5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1

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1 5 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Introdução: Considrmos os sguints nunciados: Quais são as dimnsõs d uma caia rtangular sm tampa com volum v com a mnor ára d supríci possívl? A tmpratura T m qualqur ponto do plano é dada por T T Como vamos dtrminar a tmpratura máima num disco chado d raio r cntrado na origm? E a tmpratura mínima? Para rsolvr ssas outras qustõs vamos psquisar máimos /ou mínimos d unçõs d duas ou mais variávis O máimo ou mínimo d uma unção d duas variávis pod ocorrr na rontira d uma rgião ou no su intrior Inicialmnt vamos analisar mplos m qu os máimos mínimos ncontram-s no intrior d uma rgião Postriormnt mostrarmos as técnicas para dtrminar máimos mínimos na rontira d um conjunto também sobr uma curva Divrsos mplos são dados para ilustrar a aplicação d concitos proposiçõs para a rsolução d problmas práticos Alguns mplos srão dados para visualiarmos o caso d unçõs com mais d duas variávis 5 Diniçõs: Dinição : Sja uma unção d duas variávis Dimos qu D é ponto d máimo absoluto ou global d s: D Nst caso dimos qu é o valor máimo d Emplo: A igura a sguir grada a partir do sotwar MAPLE através das linhas d comando também aprsntadas mostra o gráico da unção O ponto é um ponto d máimo absoluto ou global d pois D ou R O valor máimo d é O prsnt matrial a part da Apostila d Cálculo II laborada plo pro José Donitti d Lima Alguns tópicos da vrsão original oram suprimidos 9

2 Linhas d comando: MAPLE > plotd-^-^--; Dinição : Dimos qu a unção admit um máimo local no ponto s ist um disco abrto R contndo tal qu para todos os pontos m R conorm ilustra a igura a sguir Dinição : Sja uma unção d duas variávis Dimos qu D é ponto d mínimo absoluto ou global d s: D Nst caso dimos qu é o valor mínimo d Emplo: A igura a sguir grada a partir do sotwar MAPLE através das linhas d comando também aprsntadas mostra o gráico da unção O ponto é um ponto d mínimo absoluto ou global d pois Linhas d comando: MAPLE > plotd^^--; D ou R O valor mínimo d é Dinição : Dimos qu a unção admit um mínimo local no ponto s ist um disco abrto R contndo tal qu para todos os pontos m R conorm ilustra a igura a sguir

3 Nota: Ao máimo local ao mínimo local d uma unção chamam-s trmos dssa unção ou m outras palavras dimos qu uma unção admit um trmo num dado ponto s la tm nss ponto um máimo ou um mínimo Emplos: Mostr qu a unção admit um mínimo local no ponto P Sabmos qu: Assim somando - é um ponto d mínimo Mostr qu a unção sn admit um máimo local na origm D ato para a origm tmos: Por outro lado ando: π sn arc sn Escolhndo no intrior viinhança do ponto analisado do círculo d raio π r cntro um ponto ntão dst modo sn pois o ângulo analisado é agudo sn π π é um ponto d máimo Torma : Condiçõs ncssárias para istência d um trmo S a unção admit um trmo para os valors ntão cada drivada parcial d primira ordm d anula-s para sss valors das variávis indpndnts ou não istm

4 Assim nos pontos trmos tmos: Gomtricamnt ss torma nos di qu s é um ponto trmo d ntão o plano tangnt à supríci dada no ponto analisado é parallo ao plano O plano horiontal Nota: Est torma ornc uma condição ncssária mas não uma condição suicint Em outras palavras s o ponto or um ponto trmo as drivadas s anulam porém quando as drivadas s anulam não podmos garantir qu st ponto sja um ponto trmo Ou ainda não val a volta Emplos: Dada a unção tmos: stas drivadas parciais não são dinidas para não sndo dirnciávl nss ponto O gráico da unção aprsnta um ponto anguloso na sua origm P não admitindo plano tangnt nst ponto Obsrv qu ssa unção admit um ponto d mínimo m A part inal do Torma garant qu s não istir as drivadas parciais no ponto analisado nss caso também ss ponto srá um ponto trmo plotdsqrt^^--; Nota: Ess torma não ornc uma condição suicint para a istência d um trmo ou sja s as drivadas parciais d a ordm d uma unção anulam-s no ponto não implica qu ss ponto é um trmo dssa unção Dada a unção tmos: stas drivadas anulam-s para Mas sta unção não tm nm máimo nm mínimo para sts valors Com ito la anula-s na origm mas toma na viinhança dst ponto tanto valors positivos como valors ngativos portanto o valor ro não é um trmo como mostra as iguras a sguir Tal ponto é conhcido como ponto d sla Figura grada plo sotwar MAPLE O plano tangnt é horiontal

