt, substituido valors a ução; Aaliticamt, a partir das técicas algébricas d rsolução. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA A opração matmática chamada it s rprsta da sguit orma: ( p Dvmos lr ssa prssão da sguit orma: it d ( quado td a p. A prssão do it crra a sguit prguta: Qual é o valor da ução quado td a p? Lia o it abaio: O it dv sr lido da sguit orma: Limit d + quado td a.

6 CAPÍTULO LIMITES ANÁLISE GRÁFICA Ess tipo d aális prmit airmar o valor d um it apas olhado o su gráico. Por mplo, cosidr a ução dada o mplo atrior: O su gráico é dado por: td a td a.. Plo gráico podmos prcbr qu, quado td a, td a. Etão o it é igual a: ANÁLISE NUMÉRICA Cosidrado o it: ( p A aális umérica cosist m avaliar o valor da ução quado vai s aproimado d p. Essa aproimação dv sr ita d duas mairas: Dimiuido o valor d até chgar m p; Aumtado o valor d até chgar m p. Fazr a aális umérica do it: 6

7 CAPÍTULO LIMITES Para acilitar o tdimto, vamos costruir a sguit tabla: dimiuido até p= aumtado até p= = + = +,,,9,8,,,99,98,,,999, É muito importat sabr qu ão stamos itrssados o valor da ução o poto =, mas o qu acotc com a ução quado s aproima cada vz mais d. AVALIAÇÃO ANALÍTICA A avaliação aalítica d um it é ita basicamt através d tormas d um pouco d álgbra. A scolha d uma dtr as várias técicas d solução dpd d como a ução s comporta um dtrmiado valor d. Eistm dois comportamtos qu podm sr sprados d uma ução: Cotiuidad; Dscotiuidad. Dizmos qu uma ução é cotíua um poto s ão ist hum tipo d itrrupção a sua trajtória ss local. Por outro lado, uma ução dscotíua aprsta itrrupção a sua trajtória m um ou mais potos. Imagi duas pssoas subido um pquo morro. A pssoa qu vm pla squrda, o poto P, prcb qu chgou a uma altura d mtros. A outra pssoa qu vm pla dirita, o msmo poto P, prcb qu chgou a uma altura d mtros. Podmos tão cocluir qu ist uma dscotiuidad (itrrupção o poto P, pois o morro aprstou um salto ss poto (d mtros para mtros. 7

8 CAPÍTULO LIMITES CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE Obsrv os gráicos abaio: No primiro gráico, à mdida qu os aproimamos d p pla dirita ou pla squrda, a ução td a (p. Idtiicamos ss tipo d gráico como sdo d uma ução cotíua. No sgudo gráico, à mdida qu os aproimamos d p pla dirita pla squrda, a ução aprsta valors dirts. Nss caso, a ução tm uma dscotiuidad do tipo salto. Eist aida uma trcira situação m qu a ução tm uma dscotiuidad do tipo buraco, ou sja, a ução ão pod sr calculada m p mbora o it ista. Ecotrar o it: Ao ttarmos substituir = a ução aparcrá zro o domiador. Isso apartmt os lvaria a psar qu o it ão tm solução. Aalisado umricamt ss it: ( (,,,9,9,,,99,99,,,999,

9 CAPÍTULO LIMITES Como podmos plicar qu o it quado td a é igual a ão sja possívl substituir = a ução? vamos rgar a situação o gráico: Chgamos à coclusão qu cotrar um dtrmiado it ão qur dizr simplsmt calcular o valor da ução um poto. Nss mplo, a ialidad do it é dscobrir o comportamto da ução quado td a ão quado é igual a. Fica mais ácil vriicar qu o it é igual a azdo a atoração do umrador: ( ( ( Na vrdad, o qu izmos oi cotrar uma ução quivalt à origial qu orcss os msmos valors d quado td a. Not qu a bola abrta o gráico sigiica qu a ução origial ão é diida o poto =. O rsultado dss it orc a localização do buraco a ução. Podmos rsumir as três situaçõs mostradas o sguit quadro: Quado a ução é cotíua ( (p p Quado a ução ão é cotíua ( ão ist quado a ução aprsta salto m p. p ( p L quado a ução ão é diida m p. 9

10 CAPÍTULO LIMITES PROPRIEDADES DO LIMITE O it aprsta as propridads listadas abaio: (a k ( k ( (b p p p p [ ( g(] ( g( (c ( g( ( g( (d p p ( g( p p ( p, dsd qu g( g( p p p Calcular os its: ( 8 9 ( ( 9 já qu ( ão atd à propridad (d. Nss caso, podmos apas atorar o umrador para obtr: 9 ( ( ( ( 6 Para usar ssas propridads, é cssário qu os its istam:: ( p g( p

11 CAPÍTULO LIMITES LIMITES LATERAIS A oção d it latral surg da cssidad d diirmos qual é o it d uma ução quado a variávl idpdt td pla dirita pla squrda do poto cosidrado. Essa oção é muito importat a caractrização d uma ução qu possui salto um poto. O it da ução ( quado td a p pla dirita é rprstado da sguit maira: p ( Da msma orma, o it da ução quado td a p pla squrda é rprstado por: p ( Quado os its latrais orm dirts: p ( p ( ( p ão ist Nss caso, a ução ( aprsta uma dscotiuidad do tipo salto m =p. Calcul os its latrais m = da sguit ução: (, s, s ( ( Como os its à squrda à dirita são dirts, a ução aprsta um salto m = é cosidrada dscotíua. Podmos usar um artiício bm simpls para calcular os its latrais: ( p Nss caso, substituímos por p+h azmos h tdr a zro.

12 CAPÍTULO LIMITES Calcular o it: Fazdo as dvidas substituiçõs: h (p h h ( h 7 ( p Nss caso, substituímos por p-h azmos h tdr a zro. Calcular o it: Fazdo as dvidas substituiçõs: h (p h h ( h 7 O SÍMBOLO Até uma crta as dos ossos studos m matmática, ão tíhamos idéia do rsultado da sguit divisão: Vamos agora mostrar o qu isso sigiica. Para isso, chamarmos o domiador dssa ração d dimiuirmos o su valor até zro. (,,,......

13 CAPÍTULO LIMITES Podmos prcbr pla tabla qu, dimiuido o valor d cada vz mais, o valor da divisão aumta cada vz mais. Quado é atamt zro, tão a divisão é atamt o qu diimos como iiito. Rprstarmos o iiito plo símbolo: Iiito = A idéia d iiito é d um úmro tão grad quato você possa imagiar. Na vrdad, s você imagiar qualqur úmro ss momto, tão o iiito aida é maior do qu você imagiou. O quivalt gativo do iiito é rprstado plo símbolo úmro gativo qu você pod imagiar. sigiica o mor LIMITES NO INFINITO Eistm algumas situaçõs m qu cssitamos cotrar o it d uma ução quado a variávl idpdt td ao iiito. Esss tipos d it são prssos por: ( ( Calcular o it: Vamos azr uma tabla para avaliar umricamt ss it: Etão: X (,,

14 CAPÍTULO LIMITES Graicamt, podmos vr mlhor o rsultado dss it: À mdida qu camiha a dirção positiva, ( td a zro. Por outro lado, o it: À mdida qu camiha a dirção gativa, ( também td a zro. Os its abaio também rsultam o msmo valor:..., para qualqur >. Esss rsultados são utilizados quado prcisarmos calcular um it do tipo: P( Q(, sdo P( Q( dois poliômios. A técica s rsum a dividir o umrador o domiador pla maior potêcia d istt os poliômios P( Q(, aplicado m sguida o it. Calcular o it: Dividido o umrador o domiador por :

15 CAPÍTULO LIMITES Aplicado as propridads dos its, trmos como rsultado: LIMITES INFINITOS Ao calcularmos os its latrais d uma ução, às vzs os dparamos com um crscimto (ou dcrscimto iitado. Um mplo disso são os its: O gráico da ução pod os orcr ssa iormação valiosa: Aproimação pla dirita Aproimação pla squrda À mdida qu vai s aproimado pla dirita d zro, a ução td a crscr iitadamt. Já quado z s aproima d zro pla squrda, a ução td a dcrscr iitadamt. Isso az com qu os its rspctivamt sjam iguais a: Chgamos assim à coclusão qu os its ão istm.

