Modelagem numérica de escoamentos acoplados ao transporte de uma espécie química por elementos finitos

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1 Procdigs of th 11 th Brazilia Cogrss of Thrmal Scics ad Egirig ENCIT 2006 Braz. Soc. of Mchaical Scics ad Egirig ABCM, Curitiba, Brazil, Dc. 5-8, 2006 Papr CIT Modlagm umérica d scoamtos acoplados ao trasport d uma spéci química por lmtos fiitos Gustavo Rabllo dos Ajos UFRJ - Programa/Dpto. d Eg. Mtalúrgica d Matriais PEMM-DMM/COPPE/UFRJ Caixa Postal Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil gustavo_rabllo@mtalmat.ufrj.br Norbrto Magiavacchi UERJ - Dpto. d Egharia Mcâica/GESAR Rua Fosca Tls, Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil orbrto@urj.br José Pots UFRJ - Programa/Dpto. d Eg. Mtalúrgica d Matriais PEMM-DMM/COPPE/UFRJ Caixa Postal Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil jopots@mtalmat.ufrj.br Cássio Botlho Prira Soars Furas Ctrais Elétricas S.A. - Dpto d Egharia Ambital Rua Ral Gradza, Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil cassiobp@furas.com.br Rsumo. Um modlo umérico é proposto para a solução das quaçõs d Navir-Stoks acopladas à quação d trasport d uma spéci química. O Método dos Elmtos Fiitos é utilizado para a discrtização do problma o paradigma da oritação a objtos, para laboração do código umérico. A discrtização spacial dos trmos difusivos da prssão é fita plo método d Galrki a da drivada substacial, através d uma abordagm smi-lagragaa utilizado um squma implícito por difrças rgrssivas d primira ordm. O sistma liar é rsolvido plo método da projção discrto, basado m dcomposição LU. Palavras chav: quaçõs d Navir-Stoks, método d lmtos fiitos, método smi-lagragao, método da projção, programação oritada a objtos 1. Itrodução Iicialmt, um studo sobr campo hidrodiâmico próximo ao ixo d um ltrodo rotatório prst m uma célula ltroquímica foi dsvolvido utilizado aális d stabilidad. Pod-s citar importats studos sta ára d psquisa, tais como: Smith, 1946, Grgory t al., 1955, Chi Litt, 1972, Pots t al., 2004 Pots Magiavacchi, 2005 O prst trabalho tm como objtivo propor uma aális dtalhada, sob outro poto d vista, do campo hidrodiâmico dscrito. Um modlo umérico é proposto para a solução das quaçõs d Navir-Stoks (quaçõs d quatidad d movimto quação d cosrvação d massa) acopladas à quação d trasport. O Método dos Elmtos Fiitos é utilizado para a discrtização do problma proposto, sdo caractrizado por 4 técicas: método d Galrki, método smi-lagragao, discrtização do tmpo por difrças rgrssivas d primira ordm método da projção para solução do sistma liar. O método d Galrki foi utilizado para discrtização spacial dos trmos difusivos, da prssão d forçagm. A utilização do método Smi-Lagragao cosist a discrtização da drivada substacial (Du/Dt). É ssa drivada qu s cotra o trmo covctivo, rsposávl pla ão liaridad do problma. Para a discrtização do tmpo foi utilizada uma técica d difrças rgrssivas d primira ordm. Dpois d passar por todas ssas tapas rcai-s m um problma d rsolução d um sistma liar do tipo Ax = b. Utilizar métodos dirtos para rsolução dss sistma pod parcr a opção mais fácil, porém, o uso d algus algorítmos agilizam o procssamto da solução. O método da projção discrto é utilizado para dividir a matriz origial m dois fators do tipo LU m blocos obtdo assim 1