5 Construção d uma unção no sotwar MAPLE plotd^-^--;

6 5 Ponto crítico d uma unção d duas variávis Sja unção dinida num conjunto abrto Um ponto dss conjunto é um ponto crítico d s as drivadas parciais dirnciávl m são iguais a ro ou s não é Gomtricamnt podmos pnsar nos pontos críticos d uma unção como os pontos m qu su gráico não tm plano tangnt ou o plano tangnt é horiontal Nota: Os trmants pontos trmos ou sja ponto d máimo ou d mínimo d stão ntr os sus pontos críticos No ntanto um ponto crítico nm smpr é um ponto trmant Um ponto crítico qu não é um ponto trmant é chamado um ponto d sla Emplo: Vriiqu qu o ponto é ponto crítico da unção O ponto é ponto crítico da unção dada pois não é dirnciávl as drivadas d a ordm não são contínuas no ponto analisado A igura a sguir mostra qu ssa unção não admit plano tangnt na origm Linhas d comando no sotwar MAPLE plotd*^/^^--; 5 Condição ncssária para a istência d pontos trmants torma Sja unção uma unção dirnciávl num conjunto abrto S um ponto dss conjunto é um ponto trmant local ponto d máimo ou d mínimo local ntão isto é é um ponto crítico d

7 5 Emplos: Dtrmin os pontos críticos da unção o Passo Dtrminação das drivadas parciais: - o Passo Rsolução do sistma: Da quação concluímos qu ou Fando na primira quação d vm ± Assim tmos os pontos Por outro lado ando na primira quação d vm ± Logo os pontos críticos são: Portanto a unção dada tm quatro pontos críticos: Dtrmin os pontos críticos da unção o Passo Dtrminação das drivadas parciais: o Passo Rsolução do sistma: { { ± Logo os pontos críticos são:

8 55 Condição suicint para um ponto crítico sr trmant local Torma: Sja unção cujas drivadas parciais d a a ordm são contínuas num conjunto abrto qu contém suponhamos qu sja um ponto crítico d Sja H o dtrminant: H Tmos: S H > > ntão é um ponto d mínimo local d S H > < ntão é um ponto d máimo local d S H ntão não é trmant local Nss caso é um ponto d sla < S H nada s pod airmar pod sr um ponto d máimo mínimo ou sla Notas: A matri H aparc m divrsas situaçõs num curso d Cálculo é conhcida como matri hssiana O su dtrminant H é chamado dtrminant hssiano da unção ou hssiano da unção A dmonstração dss torma é bastant compla A idéia undamntal é usar as drivadas parciais d a ordm da unção para dtrminar o tipo d parabolóid qu mlhor s aproima do gráico da unção próimo d um ponto crítico O parabolóid qu mlhor s aproima do gráico d próimo ao ponto crítico é o gráico da unção polinomial: P A B C D F G

9 Emplos: Classiicar os pontos críticos da unção Em mplo antrior mostramos qu os pontos críticos são: O dtrminant hssiano é dado por: Tmos: Anális do ponto Nss caso H Assim como H < é ponto d sla Anális do ponto - Nss caso H - Assim como H - < - é ponto d sla Anális do ponto Nss caso H H Logo como H > dvmos analisar o sinal d Tmos Assim como H > > é ponto d mínimo local d Anális do ponto - Nss caso H Logo como H > dvmos analisar o sinal d Tmos Assim como H > < - é ponto d máimo local d Portanto os pontos críticos d são classiicados como: - são pontos d sla é ponto d mínimo local - é ponto d máimo local

10 8 Mostrar qu 5 tm mínimo local m Vamos inicialmnt vriicar s é ponto crítico Tmos Como concluímos qu é ponto crítico d Vamos agora dtrminar o hssiano H Assim > H Tmos também qu 8 > Portanto como > H > é um ponto d mínimo local da unção dada Dtrminar classiicar os pontos críticos da unção Dtrminação das drivadas parciais: Rsolução do sistma: { { ± Logo os pontos críticos são: Dtrminação das driadas parcias d a ordm:

11 9 O dtrminant hssiano é dado por: H Para tmos: ± Anális do ponto Nss caso H > Dsta orma como > H > é um ponto d mínimo local Anális do ponto Nss caso H < Dssa orma como > H < é um ponto d máimo local Portanto ponto d máimo: Ponto d mínimo: Dtrminar classiicar os pontos críticos da unção Rsposta: Pontos d sla > - - ; Ponto d máimo>- -; Ponto d mínimo> 5 Dtrminar classiicar os pontos críticos da unção Rsposta: Pontos críticos > ; ; -; ; - Pontos d sla > -; Ponto d máimo > ; Ponto d mínimo >

12 Visualiação gráica usando o sotwar MAPLE : > plotd**^^-*- -; 5 > plotd^*^//5--; > plotd*p-^-^--; 8

13 > plotd*^*^-*-*--; 5 > plotd*^^*p-^-^--; Sja O único ponto crítico d é tmos H ; logo o torma não nos ornc inormação sobr st ponto crítico Entrtanto trabalhando dirtamnt com a unção vriica-s sm diiculdad qu é ponto d mínimo global Torma: S a b c d l ond a b c d l são constants ntão s or trmant local d mínimo local ou máimo local ntão srá trmant global Nota: A dmonstração pod sr ita ao obsrvarmos qu o gráico d g t ht kt h k constants é uma parábola 8

14 8 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS: Usando o torma antrior stud com rlação a trmants globais as unçõs: a Rsposta: Mínimo Global > -/ b Rsposta: Ponto d sla > / / ou sja não admit trmants c Rsposta: Máimo Global > / / d Rsposta: Mínimo Global > / / Rsposta: Ponto d sla > - ou sja não admit trmants Rsposta: Mínimo global > Torma: Sja d class C admit todas as drivadas parciais d ordm contínuas sja um ponto intrior do domínio d Considrando qu sja um ponto crítico d sjam ainda H H dadas por: H H Notas: Lmbr-s plo torma d Schwart tmos: ; As drivadas d cada variávl são colocadas por colunas não por linhas Essas matris são matris simétricas M M t Na ralidad las são matris positiva dinida S > > H > H ntão srá ponto d mínimo local S < > H > H ntão srá ponto d máimo local S < H ou < H ntão srá um ponto d sla

15 8 Emplo: Estud com rlação a máimo mínimos locais da unção 8 5 Rsposta: Mínimo Local > 8 Assim é o único ponto crítico ; ; ; ; ; ; ; Logo 8 > H ; > H > Portanto como > > H > H ntão é ponto d mínimo local LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Estud com rlação a máimo mínimos locais das unçõs: a Rsposta: Mínimo Local > ; Máimo Local > - - ; Pontos d sla > - ; -; - -; - ; ou sja não são trmants b 5 Rsposta: Mínimo Local > 5/ -5/ ; Ponto d sla > - ou sja não é trmant c Rsposta: Ponto d sla > 5/ -/ / ou sja não é trmant

16 5 APLICAÇÕES: A maimiação a minimiação d unçõs d várias variávis são problmas qu aparcm m vários conttos práticos como por mplo: Problmas gométricos Problmas ísicos Problmas conômicos tc A sguir são aprsntadas aplicaçõs natiando problmas conômicos Rvisão concitual: LUCRO RECEITA DESPESA VENDA CUSTO Emplos: Uma industria produ dois produtos dnotados por A B O lucro da indústria pla vnda d unidads do produto A unidads do produto B é dado por: L Supondo qu toda a produção da indústria sja vndida dtrminar a produção qu maimia o lucro Dtrmin também ss lucro Diant do problma aprsntado tmos qu: Ma L sujito a : Inicialmnt dtrminmos os pontos críticos dssa unção Tmos: L L Rsolvndo o sistma: obtmos a solução: Agora rsta nos vriicar s ss ponto ncontrado é um ponto d máimo L Tmos: H 8 H 8 > < Assim o ponto é um ponto d máimo rprsnta a produção qu maimia o lucro da indústria Para dtrminar o lucro máimo basta calcularmos: L 8 unidads montárias u m 8