16 CAPÍTULO LIMITES APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS O cocito d its iiitos tm aplicaçõs itrssats dtro da Física. Por mplo, cosidr a amosa li d Ohm: V R I Od: V é a tsão aplicada m Volts; R é a rsistêcia létrica m (Ohms; I é a corrt létrica m Ampérs. Rarrajado a li d Ohm: I V R Vamos agora aalisar o sigiicado do sguit it: V R R Sabmos qu o rsultado dss it é + zro, a corrt létrica td ao iiito.. Isso sigiica qu, quado a rsistêcia td a S dois ios dscapados d um ltrodoméstico s tocarm, a rsistêcia létrica tr sss dois ios srá igual a zro, portato, a corrt tdrá ao iiito. Ess altíssimo valor d corrt é muito prigoso, pois pod provocar icêdios d grads proporçõs. ASSÍNTOTAS VERTICAIS Quado os its são iguais a: ( p ou ( p Estamos diat d uma iormação importat: a assítota vrtical. A assítota vrtical é uma rta imagiária qu passa atamt a dscotiuidad da ução. 6

17 CAPÍTULO LIMITES A quação da rta imagiária é tão dada por: p Ecotrar a assítota vrtical da ução: ( A assítota stá localizada m =, já qu os its são iguais a: Portato, a quação da rta vrtical imagiária é igual a: lado. O gráico da ução pod sr corido ao ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Quado os its o iiito orm iguais a: ( L ou ( L A ução ( s aproima d uma rta imagiária a assítota horizotal. A quação da rta imagiária é dada tão por: L Ecotrar a assítota horizotal da ução: ( 7

18 CAPÍTULO LIMITES Tomado o it: Dssa orma, a quação da rta horizotal imagiária é igual a: O gráico da ução pod sr corido ao lado. APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Um mplo d aplicação da assítota horizotal é o carrgamto da batria do su aparlho clular. Podmos prssar o prctual d carga P, m ução do tmpo, pla sguit ução: P(t ( kt Od k é uma costat qu dpd da batria usada o aparlho. Ao calcularmos o it: t P(t Ecotrarmos a sua assítota horizotal: t P(t t ( kt ( % % 8

19 CAPÍTULO LIMITES Isso qur dizr qu a carga complta (% da capacidad da batria ocorrrá toricamt apas um tmpo iiito após iiciar o carrgamto. Por isso, o abricat rcomda o maual do aparlho uma carga d hora (m média qu corrspod a aproimadamt 9% da sua capacidad máima. LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA Algumas uçõs são compostas d duas ou mais uçõs lmtars, como por mplo: l( Podmos rgar ssa ução da sguit maira: l u, sdo u Dsjamos cohcr os its d tais tipos d uçõs. Cosidr o it: [g(] p S izrmos: u g( Etão: u a quado p [g(] (u p u a Isso só srá válido s (u u a istir. Calcular o it: l( 9

20 CAPÍTULO LIMITES Fazdo: u Pla quação atrior, podmos cocluir qu: Etão: u quado l( l u u l TEOREMA DO CONFRONTO O torma do coroto é um dos tormas mais útis o cálculo d its porqu prmit cotrar um rsultado basado m comparaçõs com outros its cohcidos. Vamos supor qu um dtrmiado itrvalo: g ( ( h( S: g( p L h( p Etão: ( p L O torma do coroto os diz qu s ( or maior ou igual a g( mor ou igual a h( um dtrmiado itrvalo s as uçõs g( h( tdrm a um msmo it, tão ( tdrá a ss it também. Graicamt, é mais ácil mostrar o sigiicado dss importat torma:

21 CAPÍTULO LIMITES LIMITES IMPORTANTES Vamos discutir dois its importats, pois prcisarmos dos sus rsultados mais adiat o capítulo d drivadas. Os dois its são: s( Primiramt, vamos mostrar umricamt qu:,78... Para avaliar ss it, vamos motar a sguit tabla:,78...., , ,

22 CAPÍTULO LIMITES Podmos otar qu, à mdida qu aumta, a ução dada td a um valor costat qu chamarmos d (úmro d Eulr. Já vimos atriormt qu um it dss tipo di uma assítota horizotal dada pla quação: O gráico da ução da sua assítota é mostrado abaio: - + Obsrvado attamt o gráico, também podmos airmar qu: Qurmos agora mostrar qu: s( Para avaliar ss it, vamos motar a sguit tabla: s(,,998,,99998,, O gráico dssa ução é dado por:

23 CAPÍTULO LIMITES Podríamos tr calculado o it através do torma do coroto. Para isso, dvmos sabr qu é vrdadira a dsigualdad (vja a dmostração o apêdic : s ( tg(, para qualqur. Vamos dividir os três mmbros por s(: s( tg( s( A tagt do âgulo é dada pla sguit rlação trigoométrica: tg ( s( cos( Substituido a dsigualdad, obtrmos: s( cos( Para qualqur, podmos azr: s( cos( Vamos calcular os its das sguits uçõs quado td a zro: cos( Etão, coorm o torma do coroto: s( LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA

24 CAPÍTULO LIMITES Às vzs, os dois its importats mostrados atriormt ão stão a sua orma padrão. Quado isso acotc, dvmos usar o cocito d it d ução composta. Calcular o it: s( Primiro, multiplicamos dividimos a ução por : ( Agora, azmos: u s( s( Pla quação atrior, podmos cocluir qu: u quado Portato, o it é igual a: s( u s(u u s(u u u Calcular o it: Para trasormar ss it a orma padrão, dvmos azr: u u Pla quação atrior, podmos cocluir qu: u quado Isso az com qu o it sja igual a:

25 CAPÍTULO LIMITES u u u u u u CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE Os cocitos d it mostrados até agora são iormais. Matmaticamt, prcisamos d uma diição mais prcisa. O it: ( p É igual a L s, dado um úmro >, ist um úmro > (dpddo d tal qu: ( L quado p A diição airma qu, scolhdo qualqur L+ L-, istirá um valor positivo tal qu p stará tr p+ p-. positivo d orma qu o it L stja tr Em poucas palavras qurmos dizr qu, para potos vizihos d p, a ução s aproima do su it L. Essa diição d it pod sr vriicada através do sguit gráico: Dmostr o it abaio:

26 CAPÍTULO LIMITES Pla diição d it: ( quado Substituido a prssão d (: Fatorado o umrador: ( ( O rsultado é igual a: ( S scolhrmos tão a ução ( s aproimará d quado tdr a. Podmos plicar ssa situação d uma maira bm mas simpls. S scolhrmos, tão para valors d tr, (=p+,9 (=p-, o it da ução stará tr, (=L+,9 (=L- já qu,. LIMITES NO MATHEMATICA O sotwar Mathmatica prmit o cálculo d its através d um comado muito simpls: Limit[prssão, ->a] Not qu o símbolo -> é um sial d subtração sguido d um sial d maior. Calcular o it abaio o Mathmatica: 6

27 CAPÍTULO LIMITES O sguit comado dv sr digitado cutado: Limit[(*^+*^++/(*^+*^+, ->Iiit] O Mathmatica orc / como rsultado. Podmos também calcular os its latrais da ução através dos sguits comados: Limit[prssão, ->a, Dirctio->] Limit[prssão, ->a, Dirctio->-] No primiro caso, o comado calcula o it latral à squrda d a a prssão. Já o sgudo caso, o comado calcula o it latral à dirita d a a prssão. EXERCÍCIOS Ecotr os sguits its: a 9 l b c d g h i tg( s( m o 7

28 CAPÍTULO LIMITES j Calcul o it: h ( h h ( Para cada um dos casos abaio: a ( b ( c ( d ( ( 8

29 Capítulo DERIVADAS A drivada d uma ução é cosidrada a rramta mais importat do cálculo dircial. Essa popularidad é rsultado das iúmras aplicaçõs dssa podrosa rramta. Por mplo, o dsvolvimto d ovos aparlhos o apriçoamto dos já istts, d alguma orma, dpd do cohcimto da drivada d uma ução. É itrssat sabr qu a drivada ascu d uma idéia bm simpls: o cálculo do coicit agular d uma rta usado its. CONCEITO DE DERIVADA Ats d ormalizar a diição d drivada, vamos comçar com um mplo umérico. Cosidr a sguit ução: ( Primiramt, vamos scolhr dois valors d : Os valors d corrspodts a sss potos são: ( ( Etão, a curva da ução passa plos potos: P (, Q (, (, (, Podmos traçar uma rta qu passa por P Q cujo coicit agular é dado por: m 9

30 CAPÍTULO DERIVADAS O domiador do coicit agular é igual a: Graicamt, podmos rgar mlhor ssa situação: Agora vamos azr:, Etão: (,,, Portato, o poto Q tm as sguits coordadas: Q (, (,,, O coicit agular da rta qu passa por P Q é dado por: m,,,,, Sdo qu:,, Novamt, vamos azr:, Etão: (,,, As coordadas do poto Q são iguais a:

31 CAPÍTULO DERIVADAS Q (, (,,, O coicit agular da rta qu passa por P Q é dado por: m,,,,, Sdo qu:,, Vamos colocar todos os rsultados obtidos a sguit tabla: m,,,, À mdida qu s aproima d zro, o poto Q s aproimará cada vz mais d P a rta qu corta a ução passará a tagciá-la. O coicit agular da rta tagt a ( é igual a. A situação, quado td a zro, pod sr vista o gráico abaio: Not qu ss é um procsso it dado por: m Od m é o coicit agular da rta tagt a (. Vamos ormalizar o cocito d drivada comparado com o mplo umérico mostrado. Diimos a drivada d uma ução ( plo sguit it: ( (

32 CAPÍTULO DERIVADAS Vamos mostrar, d uma orma gérica, o sigiicado dssa prssão. Comçamos colocado o gráico os potos P Q: Not qu podmos traçar uma rta qu passa por P Q. O coicit agular dssa rta é dado por: m ( ( ( ( ( À mdida qu td a zro, o poto Q s aproima cada vz mais d P: No it, quado td a zro, a rta tagciará a ução o poto P. O coicit agular dssa rta é tão cohcido como drivada da ução: Drivada = ( ( Algus autors costumam calcular a drivada através da órmula quivalt: Drivada = h ( h h ( A rprstação d drivada é ita colocado-s um apóstroo após o símbolo m (:

33 CAPÍTULO DERIVADAS ( Etão: ( ( ( Pla diição, otamos qu a drivada dpd do valor d. Isso sigiica qu podmos calcular o coicit agular da rta tagt à ução ( para qualqur valor d scolhido. No capítulo, vimos qu o coicit agular d uma rta orc a taa d variação da variávl m rlação à variávl (por mplo, graus Clsius por hora ou milhõs por ao. Portato, a drivada md a taa d variação da ução ( um dtrmiado poto, ou sja, quato maior o valor da drivada m tão mais icliada srá a ução ( ss poto. Vamos vriicar ssa airmação através do sguit gráico: Podmos prcbr qu a rta r tm icliação mor qu a rta s. Nss caso, a drivada m é mor qu a drivada m. O rsultado é qu a ução ( m é mais icliada qu m. ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Vamos aplicar o it qu di a drivada para stablcrmos as rgras d drivação d algumas uçõs.

