A Origem do Potencial de Membrana e a Equação de Nernst

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1 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK A Orgm do Potal d Mmbraa a Equação d Nrst A razão pla qual xst uma dfrça d potal létro através da mmbraa uroal é porqu la é prmávl a íos, prmtdo qu haja trasport d argas létras através dla. Nsta aula, vamos aprstar algumas ls físas ssas para dsrvr o movmto d íos por dfusão através d uma mmbraa lular. A dfusão oorr quado há uma dfrça d otração ôa tr os dos lados da mmbraa o movmto d argas gra uma dfrça d potal létro através da mmbraa. Dfusão a L d Fk O fsologsta Adolph Fk ( ) fo um dos prmros a studar o prosso d dfusão através d mmbraas bológas. Cosdr o modlo da fgura abaxo: uma fa barrra prmávl (mmbraa) spara dos rsrvatóros otdo uma solução utra. A spssura da mmbraa é d há uma dfrça a otração do soluto S d um lado para o outro da mmbraa, [ S] [ S] [ S, 1 ] od 1 é o lado d dtro da élula é o lado d fora da élula. 1

2 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Em aaloga om o fluxo d alor tr dos orpos a tmpraturas dfrts, Fk propôs qu o fluxo J S do soluto S é proporoal ao gradt d otração, od D é o oft d dfusão (suposto omo dpdt d x). J S [ S ] D, (1) Supodo qu mdmos as dmsõs spaas m m, as udads d D são: 4 ( partíulas/ ( m.s )/( partíulas/m ) m / s. Portato, as udads d D são dpdts das udads usadas para a quatdad d partíulas (mols ou úmro d partíulas), dsd qu sjam usadas udads osstts tato para a otração omo para o fluxo. O trmo fluxo d alguma osa rprsta a quatdad dssa osa qu passa através d uma suprfí d ára utára por udad d tmpo. Sgudo ssa dfção, o fluxo é, m gral, um vtor. Porém, por smpldad, vamos osdrar aqu movmto apas m uma drção (a drção x o dsho). Esta aproxmação é válda quado o fluxo do soluto ruzar a mmbraa trasvrsalmt, qu srá o aso osdrado aqu. O sal gatvo a L d Fk da qu o fluxo s dá d uma rgão d alta otração para uma d baxa otração. Duas aratrístas da L d Fk dvm sr otadas: Prmro, la é uma l lar: por maor qu a dfrça d otração tr os dos lados da mmbraa sja, o fluxo prma proporoal ao gradt, ou sja, ão xst um prosso d saturação.

3 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Sgudo, a l mpla m uma dpdêa d fluxos: o fluxo do soluto S é dpdt do fluxo d outros solutos X Y, ou sja, ão xst aoplamto tr os fluxos. Quado xst osrvação d partíulas, ou sja, quado ão há ração ou dstrução d partíulas m qualqur poto do spaço, xst outra rlação tr o fluxo J S a otração [S]. Imagmos um lmto d volum rtagular suftmt pquo para qu a otração ão var sgfatvamt om a posção dtro do lmto (fgura abaxo). O úmro d partíulas qu passa pla suprfí d ára A do lmto d volum a posção x m um trvalo d tmpo tr t t+ t é dado por J S (x,.a t. Not, plo dsho, qu ssas partíulas stão trado o lmto d volum. Da msma forma, o úmro d partíulas qu passa pla suprfí d ára A do lmto d volum m x+ x o msmo trvalo d tmpo é J S (x+ x,.a t. Plo dsho vmos qu ssas partíulas stão sado do lmto d volum. Portato, o fluxo líqudo d partíulas para dtro do lmto d volum (o úmro d partíulas qu tra mos o úmro d partíulas qu sa) o trvalo d tmpo tr t t+ t é dado por 3

