As Equações de Maxwell Macroscópicas

Transcrição

1 As Equaçõs d Maxwll Marosópias Dtro da atéria há oléulas por toda part. E ada oléula, há átoos opostos por úlos positivos orbitados por létros gativos. Sobr ada ua dssas iúsulas partíulas, s osidradas putifors, o apo létroagétio divrg, assuido valors iitos. Mas, ssa aração, staos falado do apo ltroagétio irosópio, qu ão pod sr dido por ua pota d prova, qu, por sua vz, tabé é oposta por átoos. Prisaos, tão, forular ua aira d tratar o apo ltroagétio dtro da atéria qu sria obsrvávl através d diçõs fitas por u aparato arosópio. No váuo, as quaçõs d Maxwll são as qu já tos osidrado: E i (r, t) = 4πρ i (r, t), B i (r, t) = 0, E i (r, t) = 1 B i (r, t) B i (r, t) = 4π J i(r, t) + 1 E i (r, t), od adiioi o subsrito i para idiar qu ssas são quaçõs irosópias. Etr u létro u próto, por xplo, os apos são os irosópios; ão há outro io são o váuo tr ls. O probla é qu, para dir os apos, as argas as orrts, utilizaos istrutos arosópios. Não há oo diros dirtat as gradzas irosópias. Assi, u aparato arosópio d spr u valor ftivo édio, o spaço o tpo, das gradzas ltroagétias. Vaos, portato, sguir o livro d J. D. Jaso fazr ua édia spaial das quaçõs aia para dduzir as quaçõs d Maxwll arosópias. Sja f(r) ua fução trada a orig sfriat siétria, as qu s aul xpoialt para distâias suitt grads. Por xplo, oo a luz visívl ão ostra a aturza graular da atéria, as os raios X ostra, podos ovioar oo o liit arosópio ua distâia típia qu divida o âbito visívl do âbito d raios X, digaos, oo Jaso, ra d 100Å. Isso sigia qu podos supor qu f(r) s aul para distâias da ord d 100Å. As édias spaiais das gradzas ltroagétias, tão, a E i (r, t) = d 3 r f(r )E i (r r, t), B i (r, t) = d 3 r f(r )B i (r r, t), 1

2 ρ i (r, t) = d 3 r f(r )ρ i (r r, t) J i (r, t) = d 3 r f(r )J i (r r, t), od as itgrais são sobr todo o spaço. Os apos arosópios são didos oo as édias dos rsptivos apos irosópios: E(r, t) E i (r, t) B(r, t) B i (r, t), od as quatidads arosópias ão tê o subsrito i. Agora, toado as édias das quaçõs d Maxwll irosópias, obtos E i (r, t) = 4π ρ i (r, t), B i (r, t) = 0, Bi (r, t) E i (r, t) = 1 B i (r, t) = 4π J i(r, t) + 1 Ei (r, t). No tato, E i (r, t) = E i (r, t), pois, oo opra apas sobr r ão sobr r, E i (r, t) = d 3 r f(r ) E i (r r, t) = d 3 r f(r )E i (r r, t) = E i (r, t) = E(r, t). D aira aáloga, tabé tos E i (r, t) = E i (r, t) = E(r, t), 2

3 B i (r, t) = B i (r, t) = B(r, t) B i (r, t) = B i (r, t) = B(r, t). Coo a drivada parial o rlação ao tpo ão opra sobr r sobr r, sgu qu Ei (r, t) = d 3 r f(r ) E i(r r, t) = d 3 r f(r )E i (r r, t), aalogat, = E i(r, t) = Bi (r, t) E(r, t) = B i(r, t) = B(r, t). Assi, as duas quaçõs arosópias hoogêas d Maxwll já stão dduzidas: B(r, t) = 0 E(r, t) = 1 B(r, t). Aida prisaos alular ρ i (r, t) J i (r, t). Vaos supor qu haja N argas ada oléula do atrial, para sipliar s prdr a gralidad, vaos supor tabé qu o atrial sja ua substâia pura, isto é, oposto por oléulas idêtias. Sja s a posição da -ésia oléula, dida o rlação a u úlo atôio spío. Assi, ada arga q, da -ésia oléula a o poto s, o rlação ao vtor posição da oléula, s. Isso qur dizr qu, o rlação à orig do sista d oordadas, a posição da arga q é dada por s + s. Tabé vaos iagiar qu haja argas livrs, q, as posiçõs r. Coo há ovito dssas argas todas, todas as posiçõs ioadas dv sr osidradas oo fuçõs do tpo. Assi, ρ i (r, t) = q δ (3) (r r ) + q δ (3) (r s s ) 3