34 CAPÍTULO DERIVADAS ( ( (para qualqur valor d, a ução srá smpr igual a ( ( ( ( Rsumo: A drivada d uma ução costat é igual a zro. ( ( ( ( ( ( ( ( Rsumo: A drivada d uma ução liar é igual ao su coicit agular. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Rsumo: A drivada d uma ução quadrática é igual à sua costat ( multiplicada plo valor do pot ( pla variávl com o pot rduzido d uidad. (

35 CAPÍTULO DERIVADAS ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Rsumo: A drivada d uma ução cúbica é igual à sua costat ( multiplicada plo valor do pot ( pla variávl com o pot rduzido d uidad. A rgra gral para o caso d uçõs com potêcias d é dada por: ( k ( k Calcular a drivada da ução: ( Pla rgra gral: ( Outras uçõs podm sr quadradas a orma gral mostrada atriormt. Por mplo:

36 CAPÍTULO DERIVADAS ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada vista atriormt: ( k ( Rsumo: A drivada da ução raiz quadrada é ormada colocado o umrador, (ídic da raiz o domiador, sguido da raiz quadrada d. ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada: ( k ( Rsumo: A drivada da ução raiz cúbica é ormada colocado o umrador, (ídic da raiz o domiador, sguido da raiz cúbica d lvado à potêcia. ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada: ( k 6

37 CAPÍTULO DERIVADAS ( Rsumo: A drivada da ução é ormada colocado o umrador (potêcia d dtro da raiz, (ídic da raiz o domiador sguido da raiz quarta d lvado à potêcia. por: A rgra gral para o caso d uçõs raiz é dada ( k q p, com q>p ( q k q p q p Ecotrar a drivada da ução: ( Aplicado a rgra para uçõs raiz: ( ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada: ( k ( ( Rsumo: A drivada da ução é ormada colocado - o umrador, sguido d lvado à potêcia o domiador. 7

38 CAPÍTULO DERIVADAS ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada: ( k ( ( Rsumo: A drivada da ução é ormada colocado - o umrador, sguido d lvado à potêcia o domiador. ( Primiramt, vamos modiicar ssa ução: ( Aplicado a rgra da drivada: ( k ( ( Rsumo: A drivada da ução é ormada colocado - o umrador, sguido d lvado à potêcia o domiador. A rgra gral ss tipo d ução é dada por: ( k k ( ( 8

39 CAPÍTULO DERIVADAS Ecotrar a drivada da ução: ( Aplicado a rgra stablcida: ( ( EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabmos calcular o coicit agular da rta tagt a (. Nss poto, vamos cotrar a quação qu di a rta tagt a (. Ecotrar a quação da rta tagt a. ( o poto O coicit agular da rta tagt à ução ( é dada por: ( No poto, o valor do coicit agular é igual a: ( ( 6 S quisrmos sabr a quação dssa rta basta sabr m qu poto la passa. No caso, quado : ( ( 9 9

40 CAPÍTULO DERIVADAS Etão, a rta tagt passa plo poto P: P (, (,9 (= Logo, a quação procurada é dada por: =6-9 ( m ( ( ( ( ( 9 6 ( 6 9 O rsultado é mostrado o gráico ao lado. É importat otar qu o sial do coicit agular idica s a ução é crsct ou dcrsct m dtrmiados itrvalos. No mplo atrior, quado >, a drivada srá smpr positiva o qu qur dizr qu a ução srá smpr crsct ss itrvalo. Por outro lado, quado <, a drivada srá smpr gativa o qu qur dizr qu a ução srá smpr dcrsct ss itrvalo. O gráico abaio prssa bm o qu airmamos atriormt: DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES Drivadas d outras uçõs podm sr dmostradas através d its. A tabla a sguir mostra o rsultado dss cálculo. Fução Drivada ( s( ( cos( ( cos( ( s( ( tg( ( sc (

41 CAPÍTULO DERIVADAS ( ( ( a ( a l a ( l ( Provar qu, s ( tão (. Primiramt, dvmos calcular: ( A drivada da ução é dada plo sguit it: ( ( ( ( Para rsolvr ss it, vamos azr: u l( u Pla quação atrior, podmos cocluir qu: u quado Substituido o it: u u l( u u l( u u l( u u u l ( u u u l Etão: (

42 CAPÍTULO DERIVADAS PROPRIEDADES DA DERIVADA A drivada d uma ução aprsta as sguits propridads: ( [k (] k ( ( [ ( g(] ( g ( (g [( g(] ( g( ( g ( ( ( g( ( g ( (h, dsd qu g( g( [g(] Calcular as drivadas: (, tão ( ( ( 6 ( cos(, tão ( [cos(] [ s(] s( (, tão ( ( ( ( cos(, tão ( ( cos( [cos( ] ( cos( [ s(] cos( s( (, tão cos( ( ( cos( [cos(] [cos(] ( cos( cos ( [ s(] cos( cos ( s( DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Até o momto, aprdmos apas a calcular a primira drivada (também chamada d drivada d primira ordm. Vamos diir agora as drivadas d ordm suprior a um. A sguda drivada é prssa por: ( [ (] Para obtrmos a sguda drivada da ução, basta drivarmos a primira drivada.

43 CAPÍTULO DERIVADAS Ecotrar a sguda drivada da ução: ( A primira drivada é dada por: ( Etão, a sguda drivada é igual a: ( ( 6 orma: Diimos as drivadas d ordm três, quatro, cico a drivada d ordm da sguit ( [ (] (iv ( [ (] (v ( [ (iv (] ( ( [ ( (] Coorm a última órmula, s quisrmos obtr a décima drivada d uma ução, tão, prcisamos cotrar todas as drivadas d ordm irior a dz. Ecotrar a quita drivada da ução: ( A primira drivada é dada por: ( [(] 9 A sguda drivada é igual a: ( [ (] (

44 CAPÍTULO DERIVADAS A trcira drivada é igual a: ( [ (] 9 ( A quarta drivada é igual a: (iv ( [ (] 7 (7 6 6 Fialmt, a quita drivada é igual a: (v ( [ (iv (] (6 NOTAÇÃO PARA DERIVADAS Chamamos d otação à maira qu rprstamos uma idéia matmática. Por mplo, a otação d uma ução é ita d uma das sguits ormas: ( ou A otação d primira drivada é dada por uma das ormas abaio: ( d,, ou d A última orma é a mais importat sigiica a primira drivada d m rlação a. A sguda drivada pod sr rprstada por uma das ormas abaio: (,, ou d d A otação da trcira drivada é dada por uma das sguits ormas: (,, ou d d E assim sucssivamt, até a -ésima drivada: ( (, ( ou d d

45 CAPÍTULO DERIVADAS REGRA DA CADEIA A drivada d uma ução composta é cohcida como rgra da cadia, ou sja, dsjamos cohcr a drivada d uçõs do tipo: (g( Nss caso, vamos azr: u g( Etão a ução iicial s tora: (u A drivada d m rlação a é dada por: d d d d du du d du du d Essa prssão é cohcida como rgra da cadia. Podmos scrvr a rgra da cadia d uma orma mais simpls: d d (u u ( Ecotrar a drivada d m rlação a da ução: s( Podmos otar qu a ução g ( stá dtro da ução so. Dvmos azr tão: u A ução s tora: s(u A drivada d m rlação a u é igual a: (u cos(u A drivada d u m rlação a é igual a: u (

46 CAPÍTULO DERIVADAS Etão a drivada d m rlação a é dada por: d d (u u ( d d cos(u Substituido u por a quação atrior: d cos( d Ecotrar a drivada d m rlação a da ução abaio: ( Not qu a ução g( stá dtro da ução quadrática. Dvmos azr: u A ução s tora tão: u A drivada d m rlação a u é igual a: (u u A drivada d u m rlação a é igual a: u ( Etão a drivada d m rlação a é dada por: d d (u u ( d u ( d Substituido a prssão d u a quação atrior: d ( ( d 6

47 CAPÍTULO DERIVADAS Podmos gralizar a rgra da cadia através da sguit órmula: d d d d d d d d... d d d d Ou a orma mais simpls: d d ( ( (... ( ( Ecotrar a drivada d m rlação a da ução abaio: s(l( Para rsolvr o problma, dvmos azr: A ução s torará tão: Agora azmos: s(l( l( Isso tora a ução igual a: s( Comçarmos calculado a drivada d m rlação a : ( Em sguida, vamos calcular a drivada d m rlação a : ( O cálculo da drivada d m ução d orc: ( cos( cos(l( cos(l( 7

48 CAPÍTULO DERIVADAS A drivada d m rlação a é dada pla rgra da cadia: d d ( ( ( d d cos(l( Fialmt, a drivada d m rlação a é dada por: d d cos(l( APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA No capítulo, mostramos qu a curva d Gauss é dada pla sguit ução: ( Obsrvado ( attamt, podmos idtiicar uma composição d três uçõs. Portato, para calcularmos a primira drivada dvmos azr uso da rgra da cadia: d d d du du dg dg d (u u (g g ( Primiramt, dvmos azr: g A ução s torará tão: g Agora azmos: u g Isso tora a ução igual a: u 8