4 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK ( J x, t ) J ( x + x, t )) A t S (. () S A varação líquda d partíulas dtro do lmto d volum durat o trvalo d tmpo tr t t+ t também pod sr xprssa m trmos da otração [S](x,. Vamos supor qu o úmro d partíulas dtro do lmto d volum (ujo volum val A x) m qualqur stat d tmpo pod sr aproxmado por [S](x+ x/,.a x, ou sja, pgamos a otração o poto médo do lmto d volum para rprstar a otração dtro do volum. Sdo assm, podmos srvr a varação líquda o úmro d partíulas dtro do lmto d volum tr t t+ t omo (o úmro d partíulas m t+ t mos o úmro d partíulas m : ( S] ( x + x /, t + [ S] ( x + x /, ) A x [. (3) O prípo d osrvação da matéra os dz qu s ão há ração ou dstrução d partíulas dtro do lmto d volum à mdda qu as partíulas flum por l, a varação o úmro d partíulas dtro dl durat um trvalo d tmpo t só pod sr dvda a uma trada ou saída líquda d partíulas ss msmo príodo. O qu tra mos o qu sa varação a quatdad d partíulas Portato, as quaçõs (3) () podm sr gualadas, rsultado m J S ( x + x /, t + [ S] ( x + x / ( x, J S ( x + x, [ S], x t. (4) Em gral, ostuma-s xprssar o fluxo líqudo omo o qu sa do lmto d volum mos o qu tra l, J ( x + x, J ( x,. Nsta otação, a quação ama fa S J S S ( x + x /, t + [ S] ( x + x / ( x + x, J S ( x, [ S], x t. (5) 4

5 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Not o sal gatvo multplado o trmo da drta. Tomado os lmts da quação (5) para x 0 para t 0, obtmos a quação da otudad: J S ( x, [ S]( x, t ). (6) t A quação da otudad é a xprssão matmáta do prípo da osrvação da matéra. Combado sta l d osrvação om a L d Fk obtmos a quação d dfusão, [ S ] [ S ] D. (7) t x Podmos rsolvr a quação (7) para obtr omo a otração [S](x, vara om o tmpo o tror da mmbraa à mdda qu o trasport s prossa. Etrtato, para uma mmbraa fa omo a bamada lpída os trasts do prosso d dfusão são muto rápdos, d mara qu a otração [S](x, atg um stado staoáro m um tmpo muto urto. Portato, podmos osdrar um fluxo staoáro através da mmbraa, para o qual [ S ] t 0. Nsta stuação, a quação (7) os dá [ S ] a, (8) x od a é uma ostat. Combado a quação (8) om a L d Fk (quação (1)), tmos Itgrado a quação (8), obtmos J S Da. (9) 5

6 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK od b é outra ostat. [ S ]( x ) ax + b, (10) As ostats a b podm sr dtrmadas plas odçõs d otoro do problma (vja o dsho da pága 1): [ S ](0) [ S] + S 1 b; [ S]( d) [ S] ad + b ad [ ] 1 Substtudo os valors d a b assm dtrmados a quação (10), obtmos a solução d stado staoáro para [S](x): x x S ]( x) [ S] 1 + ([ S] [ S] 1) [ S] [ S]. (11) d d [ 1 Esta quação os dz qu a otração do soluto S vara larmt o tror da mmbraa o stado staoáro, oform mostrado a lustração da pága 1.. O valor da ostat a (o trmo qu multpla x) pod sr rtrado dsta quação substtuído m (9), os dado uma xprssão para o fluxo J S : J S D [ S ] P [ S ]. (1) d Esta quação os dz qu o fluxo é ostat, dpdt d x. Not qu J S é proporoal à dfrça d otração tr o tror o xtror da élula, ão havdo saturação para grads valors d [S] (L d Fk). Not qu quado [ S ] > 0 (maor otração d soluto o tror da élula do qu o xtror) a quação (1) mpla um fluxo postvo, sto é, sado do volum da élula sgudo a ossa dfção. A quação (1) df a prmabldad P da mmbraa para moléulas utras. 6

7 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Quado ão há dfrça d potal létro através da mmbraa, sta dfção d P é válda para íos também, mas a prsça d forças létras outra quação dv sr usada (a quação d Goldma-Hodgk-Katz, omo vrmos ada. Da mara omo fo dfda, P é a prmabldad da mmbraa por udad d ára, om dmsõs d spaço por tmpo (m gral, la é mdda m m/s). Dfusão a Prsça d Outros Prossos Em gral, quado partíulas s dfudm através d um mo xstm outros fômos d trasport oorrdo smultaamt. Covção As partíulas do soluto podm star m uma solução qu stá sdo trasportada m uma orrt d ovção, omo quado a solução stá sdo movmtada por prssão hdráula. No aso m qu as partíulas d soluto stão s dfuddo através do solvt ao msmo tmpo sdo trasportadas por ovção a uma vlodad ostat v, o fluxo d soluto, J S (x, pod sr srto omo a soma do fluxo dfusvo (dado pla prmra l d Fk) do fluxo ovtvo. O fluxo ovtvo é smplsmt dado por J S v.[s], o produto da vlodad d movmto da solução pla otração do soluto. Para dmostrar sto, osdrmos uma suprfí d ára A. 7