4 , portato, ρ i (r, t) = = + = d 3 r f(r )ρ i (r r, t) d 3 r f(r ) d 3 r f(r ) q δ (3) (r r r ) q δ (3) (r r s s ) q f(r r ) + q f(r s s ). Tipiat, s é da ord d algus agströs apas, portato, f(r s s ) ão difr apriavlt d f(r s ). Podos, portato, aproxiar: f(r s s ) f(r s ) s f(r s ) (s ) 2 f(r s ), o ssa aproxiação, obtos ρ (r, t) q f(r r ) + q f(r s ) q s f(r s ) + 1 q 2 (s ) 2 f(r s ) = q f(r r ) + q f(r s ) ( ) q s f(r s ) [( ) ] q s s f(r s ). 6 O dipolo létrio da -ésia oléula é p = q s dios tabé o oto quadrupolar létrio da -ésia oléula oo Q 3 q s s. Para sipliar ossos álulos abaixo, supohaos qu Q = 0, ou sja, qu as oléulas do atrial tha oto quadrupolar létrio ulo. A polarização do io a, tão, P i (r, t) = p δ (3) (r s ), 4

5 já qu a -ésia oléula t u dipolo istatâo p. Co ssas obsrvaçõs, oluíos qu P i (r, t) = p δ (3) (r s ) = p d 3 r f(r )δ (3) (r r s ) = = p f(r s ) ( ) q s f(r s ), rohdo ssa quatidad a xprssão d ρ i (r, t) aia, v ρ i (r, t) q f(r r ) + q f(r s ) P i (r, t). Supodo qu ada oléula sja utra, tos q = 0, osqutt, ρ i (r, t) q f(r r ) P i (r, t). A dsidad d arga livr é, aturalt, dida oo ρ(r, t) q δ (3) (r r ) = d 3 r f(r ) q δ (3) (r r r ) = q f(r r ), dido P(r, t) P i (r, t), podos srvr ρ i (r, t) ρ(r, t) P(r, t), aalogat ao aso ltrostátio. A Li d Gauss arosópia a, tão, E i (r, t) = 4π ρ i (r, t), 5

6 isto é, E(r, t) = 4πρ(r, t) 4π P(r, t), ou sja, D(r, t) = 4πρ(r, t), od dios o vtor dsloato oo D(r, t) E(r, t) + 4πP(r, t). Calulos, agora, J i (r, t). Da própria dição d J i (r, t) tos J i (r, t) ρ i (r, t)v i (r, t), od v i (r, t) é o apo d vloidads das argas do io atrial. oo vios, ρ i (r, t) = q δ (3) (r r ) + q δ (3) (r s s ), portato, J i (r, t) = = od, por xplo, Mas, q δ (3) (r r )v i (r, t) + q δ (3) (r s s )v i (r, t) q ṙ δ (3) (r r ) + q (ṡ + ṡ )δ (3) (r s s ), δ (3) (r r )v i (r, t) = δ (3) (r r )v i (r, t) o apo d vloidads das argas alulado xatat sobr a -ésia arga livr dá o valor d sua vloidad, ou sja, o v i (r, t) = ṙ, Aalogat, ṙ dr dt. δ (3) (r s s )v i (r, t) = δ (3) (r s s )v i (s + s, t). Mas o vtor s + s idia a posição da -ésia arga da -ésia oléula. Logo, o apo d vloidads das argas alulado xatat sobr a posição da -ésia arga da -ésia oléula dá sua vloidad, ou sja, v i (s + s, t) = ṡ + ṡ, 6

7 od ṡ ds dt ṡ ds dt. Co sss rsultados, podos srvr J i (r, t) = d 3 r f(r )J i (r r, t) = q ṙ d 3 r f(r )δ (3) (r r r ) + q (ṡ + ṡ ) d 3 r f(r )δ (3) (r r s s ) = q ṙ f(r r ) + q (ṡ + ṡ )f(r s s ). Podos aproxiar, ovat, f(r s s ) f(r s ) s f(r s ) dir, aturalt, a dsidad arosópia d orrt livr, J(r, t) q ṙ δ (3) (r r ) = q ṙ d 3 r f(r )δ (3) (r r r ) = q ṙ f(r r ). Logo, J i (r, t) J(r, t) + q (ṡ + ṡ )f(r s ) q (ṡ + ṡ )s f(r s ). Coo staos trabalhado agora para obtr a quação d Apèr-Maxwll arosópia, prisaos fazr aparr, os rsultados aia, o rotaioal da agtização, alé da drivada tporal da polarização. A agtização é dada por M i (r, t) = δ (3) (r s ), 7