49 CAPÍTULO DERIVADAS Comçarmos calculado a drivada d g m rlação a : g ( Lmbr-s qu o parâmtro qu aparc m g é costat a sua drivada é ula. Em sguida, vamos calcular a drivada d u m rlação a g: u (g g O cálculo da drivada d m ução d u orc: (u d du u d du ( u u pocial. Not qu o parâmtro é costat, portato, dvmos drivar apas a ução A drivada d m rlação a é dada pla rgra da cadia: d d (u u (g g ( d d u ( g d d Substituido os valors d u g: A drivada d ( srá usada postriormt para mostrar od s localiza o poto d máimo dssa ução. Ess rsultado é importat, pois os iorma qual é a ocorrêcia qu tm a maior probabilidad d acotcr. Por mplo, m uma distribuição d alturas dos aluos d uma scola, qual srá a altura mais provávl d sr cotrada? 9

50 CAPÍTULO DERIVADAS DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA d Vamos dividir por d o umrador o domiador da drivada : d d d d d d d Para cotrar a drivada d uma ução ivrsa, basta aplicar a sguit rgra: d d d d Ecotrar a drivada da ução abaio: arcs( A ução ivrsa d é dada por: s ( Drivado a prssão atrior: d d cos( Etão, a drivada d m rlação a é igual a: d d cos O sgudo mmbro ão pod icar m ução d. Podmos iar a dpdêcia d através da rlação trigoométrica udamtal: s cos cos s cos s Substituido a prssão da drivada: d d

51 CAPÍTULO DERIVADAS Rsumo: a drivada da ução arco-so é igual a. Ecotrar a drivada da ução abaio: l A ução ivrsa d é dada por: Drivado a prssão atrior: d d Etão, a drivada d m rlação a é igual a: d d O sgudo mmbro ão pod icar m ução d. Podmos iar a dpdêcia d sabdo qu: Etão: d d Rsumo: a drivada da ução logaritmo priao d é igual a. Através dss método, podmos cotrar as sguits drivadas: ( ( ( Fução arcos( arctg( Drivada ( ( (

52 CAPÍTULO DERIVADAS DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Quado istirm somt ocorrêcias da variávl o sgudo mmbro da quação d uma ução, tão dizmos qu a ução é plícita. Ess tipo d ução possui a sguit rprstação: ( São uçõs plícitas: cos( Not qu a variávl aparc apas o sgudo mmbro m todas as uçõs dadas. Por outro lado, dizmos qu uma ução é implícita quado stivr a orma: (, A drivada dss tipo d ução é ita usado as rgras as propridads das drivadas d uçõs plícitas. Ecotr a drivada da sguit ução implícita: Tomado a drivada m rlação a os dois mmbros: d ( d d ( d Podmos aplicar a propridad da drivada da soma para cotrar: d ( d d ( d d ( d d ( d Fazdo u, podmos calcular a drivada do primiro trmo através da rgra da cadia: du d du d d d

53 CAPÍTULO DERIVADAS d ( d d d Chamado du d u, podmos calcular a drivada do sgudo trmo: d ( d As drivadas do trciro trmo do primiro mmbro do sgudo mmbro são iguais a zro já qu a drivada d uma costat é igual a zro. Vamos substituir as drivadas m cada um dos trmos da quação d origm: d d d Isolado o primiro mmbro trmos: d d d Ecotr a drivada da sguit ução implícita: Podmos aplicar a propridad da drivada da soma para cotrar: d ( d d ( d d ( d d ( d O primiro trmo é a drivada do produto d duas uçõs: d ( d d d d d d d Chamado du d u, podmos calcular a drivada do sgudo trmo:

54 CAPÍTULO DERIVADAS As drivadas do trciro trmo do primiro mmbro do sgudo mmbro são iguais a zro já qu a drivada d uma costat é igual a zro. Vamos substituir as drivadas m cada um dos trmos da quação d origm: d d d d DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Em algus casos, uma ução pod sr cotíua mas ão sr drivávl um poto. Isso sigiica qu a cotiuidad ão garat qu a ução é drivávl. Por outro lado, s uma ução é drivávl um poto podmos tr crtza qu a ução é cotíua. Fuçõs qu aprstam potas ou catos os sus gráicos são cotíuas mas ão são drivávis. As uçõs abaio são cotíuas mas ão são drivávis as potas ou catos: Gráico com pota Gráico com cato Quado uma ução é cotíua mas ão é drivávl, tora-s impossívl traçar uma úica rta tagt os potos m qu ocorrm os catos as potas. Vja o gráico:

55 CAPÍTULO DERIVADAS Not qu podmos traçar as rtas r s tagts à ução ( o poto p. Na vrdad, istm iiitas rtas qu tagciam a ução o poto p. Provamos qu uma ução pod sr cotíua mas ão drivávl através dos its qu dim a cotiuidad a drivada. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Aalisado o sial da primira drivada, podmos tr uma idéia do comportamto d uma dtrmiada ução. Obsrv o gráico abaio: Para cada um dos potos aalisados, podmos obsrvar qu o coicit agular da rta tagt à ução tm um sial dirt. Na primira rta à squrda o coicit agular é gativo, logo, a rta tagt é dcrsct a ução também stá dcrscdo. Já a sguda rta à squrda o coicit agular é positivo, portato, a rta tagt é crsct a ução stá crscdo. Lmbramos qu o coicit agular da rta tagt à ução ( é dado pla primira drivada d (, portato, o su sial mostra od a ução crsc ou dcrsc. Caractrizar a ução abaio m crsct ou dcrsct m =. 7

56 CAPÍTULO DERIVADAS A primira drivada é dada por: 7 No poto =, a primira drivada é igual a: ( 7 Como a primira drivada é gativa, tão a ução 7 é dcrsct m =. Partido do mplo atrior, caractrizar a ução m crsct ou dcrsct m =. No poto =, a primira drivada é igual a: ( 7 Como a primira drivada é positiva, tão a ução 7 é crsct m =. CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO Assim como a primira drivada, a sguda drivada também tm um sigiicado spcial. É possívl dmostrar qu a sguda drivada idica a cocavidad da ução o poto. Quado a sguda drivada é positiva, a cocavidad stá para cima; Quado a sguda drivada é gativa, a cocavidad stá para baio. Cosidr a ução: a b c A sguda drivada é dada por: a a b 6

57 CAPÍTULO DERIVADAS O qu podmos prcbr é qu, dpddo do sial d a, a sguda drivada mostra s a cocavidad da ução stá para cima ou para baio. Como a sguda drivada é costat, tão a ução possui apas uma cocavidad. Qual é a cocavidad da ução o poto =? A sguda drivada é dada por: 9 8 O poto = "rga" a ução com cocavidad para cima porqu: ( 8 6 é positivo. No mplo atrior, qual é a cocavidad da ução o poto =-? O poto =- "rga" a ução com cocavidad para baio já qu: ( 8 ( 8 é gativo. Em algumas uçõs, ist um valor d m qu a sguda drivada s aula. Ess poto é chamado poto d ilão. Nss caso, o valor d cotrado spara a ução m duas cocavidads dirts. Ecotrar, s houvr, o poto d ilão da ução: A sguda drivada é dada por: 6 7

58 CAPÍTULO DERIVADAS Igualado a sguda drivada a zro: O poto = spara a ução m dois tipos d cocavidad. Por mplo, para qualqur < o valor da sguda drivada é gativo, tão a ução tm cocavidad para baio. Já para >, o valor da sguda drivada é positivo a ução tm cocavidad para cima. Obsrv o gráico: Cocavidad para cima Cocavidad para baio Etão é poto d ilão. PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO Numa ução do sgudo grau, v é chamado poto d máimo ou d míimo, dpddo da sua cocavidad. Vamos agora ormalizar um método para cotrar ss poto para qualqur tipo d ução. Sabmos qu a primira drivada orc o coicit agular da rta tagt a qualqur ução. Pois bm, m algumas uçõs, ist um valor d m qu a primira drivada s aula. Nss poto stamos sobr o poto d máimo ou d míimo. Imagi uma strada com altos baios. Um automóvl stá o poto mais alto (máimo ou mais baio (míimo quado o automóvl s cotra alihado a horizotal. 8

59 CAPÍTULO DERIVADAS Quado o automóvl stá alihado a horizotal, o coicit agular da rta tagt à strada é igual a zro (rta com icliação ula. Cohcdo a cocavidad da ução, sabrmos s é um poto d máimo ou d míimo. Essa iormação é dada plo sial da sguda drivada. Graicamt, isso sigiica: Ecotrar, s istir, o poto d máimo ou míimo da ução: 6 Primiro, vamos cotrar as duas drivadas da ução acima: Igualado a primira drivada a zro: 9

60 CAPÍTULO DERIVADAS Ess poto é chamado d míimo já qu a ução, aalisado o sial da sguda drivada, tm cocavidad para cima. Compar com os cálculos qu você já tiha aprdido o capítulo d uçõs! Ecotrar, s istir, o poto d máimo ou míimo da ução: 7 Primiro, vamos cotrar as duas drivadas da ução acima: 6 7 Igualado a primira drivada a zro: 7 7 Substituido =+ a sguda drivada: ( 6 ( 8 A ução tm cocavidad para cima + é o poto d míimo. Agora, substituido =- a sguda drivada: ( 6 ( 8 A ução tm cocavidad para baio - é o poto d máimo. Através do gráico da ução, podmos localizar sss dois potos: 6