8 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK A quatdad d solução movdo-s a uma vlodad ostat v qu passa por ssa ára A m um trvalo d tmpo t stá dtro d um volum dado por A.v t (vja a fgura abaxo, m qu osdramos a ára A omo rular por smpldad). O úmro d mols d soluto dtro dss volum é gual a [S].Av t o fluxo é o úmro d mols qu passa pla ára A o trvalo t, portato [S].v. Dsta forma, a quação para o fluxo d soluto o aso m qu há dfusão aoplada a ovção é: [ S ] J S D + v[ S ]. (13) Campo d Força Outro masmo d trasport d soluto oorr quado as partíulas stão sujtas a um ampo d força, omo o ampo gravtaoal ou um ampo létro (o aso m qu as partíulas têm arga). O movmto do soluto ausado por um ampo d força é hamado d mgração ou arrasto. A ompot do fluxo d soluto dvda ao arrasto m um ampo d força também pod sr srta omo o produto da vlodad d movmto das partíulas dvdo à força pla otração, v[s]. A mobldad mâa d uma partíula, µ, é dfda omo a razão tr a vlodad da partíula a força sobr a partíula, µ v/f p. 8

9 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Em trmos da mobldad mâa, o fluxo d partíulas d soluto a prsça d dfusão arrasto dvdo a um ampo d força pod sr srto omo [ S ] J S D + µ [ S ] f. (14) Raçõs Químas Pod aotr qu as partíulas qu stjam s dfuddo através d um volum fxo stjam fazdo raçõs químas om outros lmtos da solução, por xmplo, lgado-s a outras moléulas prsts. Nst aso, xst prda ou ração d partíulas d soluto o tror do volum a quação da otudad tm qu sr modfada para otuar xprssado a l da osrvação da matéra: Varação a quatdad d partíulas o qu tra mos o qu sa + produção ou rmoção loal d partíulas. Supodo qu as partíulas d soluto são rmovdas por s lgar a outros ompostos da solução a uma taxa α (m lgaçõs por sgudo), a quação da otudad pod sr stdda para a quação d ração-dfusão: J S ( x, [ S]( x, α[ S]. (15) t 9

10 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Eltrodfusão a Equação d Nrst-Plak Até agora, ão osdramos o fluxo d partíulas arrgadas (por xmplo, íos) através da mmbraa lular. No aso m qu houvr uma dfrça d otração ôa tr os dos lados d uma mmbraa lular, o fluxo d íos através da mmbraa srá aftado ão apas plo gradt d otração, mas também plo ampo létro grado através da mmbraa plo movmto dos íos. A ação do ampo létro rsulta uma força d arrasto sobr as partíulas. Vamos supor qu sta força stja a drção postva d x, mplado qu tr duas olsõs as partíulas sjam alradas a drção x. Essa alração ausa um rmto da vlodad a drção x durat o trvalo tr olsõs. Coform a Equação 14, ssa vlodad rmtal, hamada d vlodad d arrasto a drção x, é dada por ν µ f, od f é a força por partíula µ é a mobldad mâa (dfda omo µ v/f). O fluxo d partíulas dvdo a ss arrasto provoado pla força xtra é J S arrasto µ [ S] v [ S] f. Vamos osdrar qu as partíulas são íos (portato, om arga) d valêa z qu a força f é ausada por um ampo létro om tsdad E V, od V é o potal létro. Etão, a força létra sobr uma partíula é, V f qe ze z, od z é a valêa do ío é a arga lmtar (1,60 x C). Combado as duas últmas quaçõs, J S arrasto Esta quação é hamada d l d Plak. V S] µ z [. 10