2 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT um sistma com custo computacioal mor dvido ao dsacoplamto tr vlocidad prssão. O código umérico é implmtado usado os paradigmas da oritação a objtos. 2. Equaçõs d Govro As quaçõs d govro do campo hidrodiâmico d coctracão m sua forma adimsioal utilizadas a formulação do método d lmtos fiitos podm sr scritas como (Batchlor, 1967; Pots Magiavacchi, 2005). Dv Dt = 1 ρ p + 1 R [ν( v + vt )] (1) v = 0 (2) Dc Dt = 1 R Sc (D c) (3) As quaçõs (1) (2) são cohcidas como quaçõs d Navir-Stoks a quação (3) como quação d trasport d massa. Essas quaçõs são rsposávis pla dscrição do movimto d um fluido d uma massa rspctivamt od R = ρul/µ rprsta o úmro d Ryolds Sc = ν/d é o úmro d Schmidt, v é o vtor d vlocidads, p a prssão a coctração m massa da spéci química rprstada pla ltra c. A sabr, ρ, U, L, µ D são gradzas dimsioais rprstativas do problma associadas a massa spcífica, vlocidad, comprimto, viscosidad difusividad, rspctivamt. As quaçõs (1) (3) são acopladas por itrmédio das propridads do fluido, qu são dpdts d C são avaliadas plas sguits xprssõs: ν = ν 0 xp(mc) D = 1/ν. 3. Método dos Elmtos Fiitos 3.1. Formulação Variacioal Cosidr as quaçõs d Navir-Stoks trasport d massa para scoamtos icomprssívis dadas m sua forma adimsioal rprstadas plas quaçõs (1), (2) (3), válidas m um domíio Ω R m sujitas às codiçõs d cotoro v = v Γ m Γ 1 v t = 0 σ = 0 m Γ 2 c = c Γ m Γ 3 c = 0 m Γ 4 (4) (5) (6) (7) Cosidr o subspaço: V = H 1 (Ω) m = {v = (v 1,..., v m ) : v i H 1 (Ω), i = 1,..., m} (8) od H 1 (Ω) é o spaço d Sobolv dado por: H 1 (Ω) = { } v L 2 v (Ω) : L 2 (Ω), i = 1,, m x i (9) sdo L 2 (Ω) um spaço d dimsão ifita dfiido por L 2 (Ω) = { } v : Ω R, v 2 dω < Ω (10) Dfiido-s V vγ = {v V : v = v Γ m Γ 1 } P pγ = {q L 2 (Ω) : q = p Γ m Γ 2 } C cγ = {r L 2 (Ω) : r = c Γ m Γ 3 } (11) a formulação variacioal do problma cosist m cotrar soluçõs v(x, t) V vγ, p(x, t) P 0 c(x, t) C cγ tais qu: 2

3 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT Ω Ω Ω Dv t wdω 1 p wdω + 1 ν[ v + v T ] : wdω = 0 ρ Ω R Ω [ v]qdω = 0 Dc t rdω + 1 R Sc Ω (D c) r T dω = 0 (12) 3.2. Método d Galrki smi-discrto Após a formulação variacioal das quaçõs d govro, part-s para aproximação plo método d Galrki. Cosidr as quaçõs d govro m sua forma adimsioal variacioal (12). Cosidr N V o úmro d potos d vlocidad, NP o úmro d potos d prssão NE o úmro d lmtos a malha d lmtos fiitos qu discrtiza o domíio Ω. O método d Galrki cosist m fazr as sguits substituiçõs m (12): u(x, t) v(x, t) p(x, t) NV N (x)u (t) =1 NV N (x)v (t) =1 NP P (x)p r (t), =1 qu são aproximaçõs smi-cotíuas, isto é, cotíuas o tmpo (t) discrtas o spaço (x). Aqui, N (x) rprstam as fuçõs d itrpolação utilizadas para a vlocidad P (x) as fuçõs d itrpolação para a prssão. Cosidr aida qu as propridads ρ, ν D são costats m cada lmto. A quação d cosrvação d quatidad d movimto é ormalmt avaliada m todos os ós livrs d vlocidad, portato, as fuçõs pso w x w y são substituídas por fuçõs d itrpolação N m = N m (x), m = 1,..., NV. Aplicado st procdimto as quaçõs (12), chga-s a: Du Dt N mn dω + 1 R Ω Ω Ω Dv Dt N mn dω + 1 R Ω Ω Ω r N m x P rp r dω ( ν Nm x u N x + N m N y y u + N m x Ω r N m x P rp r dω ( ν Nm x v N x + N m y Dc Dt N mn dω + 1 R Sc (13) (14) (15) N x u + N ) m N y x v dω = 0 (16) N y v + N m N x y v + N ) m N y y v dω = 0 (17) Ω D ( Nm y N y c + N ) m N x x c dω = 0 (18) A quação da cotiuidad (2), é avaliada os ós livs d prssão, portato, a fução pso q é aproximada plas fuçõs d itrpolação associadas à prssão P r (x), rsultado ( N x u + N ) y v P r dω = 0. (19) Ω para r = 1,..., NP. Rstrigido as fuçõs d itrpolação a cada lmto, coclui-s ( N j x u j + N j y v j Ω j,k ) P k dω = 0. (20) 3