61 CAPÍTULO DERIVADAS Potos d máimo míimo podm sr locais ou globais. Um poto =p é chamado d máimo local s ão istir um valor da ução maior qu (p a vizihaça d p. Por outro lado, um poto =p é chamado d míimo local s ão istir um valor da ução mor qu (p a vizihaça d p. Um poto p é chamado máimo global s ão istir um valor da ução maior qu (p para qualqur valor d dtro do domíio da ução. Um poto p é chamado míimo global s ão istir um valor da ução mor qu (p para qualqur valor d dtro do domíio da ução. APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO Mostramos atriormt qu a curva d Gauss: ( Tm drivada igual a: d d Vamos cotrar od s localiza o su poto d máimo. Primiramt, dvmos igualar a drivada a zro: d d Algus trmos prsts a quação acima uca srão iguais a zro, como por mplo:, já qu é smpr maior qu zro;, pois a ução pocial uca s aula. A úica possibilidad da drivada s torar ula acotcrá quado: Etão: 6

62 CAPÍTULO DERIVADAS Ess rsultado os coduz à sguit itrprtação: a ocorrêcia qu possui a maior possibilidad d acotcimto é a média das ocorrêcias. Isso sigiica qu, s psquisarmos as alturas dos aluos d uma scola, srá mais provávl cotrarmos aluos com a altura média. Para o poto d máimo, a ução ( é igual a: ( Not qu a disprsão das ocorrêcias, dada por, az com qu a curva d Gauss iqu mais coctrada m toro da média (mais comprimida ou mais disprsa (mais achatada. REGRAS DE L HÔPITAL As rgras d L Hôpital são usadas os cálculos d its dos tipos: ( p g( ou ( p g( Esss its podm sr rsolvidos azdo: p ( g( ( p g ( Ecotrar o it: 6 O it dado é do tipo: ( p g( 6

63 Dvmos tão drivar as uçõs prsts o umrador o domiador: CAPÍTULO DERIVADAS ( ( 6 g ( g ( Etão o it é dado por: 6 Not qu: 6 ( ( Ecotrar o it: 6 O it dado é do tipo: ( p g( Dvmos tão drivar as uçõs prsts o umrador o domiador: ( g( ( 6 g ( Etão o it é dado por: 6 Aplicado a propridad do it da soma (ou subtração d uçõs: 6 6

64 CAPÍTULO DERIVADAS Tt aplicar a técica d dividir o umrador o domiador pla maior potêcia d para cotrar o rsultado do it vriiqu qu o rsultado é o msmo. APLICAÇÕES DA DERIVADA Vamos scolhr algumas aplicaçõs bm simpls. A primira aplicação cosist m aalisar o Movimto Uiormmt Variado (MUV do poto d vista da drivada. Cosidr a ução horária do spaço o MUV: s(t s v t at A primira drivada dssa ução m rlação a t é dada por: ds dt v(t v at A quação acima os mostra qu a taa d variação do spaço com o tmpo é igual à vlocidad istatâa. Diição: "Vlocidad é a taa d variação do spaço com o tmpo". A vlocidad pod sr cotrada drivado a ução horária do spaço m rlação ao tmpo. Ao calcularmos a drivada da vlocidad cotrarmos: dv dt a A quação acima os mostra qu a taa d variação da vlocidad com o tmpo é igual à aclração istatâa qu, ss caso, é costat. Not qu a aclração pod sr obtida drivado uma vz a vlocidad ou drivado duas vzs o spaço: dv dt a d dt s Diição: "Aclração é a taa d variação da vlocidad com o tmpo". A aclração pod sr cotrada drivado a ução horária da vlocidad m rlação ao tmpo. 6

65 CAPÍTULO DERIVADAS Partido da sguit quação horária do spaço: s (t t t, sdo s=[m], t=[s], v=[m/s] a=[m/s ] Ecotrar a prssão da vlocidad m ução do tmpo. A vlocidad istatâa é dada pla primira drivada do spaço m rlação ao tmpo: v (t ds dt 6t S quisrmos calcular a vlocidad do móvl o tmpo t=s, dvmos azr: v ( 6 m/s Em Ecoomia, prcisamos cotrar o úmro d quatidads produzidas d um produto qu maimiza o lucro. Cosidr a sguit ução d produção: Lucro(q q q, sdo Lucro=[m $.] q=[m. uidads] Ecotr o úmro d uidads qu dvm sr produzidas para obtrmos lucro máimo. A primira drivada é dada por: Lucr o (q q A sguda drivada é dada por: Lucr o (q Para o lucro sr máimo, tão a primira drivada dv sr ula a sguda sr gativa: Lucr o (q q q q 6

66 CAPÍTULO DERIVADAS Como q dv sr prssa m. uidads, tão. uidads dvm sr produzidas para qu o lucro sja máimo. O valor do lucro máimo é obtido substituido q= a quação: Lucro(q q q Lucro( 7 Como o lucro dv sr dado m $., tão o lucro máimo é igual a $7.. A última aplicação stá rlacioada à ára d otimização (utilização ótima d rcursos. Um paplão quadrado com cm d lado dv sr trasormado m uma caia sm tampa qu prmita o maior volum possívl. Dtrmiar a mdida do lado d cada quadrado qu srá rtirado os quatro catos do paplão. Formato para cort dobradura do paplão Como o lado do paplão quadrado md cm, o udo da caia srá um quadrado d lado (- cm a altura da caia mdirá cm. O volum srá dado por: V( ( 8 A sua primira drivada é igual a: V ( 96 Igualado a zro:

67 CAPÍTULO DERIVADAS Essa quação possui as sguits raízs: 6 S 6 cm, o paplão srá cortado ao mio ão cosguirmos motar uma caia. S usarmos cm, a caia trá um udo quadrado com o lado mdido 8 cm. O volum máimo srá: V ( ( V( ( 8. cm SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X As séris d potêcias são poliômios com iiitos trmos qu srvm para dscrvr uma ução ( d orma aproimada. Essa abordagm s rvla muito itrssat o tratamto computacioal aproimado d uçõs. Uma ução qualqur, qu tha drivadas cotíuas até a ordm, pod sr colocada sob a orma d séri d potêcias d : ( a a a a a... a a É imdiato sabr qu ( a. Ao calcularmos a primira drivada d (, cotramos: ( a a a a... a Com ( a. Ao calcularmos a sguda drivada d (, cotramos: ( a a a... ( a Com ( a! a. Ao calcularmos a trcira drivada d (, cotramos: ( a a... ( ( a Com ( a! a. Ao azrmos ss procsso sucssivamt, cotrarmos: 67

68 CAPÍTULO DERIVADAS Para a drivada -: ( ( ( (... a (... a ( Com ( ( (... a (!a Para a drivada : ( ( ( (... a Com ( ( ( (... a!a Substituido cada uma das costats a, a, a, a,..., a -, a a séri d potêcias: ( ( ( (! (!... ( ( (! ( (! Esta séri d potêcias é cohcida como séri d MacLauri é válida para valors d próimos d zro (poto d rrêcia da séri. Colocar ( m séri d potêcias d. Sabmos qu todas as drivadas d ( são iguais: ( ( ( (... ( ( ( ( Etão: ( ( ( (... ( ( ( ( A séri d potêcias d ( é dada por: ( ( ( (! (!... ( ( (! ( (!!!... (!!, Calcular através da séri d potêcias d com dois, três quatro trmos. Comparar o rsultado com o valor orcido pla calculadora. 68

69 CAPÍTULO DERIVADAS O valor orcido pla calculadora é igual a:,,6877 Com dois trmos: ( (,,, Com três trmos: (! (,, (,!,6 Com quatro trmos: (!! (,, (,! (,!,68... Not qu o rsultado s aproima cada vz mais do valor d, orcido pla calculadora. APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X Uma das aplicaçõs d séris d potêcia é a simpliicação do modlo matmático do ucioamto do diodo. No capítulo, mostramos qu o ucioamto do diodo pod sr modlado pla sguit quação: i D I D vd V T Od: i D é a corrt total (cotíua mais altrada sobr o diodo; I D é a corrt cotíua sobr diodo; v d é a tsão altrada sobr o diodo; V T é a tsão térmica ( mv; 69

70 CAPÍTULO DERIVADAS é uma costat qu val para diodos m circuitos itgrados val para diodos m circuitos discrtos. A aproimação da ução pocial é ita através da séri d potêcias:!!... k k! Fazdo a trasormação d variávis: v d V T vd VT v d V T! v d V T! v d V T... k! v d V T Para v V, podmos dsprzar os trmos com potêcia maior qu : d T vd VT v d V T Etão, o modlo do diodo é dado por: i D I D v d V T i D I D ID V T v d Fazdo: r d V I D T O modlo do diodo s tora: i D I D v r d d O lmto r d é chamado rsistêcia diâmica do diodo. Not qu o modlo do diodo oi cosidravlmt simpliicado d uma ução pocial para uma ução do o grau. 7