11 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK A l d Plak é apas uma mara d srvr a L d Ohm (J σe) para o movmto d partíulas arrgadas m um mo vsoso. Not qu la mpla qu o movmto d argas létras postvas (z > 0) oorr o stdo oposto ao do gradt do potal létro V(x). Exst uma rlação, dtrmada por Est m su trabalho sobr o movmto browao d 1905, tr a mobldad ôa µ o oft d dfusão D, ohda omo rlação d Est (vja a ddução dsta rlação o Apêd): D µkt, (16) od k é a ostat d Boltzma (1,38 x 10-3 J/K) T é a tmpratura absoluta. Por ausa dssa rlação, quado os ftos do gradt d otração do gradt d potal létro são ombados para o álulo do fluxo d partíulas arrgadas, obtmos a sgut quação (hamada d Equação d Nrst-Plak): V q V J D µ q D +. (17) dx kt Nota: a partr daqu, para smplfar a otação, vamos passar a dsgar o fluxo do soluto S apas por J a sua otração, [S], por. A quação d Nrst-Plak ostuma sr srta d dvrsas formas. Outra forma bastat omum pod sr obtda lmbrado qu R k R R R k, N q N q N z zf A od R é a ostat dos gass (1,98 al/k.mol), N A é o úmro d Avogadro (6,0 x 10 3 mol -1 ), z é a valêa do ío, é a arga lmtar (1,60 x C) F é a ostat d A A 11

12 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Faraday (a arga d um mol d partíulas uvalts, F N A.), ujo valor é 9, C/mol. Substtudo k/q R/zF a quação (17) tmos outra forma d srvr a quação d Nrst- Plak: zf V D + J. (18) A quação d Nrst-Plak dsrv o fluxo d íos através d uma mmbraa lular dvdo aos ftos ombados do gradt d otração d dfrça d potal létro. Faça uma aáls dmsoal da quação (18) para s ovr d qu as udads d J são as d fluxo d íos: íos por udad d ára por udad d tmpo. O sal gatvo da qu íos postvos s movm a drção oposta dos sus gradts d otração d potal létro. Já íos gatvos s movm a drção oposta à do su gradt d otração, mas a msma drção do su gradt d potal létro. Esta é a quação mas utlzada para o álulo d fluxos ôos m urofsologa vamos otrá-la m dvrsas stuaçõs ao logo dst urso. A Equação d Nrst Váras quaçõs mportats dsrvdo o fluxo d orrt létra através d mmbraas podm sr obtdas a partr da quação d Nrst-Plak. Uma stuação mportat para sr studada é aqula m qu o fluxo líqudo d íos através da mmbraa é ulo, ou sja, a stuação m qu o potal d mmbraa stá m rpouso. 1

13 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Vamos osdrar aqu uma stuação dal m qu a mmbraa lular é prmávl apas a um tpo d ío. Nst aso, fazdo-s J 0 a quação d Nrst-Plak, tmos: ou (sparado as varávs): 1 + zf V zf V 0,. (19) Vamos supor qu a mmbraa s std d x 0 (o tror) até x d (o xtror), ou sja, la tm spssura d. Etão, tgrado (19) d x 0 a x d ( usado os subíds para dar varávs tras xtras à lula, rsptvam: zf ( V V ) l( ), o qu mpla qu, dfdo-s o potal d mmbraa omo a dfrça d potal tr o tror o xtror da élula (V V V ): V l zf. (0) A quação (0) é a quação d Nrst. Ela dtrma o valor do potal d mmbraa para o qual os fluxos d uma spé ôa para dtro para fora da élula s gualam, o potal d qulíbro, ou potal d Nrst. A tabla abaxo dá os valors dos potas d qulíbro, alulados pla quação d Nrst, para algus íos para o axôo ggat da lula. 13

14 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Dtro (mm) Fora (mm) Potal d Equlíbro (Nrs K mv Na mv Cl (-33) mv Ca + 0,4x mv Cotraçõs ôas d rpouso para o axôo ggat da lula a 0 o C. Not qu [K + ] dtro > [K + ] fora, [Na + ] dtro < [Na+] fora, [Cl - ] dtro < [Cl - ] fora [Ca + ] dtro < [Ca + ] fora. Apsar d havr dfrças tr as spés, stas rlaçõs tr as otraçõs dsss quatro íos prmam váldas para a maora das élulas amas. A quação d Nrst mpla qu os potas d qulíbro do Na + do Ca + são postvos qu os potas d qulíbro do K + do Cl - são gatvos. Isto tm mplaçõs a dtrmação dos potas d rpouso das élulas a gração dos potas d ação m élulas rvosas, omo srá vsto mas para frt st urso. A Equação d Goldma-Hodgk-Katz O potal létro V o tror da mmbraa lular é dtrmado pla dsdad loal d arga létra. Uma das quaçõs fudamtas do ltromagtsmo é a l d Gauss (1 a l d Maxwll), qu srta a forma dfral m uma dmsão é: E ( x, ρ, (1) ε od ρ é a dsdad d arga (C/m 3 ) ε é a prmssvdad létra do mo, o aso a mmbraa uroal. Exprssado o ampo létro m trmos do potal létro, E( x, V ( x,, sta l pod sr srta omo, 14

