Notas de Aula de Física

Transcrição

1 Vrsão prliinar 8 d junho d 4 Notas d Aula d ísica 6. OSCILAÇÕES... O OVIENTO HARÔNICO SIPLES - HS... HS - A vlocidad... 4 HS - A aclração... 4 HS - A LEI DA ORÇA... 5 HS - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA... 5 A EQUAÇÃO PARA O HS... 6 U OSCILADOR HARÔNICO SIPLES ANGULAR - O PÊNDULO DE TORÇÃO... 7 PÊNDULOS... 8 O pêndulo sipls... 8 O pêndulo físico... 9 HS E O OVIENTO CIRCULAR E UNIORE... HS AORTECIDO... SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEAS

2 Prof. Roro Tavars da Silva 6. Oscilaçõs Quando o ovinto d u corpo dscrv ua trajtória, a partir d u crto instant coça a rptir sta trajtória, dizos qu ss ovinto é priódico. O tpo qu o corpo gasta para voltar a prcorrr os sos pontos da trajtória é chaado d príodo. No nosso cotidiano ist inúros plos d ovinto priódico, tais coo o pêndulo d u rlógio ou u sista assa - ola, quando u dsss conjuntos dscrv u vai v torno das suas posiçõs d quilíbrio. O ovinto harônico sipls - HS O ovinto harônico sipls - HS é ovinto priódico, portanto o objto passa novant por ua dada posição dpois d u príodo T. O príodo é o invrso da a frquência f d oscilação: T f U plo típico d aparato qu s ovinta sgundo u HS é sista assa-ola. Ua ola t ua d suas tridads prsa ua pard rígida a outra tridad stá prsa u corpo qu stá sobr u suprfíci s atrito. Quando dslocado d sua posição d quilíbrio o corpo coça a oscilar. U objto qu s dsloca HS t a sua posição dscrita pla quação ond (t) cos(t ϕ) aplitud d oscilação frquência angular d oscilação (t ϕ) fas ϕ constant d fas Quando a constant d fas assu o valor ϕ - π/ a quação antrior, qu dscrv o ovinto do corpo, t a fora: (t) sn t À dida qu o tpo volui, o corpo ocupa as divrsas posiçõs ostradas na figura à sguir. E cada posição ocupada, o corpo trá ua vlocidad corrspondnt, coo vros ais adiant. Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

3 Prof. Roro Tavars da Silva Tabé cada posição, l trá ua aclração corrspondnt. Tanto a aclração quanto a vlocidad varia à dida qu a posição s altra. O gráfico da posição função do tpo toa divrsas foras quando odificaos a aplitud, frquência ou constant d fas. Quando altraos a aplitud d oscilação, o ovinto s consua para dslocantos áios difrnts, as co sa frquência sa constant d fas. Dss odo os dois ovintos alcança os tros no so instant. Quando auntaos a frquência ( consquntnt diinuíos o príodo), os ovintos trão a fora dscrita a sguir ond a função d aior príodo é a vrlha a d nor príodo é azul. Quando variaos a constant d fas, a função anté a fora, as sofr u dslocanto, coo é ostrado a sguir. Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

4 Prof. Roro Tavars da Silva Coo o ovinto é priódico, tros qu as posiçõs s rpt dpois d u tpo igual ao príodo T, portanto: (t) (t T) (t T) cos[(t T) ϕ] (t) cos[(t ϕ) T] logo: T π π T π f HS - A vlocidad d v( t) sn( t ϕ) dt Dfinindo a aplitud da vlocidad v, ncontraos qu: v( t) v sn( t ϕ) HS - A aclração dv a( t) v cos( t ϕ) dt Dfinindo a aplitud da aclração a v, ncontraos qu: a( t) a cos( t ϕ) ou ainda Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 4

5 Prof. Roro Tavars da Silva a( t) ( t) HS - A Li da força Considrando u sista assa - ola qu obdça à Li d Hoo supondo qu a rsultant das forças qu atua na assa é a força rstauradora da ola, ncontraos qu: a as - logo T π HS - Considraçõs sobr nrgia A nrgia potncial lástica d u sista assa - ola é dfinido coo: U( t) cos t a nrgia potncial dss sista é dfinida coo: K ( ϕ) [ sn( )] ( t) v t ϕ S considraros qu, ncontraos qu: K( t) sn t ( ϕ) A nrgia cânica E, dfinida coo a soa das nrgias cinética K potncial U, trá a fora: E U K constant Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 5