71 CAPÍTULO DERIVADAS O modlo d pquos siais só é válido s a tsão d sial v d or muito mor qu a tsão térmica V T ( v V. Na prática, o modlo d pquos siais pod sr justiicado para tsõs altradas d até mv. d T DERIVADAS NO MATHEMATICA Drivadas podm sr acilmt calculadas o Mathmatica através dos comados: Aspas simpls ( ' : ss comado calcula a primira drivada da ução. Si'[] Cos'[] Log'[] ArcTa'[] D[ução, {variávl a sr drivada,ordm da drivada}] D[^,{,}] - Calcula a trcira drivada da ução m rlação a. D[Cos[],{,}] - Calcula a quita drivada da ução m rlação a. D[Log[],] - Calcula a primira drivada da ução m rlação a. 7

72 Capítulo INTEGRAL A itgral é uma opração basada m its cuja aplicação pricipal é o cálculo d áras volums. Na Física, por mplo, o trabalho ralizado por uma orça F qu dsloca um corpo d uma distâcia é calculado por uma itgral, ou sja, o trabalho ralizado pod sr cotrado através d um cálculo d ára. Ao logo dst capítulo, vamos mostrar qu ist uma rlação próima tr a drivada a itgral d uma ução. Portato, um bom cohcimto d drivadas é pré-rquisito para o studo d cálculo itgral. CONCEITO DE INTEGRAL Ats d ormalizar a diição d itgral, vamos comçar com um mplo umérico. Ecotrar a ára sob a ução ( o itrvalo sabdo-s qu: ( Primiramt, vamos mostrar graicamt a situação: Podmos prcbr qu a igura ormada é um triâgulo, portato, o valor ato dssa ára é igual a: Ou mlhor: bas altura A uidads d ára. 8 A uidads d ára. 6 Em sguida, ttarmos cotrar ssa ára por aproimaçõs sucssivas usado apas rtâgulos. 7

73 CAPÍTULO INTEGRAL Vamos dividir o itrvalo m duas parts iguais assumido qu a ára do triâgulo é dada aproimadamt pla soma das áras dos dois rtâgulos. Visualmt ica mais ácil prcbr o osso objtivo: A ára total da igura é dada por: A bas altura bas altura A Ou mlhor: A uidads d ára. A uidads d ára. 6 A ossa aproimação sugr qu a ára do triâgulo é aproimadamt o valor calculado. Not qu, m rlação à ára ata do triâgulo, ss valor aida é imprciso. Vamos agora dividir o itrvalo m quatro parts iguais assumido qu a ára do triâgulo é dada aproimadamt pla soma das áras dos quatro rtâgulos ormados. O gráico da situação ilustra mlhor o problma: A ára total da igura é dada por: A A A A uidads d ára. 6 Prcba qu um úmro maior d rtâgulos aumtou a prcisão da ossa aproimação do valor ato da ára do triâgulo. Usado o msmo artiício, s dividirmos o itrvalo m oito parts iguais, a ára total srá igual a 9/6. Isso idica qu, s cotiuarmos a icluir cada vz mais rtâgulos a tdêcia atural é qu a ára total da igura sja atamt igual à ára do triâgulo. Chamado d a bas d cada rtâgulo, podmos motar uma tabla com os valors da bas da ára calculada: 7

74 CAPÍTULO INTEGRAL 8,,, A Not qu o cálculo da ára ata da ução é um procsso it dado por: A Od o símbolo i i ( i i 8 6 ( sigiica a soma das áras d todos os rtâgulos volvidos a aproimação. O it dado pla quação atrior é chamado itgral da ução ( o itrvalo. Rprstamos a itgral studada através da otação: A ( d O símbolo é lido da sguit maira: Itgral d ( d até. A maira qu calculamos a itgral é cohcida como método da austão s basia m cotrar a ára sob uma ução aumtado austivamt o úmro d rtâgulos, somado-s tão as suas áras. Por sr muito casativo, o método da austão srv apas para ilustrar a idéia udamtal da itgral. A INTEGRAL E A DERIVADA Isaac Nwto Gottrid Libiz psquisado idpdtmt chgaram à coclusão d qu ist uma rlação próima tr a drivada a itgral. A costatação dls oi marcat: A drivada a itgral são opraçõs ivrsas. Isso qur dizr qu a itgral d ( é a ução ( qu origiou ssa drivada. O squma abaio ajuda a sclarcr a rlação tr a drivada a itgral: 7

75 CAPÍTULO INTEGRAL Vamos mostrar como obtr a itgral a partir da drivada. Cosidr a ução dada plo sguit gráico: A( A(+ Podmos prcbr plas iguras atriors qu a ára sob a ução dpd do poto trmo, logo vamos rprstá-la por A(. S dslocarmos o poto para um valor + tão a ára agora srá dada por A(+. Partido dss raciocíio, dsjamos dscobrir qual é a ára tr +. Coorm o gráico, ssa ára é dada pla dirça tr as áras A(+ A(: Ára qu os itrssa Matmaticamt, a ára qu os itrssa é aproimadamt igual à ára do rtâgulo: A ( A( ( A( A( ( Tomado o it dos dois lados: A( A( ( 7

76 CAPÍTULO INTEGRAL O qu rsulta m: da( d ( Sabdo-s qu: A ( ( d Ao substituirmos A( a prssão atrior trmos: d d ( d ( Essa prssão mostra qu s itgrarmos a ução ( m sguida drivarmos o rsultado da itgração obtrmos msma ução (. Isso sigiica qu a itgral a drivada são opraçõs qu s caclam quado aplicadas simultaamt. Trocado a ordm das opraçõs a última quação: d ( d d ( ( ( d Essa prssão mostra qu a itgral d ( é a ução (, ou sja, a itgral d ( é a ução qu origiou ssa drivada. PRIMITIVA A itgral d ( é rqütmt chamada d primitiva ou d itgral idiida é rprstada por F(. Coorm oi provado, ao drivarmos F( obtrmos (, ou sja: F ( ( d df( d ( Nosso objtivo daqui para rt srá cotrar a prssão d F( cuja drivada é igual à ução ( dada o problma Ess é o udamto do método cohcido como atidirciação. Para qu o procsso d atidirciação tha valor é cssário qu thamos um bom cohcimto d drivadas. 76

77 CAPÍTULO INTEGRAL Calcular a itgral d: ( A itgral d ( é a ução cuja drivada é igual a, logo: F( d C A pricípio, você podria psar qu é a úica ução cuja drivada é, mas isso ão é vrdad. Por mplo, as drivadas d, ou também são iguais a. Portato, dvmos smpr colocar a costat C ao ial da itgral já qu: df( d ( d d C ( O valor d C rprsta todos os valors possívis da costat qu acompaha dtrmiação dpd d alguma codição dada o problma. A primitiva d ( é tão dada por: a sua F( C PRIMITIVAS MAIS COMUNS O procsso d itgração plo método da atidirciação dpd da capacidad d imagiarmos a ução F( cuja drivada é dada por ( qu é cohcida. Isso m smpr é tara ácil, portato, comçarmos a rcitar ssa capacidad stablcdo rgras grais para algumas primitivas mais comus. igual a zro. Fução ula: A primitiva da ução ula é igual à ução Ecotrar a primitiva da ução: ( F ( A primitiva F( é a ução qu, drivada uma vz, orc (, tão: F ( C Já qu: F ( ( C, já qu a drivada d uma costat é Não importa qual sja o valor da costat C, a drivada srá smpr igual a zro. 77

78 CAPÍTULO INTEGRAL Como você pod prcbr, a ução ula stá prst m qualqur ução. Dssa orma, srá obrigatório aparcr a costat C m qualqur primitiva. Not os casos a sguir qu smpr acrsctarmos a costat C apas o rsultado ial, vitado volvê-la os cálculos itrmdiários. Fução potêcia d (para positivo: Cosidr a sguit ução: ( A sua primitiva é dada por: F( C Not qu: F ( Etão podmos cocluir qu: F( d C Ecotrar a primitiva da ução: ( Coorm a rgra d itgração: F( d C O rsultado ial é igual a: F( 6 6 C Coirm s a drivada d F( é igual a (. Fução raiz d : Cosidr a sguit ução: 78

79 CAPÍTULO INTEGRAL ( q p A sua primitiva s quadra a itgral d potêcia d é dada por: F ( p q p q q p q p q F ( q p q q p q Fialmt, acrsctado a costat C o ial: F( q p q q p C Etão podmos cocluir qu: F( q p d p q d q p q q p C Ecotrar a primitiva da ução: ( Coorm a rgra d itgração: F( d d C Coirm s a drivada d F( é igual a (. Fução potêcia gativa d (para dirt d : Cosidr a sguit ução: ( A sua primitiva também s quadra a itgral d potêcia d é dada por: 79

80 CAPÍTULO INTEGRAL F( Colocado o sial gativo m vidêcia o domiador o pot, trmos: F ( ( ( F( ( C Not qu ão é possívl aplicar ssa órmula quado é igual a já qu o domiador s toraria igual a zro. Ecotrar a primitiva da ução: ( Coorm a rgra d itgração: F( d d C C PRIMITIVAS DE OUTRAS FUNÇÕES Usado a técica d atidirciação, podmos cotrar as primitivas d outras uçõs qu ão sjam potêcias d. Na tabla abaio mostramos algumas primitivas: Fução Primitiva ( F ( l C ( F( C a ( a F( C l a ( s( F ( cos( C ( cos( F ( s( C Eistm livros qu cotém as itgrais d vários tipos d ução tabladas orgaizadas para cosulta rápida. Com a volução dos sotwars matmáticos, os livros com as tablas d primitivas 8