17 Uma dtrminada mprsa produ dois produtos cujas quantidads são indicadas por Tais produtos são orcidos ao mrcado consumidor a prços unitários p p rspctivamnt qu dpndm d conorm quaçõs: p p O custo total da mprsa para produir vndr quantidads dos produtos é dado por C Admitindo qu toda produção da mprsa sja absorvida plo mrcado dtrmin a produção qu maimia o lucro Qual o lucro máimo? Rsposta: > Produto : Prço : p ; Produto : Prço : p Como: LUCRO VENDA CUSTO : L V C Ond: Vndas: V V Custo: C Assim L L L L Dv-s dtrminar o hssiano para mostrar qu ralmnt st ponto é um ponto d máimo Para dtrminar o lucro máimo basta calcular: L L Portanto dv-s produir unidads do produto unidads do produto o lucro srá d unidads montárias um Para produir dtrminado produto cuja quantidad é rprsntada por uma mprsa utilia dois ators d produção insumos cujas quantidads srão indicadas por Os prços unitários dos ators d produção são rspctivamnt O produto srá orcido ao mrcado consumidor a um prço unitário igual a 5 A unção d produção da mprsa é dada por 9 Dtrmin a produção qu maimia o lucro Qual o lucro máimo? Rsposta: 58; > 5 Produto : Custo: ; Produto : Custo: ; Prço d vnda: 5 Produção: 9 Como: LUCRO VENDA CUSTO : L V C Ond: Vndas: V 5 Custo: Assim L L L 5 Dv-s dtrminar o hssiano para mostrar qu ralmnt st ponto é um ponto d máimo Para dtrminar o lucro máimo basta calcular: L 58; 5 Portanto dv-s produir 58 unidads do produto unidads do produto o lucro srá d 5 unidad montárias um 85

18 Quais as dimnsõs d uma caia rtangular sm tampa com volum supríci possívl? Vamos considrar a caia conorm ilustra a igura a sguir m com a mnor ára d Sndo as arstas da bas a altura da gomtria lmntar plana spacial tmos: Volum da caia: V Ára da supríci total: A Nosso objtivo é minimiar A sabndo qu > min A Podmos simbolicamnt scrvr: s a > Costumamos ao usar ssa notação chamar a unção A d unção objtivo as quaçõs /ou inquaçõs d rstriçõs O símbolo s a lê-s sujito a Como plo volum tmos: a ára a sr minimiada pod sr prssa como 8 8 unção d duas variávis A Procuramos um ponto crítico dssa unção isto é um ponto m qu: A 8 A 8 Dssas quaçõs rsulta qu ou sja o ponto crítico é o ponto Usando o hssiano podmos conirmar s o msmo é ponto d mínimo H 8 A H > > 8 Assim é um ponto d mínimo Portanto as dimnsõs da caia são: mtros mtros mtro Conclusão: A caia d volum dado sm tampa com ára d supríci mínima tm uma bas quadrada altura mdindo mtad do valor da arsta da bas 8

19 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Dtrmin os pontos críticos das unçõs a sguir invstigu a sua natura: a Rsposta: Ponto d mínimo > - b Rsposta: Ponto d sla > ; Ponto d mínimo > 8 Dtrmin classiiqu todos os pontos críticos das sguints unçõs d duas variávis a Rsposta: Máimo > b 9 Rsposta: Sla > Mínimo 9 c cos Rsposta: Não tm ponto crítico d ln com > > Rsposta: Ponto d mínimo > / Dtrmin classiiqu os trmos os pontos d sla d : a Rsposta: Ponto d máimo: b c d Rsposta: Ponto d mínimo: Rsposta: Rsposta: Ponto d sla: Ponto d mínimo: Ponto d sla: ; Ponto d mínimo: 8 ; Ponto d mínimo: sn Rsposta: cos cos não ist logo: não istm pontos críticos sn sn Mostr qu a unção tm um mínimo local na origm Rsposta: H H > Nada a concluir plo tst da a drivada Mas trabalhando dirtamnt com a unção dada vmos qu o msmo é ponto d mínimo < ou 5 Mostr qu tm um ponto d mínimo m Rsposta: Para vriicar qu é mínimo trabalha-s com a unção: < ou Nota: Obsrv qu não ist as drivadas parciais da unção no ponto por isso o msmo é um ponto crítico 8