8 od é o oto dipolar agétio da -ésia oléula, dido oo 1 q s ṡ. 2 Assi, quros rohr, a xprssão para J i (r, t), o rotaioal d M i (r, t) : M i (r, t) = δ (3) (r s ) = f(r s ) = f(r s ) Coo = 1 q (s ṡ ) f(r s ) 2 = 1 q ṡ s f(r s ) q s ṡ f(r s ). 2 ṡ s = s ṡ + d dt (s s ), sgu qu [ ] M i (r, t) = 1 d q 2 dt (s s ) f(r s ) + 1 q s ṡ f(r s ) [ = 1 d 6 dt (3 ] q s s ) f(r s ) + 1 q s ṡ f(r s ) ( = 1 d ) Q f(r s ) 6 dt + 1 q s ṡ f(r s ). Mas oo staos supodo qu Q = 0, 8

9 v M i (r, t) = 1 q s ṡ f(r s ), qu tabé é quivalt a M i (r, t) = 1 q ṡ s f(r s ),, portato, J i (r, t) J(r, t) + q (ṡ + ṡ )f(r s ) q (ṡ + ṡ )s f(r s ) = J(r, t) + q ṡ f(r s ) + q ṡ f(r s ) q ṡ s f(r s ) q ṡ s f(r s ) = J(r, t) + q ṡ f(r s ) + q ṡ f(r s ) + M i (r, t) q ṡ s f(r s ). Coo tabé staos supodo qu a arga total d ada oléula sja ula, isto é, q = 0, tos q ṡ f(r s ) = = 0, ( ) q ṡ f(r s ) ipliado qu J i (r, t) J(r, t) + M i (r, t) + q ṡ f(r s ) q ṡ s f(r s ). 9

10 A drivada tporal parial da polarização é dada por P(r, t) = P i(r, t) [ ] = q s f(r s ) = + = s q f(r s ) q s f(r s ) q ṡ f(r s ) q s ṡ f(r s ), dssa fora, q ṡ f(r s ) = Portato, P(r, t) + q s ṡ f(r s ). P(r, t) J i (r, t) J(r, t) + M i (r, t) + + q [s ṡ f(r s ) ṡ s f(r s )] ou sja, P(r, t) = J(r, t) + M i (r, t) + + q [(s ṡ )f(r s )] P(r, t) = J(r, t) + M i (r, t) + [ ] + q s ṡ f(r s ), 4π J i(r, t) 4π J(r, t) + 4π P(r, t) [ ] + 4π M i (r, t) + 1 q s ṡ f(r s ). 10

11 Coparos os tros tr olhts: M i (r, t) + q s ṡ f(r s ) = f(r s ) + 1 q s ṡ f(r s ) = 1 q s ṡ f(r s ) 2 ( ) + 1 q s ṡ f(r s ). Vaos supor tabé qu o atrial ão stja ovito, d fora qu as vloidads das oléulas, ṡ, sja uito ors, valor absoluto édio, do qu as vloidads das argas ada oléula, ṡ, tabé valor absoluto édio. Co isso, podos dsprzar o sgudo tro da quação aia srvr 4π J i(r, t) 4π J(r, t) + 4π P(r, t) + 4π M i (r, t). A quação d Apèr-Maxwll, tão, édia spaial, a B i (r, t) = 4π J i(r, t) + 1 Ei (r, t), isto é, ou aida, Dido B(r, t) = 4π J(r, t) + 4π P(r, t) + 4π M i (r, t) + 1 E(r, t), [B(r, t) 4π M i (r, t) ] = 4π J(r, t) + 1 [E(r, t) + 4πP(r, t)]. M(r, t) M i (r, t), H(r, t) B(r, t) 4πM(r, t) rohdo o apo dsloato létrio D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t), 11

12 obtos H(r, t) = 4π J(r, t) + 1 qu é a quação d Apèr-Maxwll arosópia. D(r, t), 12