Integração numérica: Método de Euler

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1 Intgração nuérica: Método d Eulr Quando ua partícula s ov sob influência d forças co rsultant constant, sua aclração tabé é constant, podos ncontrar sua vlocidad posição a cada instant a partir d fórulas b conhcidas. Considr, poré, ua partícula qu s ov u spaço ond a força rsultant, portanto, sua aclração, dpnd da posição da vlocidad. Nss caso, a posição, a vlocidad a aclração da partícula u instant dtrina a posição a vlocidad u instant sguint, qu por sua vz, dtrina a aclração nst instant. Portanto, todas as três grandzas: posição, vlocidad aclração do corpo varia continuant no tpo. Ua das foras d rsolvr nuricant o probla consist substituir a variação contínua do tpo por ua sqüência d pqunos intrvalos d duração. A aproxiação ais sipls é a qu supõ qu a aclração sja constant durant cada intrvalo, qu dá orig ao étodo d Eulr. S o intrvalo d tpo for suficintnt pquno, a variação da aclração durant o intrvalo srá pquna podrá sr dsconsidrada. Sja x o, v ox a o x rspctivant a posição, vlocidad aclração na dirção x da partícula no instant inicial t o. Quando ignoraos a variação da vlocidad durant o intrvalo d tpo, a nova posição é dada por: x1 x v (1) o ox D anira siilar, s a aclração durant for constant, a vlocidad no tpo t to 1 srá dada por v1 vox aox () Podos usar os valors d x 1 v 1 para calcular a nova aclração x a 1 usando a quação d ovinto dpois calcular x v x usando x 1, v 1 x a 1 x : x x v 1 1x t (3) v v a 1 1x t (4) As rlaçõs ntr a posição a vlocidad nos tpos t n tn 1 tn são dadas por 1

2 xn 1 x v (5) n nx vn 1 v a (6) nx nx qu são gnralizaçõs das fórulas (1) (). Para ncontrar a vlocidad a posição algu tpo t, dividios, portanto, o intrvalo d tpo t t o u grand núro d intrvalos nors aplicaos rptidant as quaçõs (5) (6), coçando no tpo inicial t o. Isso nvolv u grand núro d cálculos rptitivos qu são ralizados ais facilnt u coputador. A técnica d dividir o intrvalo d tpo pqunos trchos calcular a aclração, vlocidad posição a cada novo passo usando os valors do passo antrior é chaada d intgração nuérica. A fi d ilustrar ssa técnica, vaos considrar u probla no qual u paraqudista rpouso s larga d ua crta altura, quando l passa a sr influnciado tanto pla gravidad quanto pla força d arrasto, qu é proporcional ao quadrado da rapidz. Encontraros a vlocidad v y a distância prcorrida y coo funçõs do tpo por io da intgração nuérica. A quação qu dscrv o ovinto d u objto d assa largado do rpouso, quando s ignora o puxo, é g bv a y (7) qu s adotou u rfrncial Oy orintado no sntido da força da gravidad. A aclração é, portanto, a y b g v (8) É convnint scrvr a constant quação (8), obtos b tros da rapidz trinal v T. Colocando a y 0 na b (9) 0 g vt

3 b g v T (10) Substituindo (10) (8), fica v a y g 1 (11) vt Para rsolvr nuricant a quação (11), prcisaos usar valors nuéricos para g para v T. E Física para cintistas ngnhiros, Paul Tiplr [1] é sugrido qu ua rapidz trinal razoávl para u paraqudista sja d 60 /s. Escolhndo-s y o 0 para a posição inicial, v o 0 para a vlocidad inicial a oy g 9, 8 /s² para a aclração da gravidad, ncontra-s a vlocidad v y a posição y algu tpo postrior, digaos para u instant d tpo t 0 s, divid-s o intrvalo d tpo 0 t 0 s uitos intrvalos pqunos aplicaos as quaçõs (5), (6) (11). Faz-s isso usando ua planilha ltrônica d cálculo, coo ostrado no apêndic, qu scolhos 0, 5 s obtivos os gráficos das figuras 1. Para t 0 s os rsultados v 59, 9 /s y 939, 9. vlocidad y vlocidad (/s) tpo (s) vlocidad y Figura 1: Vlocidad adquirida plo paraqudista função do tpo, calculado confor odlo discutido no txto. 3