20 Mostr qu uma caia rtangular com tampa volum dado trá a mnor ára d supríci s or cúbica A V k ond: k é o volum dado k k k D k A A k k A k k Logo k A k A A ; ; A k ; Lmbr-s: > pois são as dimnsõs da caia E mais k k k A k H k > > Conclusão: As mbalagns dvriam sr cúbicas para s minimiar o custo na concção das msmas Quais as dimnsõs d uma caia rtangular sm tampa com volum 8 m com a mnor ára d supríci possívl? V 8 m 8 A A A D 8 5 m Logo: 5 m m V 8 m ou V 5 5 8m Nota: Em situação smlhant a sta smpr trmos: V 88

21 5 MÁXIMO E MÍNIMOS CONDICIONADOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Introdução Considrmos os sguints problmas: Maimiar > Má Maimiar sujito a: > Má s a : O problma é um problma d otimiação irrstrita sm rstrição podmos solucioná-lo usando as proposiçõs já aprsntadas Por outro lado no problma tmos a prsnça d uma rstrição ou vínculo Nst último problma stamos diant d um problma d otimiação rstrita ond qurmos ncontrar o maior valor da unção num subconjunto d su domínio nss caso o subconjunto do plano dado pla rta Nss contto a solução do problma é chamada um ponto d máimo livr ou não-condicionado d A solução do problma é dita um ponto d máimo condicionado d Uma visualiação da solução dsss problmas é dada na igura a sguir Notas: S a unção conhcida como unção objtivo unção qu s qur maimiar n n ou minimiar a rstrição g orm linars trmos problmas d Programação Linar D orma gral problmas d otimiação rstrita podm sr muito complos não havndo um método gral para ncontrar a solução d todas as classs d problmas Em algumas situaçõs simpls podmos rsolvê-los plicitando uma variávl m unção das outras na rstrição substituindo na unção objtivo rsolvndo o problma d otimiação irrstrita rsultant como ilustra o mplo a sguir: 89

22 Má Emplo : s a Como: Substituindo na unção objtivo tmos: Assim tmos a sguint unção d uma variávl a sr maimiada: Calculando a sua drivada tmos: ' Dtrminando o ponto crítico: Vriicando qu o msmo é d máimo: '' '' < Logo é ponto d máimo Substituindo o valor m tmos: O ponto máimo é Nota: Ás vs a rsolução d g é muito diícil ou msmo impossívl Por isso trmos qu aminar o problma através d um novo método Lmbr-s: qu as coordnadas do vtor gradint d uma unção n são as drivadas parciais da unção ou sja: grad n n n O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE O método dos multiplicadors d Lagrang prmit analisar situaçõs mais grais Através dss método um problma d otimiação rstrita com n variávis m rstriçõs d igualdad é transormado num problma d otimiação irrstrita com n m variávis Algumas situaçõs particulars são aprsntadas a sguir Nota: Ess método é aplicávl também a unçõs não linars PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E UMA RESTRIÇÃO Má Considrmos o sguint problma: s a : g Usando as propridads do vtor gradint vamos obtr uma visualiação gométrica do método d Lagrang qu nos prmit dtrminar os candidatos a pontos d máimo /ou mínimo condicionados d Para isso sboçamos o gráico d g divrsas curvas d nívl k da unção objtivo obsrvando os valors crscnts d k O valor máimo d sobr a curva g coincid com o maior valor d k tal qu a curva k intrprta a curva g Isso ocorr num ponto P Nss ponto as duas curvas tm a msma rta tangnt t conorm mostra a próima igura 9

23 Como grad grad g são prpndiculars à rta t ls tm a msma dirção no ponto P ou sja: Para algum númro ral grad grad g Nota: Os vtors g são múltiplos ou parallos ou d msma dirção ou L D Claramnt nss argumnto gométrico imos a suposição d qu g m P Além disso o msmo argumnto pod sr acilmnt adaptado para problmas d minimiação Tmos o sguint torma: Torma: Sja dirnciávl num conjunto abrto U Sja g uma unção com drivadas parciais contínuas m U tal qu g para todo V ond V { U / g } Uma condição ncssária para qu V sja trmant local d m V é qu: para algum númro ral g Assim podmos dir qu os pontos d máimo /ou mínimo condicionados d dvm satisar as quaçõs: g g ; g para algum númro ral O númro ral qu torna compatívl o sistma é chamado multiplicador d Lagrang O método proposto por Lagrang consist simplsmnt m dinir a unção d três variávis: L g obsrvar qu o sistma é quivalnt à quação: L L L L ou ; Assim os candidatos a trmants locais d sobr g são psquisados ntr os pontos críticos d L Os valors máimo /ou mínimo d sobr g coincidm com os valors máimo /ou mínimo livrs d L É important obsrvar qu o método só prmit dtrminar potnciais pontos trmants A classiicação dsss pontos dv sr ita por outros mios tais como argumntos gométricos tc 9