81 CAPÍTULO INTEGRAL toraram-s obsoltos já qu, com o comado apropriado, você podrá obtr com acilidad praticamt qualqur primitiva. PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA A itgral idiida d uma ução aprsta as sguits propridads: (i k ( d k ( d (j [ ( g(] d ( d g( d (k ( g ( d ( g( ( g( d (itgral por parts Vamos provar a propridad (c, chamada itgral por parts. Primiro, vamos lmbrar da drivada do produto d duas uçõs ( g(: [ ( g(] ( g( ( Itgrado ambos os lados da igualdad: g ( [ ( g(] d [ ( g( ( g (] d Aplicado a propridad (b ao lado dirito da igualdad: [ ( g(] d ( g( d ( g ( d Lmbrado qu a itgral a drivada são opraçõs ivrsas: [ ( g(] d ( g( Logo: ( g( ( g( d ( g ( d ( g ( d ( g( ( g( d Calcular as itgrais: a d b [ ] d c d 8

82 CAPÍTULO INTEGRAL a Aplicado a propridad (a: d d C Not qu acrsctamos a costat C apas o rsultado ial, vitado volvê-la os cálculos itrmdiários. b Aplicado a propridad (b: [ ] d d d C Aqui também acrsctamos a costat C apas o rsultado ial, vitado volvê-la os cálculos itrmdiários. c Primiro, dvmos idtiicar as uçõs ( g ( dtro da itgral: d Vamos tão scolhr: (, cuja drivada é (. g (, cuja primitiva é g (. O rsultado da itgral é dado por: ( g ( d ( g( ( g( d d d ( C A scolha das uçõs ( g ( oi proposital. Not qu, scolhdo ácil calcular a itgral prst o sgudo trmo do lado dirito da propridad (c. (, ica mais Uma boa prática cosist m scolhr para ( a ução cuja drivada s tora uma costat ou qu tor a itgral do primiro mmbro igual à itgral do sgudo mmbro. Calcular a itgral: cos( d 8

83 CAPÍTULO INTEGRAL Vamos idtiicar as uçõs ( g ( dtro da itgral: (, cuja drivada é (. g ( cos(, cuja primitiva é g ( s(. O rsultado da itgral é dado por: ( g ( d ( g( ( g( d cos( d s( s( d A itgral qu aparc circulada também dv sr calculada por parts: s( d cos( [ cos(] d s( d cos( cos( d Substituido a itgral circulada: cos( d s( [ cos( cos( d] cos( d s( cos( cos( d Not qu istm duas itgrais iguais. Nss caso, passamos a itgral do sgudo mmbro somado à itgral istt o primiro mmbro: cos( d s( cos( Fialmt: cos( d s( cos( cos( d [s( cos(] C Nss mplo, pudmos costatar qu a scolha das uçõs ( g ( dpd d um pouco d visão da priêcia d qum stá calculado a itgral. 8

84 CAPÍTULO INTEGRAL OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Eist uma técica adquada a cada tipo d ução a sr itgrada. Vamos studar algumas dssas técicas. Fuçõs trigoométricas: Para ss tipo d ução dvm sr usadas rlaçõs trigoométricas qu trasormm produtos ou potêcias m somas d uçõs. Calcular a itgral: cos ( d Para rsolvr ss problma, dvmos cotrar uma rlação trigoométrica qu trasorm a ução lvada à potêcia dois m uma soma d uçõs. Podmos comçar usado a órmula do cosso da soma: cos( a b cos(a cos(b s(a s(b cos( cos( cos( s( s( cos( cos ( s ( Coorm a rlação trigoométrica udamtal: s ( cos ( Substituido a órmula atrior: cos( cos ( Portato: cos ( cos( A partir das rlaçõs trigoométricas, podmos substituir a ução mais complicada d sr itgrada por duas uçõs mais simpls d oprar: cos ( d cos( d Aplicado as propridads das itgrais: 8

85 CAPÍTULO INTEGRAL cos ( d cos( d d Sabmos qu: cos( d s( s( d Fialmt, após acrsctar a costat C: cos ( d s( C Eistm outros tipos d itgrais cuja solução também dpd do cohcimto das rlaçõs trigoométricas: cos( a cos(b d s (a s(b d cos( a s(b d Para rsolvr ssas itgrais cssitamos das sguits rlaçõs: cos( a b cos(a cos(b s(a s(b cos( a b cos(a cos(b s(a s(b s (a b s(a cos(b s(b cos(a s (a b s(a cos(b s(b cos(a Por mplo, ao somarmos as órmulas do cosso da soma da dirça trmos: cos( a cos(b [cos(a b cos(a b] Etão: cos( a cos(b [cos(a b cos(a b] Dvmos substituir a prssão acima a itgral calcular o rsultado. 8

86 CAPÍTULO INTEGRAL Calcular a itgral: cos( cos( d Primiro, cotramos a rlação trigoométrica qu di a multiplicação d dois cossos: cos( a cos(b [cos(a b cos(a b] cos( cos( [cos(8 cos(] Substituido a itgral: cos( cos( d [cos(8 cos(] d Aplicado as propridads da itgral: cos( cos( d cos(8 d cos( d Od: cos( 8 cos( d d s(8 8 s( O rsultado ial é igual a: cos( cos( d 6 s(8 s( C Calcular a itgral: s ( s( d Ao subtrairmos as órmulas do cosso da dirça da soma trmos: s (a s(b [cos(a b cos(a b] 86

87 CAPÍTULO INTEGRAL Portato: s ( s( [cos( cos( ] s ( s( [cos( cos(8] Substituido a itgral: s ( s( d [cos( cos(8] d Aplicado as propridads da itgral: s ( s( d cos( d cos(8 d Od: cos( cos( 8 d d s( s(8 8 O rsultado ial é igual a: s ( s( d s( 6 s(8 C Mudaça d variávl: Essa técica cosist m trasormar um problma apartmt complicado m um problma mais simpls apas pla mudaça d variávl da itgral. A msma abordagm já oi utilizada quado studamos a rgra da cadia os problmas d drivada. A técica d mudaça d variávl cosist m trocar a itgral do tipo: (g( g ( d Por: (u du Chamado: u du g( g ( d 87

88 CAPÍTULO INTEGRAL Calcular a itgral: d Quado olhamos para dtro da itgral, prcbmos qu é possívl chamar: u du d d du Isso torará a itgral igual a: u du u du Cujo rsultado ial é dado por: d u C Voltado com o valor d u: d C Calcular a itgral: cos( d Primiro dvmos chamar: u du d d du Isso torará a itgral igual a: cos( u du cos(u du 88

89 CAPÍTULO INTEGRAL Cujo rsultado ial é dado por: cos( d s(u C Voltado com o valor d u: cos( d s( C Calcular a itgral: s( d Primiro dvmos chamar: u du d Not qu o valor da drivada d u aparc plicitamt dtro da itgral. Essa mudaça d variávl az com qu: s( d s(u du cos(u C Fialmt, voltado com o valor d u o rsultado: s( d cos( C Calcular a itgral: d Primiramt, chamarmos: u du d d du 89

90 CAPÍTULO INTEGRAL Substituido a itgral: d u du u du Cujo rsultado é igual a: d l u C Voltado com o valor d u, trmos: d l C INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO A itgral idiida ou primitiva é uma ução qu orc a ára gérica sob (. Isso sigiica qu prcisamos diir dois trmos, o it irior a o it suprior b, para qu possamos calcular o valor umérico da ára tr sss dois potos. O qu acabamos d dscrvr é o qu s cohc como itgral diida. A ára m ciza o gráico abaio é a itgral diida d ( o itrvalo d a até b : Rprstamos a itgral diida da sguit orma: b a ( d Sgudo o torma udamtal do cálculo, ssa itgral pod sr calculada por: b ( d F(b F(a a Algus autors costumam a rprstar o cálculo da itgral diida pla otação: b a ( d F( b a F(b F(a 9

91 CAPÍTULO INTEGRAL Nss momto, é importat prcbr qu a costat C qu aparc a primitiva dv dsaparcr quado subtraímos F(b d F(a. Calcular a ára da ução: ( Do poto = até o poto =. O objtivo do problma cosist m cotrar a itgral diida: d Nosso primiro passo srá cotrar a primitiva da ução: F( C Logo após, vamos aplicar o it irior o suprior a primitiva: F(b F( C 8 C F(a F( C C Por im, vamos subtrair sss valors: F (b F(a 8 C C 7 Prcba qu a costat é dscssária o cálculo, pois smpr srá iada a subtração. A partir d agora vamos dscosidrar a costat qu aparc a primitiva quado stivrmos calculado uma itgral diida. A itgral diida é tão dada por: d 7 =. O valor cotrado corrspod à ára sob a ução ( do poto = até o poto 9

92 CAPÍTULO INTEGRAL Algumas vzs a itgral diida orc um valor gativo, isso sigiica qu a ára stá abaio do io. Cotudo, o valor da ára cotiua sdo positivo, já qu ão ist ára gativa. Calcular a itgral da ução: ( s( Do poto = até o poto =. O objtivo do problma cosist m cotrar a itgral diida: s ( d O rsultado é a primitiva: F ( cos( Not qu dscosidramos a costat C por simplicidad. Logo após, vamos aplicar o it irior o suprior a primitiva: F (b F( cos( F (a F( cos( ( Fialmt, vamos subtrair sss dois valors: F (b F(a s( d O valor gativo sigiica qu a ára stá abaio do io. Nss caso, o valor da ára é igual a. A ára ciza o gráico abaio corrspod à itgral da ução so do poto = até o poto = : 9