4 posição y posição y () posição y tpo (s) Figura : Posição vrtical do pára-qudista função do tpo, calculado confor odlo discutido no txto. Podos sprar qu sja lhor adotar intrvalos d tpo uito pqunos, digaos 0, s. Mas xist plo nos duas razõs para não s adotar intrvalos d tpo xtrant pqunos. Priiro, quanto nor o intrvalo d tpo, aior srá o núro d cálculos ncssários ais tpo o prograa lvará para rodar. Sgundo, o coputador guarda apnas u núro fixo d algarisos cada passo do cálculo, d fora qu cada passo xist u rro d arrdondanto, qu vai s acuulando confor o tpo aunta. Quanto aior o núro d cálculos, ais iportant ficao rro d arrdondanto. Sgundo Física para cintistas ngnhiros, Paul Tiplr [1], ua boa rgra é não usar ais do qu crca d 5 10 intrvalos d tpo para cada intgração nuérica típica. Obsrvação 1: Est étodo t finalidad didática dá ua boa aproxiação casos sipls, coo o do ovinto d ua oda nu plano inclinado, as noralnt s usa o étodo d Rung-Kutta [], qu é acssívl ao studant qu ntndu o étodo d Eulr. Obsrvação : A quação (7) não lva conta o ar carrgado plo paraqudas, o qu dpnd da situação analisada pod não sr ua boa aproxiação. Para a solução coplta, vja rfrência [3]. 4

5 Apêndic Planilha d cálculo para o probla do pára-qudista: Δt= 0,5 s 5,5 1, , ,57345 x0= 0 v0= 0 /s a0= 9,81 /s 6 144,918 46,1357 4,0188 6,5 167, , , , , ,03049 VT= 60 /s 7,5 16,984 51,39403, ,681 5,70019,4189 T y V a (s) () (/s) (/s ) ,81 0,5 0 4,905 9, ,455 9,777 9, ,5 7, , , , , ,808755,5 4,013 3,5783 8, , ,707 7, ,5 49, ,5787 7, , ,1501 6, ,5 83, , , , ,505 5, ,5 69, ,8111 1, , , , ,5 33, , , ,194 56,8944 1, ,5 379,741 56, , ,718 57, , ,5 436, , , ,974 58, , ,5 494, , , , ,697 0, ,5 55, , , , , , ,5 611, ,3333 0,

6 15 641, , , ,5 671,354 59,4631 0, , ,5498 0, ,5 730, ,6315 0, , , , ,634 59, , ,5 850,159 59, , , , , ,5 909, , , , , , ,5 790, , , Exrcício Você stá praticando baloniso atira dirtant para baixo ua bola d tênis co ua rapidz inicial v0. A bola cai co ua rapidz trinal d 150 k/h. Suponha qu o arrast do ar sja proporcional ao quadrado da rapidz da bola. Us o étodo d Eulr para rspondr as qustõs abaixo. a) Quando v0 = 35 k/h, sti a rapidz da bola dpois d 10,0 s. b) Quando v0 = 0 k/h, dtrin o tpo qu a bola lva para atingir 99% d sua rapidz trinal, b coo a distância prcorrida ntr o lançanto st instant. Bibliografia [1] Tiplr, Paul A., Mosca, Gn. Física para Cintistas Engnhiros, volu 1, 6ª dição, LTC. [] Th Fynan Lcturs on Physics. [3] Th parachut paradox. (David Aurbach). A. J. Phys. 6 (11) 1041, Novbr 1994.