24 Emplos: Má s a : Para rsolvr ss problma plo método d Lagrang como aprsntado dvmos scrvr a rstrição na orma A unção lagrangana é dada por: L Drivando L m rlação às três variávis tmos: L L L ; Igualando ssas drivadas a ro obtmos o sistma d quaçõs: Assim o ponto trmant é substituindo na unção objtivo vmos claramnt qu é ponto d máimo condicionado Fando o tst da viinhança do ponto: ; ; Portanto é ponto d máimo Aplicação: Um galpão rtangular dv sr construído num trrno com a orma d um triângulo conorm a igura a sguir Dtrminar a ára máima possívl para o galpão Na igura a sguir rprsntamos a situação a sr analisada num sistma d coordnadas cartsianas traçado convnintmnt Rvisão: Equação sgmntaria da rta: p q > Obsrvando a igura antrior vmos qu a ára do galpão é dada por: P dv star sobr a rta A qu o ponto 9

25 Má Tmos ntão o sguint problma: s a : Para rsolvr o problma plo método dos multiplicadors d Lagrang como aprsntado dvmos scrvr a rstrição na orma A unção lagrangana é dada por: L Drivando L m rlação às três variávis tmos: L L L ; Igualando ssas drivadas a ro obtmos o sistma d quaçõs: Rsolvndo ss sistma ncontramos: 5 5 As dimnsõs do galpão qu orncm um valor trmo para a sua ára são m 5 m Com ssas dimnsõs a ára do galpão srá: A m 5 m 5 m Embora o método não possibilit vriicar s ss valor é um valor máimo ou mínimo através d uma simpls inspção gométrica da igura antrior vmos qu d ato as dimnsõs ncontradas orncm a ára máima do galpão Podmos também usar o método da viinhança do ponto para avaliar s o msmo é ponto d máimo ou d mínimo: A 5 5; A 8; A ; A8 8 A5 5 A logo ponto d máimo Nota: O multiplicador d Lagrang dsmpnha um papl auiliar não sndo d intrss na solução inal do problma PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E UMA RESTRIÇÃO Nss caso podmos visualiar o método ando um sboço do gráico d g d divrsas suprícis d nívl k da unção objtivo obsrvando os valors crscnts d k Como podmos vr na igura a sguir no ponto trmant P os vtors grad grad g são parallos Portanto nss ponto dvmos tr: g para algum ral O método dos multiplicadors d Lagrang para dtrminar os potnciais pontos trmants d w sobr g consist m dinir a unção lagrangana: L g dtrminar os pontos tais qu: L L L L ou d orma quivalnt: ; ; g As hipótss ncssárias para a validad do método são análogas às do torma antrior 9

26 9 Emplos: Dtrminar o ponto do plano: mais próimo da origm Nss caso qurmos minimiar a distância dos pontos do plano até a origm Para simpliicar os cálculos podmos minimiar o quadrado da distância Tmos o sguint problma d otimiação: : a s Min Para ss problma a unção lagrangana é dada por: L Drivando L m rlação às variávis igualando ssas drivadas a ro obtmos o sistma: cuja solução é: 9 Gomtricamnt é claro qu o ponto 9 P é um ponto d mínimo como podmos visualiar na igura a sguir Nota: Usando a unção objtivo podmos mostrar qu 9 P é ponto d mínimo o ponto a sr analisado dv prtncr ncssariamnt ao domínio da unção Tomando um outro ponto do domínio por mplo: tmos: plano : 9