4 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT As quaçõs (16), (17), (20) (18) podm sr rprstadas a forma d um sistma d quaçõs difrciais ordiárias M x u + 1 R {(2K xx + K yy )u + K xy v} G x p = 0 (21) M x v + 1 R {K yxu + (K xx + 2K yy )v} G y p = 0 (22) D x u + D y v = 0 (23) M c ċ + 1 R Sc (K xx + K yy )c = 0 (24) od u, v ċ rprstam a drivada substacial, sdo dfiidas por u = [ Du1 Dt,..., Du NU Dt ] T, v = [ Dv1 Dt,..., Dv NU Dt ] T,ċ = [ Dc1 Dt,..., c NU t ] T, u = [u 1,..., u NU ] T, v = [v 1,..., v NV ] T, c = [c 1,..., c NU ] T, p = [p 1,..., p NP ] T, g x = [g1 x,..., gnu x ]T, g y = [g y 1,..., gy NV ]T,, são os vtors dos valors odais para as variávis d vlocidad, prssão coctração. As dimsõs das matrizs qu aparcm o sistma (24) são NV NP para G x G y, NP NV para D x D y NV NV para todas as outras Método smi-lagragao O método smi-lagragao foi primiramt utilizado m sistmas covcção-difusão com o objtivo d s obtr duas caractrísticas: passo d tmpo grad stabilidad. Além disso, discrtizaçõs m ords lvadas lvam a rros d disprsão míimos. A aproximação smi-lagragaa tm sido utilizada m mtorologia para prdiçõs uméricas das codiçõs climáticas, od o uso d grads passos d tmpo é sscial para ficiêcia. Nas quaçõs d Navir- Stoks, trtato, su uso ão é tão frqüt, porém, trabalhos rcts vêm dmostrado sua lvada ficiêcia, pricipalmt quado o scoamto é caractrizado por alto úmro d Ryolds. Ess método foi itroduzido o iício dos aos 80 por Robrt, 1981 Piroau, 1982 a idéia básica procdia a discrtização da solução da drivada Lagragaa o tmpo ao ivés da drivada Eulriaa. Como xmplo, pod-s citar um squma smi-lagragao d uma quação do tipo covcção-difusão qualqur. Toma-s a quação d trasport d massa (3) m sua forma compacta, com drivada substacial. Sguido o método smi-lagragao, pod-s discrtizar a quação (3) o tmpo o poto x i utilizado um squma d primira ordm implícito Dc Dt = c+1 i c d t od c d = c (x d, t ) x d é chamado d poto d saída. (25) 2 c domiio +2 t +1 t x i 3 c +1 c c 1 t xd x i 1 x i x i+1 Figura 1: método smi-lagragao Na forma fort a drivada substacial é calculada ao logo do trajto caractrístico, dtrmiado-s o poto x d rsolvdo a quação Dx/Dt = a para trás o tmpo t +1 t t usado a codição iicial x(t +1 ) = x i. Est squma é mostrado a figura (1a). Um método d itgração dv sr utilizado para s cotrar a posição do poto do passo atrior a malha. Utilizado-s um squma d discrtização d primira ordm, a trajtória é aproximada por uma rta. Dpddo da trajtória, três situaçõs podm ocorrr, a primira a suguda são mostradas a figura (1b) plos potos 1 2, a trcira, plo poto 3. Na trajtória 1, o poto do passo atrior c s cotra próximo ao poto do passo atual c +1 dtro do domíio do problma. Dpois d idtificado o lmto qu cotém o poto 1, uma itrpolação tr os ós do lmto é cssária para s cohcr su valor. No caso do poto 2, o poto do passo atrior c s cotra distat do poto do passo atual c +1 dtro do domíio do problma. A difrça tr o poto 4