15 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK qu é ohda omo quação d Posso. V( x, ρ, () ε A dsdad d arga ρ é formada por dos trmos, um dvdo às argas móvs (íos) outro dvdo às argas fxas, móvs o mo. Supodo qu a otração d ada spé ôa prst a mmbraa é rprstada por (x, (íos por udad d volum), podmos srvr a dsdad d arga o tror da mmbraa omo: N ρ( x, z ( x, + ρ f ( x,, (3) 1 od z é a arga d um ío da spé ρ f é a dsdad d argas fxas. Normalmt, a otração ôa d uma dada spé ôa é xprssa m udads d mols do ío por udad d volum. S for xprssa ssas udads, tão a dsdad d arga srá dada por N ρ( x, F z ( x, + ρ f ( x,, (4) 1 od z F é a arga d um mol d íos do tpo. S ada spé ôa for osrvada, ada ío trá sua própra quação d otudad. Coform vsto a quação (6), J ( x, ( x, t ). (5) t Um sstma d ltrodfusão m qu xstm dfrts spés ôas fludo através da mmbraa é ompltamt spfado plas quaçõs (18), (), (4) (5). Assm, xstm N quaçõs d Nrst-Plak (Equação 18) rlaoado N + 1 varávs: J, J, J 3,..., J N, 1,,..., N, V 1. 15

16 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK S ada uma das spés ôas for osrvada, tão trmos mas N quaçõs d otudad adoas (quação 5) rlaoado ssas varávs. Falmt, a quação d Posso () também df outra rlação tr ssas N + 1 varávs. S as argas fxas form spfadas omo uma proprdad da mmbraa s odçõs d otoro apropradas form spfadas, stão todas ssas quaçõs prmtm uma dtrmação omplta do problma d ltrodfusão, sto é, xstm N + 1 varávs N + 1 quaçõs. Em prípo, ssas quaçõs podm sr rsolvdas para a otração a dsdad d orrt d ada uma dos íos móvs bm omo para o potal létro. Porém, stas quaçõs podm sr ão lars por ausa do trmo ( x, ( V ( x, ) a quação (18), o qu ompla sua solução. Dsta forma, para s obtr o fluxo d ada spé ôa, J, a partr da quação d Nrst- Plak é ssáro rsolvr um sstma aoplado d quaçõs dfras. Isto stá além dos objtvos dst urso apas uma stuação smplfada srá osdrada aqu. Uma stuação mportat qu pod sr tratada om o auxílo das quaçõs dsvolvdas ama é a da ltrodfusão o stado staoáro. Por dfção, o stado staoáro huma das varávs do modlo d ltrodfusão dv dpdr do tmpo (mas las podm tr valors dfrts d zro qu varm om a posção x). 16

17 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK S for dpdt do tmpo, a quação da otudad para a -ésma spé ôa (quação 5) mpla qu J é uma ostat, dpdt do tmpo do spaço. Portato, st aso a quação d Nrst-Plak para a -ésma spé ôa s tora (ot qu as drvadas paras são agora drvadas totas), a quação d Posso fa, J D d( x) + dx zf dv ( x) ( x) dx, (6) d V( x) ρ ( x). (7) dx ε As quaçõs (6) (7), qu dsrvm o prosso d ltrodfusão o stado staoáro, ão são fás d sr rsolvdas. Porém, adotado-s algumas smplfaçõs las podm sr rsolvdas. Uma das soluçõs mas bm ohdas é a d Goldma, qu fo proposta almt m 1943 omo um modlo mrosópo para o trasport ôo através d mmbraas qu fo dsvolvda postrormt por Hodgk Katz m Nss modlo, a mmbraa é vsta omo um mo homogêo ão poroso (vja a fgura abaxo) plo qual os íos podm s movmtar sgudo as ls da ltrodfusão. 17