27 Aplicação: Um abricant d mbalagns dv abricar um lot d caias rtangulars d volum V cm S o custo do matrial usado na abricação da caia é d R$ 5 por cntímtro quadrado dtrminar as dimnsõs da caia qu tornm mínimo o custo do matrial usado m sua abricação Solução Sjam as dimnsõs da caia conorm a igura a sguir: O volum da caia é dado por: V A sua ára d supríci é: A O custo do matrial usado para a abricação da caia é dado por: C 5 minc Estamos assim diant do sguint problma d otimiação: s a : A unção lagrangana para ss problma é dada por: L Drivando L m rlação às variávis igualando a ro as drivadas obtmos o sistma: Da última quação sgu qu: Das três primira quaçõs concluímos qu pois m caso contrário tríamos Assim sabndo qu isolando nas duas primiras quaçõs obtmos as sguints quaçõs quivalnts: Da msma orma trabalhando com a sgunda a trcira quação tmos qu Substituindo sss rsultados na última quação obtmos: Portanto o único candidato a trmant condicionado da unção custo C é o ponto O custo d matrial corrspondnt é: C 8 Para vriicar qu é ponto d mínimo tommos por mplo: cujo custo é dado por: 8 rais > Ponto d máimo 95

28 PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E DUAS RESTRIÇÕES Considrmos o sguint problma d otimiação: Má s a : g h Para visualiarmos o método nss caso vamos supor qu a intrsção das suprícis g h sja uma curva C Qurmos dtrminar ntão um ponto d máimo P d sobr C Como nos casos antriors traçamos divrsas supríci d nívl k d obsrvando os valors crscnts d k Obsrvando a igura a sguir vmos qu no ponto P a curva C tangência a supríci d nívl k d Assim P dv sr normal à curva C Tmos também qu g P h P são normais à curva C Portanto no ponto P os três vtors rais µ tais qu: g g µ g h são coplanars ntão istm númros Obsrvamos qu nssa argumntação gométrica stamos supondo qu os vtors linarmnt indpndnts L I ou sja tm dirçõs dirnts não são múltiplos g h são Lmbr-s: Dir qu os vtors contidos num msmo plano g h são coplanars signiica qu os msmos stão A sguir tmos o sguint torma: Sja A R um conjunto abrto Suponhamos qu é dirnciávl m A qu g h têm drivadas parciais d a ordm contínuas m A Sja B { A/ g h } Suponhamos também qu g h são linarmnt indpndnts m B S P é um ponto trmant local d m B ntão istm númros rais µ tais qu: P g P µ g P Com bas nst torma podmos dir qu os candidatos a trmants condicionados d dvm satisar a quação: L ond a unção lagrangana L nss caso é uma unção d 5 cinco variávis dada por: L µ g µ h 9

29 Emplo: Dtrminar o ponto da rta d intrscção dos planos qu stja mais próima da origm Para simpliicar os cálculos vamos minimiar o quadrado da distância Assim tmos o sguint problma d otimiação: Min A unção lagrangana L é dada por: s a : L µ µ Drivando L m rlação às variávis µ vm: L L L µ ; µ ; µ ; L L µ Assim a quação L nos ornc o sistma d quaçõs linars: µ µ µ µ µ µ / > µ > µ > substitui m / / / 8 / / / / / Assim tmos: µ 8 Portanto o ponto é o único candidato a trmidad condicionado d Gomtricamnt é ácil constatar qu ss ponto constitui a solução do problma Por outro lado 5 < 8 Sugstão d atividad: Usar sotwars matmático para rsolvr o sistma para construir a rprsntação gométrica quando or possívl 9

30 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Nos rcícios a sguir us o método dos multiplicadors d Lagrang para ncontrar os trmos indicados Você pod supor qu o trmo ist Dtrminar os pontos d máimos /ou mínimos da unção dada sujita às rstriçõs indicadas: a ; b ; c ; d ; ; 9 Rsposta: a Ponto d mínimo > b Ponto d mínimo > Ponto d máimo > c Ponto d mínimo > Ponto d máimo > 5 5 d Pontos d mínimo > Ponto d mínimo > 5 5 Pontos d máimo > Encontr o valor máimo d sujita á rstrição Rsposta: Encontr os valors máimo mínimo da unção sujita á rstrição Rsposta: Pontos d mínimo > Pontos d máimo > Encontr o valor mínimo da unção Rsposta: - sujita á rstrição 5 Encontr o valor mínimo da unção sujita á rstrição Rsposta: 9 mplo d qu é mínimo > 9 Encontr o valor mínimo d sujita á rstrição Rsposta: - Sja rstrição 8 8 Encontr os valors máimo mínimo da unção dada sujita à Rsposta: P / / P / / são pontos d mínimos > P P / / P / P P P / são pontos d mínimos > 98