5 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT o poto 2 stá o comprimto das trajtórias. No poto 2, a trajtória também srá aproximada por rta o qu pod grar um grad rro d aproximação, pois com pouca iformaçao (tmpos iicial fial) ão s sab a ral trajtória do poto. No cado poto 3, o valor d origm é calculado utilizado as codiçõs d cotoro. Após a discrtização plo método smi-lagragao, as quaçõs d govro tomam a forma d: M x ( u+1 i u d ) + 1 t R {(2K xx + K yy )u +1 + K xy v +1 } G x p +1 = 0 (26) M y ( v+1 i vd ) + 1 t R {K yxu +1 + (K xx + 2K yy )v +1 } G y p +1 = 0 (27) D x u +1 + D y v +1 = 0 (28) 3.4. Elmtos d Malha M c ( c+1 i t c d ) + 1 R Sc (K cxx + K cyy )c +1 = 0 (29) A scolha do tipo d lmtos m quaçõs od o acoplamto d variávis xist, como o caso das quaçõs d Navir-Stoks, é rstrito. Na litratura, ssa rstrição rcb o om d codição d Babuska-Brzzi. Essa é uma codição d stabilidad rfrt ao modo d discrtizaçao do problma, portato, a scolha d lmtos adquados é fudamtal para matr ssa codição satisfita. Muitos autors mcioam dtalham ssa codição spcífica. Para s sabr mais, rcomdam-s: Cuvlir t al., 1986, Zikiwicz Taylor, 2000 Od Cary, Há a litratura casos od s cotra a solução do problma sm msmo a codição d Babuska-Brzzi sr satisfita, mas para tais lmtos o método d Galrki ão pod sr utilizado. Métodos d palidads também podm sr usados para cotorar ssa rstrição, porém ão é assuto dst trabalho o uso dsta prática. Elmto triagular liar: Ess é o lmto mais utilizado o método dos lmtos fiitos, por sua forma gométrica mais simpls, poddo sr usado para aproximar suprfícis irrgulars. Por sr liar, suas fuçõs d itrpolação são rprstadas por plaos (vr Fig. 2), ou sja, um poliômio d grau 1. A prssão a quação d Navir- Stoks (quação 1) a coctração a quação d trasport d massa (quação 3) foram discrtizadas utilizado ss lmto. 2 potos d vlocidad ~ potos d prssao N i = L i, i = 1, 2, Figura 2: rprstação das fuçõs d itrpolação para o triâgulo liar Elmto triagular cúbico: Est lmto aprsta um grau d librdad a mais para vlocidad localizado o ctróido do triâgulo. A fução d itrpoloação rcb o om spcial d fução bolha, pois aparc uma bolha localizada o itrior do lmto, como pod sr visto a figura (3b). A combiação d fuçõs d itrpolação liar para prssão d fuçõs d itrpolação cúbicas para a vlocidad forma o qu é cohcido a litratura por lmto MINI. Sdo um lmto cúbico, su poliômio d itrpolação é d grau 3. As vlocidads das quaçõs d Navir- Stoks foram calculadas utilizado ss lmto. 5

6 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT potos d vlocidad ~ potos d prssao N i = L 1 9L 1 L 2 L 3, i = 1, 2, 3 N 4 = 27L 1 L 2 L Figura 3: rprstação das fuçõs d itrpolação para o triâgulo MINI 3.5. Método da Projção Discrto O método da projção discrto basado m dcomposição LU é obtido através d fatoração m blocos do sistma liar rsultat. Isto sugr qu a sparação (ou split) tr vlocidad prssão é fita dpois da discrtização o spaço o tmpo das quaçõs d govro. Cosidr as quaçõs discrtizadas o tmpo o spaço como s sgu: M( u+1 u d ) + 1 t R Ku+1 Gp +1 = 0 Du +1 = 0 M( c+1 i c d t ) + 1 R Sc Kc+1 = 0 (30) a última quação d (30) pod sr rsolvida sparadamt, o tato, as quaçõs rstats formam um sistma d quaçõs qu pod sr rprstado por: [ ] [ ] [ ] [ ] B tg u +1 r bc1. D 0 p +1 = + 0 bc 2 (31) od agora o sistma é scrito apas para as icógitas do problma, ou sja, u +1 = [u +1 1,..., u +1 Nu, v+1 1,..., v +1 Np ]T, sdo Nu, Nv Np o úmro d icógitas (ós livrs) para vlocidad a dirção x, vloci- p +1 = [p +1 1,..., p +1 dad a dirção y prssão rspctivamt. A otação para as matrizs vtors foi matida a msma por simplicidad. A matriz B é dada por B = M + t R K o lado dirito rprsta as gradzas cohcidas o tmpo, (32) Nv ]T, r = t(au d ) + Mu, (33) mais as codiçõs d cotoro qu ada mais são do qu as cotribuiçõs dos valors cohcidos d vlocidad prssão o lado dirito do sistma. O método da projção basado m fatoração LU visa dcompor a matriz do sistma (31) através d uma fatoração por blocos. Em L t al., 2001 são aprstadas várias formas d s fatorar sta matriz, cada forma dado origm a uma família d métodos difrts. Utilizado uma fatoração caôica LU por blocos, tm-s o sguit sistma: 6

7 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B 0 I tb D tdb 1. 1 G u +1 r bc1. G 0 I p +1 = + 0 bc 2 (34) O sistma aprstado m (34), s rsolvido, dá origm ao método d Uzawa (Chag t al., 2002). Porém sua solução é cara computacioalmt dvido à ivrsão da matriz B a cada itração. Duas técicas foram utilizadas st trabalho, todas utilizado um procsso d aproximação chamado lumpig. Na primira técica, a matriz B 1 foi aproximada por uma matriz d massa diagoal B 1 L, st caso alguams oscilaçõs foram cotradas os campos d vlocidad para úmro d R baixo. Portato, uma outra solução rsolvu ss problma, m vz d aproximar a matrix d massa, a diagoalização foi fita m B. Para st caso a solução ão aprsta problmas para hum valor d R. A matriz diagoalizada volv uma aproximação cohcida a litratura por lumpig. Esta técica cosist m somar todos os lmtos d liha localizá-los a diagoal pricipal da matriz. O msmo procdimto pod sr fito m lmtos d colua já qu a matriz B é simétrica. Not qu a utilização dsta técica s faz cssária pois a ivrsão d matrizs ão-diagoais gra custos computacioais lvados. No métodos dos lmtos fiitos, a técica d Lumpig tm sua pricipal utilização a matriz d massa, pois ao fial do procdimto, a massa total do lmto s matém cosrvada Oritação a Objtos O paradigma da oritação a objtos é mprgado para a laboração do código umérico. As vatags dst tipo d programação comparadas à programação strutural (covcioal) são: facilidad d mautcão, modularidad, implmtacão d classs objtos, abstração d dados, tc. A figura (4) rprsta o diagrama d classs m UML (Uifid Modlig Laguag) do código dsvolvido st trabalho. Solvr +solv() TElmt Modl Simulator +iit() +stp() +sav() +rstor() FEMLiElmt FEMMiiElmt Figura 4: diagrama d classs Na class Modl cotram-s as codiçõs d cotoro, a discrtização do domíio a gomtria do problma. Em FEMMiiElmt FEMLiElmt cotram-s as iformaçõs sobr os lmtos utilizados suas rspctivas matrizs, tais como: matriz d rigidz, matriz d massa matriz d opradors para o cálculo da vorticidad. A class TElmt stá prparada para capturar as iformaçõs das class FEMMiiElmt FEMLiElmt ou d uma outra class com tipo d lmto difrt. A class Simulator é rsposávl pla motagm das matrizs (Assmbl), aplicação das codiçõs d cotoro prparação do sistma liar a sr rsolvido. Logo, st sistma é camihado para a class Solvr od a solução do problma é procssada. 7

