Exercícios de Cálculo Numérico

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1 Ecícios d Cálculo Numéico Zo d Fução. Dê um mlo d ução, qu ta lo mos uma aiz, qu ão od s dtmiada usado o Método da Bissção.. Dê um mlo d ução, qu ta lo mos uma aiz, od o Método d Nwto-Raso ão covg.. A quação 7 tm como aízs. Cosid a ução d itação dada o ϕ 6. Dtmi o itvalo a, b, od aa qualqu qu sja scolido a squêcia ϕ covg aa a aiz. Most qu a covgêcia é quadática.. Paa dtmia a aiz quadada d um úmo c, basta solv a quação c. É ossívl dtmia sua aiz quadada usado a ução d itação ϕ c/. Justiiqu a sosta. 5. As uçõs d itaçõs ϕ / ϕ /.55, gam squêcias covgts aa a aiz, aa qualqu aoimação iicial.5,. Qual das duas uçõs gam squêcias mais aidamt covgt aa sta aiz. Justiiqu a sosta. 6. Dtmi um itvalo a, b uma ução d itação ϕ associada, d tal oma qu a, b a ução d itação g uma squêcia covgt aa as aizs d cada uma das uçõs abaio, usado o método itativo lia MIL com tolâcia ɛ.. a b l c / d s 5 / cos 7. Dtmi as aizs da ução, usado o método da Bissção, Método da Falsa osição da Falsa osição modiicada com tolâcia ε.. Quatas itaçõs oam cssáias aa cada um dos métodos. 8. Dtmi as aízs do cício 6, usado o Método d Nwto-Raso. 9. Dtmi as aízs do cício 6, usado o Método das Scats.. Dtmi os otos tmos do cício 6, usado o Método d Nwto- Raso.. Dtmi o oto d itscção t as uçõs, t,.

2 . O Toma do Valo Médio, diz qu aa ução diciávl, ist um úmo < α <, tal qu : a a a α a Cosid a ; α / acta. Dtmi o qu satisaz a igualdad acima.. Sab-s qu s ξ é uma aiz dula d tão o Método d Nwto- Raso ão covg quadaticamt. Most qu s ξ, mas todas as outas codiçõs d covgêcia stão satisitas, tão a itação: ϕ covg quadaticamt.. Sja ξ uma aiz d, tal qu ξ ξ. Most qu st caso o Método d Nwto-Raso tm covgêcia cúbica. 5. Ecot todas as aízs ais do oliômio abaio lo método d Nwto- Raso Uma ssoa tomou um méstimo d A ais, qu acscta os juos o total ats d comuta o agamto msal. Assim, s a taa msal d juos, m octagm, é q o méstimo é lo azo d mss, a quatia total qu o tomado cocoda m aga é: C A A.. q. Isto é dividido o aa da o total d cada agamto P, ou sja P C A q Isto é itamt lgal muito usado m lojas d datamto. É camado o méstimo com acéscimo. Mas a vdadia taa d juos qu o tomado stá agado é alguma coisa além d q%, oqu l ão cosva o total do méstimo o todos os mss: El stá agado-o d volta com o dco do tmo. A vdadia taa d juos od s cotada la dtmiação d uma aiz da quação: F A P P Isto oc a taa d juos o íodo d agamto, qu od s covtida m taa aual multilicado-s a msma o. Sja A R$, q 5%. Dtmi a vdadia taa d juos.

3 Gabaito Zo d Fução Ecício : Um mlo é -, R A aiz ão od s dtmiada lo Método da Bissção oqu R. Tmos também qu muda d sial quado s aoima d. Ecício : Sja a aiz d. O método d Nwto-Raso od ão covgi s gad. [ U é Um mlo: actg. Paa algum c [.9,.], s c, a sqüêcia { } divg, csc a cada itação. Duas obsvaçõs-tas:. S c, tão o método oduz o ciclo c, c, c,.... S < c, a sqüêcia { } covg aa. Ecício : I,. 6 7 Suodo., tmos:

4 ,k k Obs.: S u scol,, quado k. k, k, quado k < <, k, quado k S u scol. Mas, s u scol. Paa mosta qu a covgêcia é quadática, tmos qu alica: lim C, C, quado Etão: lim lim lim 6 lim 6 9 lim Potato, a covgêcia é quadática. Ecício : Codição suicit aa covgêcia: < - < < Aqui, sabmos qu as aízs são: c c Etão, c < c c < c ou c Como ão tcm ao itvalo I -, - c,,logo ão é ossívl dtmia a aiz quadada d um úmo c usado a ução d itação Ecício 5: c c. ' Nas oimidads da aiz, tmos qu '

5 .5 5 '.5 Nas oimidads da aiz tmos qu '.5 Como ' < ', tão covgiá mais aidamt aa a aiz. Vja o comotamto d ambas as uçõs: Ecício 6: Paa ϕ Paa ϕ a Gaicam t, cbmos qu,. Um bom itvalo aa cota a aiz é I.,.. Usado , tmos:

6 <. aqui stá a aoimação b l l l Tmos duas aízs :,.5 usado 5., tmos : , <. aqui stá a aoimação c / / / / / / /6 /6 Etão, lo gáico,,.