18 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Vamos supor qu a mmbraa spara duas soluçõs ôas om otraçõs do ío guas a (rprstado os lados tro xtro d uma élula, por xmplo). O fluxo ôo assoado a sta spé ôa é J. O modlo stá lustrado a fgura abaxo. O potal d mmbraa srá dfdo omo V m V ( 0) V ( d), (8) sto é, omo a dfrça tr o potal do lado d dtro o potal do lado d fora da élula. Vamos supor qu as soluçõs dos dos lados da mmbraa têm omposção uform, sto é, são bm msturadas. Vamos assumr também qu o rgm d ltrodfusão da spé ôa é d stado-staoáro, ou sja, J é ostat. No tato, os valors da otração, (x), do potal létro, V(x), podm varar o tror da mmbraa. No modlo d Goldma, assum-s qu a dsdad líquda d arga dtro da mmbraa, dvda tato às argas m movmto omo às fxas, é zro. Com sta hpóts smplfadora, a quação d Posso (7) tora-s, d V( x) 0, (9) dx o qu mpla qu dv(x)/dx é uma ostat, portato, qu o ampo létro também é ostat o tror da mmbraa. Por ausa dsso, sta hpóts é hamada d hpóts do ampo ostat. Ela é uma boa aproxmação para mmbraas bastat fas omo as mmbraas blpídas lulars. Supodo qu a mmbraa tm spssura d, o valor do ampo létro ostat é E V m /d, d mara qu, 18

19 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK dv ( x) dx V d Itgrado sta quação tr x 0 x, tmos qu, ou, para x d, oform sprado. Vm V( x) V(0) x, d m V 0) V( d). (30) (, (31) V m Para rsolvr a sguda quação do sstma d quaçõs para o stado staoáro (quação 6), qu é a quação d Nrst-Plak, vamos almt multplá-la plo fator tgrat z FV ( x), J zfv ( x) D zfv ( x) d mara qu la pod sr r-srta omo, J zfv ( x) d x) + dx Itgrado sta quação tr os lmts x 0 0 x d, zf ( zfv ( x) zfv ( x) d D x) dx dv ( x) ( x) dx (. (3), ou, J d 0 zfv( x) dx D ( d) zfv( d) (0) zfv(0), J D ( d ) z FV ( d ) d 0 z FV ( x ) (0) dx z FV ( 0 ). (33) 19

20 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Vamos assumr qu as trfas da mmbraa om as soluçõs tra xtra o potal é otíuo qu as otraçõs do ío satsfazm, (0) ( d ) 1. (34) Rsolvdo a tgral o domador d (33) (obtha o rsultado abaxo omo xrío), d 0 zfv ( x) dx d z FV zfv (0) z FV m 1, m qu, substtuída a quação (33) usado-s as quaçõs (31) (34) os dá (faça sso omo xrío também), J 1 z FV m zfv m D z FV m d. (35) Esta quação os dá o fluxo d íos da spé o stado staoáro. Em gral, la é mdda m mols por udad d ára por udad d tmpo. As suas udads podm sr ovrtdas para arga por udad d ára por udad d tmpo, qu orrspod a orrt por udad d ára, portato, a dsdad d orrt, pla multplação da quação ama por z F (a arga d um mol d íos da spé ). Fazdo sta multplação (ot qu agora J passa a dar dsdad d orr: J 1 z FV m z F Vm D z FV m d. (36) A prmabldad P d uma mmbraa d spssura d a um soluto fo dfda pla quação (1) omo, Substtudo sta quação m (36) tmos, P D d. 0