8 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT Rsultados O método foi validado para o caso d scoamto plao d Poisuill stacioário, produzido valors odais virtualmt xatos. O problma do dgrau, ou m iglês, backward-stp foi utilizado para ilustrar as caractrísticas do método dsvolvido. As codiçõs d cotoro gomtrias são aprstadas a figura (5). u=1 v=0 c=1 l=0.5 u=0 v=0 c=0 l=1 u=0 v=0 c=0 u=0 v=0 c=0 Figura 5: codiçõs d cotoro para o problma proposto l=1 p=0 l=1 Os rsultados mostrados as figuras (6), (7) (8) a sguir foram rtirados d três situaçõs caractrizadas m sqüêcia. A primira imagm d cada liha rprsta uma codição logo após a codição iicial (2 itraçõs). A sguda figura d cada liha rprsta um stágio itrmdiário, d aproximadamt 8 itraçõs. A trcira figura rprsta um stado próximo ao prmat. Foram tstadas combiaçõs dos úmros d R Sc. A sguir são mostrados os casos R = 10 Sc = 10 (figura 6), R = 100 Sc = 100 (figura 7) R = Sc = 100 (figura 8), usado uma malha triagular com 800 vértics. a) b) c) d) Figura 6: Simulação d R = 10 Sc = 10. Evolução das compots u (a) v (b) da vlocidad, da prssão (c) da coctração da spéci química (d). 8

9 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT a) b) c) d) Figura 7: Simulação d R = 100 Sc = 100. Evolução das compots u (a) v (b) da vlocidad, da prssão (c) da coctração da spéci química (d). a) b) c) d) Figura 8: Simulação d R = Sc = 100. Evolução das compots u (a) v (b) da vlocidad, da prssão (c) da coctração da spéci química (d). 9

10 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT Os rsultados mostram qu o método é stávl, msmo para passos d itgração o tmpo logos (CF L = t U/ x 5), ão aprsta oscilaçõs msmo para valors d R Sc lvados. O fito da variação do R pod sr aprciado a rdução da spssura da camada limit hidrodiâmica o crscimto da rgião d rcirculação a jusat do dgrau com o aumto do R. O fito da variação do Sc s maifsta também pla rdução da spssura da camada limit d coctração o afiamto do jato a rgião a jusat do dgrau com o aumto do produto R Sc. Em particular, pod-s obsrvar qu para R Sc = a frt d propagação do campo scalar c é muito bm dfiida, mostrado qu o método umérico aprsta baixa difusão artificial stabilidad. 5. Coclusão O problma tratado ss trabalho aprsta a origialidad d abordar o studo do campo hidrodiâmico aftado plo acoplamto, através dos coficits d viscosidad d difusão dpdts da coctração da spéci, com a diâmica d trasport d uma spéci química. O método dos lmtos fiitos proposto ss trabalho, basado o método d Galrki a formulação smi- Lagragaa, s mostrou stávl para todos os valors d CF L, R Sc aalisados. Os rsultados ão aprstaram oscilaçõs spúrias m difusão umérica xcssiva as simulaçõs para altos valors d R Sc. Essas caractrísticas stão associadas à scolha da formulação smi-lagragaa m combiação com o lmto MINI para a discrtização das quaçõs d Navir-Stoks o lmto liar para a discrtização da quação d trasport da spéci química. O método d projção discrto, basado m fatoração LU, combiado com a técica d aproximação Lumpd rsultou m um squma umérico computacioalmt ficit, prmitido a utilização d métodos d solução d sistmas liars com matrizs d coficits simétricas positivas dfiidas como o método dos gradits cojugados com précodicioador d Cholsky icomplto. A utilização do paradigma d oritação a objtos prmitiu a implmtação d um sistma d simulação d qualidad do poto d vista d gharia d softwar, d fácil mautção dsvolvimto futuro. 