93 CAPÍTULO INTEGRAL PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA A itgral diida d uma ução aprsta as sguits propridads: a b c d b b k ( d k ( d a a b b b [ ( g(] d ( d g( d a a a b c b ( d ( d ( d para c tr a b. a a c b a ( d ( d a b Vamos dmostrar a propridad (d. Sabdo-s qu: a ( d F(a F(b [F(b F(a] ( d b a b Portato: b ( d a ( d a b Calcular a itgral da ução: ( Do poto = até o poto =. O objtivo do problma cosist m cotrar a itgral diida: d Coorm a propridad (c, azdo c=, podmos sparar ssa itgral m duas outras: d d d 9

94 CAPÍTULO INTEGRAL Od: d d 7 O rsultado é tão dado por: d 7 8 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DEFINIDA Quado mudamos a variávl dtro da itgral, o it irior suprior também dvm mudar coorm a mudaça d variávl ralizada. Calcular a itgral diida: s( d Primiro dvmos chamar: u du d Coorm a variávl u, os its dvm mudar para: Quado, u. Quado, u. Essa mudaça d variávl az com qu a itgral s tor: s( d s(u du cos(u [ cos( ] [ cos(] 9

95 CAPÍTULO INTEGRAL Calcular a itgral diida: ( d Primiro dvmos chamar: u du d Usado a prssão da variávl u, os its dvm mudar para: Quado, u. Quado, u. A mudaça d variávl az com qu a itgral s tor: ( d u du u O CÁLCULO DE ÁREAS USANDO A INTEGRAL O cálculo d áras através da itgral diida pod os lvar a coclusõs rradas s imagiarmos qu o rsultado smpr srá a ára total sob a ução tr o it irior o suprior. Calcular a itgral da ução abaio o itrvalo : ( s( O problma rqur o cálculo da sguit itgral diida: s ( d 9

96 CAPÍTULO INTEGRAL O rsultado é a primitiva: F ( cos( Aplicado o it irior o suprior a primitiva: F (b F( cos( F (a F( cos( Fialmt, vamos subtrair sss dois valors: F (b F(a ( Etão: s( d S itrprtarmos qu ssa é a ára da ução so o itrvalo d a tão starmos airmado qu o su valor é igual a zro. Obsrvado o gráico da ução, podmos costatar qu a ára ão é ralmt igual a zro: A ára tr a é a soma dssas duas áras ciza. Vamos aalisar o problma aplicado a propridad (c da itgral diida: s ( d s( d s( d As duas itgrais diidas são iguais a: s( d s( d O rsultado positivo a primira itgral sigiica qu a ára stá acima do io tm valor igual a. O rsultado gativo da sguda itgral sigiica qu a ára stá abaio do io 96

97 CAPÍTULO INTEGRAL também tm valor igual a. Matmaticamt, o qu stá acotcdo ss caso é qu as áras stão s caclado por causa do sial qu idica s stão acima ou abaio do io. Na ralidad, o sial qu aparc o rsultado da itgral diida dv sr dscosidrado o cálculo da ára. Dssa orma, a ára sob a ução so o itrvalo d a é igual a. Sob uma orma mais gral, a ára da ução um itrvalo dado pod sr calculada pla sguit itgral diida: A b a ( d O módulo da ução ( az com qu a itgral diida tha smpr valor positivo já qu as áras smpr starão acima do io : Fução ( Módulo da ução ( A INTEGRAL E O CÁLCULO DE VOLUMES Além d áras, podmos calcular volums d sólidos d rvolução através da itgral. Os chamados sólidos d rvolução são aquls cuja rotação d uma igura plaa m toro d um io produz um sólido tridimsioal. O mplo mais simpls d um sólido d rvolução é o cilidro: 97

98 CAPÍTULO INTEGRAL O cilidro pod sr costruído a partir da rotação d um rtâgulo m rlação a um dos sus lados. O su volum é dado pla sguit órmula: V A bas h r h Od r é o raio da bas h é a altura do cilidro. O cálculo d volums por itgral basia-s a aproimação do volum d um sólido d rvolução qualqur pla somatória dos volums d cilidros. Por mplo, cosidr a ução ( a cujo gráico o itrvalo h é mostrado abaio: Ao girarmos o rtâgulo ciza m rlação ao io, o volum do cilidro ormado srá: V cilidro r h [(] A somatória d todos os volums dos cilidros tr h é dada por: i [ ( i ] Tomado o it dssa soma quado trmos o volum ato da igura corrspodt à rotação do triâgulo ciza m toro do io : V i [ ( i ] 98

99 CAPÍTULO INTEGRAL Coorm a igura, a rvolução do triâgulo m rlação ao io produz um co: O raio da bas dss co é dado por: r (h a h Dssa rlação cocluímos qu: a r h Sabmos qu o volum dado plo it atrior rprsta a sguit itgral diida: V h [ (] d Fazdo ( a, a itgral s tora: V h (a d a h d a h a h Substituido o valor d a o rsultado ial da itgral, trmos o volum do co: V r h h r h Essa é a amosa quação para o cálculo do volum d um co qu aprdmos o curso iicial d gomtria plaa spacial. 99

100 CAPÍTULO INTEGRAL A quação d mia circurêcia d raio r é dada por: ( r O gráico dssa ução é mostrado abaio: Ecotrar o volum do sólido d rvolução dssa ução m toro do io. Coorm o gráico, a rvolução da ução ( m toro do io produzirá uma sra. O volum dssa igura gométrica é calculado pla sguit itgral: V r [ (] d r Substituido o valor da ução a itgral:

101 CAPÍTULO INTEGRAL V r r d r V r (r d r Aplicado as propridads da itgral: V r r d r d r r V r r r r r V r [r ( r] r ( r V r r r Essa é a quação para o cálculo do volum d uma sra qu aprdmos o curso d gomtria plaa spacial. APLICAÇÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL No capítulo d drivadas, cotramos as sguits rlaçõs tr a posição s(t, a vlocidad v(t a aclração d um objto s movimtado m MUV: v (t a (t ds dt dv dt Essas quaçõs sigiicam qu basta cohcrmos a prssão da posição do móvl m ução do tmpo para calcularmos a sua vlocidad aclração através da drivada. Por outro lado, s cohcrmos a prssão da aclração do móvl m ução do tmpo tão também podmos calcular a sua vlocidad posição através das itgrais: v (t a(t dt s (t v(t dt

102 CAPÍTULO INTEGRAL No MUV, por mplo, a aclração do móvl é costat, ou sja: a (t a Dssa orma, a vlocidad do móvl é dada por: v (t a dt a t C Quado t s, o valor d v( é chamado vlocidad iicial é rprstado por v : v( v a C v C Portato: v(t v a t Sdo a vlocidad istatâa dada pla prssão acima, tão a posição do móvl é dada plo sguit cálculo: s(t v(t dt (v a t dt v t a t C Quado t s, o valor d s( é chamado posição iicial é rprstado por s : s( s v a C s C Dssa orma, tmos qu: s(t s v t a t

103 CAPÍTULO INTEGRAL INTEGRAIS NO MATHEMATICA Itgrais podm sr acilmt calculadas o Mathmatica através dos comados: Itgrat[ução, variávl d itgração]: ss comado calcula a itgral idiida da ução dada dtro dos colchts m rlação à variávl d itgração. Itgrat[Si[],] Itgrat[a^,a] Itgrat[Ep[z]*Si[z],z] Itgrat[ução, {variávl d itgração, mí, má}]: ss comado calcula a itgral diida dada por: má ( d, s a variávl d itgração or. mí Itgrat[Si[],{,-Pi,Pi}] Itgrat[a^,{a,,}] Itgrat[Ep[z]*Si[z],{z,,}] Itgrat[Abs[ução], {variávl d itgração, mí, má}]: ss comado calcula a ára total sob a ução dada pla itgral: má ( d, s a variávl d itgração or. mí Itgrat[Abs[Si[]],{,,Pi}] Itgrat[Abs[a^],{a,-,}] Essa itgral tora positivas as parts gativas da ução (, vitado o caclamto das áras por causa do sial.

104 CAPÍTULO INTEGRAL Itgrat[Pi*ução^, {variávl d itgração, mí, má}]: ss comado calcula o volum do sólido d rvolução, m toro do io, dado pla itgral: má mí [ (] d, s a variávl d itgração or. Itgrat[Pi*(a*^,{,,h}] Itgrat[Pi*(Sqrt[r^-^]^,{,-r,r}]

105 Capítulo FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL INTRODUÇÃO Nsta aula, você irá studar ução d duas variávis, suas propridads rprstação através d curvas d ívl. Ats d iiciarmos osso studo é importat qu você saiba qu várias aplicaçõs d uçõs d duas três variávis stão rlacioadas com a computação gráica gharias dpdm do uso d computadors. UM PROBLEMA Você sabia qu há muitas órmulas amiliars as quais uma variávl dpd d duas ou mais variávis. Por mplo, a ára A d um rtâgulo dpd do comprimto da bas b da altura pla órmula A b. h. O gráico da ução qu rprsta a ára d um papl é uma ução d duas variávis qu são as dimsõs ( b largura h altura do papl. Um mplo stá a Figura. h b (a (b Figura (a Rtâgulo cuja bas md b cuja altura md h. (b Rprstação gráica da ára do rtâgulo m ução da bas da altura. Para acilitar, você pod psar uma ução d duas ou mais variávis como um programa d computador qu rcb duas ou mais tradas, opra sobr stas tradas produz uma saída. Psado dsta orma você st trabalho studará apas m uçõs cujas tradas saídas sjam úmros rais.