21 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK J 1 z FV m z F P Vm z FV m. (37) Esta é a hamada quação d Goldma-Hodgk-Katz (GHK) para a dsdad d orrt da spé ôa através d uma mmbraa. Ela dtrma omo sta dsdad d orrt dpd das otraçõs do ío dos dos lados da élula do valor do potal d mmbraa V m (vja o apêd um studo mas dtalhado sobr la). A prmra osa qu podmos fazr om a quação d GHK é supor qu xst apas uma spé ôa fludo através da mmbraa vrfar qual é a odção mposta por la para qu a orrt dssa spé ôa através da mmbraa sja ula. Sgudo a quação (37), a dsdad d orrt J é zro quado o umrador do trmo tr parêtss for ulo, o qu oorr quado, zfvm z FV m V m l V zf, (38) od V é o potal d Nrst do ío. Portato, omo sprado, o modlo d GHK também os dá qu o potal d qulíbro para o fluxo do ío é o potal d Nrst dss ío. S xstrm váras spés ôas passado através da mmbraa, om dfrts valors d otração dtro fora da élula, m gral os sus rsptvos potas d Nrst srão dfrts. Dsta forma, ão havrá um valor d potal d mmbraa úo para o qual todas as orrts ôas sjam ulas. 1

22 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Mas dv havr um valor d potal para o qual a orrt líquda (sto é a soma d todas las) s aul. Est potal é hamado d potal d Goldma-Hodgk-Katz (GHK). Cosdrmos um grupo d íos, todos om valêa z ±1. Nst aso, o valor do potal d GHK para o qual a orrt líquda dvda a sss íos sja ula pod sr alulado a partr da odção, 0 z 1 j P j j j 1 FV FV + z 1 j P j j j 1 FV FV, (39) od a prmra somatóra s rfr aos íos om valêa z 1 a sguda s rfr aos íos om valêa z 1. Est xprssão pod sr rsolvda para s solar o valor d V (faça omo xrío), rsultado m V z 1 z 1 Pj j + Pj j j j l z 1 F z 1. (40) Pj j + Pj j j j Como um xmplo, s os íos prsts são o sódo (Na +, z 1), o potásso (K +, z 1) o loro (Cl -, z 1), o potal d GHK é, V F P Cl[ Cl] + PNa [ Na] + PK [ K] l, PCl [ Cl] + PNa [ Na] + PK [ K] od voltamos a usar tmporaramt a otação [A] para rprstar a otração do ío A. Compar st xprssão om a forda para o potal d GHK a aula. É mportat rssaltar qu, ao otráro da xprssão para o potal d Nrst, qu é uma xprssão gral válda para qualqur aso m qu há apas um ío fludo através da mmbraa, a xprssão para o potal d GHK só é válda dtro da aproxmação d ampo létro ostat o tror da mmbraa.

23 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK No aso gral m qu xstm város íos fludo através da mmbraa, a solução gral vm da rsolução do sstma d quaçõs (18), (), (4) (5). A solução do modlo d GHK é apas uma solução para o aso partular m qu o ampo létro é ostat xstm outras soluçõs para ss sstma d quaçõs basadas m outras aproxmaçõs. Apêd 1: Ddução das Rlaçõs d Est d Stoks-Est Plo modlo d Est para o movmto browao, o prosso d dfusão d um ojuto d partíulas oloadas m um mo fludo é dvdo aos spalhamtos dssas partíulas quado las sofrm olsõs om as partíulas do mo. A dstâa méda prorrda por uma partíula tr duas olsõs é l o trvalo d tmpo médo tr duas olsõs é τ. Quado há um ampo d força xtro atuado sobr as partíulas, d mara qu a força sobr uma partíula sja f p, o trvalo tr duas olsõs a partíula sofr uma alração dada por f p a, m od m é a sua massa. Portato, o trvalo tr duas olsõs a partíula sofr um movmto alrado a sua vlodad d arrasto rs larmt a partr d v(0) 0 até v(τ) aτ (f p /m).τ v max. A vlodad méda da partíula é v f pτ m a sua mobldad méda é v µ f p τ m. (A1) Por outro lado, plo torma da qüpartção da rga (prour m um lvro d Trmodâma), a rga éta méda d uma partíula m movmto udmsoal stá rlaoada à tmpratura por, 1 1 mv kt, (A) 3