7 d. uma aoimação iicial a bitáia s <. aqui stá a aoimação s, Ñ <. uma das aízs A outa aiz tá d s cotada m s 5 cos cos cos accos 5 accos

8 uma aoimação aa a aiz :.5 tmos Usado 6 5 < Ecício 7: i Método da Bissção:.75, , , , , , , , ,; < < <

9 , <. Potato, a aiz aoimada é ii Método da Falsa Posição: Aqui, usamos média odada t a b com sos b a, sctivamt. a b b b a a ab ba,visto qu b a a b têm siais oostos., < ; , , < , , <. aqui stá uma aoimação Ecício 8: Usa Método d Nwto-Raso aa as ltas a, b, c, d, do E. 6. Ecício 9: Usa Método das Scats aa as ltas a, b, c, d, do E. 6. Ecício : Potos tmos são otos od. Rsolv ssa quação o Nwto-Raso aa as ltas a, b, c, d, do E. 6. Ecício : i l isolado o mmbo squdo da quação, obtmos : l w

10 Plo gáico abaio, tmos duas aízs :,,. Vamos solv lo Método d Nwto-Raso usado casas dcimais: Aqui, já uso as quaçõs : l Paa alica a ómula d Nwto - Raso : Usado.7 tmos : Aqui, stá uma aoimação.656 Potato, um dos otos d itsção é P.76,-.656 Agoa, aa,. Usado., tmos : Etão, outo oto d itsção é P.998,.965

11 ii l - / / l Plo gáico abaio, tmos aas uma aiz,: Vamos solv lo Método d Nwto-Raso usado casas dcimais: Obs. : / / l Usado.7, tmos : O oto d itsção é.8,.977 P P :.76, , P.8, Potato, ão ist oto d itsção t, simultaa mt.

12 Ecício : Substituido os valos dados a quação, tmos : actg actg - actg Sabdo qu actg, tmos : actg actg / actg Obs. : O cício d, tão,. Vamos solv o Método d Nwto-Raso com duas casas dcimais: actg Usado., tmos :.9.9 Etão,.9 Ecício : Diição: uma aiz ε da ução é dita d multilicidad s _J ε H g - ε -. Not qu ssas codiçõs: ε ε ε... - ε. Vamos mosta agoa um algoitmo, qu tm covgêcia quadática, msmo quado as aízs têm multilicidad.

13 Cosid o dsvolvimto d Taylo d a viziaça da aiz ε. Etão:,,... od ois la ióts é uma aiz d multilicidad. Divado, obtmos qu: Diimos. Etão, lim lim lim Da diição d multilicidad coclui-s qu tm uma aiz simls ou d multilicidad, ois lim lim Dssa oma od s mgado qualqu método uméico aa obtção da aiz d, matdo a odm d covgêcia. Em aticula aa o Método d Nwto- Raso, tmos:,,..., Po diição, [ ] -. Assim tmos o sguit algoitmo aa dtmia a aiz simls da ução :,,..., Diição Odm d Covgêcia: Sja,,,,... uma sqüêcia covgt com lim sja V uma viziaça da aiz tal qu V aa todo. Etão a itação covg com odm m V, s V C,,..., - j, j

14 Poosição: Cosid a sguit modiicação do Método d Nwto-Raso,,..., Sja a multilicidad da aiz d. Pov qu o método itativo acima tm covgêcia quadática. Pova: Usado a diição acima, basta mosta qu, od Ecício : Sja uma aiz d, tal qu. Etão do MNR tm-s qu Subtaido m ambos os lados da igualdad diido o o tm-s Fazdo o dsvolvimto d Taylo d a viziaça d tmos: od,,. Tomado m, obtmos Dividido a igualdad o, obtmos Substituido m, obtmos qu 5 Fazdo tm-s qu lim. Logo, C lim lim Potato a odm d covgêcia é cúbica ss caso.

15 Ecício 5:. 6 Gáico d.6 Pla tabla abaio: - -, -,6 -,6, 6, 7,, Tmos duas aízs dulas:,, Vamos tão alica o algoitmo d Biot-Ruii com Nwto-Raso: Paa,, com uma aoimação iicial d,5 usado duas casas dcimais, tmos: - -,6 -,5 -,5 5,5 -,88,,5 -,5-5,,75 -, -,5,,5,, - -,6 -, -,,8 -,78,75 -, -, -,6,5-5,6 -,,75,,7 5,6 - -,6 -,7 -,7,5 -,7, -,7 -,7 -,5 9,9 -,87 -,7 Etão,,7 Paa,, com uma aoimação iicial d,5, vamos usa duas casas dcimais. Como já acamos uma das aízs,7 tão vamos usa aas os coicits do último q. Assim, tmos:

16 -,7,5 -,7,5 -,77,75,,5,5 -,7,6,5,,5,,6 -,7,5 -,7, -,8,9 -,,, -,,89,,,,,89 -,7,5 -,7, -,8,9,,, -,9,85, Etão,, Ecício 6: Dados do oblma: A ais N mss aos q 5% a.m 6% a.a. Substituido sss dados a sguda quação do uciado, qu dá o valo d P, tmos: 6 P,5,6, ais Agoa, substituido os valos d A, P a quação d F, tmos: F - F 9 9 Ra qu é uma das aízs da quação. Mas como s tata d taa d juos, ssa aiz é dscatada. Vamos tta solv com o Algoitmo d Biot-Ruii associado ao Método d Nwto- Raso. Pla tabla abaio:... F Vmos mudaça do sial d F aa [. Com uma aoimação iicial d,5 tmos: 9 -,5-5,5,5 9,5

17 5,5, ,76 6,6,6,76,76,,76,6,76,7, 9 -,7 6, -,,7,7,6,7,7,,6 Etão,,7 7 7% a.a. % a. m. 6,8 % a.m.