31 8 Sja rstrição Encontr os valors máimo mínimo da unção dada sujita à Rsposta: Pontos d máimos > ; Ponto d mínimo > Nota: Essa unção possui um ponto d sla m - cujo valor uncional é Cuidado: Na rsolução do sistma: S ± Por outro lado s substituindo na rstrição tmos: ± 9 Sja Encontr os valors máimo mínimo da unção dada sujita à rstrição 8 Rsposta: Pontos d máimos > Ponto d mínimo > ; Encontr o valor máimo d sujita à rstrição Rsposta: / / > Ponto d máimo > Ponto d mínimo > Valor máimo / Sja Encontr o valor mínimo da unção dada sujita à rstrição 5 Rsposta: 8 8 Sja Encontr o valor mínimo da unção dada sujita à rstrição Rsposta: -/ / > Valor mínimo pois é maior por mplo qu / 9/ Dtrminar o ponto do plano para o qual a unção 5 tnha um valor mínimo Por mplo Rsposta: 9 < 5 Ponto A rta t é dada pla intrscção dos planos Dtrminar o ponto da rta t cuja distância até a origm sja mínima 5 Rsposta: < - por mplo 5 Achar os valors trmos d sujitos à condição Rsposta: Ponto d máimo > 99

32 O dpartamnto d strada stá planjando construir uma ára d piquniqu para motoristas ao longo d uma grand auto-strada Ela dv sr rtangular com uma ára d 5 mtros quadrados crcada nos três lados não-adjacnts à auto-strada Qual é a quantidad mínima d crca qu srá ncssária para raliar o trabalho? Min s a : 5 Portanto a quantidad mínima é : m 5 m 5 m m Há mtros d crca disponívis para crcar um campo rtangular Como a crca dv sr usada d tal orma qu a ára incluída sja a máima possívl? Má s a : Portanto o campo dv sr um quadrado com 8 mtros d lado 8 Dsja-s construir um aquário na orma d um parallpípdo rtangular d volum m L Dtrmin as dimnsõs do msmo qu minimiam o custo sabndo qu o custo do matrial usando na concção do undo é o dobro do da latral qu o aquário não trá tampa Mín usando os multiplicadors d Lagrang s a : Portanto dv-s construir um cubo d arsta m 9 Projt uma caia rtangular d lit com largura comprimnto altura qu contnha 5 cm d lit Os lados da caia custam cntavos/cm o topo o undo custam 5 cntavos/cm Ach as dimnsõs da caia qu minimim o custo total Qual é ss custo? Mín usando os multiplicadors d Lagrang Portanto as dimnsõs s a : 5 dvm sr: Largura 5 cm; Comprimnto 5 cm Altura cm Em rlação ao custo tmos: C 5 5 5cntavos rais < C888 8cntavos 8rais Encontr o volum máimo qu uma caia rtangular pod tr sujita a rstrição d qu a ára da supríci é m Rsposta: V 5 m ou 5 L 5 ml > V Dtrminar os pontos d máimos mínimos da unção dada sujita à rstrição indicada: g Rsposta: > Máimo > Mínimo Dtrminar os pontos d máimos mínimos da unção dada sujita às rstriçõs indicadas: g h Rsposta: > Máimo - > Mínimo

33 Aplicação: Encontr o volum máimo qu uma caia rtangular pod tr sujita a rstrição d qu a ára da supríci é m V como A m A 5 g 5 Assim dvmos maimiar V sujito a 5 V V V V g g g g * * Substituindo m 5 tmos: logo: o volum é: V ou sja: V 5 m ou 5 L 5 ml

34 Dtrminar os pontos d máimos mínimos da unção dada sujita à rstrição indicadas: g Como g g Assim 5 g Como g g - a Part - - ± Assim os pontos são P P máimos d pontos ambos a Part - ± Assim os pontos são P P > mínimos d pontos ambos INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Podmos rsolvr a maioria dos problmas d otimiação condicionados plo método dos multiplicadors d Lagrang sm obtr tivamnt um valor numérico para o multiplicador d Lagrang Em alguns problmas contudo podmos qurr conhcr Isto sria dvido a tr uma intrprtação útil Suponha qu M sja o valor máimo ou mínimo d sujita à rstrição k g O multiplicador d Lagrang é a taa d variação d M m rlação à k Isto é: dk dm Assim variação m M rsultant d um aumnto d unidad m k Lmbr-s: Nosso objtivo é: k a s Má g : ou k a s Min g :

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