24 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK od k é a ostat d Boltzma, T é a tmpratura absoluta v é a méda do quadrado da vlodad da partíula. Vamos supor qu v é gual a v (st é um poto frao sta dmostração). Vamos também supor qu v l τ Com stas hpótss, tmos qu 1 l 1 m l m kt kt. τ τ τ Substtudo a quação (A1) sta quação lmbrado qu o oft d dfusão, sgudo o modlo do movmto browao d Est, pod sr srto omo D l / τ (vja as otas d aula sobr dfusão) obtmos a rlação d Est m trmos da mobldad da partíula: D µkt. (A3) Lmbrado qu k R/N A, od R é a ostat uvrsal dos gass N A é o úmro d Avogadro, dfdo a mobldad molar omo u µ/n A, podmos rsrvr a rlação d Est omo, D u. (A4) Ada outra mara d rsrvr a rlação d Est é m trmos do oft d vsosdad do mo, η. Da hdrodâma, tmos qu a força ssára para movr uma partíula sféra d rao r por um fludo om vsosdad η om vlodad v p é dada pla l d Stoks, f 6πrη. p v p Portato, usado a dfção d mobldad d uma partíula, µ 1 6πrη, qu substtuída m (A3) os dá kt D. (A5) 6πrη Esta é hamada rlação d Stoks-Est. 4

25 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Apêd : Algumas osqüêas da quação d Goldma-Hodgk-Katz (fluxo d uma úa spé ôa) Quado s studa algum matral, sja l um fo d obr ou uma mmbraa lular, uma osa mportat qu dv sr fta para aratrzá-lo é dtrmar a rlação tr I V, ou sja, tr a orrt létra qu flu através dl quado s stabl uma dfrça d potal tr suas xtrmdads sta dfrça d potal. Essa rlação é hamada d rlação aratrísta I V do matral. Por xmplo, é mportat dtrmar s sta rlação é lar ou ão-lar, ou s a orrt s omporta do msmo jto quado s vrt a polardad (quado s troa o sal d V). Sgudo o modlo d Goldma-Hodgk-Katz, dsrto pla quação (37), a rlação aratrísta I V é ão-lar. Podmos vr sso fazdo um gráfo da quação (37). Para smplfar, vamos dfr F α V m. Not qu α é proporoal ao potal d mmbraa. Em trmos d α, podmos srvr a quação (37) omo (já qu stamos osdrado uma úa spé ôa, podmos omtr o subsrto para smplfar a otação), zα 1 J α zα Pz F 1. (A6) Not qu o lado squrdo dssa quação proporoal à orrt d mmbraa. A fgura abaxo mostra gráfos dssa quação para dfrts valors da razão tr as otraçõs do ío fora dtro da élula. 5

26 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK O gráfo ama fo ostruído para um ío d valêa gatva (z 1). Um gráfo quvalt podra sr ostruído para um ío d valêa postva (faça omo xrío). Not qu para ada valor da razão ( / ) xst um valor dfrt d α, ou d V, para o qual a orrt é zro. O valor d V para o qual a orrt é ula é hamado d potal d rvrsão da mmbraa, pos a orrt muda d stdo quado o potal passa por ss valor. Outra osa qu pod sr otada pla aáls do gráfo ama é qu a rlação aratrísta I V para o modlo d GHK ão é smétra m toro da orgm (a orrt ão s omporta da msma mara m fução d V para as duas polardads d V). Dz-s qu uma rlação dss tpo é rtfadora (tpo-dodo), ao otráro d uma ão-rtfadora, qu tm omo xmplo a rlação dada pla l d Ohm (basada m um modlo lar), I 1 V GV. R Para aalsar mas a rlação aratrísta I V dada plo modlo d GHK, vamos studar os omportamtos asstótos da quação (37), para V m para V m. Para V m tmos, lm J V m P z F V m. (A7) 6

27 Itrodução à Nuroêa Computaoal Atoo Roqu Complmto à aula Equaçõs d Nrst d GHK Já para V m tmos, V lm J P m z F V m. (A8) Estas xprssõs mostram qu os omportamtos asstótos da rlação aratrísta I V para o modlo d GHK são lars, porém om laçõs dfrts dpdts do valor d ou do valor d. Not qu a razão tr as laçõs das duas asstótas é gual à razão tr as otraçõs,. Quado sta razão val 1 a rlação aratrísta I V para o modlo d GHK tora-s gual à d um lmto lar. Já quado 1 as laçõs asstótas são dfrts, omo mostram as dfrts urvas aratrístas I V o gráfo ama. Lturas Romdadas: - Johsto, D., ad Wu, S.M., Foudatos of Cllular Nurophysology, MIT Prss, Cambrdg, MA, Wss, T.F., Cllular Bophyss. Vol. 1: Trasport; Vol. : Eltral Proprts, MIT Prss, Cambrdg, MA,