6. Agrdcimtos Agradcmos a Furas Ctrais Elétricas S.A., ao CNPQ a FAPERJ plo suport fiaciro ao dsvolvimto dst trabalho. 7. Rfrêcias Batchlor, G. K., 1967, A Itroductio do Fluid Dyamics, Cambridg Uivrsity Prss. Chag, W., Giraldo, F., ad Prot, B., 2002, Aalysis of a Exact Fractioal Stp Mthod, Joural of Computatioal Physics. Chi, D. T. ad Litt, M., 1972, A Elctrochmical Study of Flow Istability o a Rotatig Disk, J. Fluid Mch., Vol. 54, pp Cuvlir, C., Sgal, A., ad va Sthov, A. A., 1986, Fiit Elmt Mthod ad Navir-Stoks Equatios, Dordrcht, Hollad. Grgory, N., Stuart, J. T., ad Walkr, W. S., 1955, O th stability of thr-dimsioal boudary layrs with applicatio to th flow du to a rotatig disk, Phil. Tras. Roy. Soc. Lodo, Vol. A-248, pp L, M. J., Oh, B., ad Kim, Y. B., 2001, Caoical fractioalstp mthods ad cosistt boudary coditios for th icomprssibl Navir-Stoks quatios, Joural of Computatioal Physics. Od, J. T. ad Cary, G., 1984, Fiit Elmts: Mathmatical Aspcts, Prtic-Hall, vol. iv ditio. Piroau, O., 1982, O th traspor-diffusio algorithm ad its applicatios to th Navir-Stoks quatio, Numr. Math, pp Pots, J. ad Magiavacchi, N., 2005, Fômtos d Trasfrêcia, Apostila. Pots, J., Magiavacchi, N., Cocição, A. R., Barcia, O. E., Mattos, O. E., ad Tribollt, B., 2004, Rotatig Disk Flow Stability i Elctrochmical Clls: Effct of Viscosity Stratificatio, Phys. Fluids, Vol. 16, No. 3, pp Robrt, A., 1981, A stabl umrical itgratio schm for th primitiv mtorologica quatios, Atmos. Oca, pp Schlichtig, H., 1979, Boudary Layr Thory, McGraw-Hill Scic. Smith, N., 1946, Exploratory ivstigatio of lamiar boudary layr oscillatios o a rotatig disk, Tchical rport, NACA, Tchical Rport TN Zikiwicz, O. C. ad Taylor, R. L., 2000, Th Fiit Elmt Mthod Volum 1: Th Basis, Wily Joh ad Sos, 5th ditio. 10

11 Procdigs of th ENCIT 2006, ABCM, Curitiba PR, Brazil Papr CIT Numrical Solutio of Navir-Stoks Equatios Coupld to Chmical Spcis by th Fiit Elmt Mthod Gustavo Rabllo dos Ajos UFRJ - Programa/Dpto. d Eg. Mtalúrgica d Matriais PEMM-DMM/COPPE/UFRJ Caixa Postal Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil gustavo_rabllo@mtalmat.ufrj.br Norbrto Magiavacchi UERJ - Dpto. d Egharia Mcâica/GESAR Rua Fosca Tls, Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil orbrto@urj.br José Pots UFRJ - Programa/Dpto. d Eg. Mtalúrgica d Matriais PEMM-DMM/COPPE/UFRJ Caixa Postal Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil jopots@mtalmat.ufrj.br Cássio Botlho Prira Soars Furas Ctrais Elétricas S.A. - Dpartamto d Egharia Ambital Rua Ral Gradza, Rio d Jairo, RJ - CEP Brasil cassiobp@furas.com.br Abstract. A umrical modl is proposd for solvig th Navir-Stoks quatios coupld to th trasport quatio of a chmical spcis. Th Fiit Elmt Mthod is mployd i th problm discrtizatio ad th objct-oritd paradigm, i th dvlopmt of th umrical cod. Spatial discrtizatio of th diffusio ad prssur trms is mad through th Galrki mthod ad th substatial drivativ, through a smi-lagraga tchiqu, usig a first-ordr backward Eulr implicit schm. Th liar systm is solvd through th discrt projctio mthod, basd o LU dcompositio.. Kywords Navir-Stoks quatios, fiit lmt mthod, smi-lagraga mthod, projctio mthod, objct-oritd programmig 11