6 Prof. Roro Tavars da Silva A quação para o HS ou ainda: d d t d d t d d t ond A solução ais gral da quação antrior t a fora: ( t) A αt ond A α são constants a dtrinar. Usando a solução, ncontraos: d αt Aα dt d Aα d t Aplicando sts rsultados na quação do HS, tos qu: αt ou ainda: Aα αt A αt Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 6

7 Prof. Roro Tavars da Silva α A t ( α ) Coo A α são difrnts d zro, princípio, a única fora da quação acia s anular srá quando: α α α ± i A solução da quação do HS toa, ntão, a fora: ( t) iαt A A iαt A solução da quação do HS podrá toar outra fora s rdfiniros as constants A A, da sguint fora: A A iϕ iϕ ( t) Considrando a fórula d D oivr: i ( t ϕ ) i ( t ϕ ) tos qu: iθ cosθ i snθ ( t) cos t cosθ ( ϕ) iθ iθ ( ) U oscilador harônico sipls angular - O pêndulo d torção Vaos considrar u disco prso a u fio qu passa plo su cntro prpndicular à sua suprfíci, coo ostra a figura ao lado. S giraos o disco à partir d sua posição d quilíbrio (θ ) dpois soltaros, l irá oscilar torno daqula posição ovinto Harônico Sipls - HS ntr os ângulos (θ - θ ) (θ θ ) Rodando o disco d u ângulo θ qualqur dirção, faros surgir u torqu rstaurador dado por τ - κ θ θ θ Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 7

8 ond apa ( κ ) é a constant d torção. Prof. Roro Tavars da Silva Coo a força rstauradora é a única qu atua no plano do disco, la provocará o torqu rsultant: τ I α ond I é o onto d inércia do disco α é a sua aclração angular. Dss odo, tos qu: τ d θ I κθ d t d θ κ θ d t I A quação antrior dfin a frquência angular d oscilação do pêndulo d torção: κ T π I I κ t coo solução: θ(t) θ cos(t δ) Pêndulos Os pêndulos faz part d ua class d osciladors harônicos sipls nos quais a força rstauradora stá associada à gravidad, ao invés das propridads lásticas d u fio torcido ou d ua ola copriida. O pêndulo sipls O pêndulo sipls é coposto d u corpo suspnso através d u fio d assa dsprzívl, l é posto a oscilar torno d sua posição d quilíbrio. No su ovinto a corpo dscrv u arco d circunfrência. A coponnt do pso, tangncial ao dslocanto é a força d rstauração dss ovinto, porqu ag no corpo d odo a trazê-lo d volta à sua posição cntral d quilíbrio. L θ T A coponnt do pso, prpndicular ao dslocanto é quilibrada pla tração rcida plo fio, d odo qu a rsultant das forças t a fora: s P θ Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 8

9 Prof. Roro Tavars da Silva d s g snθ d t ond s é o dslocanto dido ao longo do arco qu dscrv a oscilação, o sinal ngativo indica qu a força ag na dirção da posição d quilíbrio - coo no caso do sista assa - ola. O arco s é dfinido coo tos qu: d s d θ s Lθ L d t d t d θ g snθ d t L Para pqunas oscilaçõs do pêndulo, podos aproiar snθ θ, tros ntão: d θ g θ d t L A quação antrior dfin a frquência angular d oscilação do pêndulo sipls: g L T π L g t coo solução: θ(t) θ cos(t δ) O pêndulo físico A aior part dos pêndulos do undo ral não é n ao nos aproiadant sipls. Vaos considrar u objto d fora arbitrária, qu pod oscilar torno d u io qu passa plo ponto O, prpndicular à folha d papl. O io stá a ua distância h do cntro d assa, ond atua a força pso. h O Quando o pêndulo da figura ao lado é dslocado d sua posição d quilíbrio d u ângulo θ, surg u torqu rstaurador τ r co ódulo: τ - (g snθ) h C θ P θ ss é o torqu rsultant, portanto: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 9

10 Prof. Roro Tavars da Silva ou ainda: d θ τ Iα I d t d θ τ gh snθ I d t d θ gh snθ d t I Para pqunas oscilaçõs do pêndulo, podos aproiar snθ θ, tros ntão: d θ gh θ d t I A quação antrior dfin a frquência angular d oscilação do pêndulo físico: gh I T π I gh t coo solução: θ(t) θ cos(t δ) HS o ovinto circular unifor Vaos considrar u corpo qu dscrv u ovinto circular unifor, co vlocidad constant v u círculo d raio R. O vtor posição r (t) qu dscrv a trajtória do corpo t ódulo constant, suas projçõs nos ios cartsianos são dadas por: r ( t) i ˆ ( t) ˆjy ( t) y ond (t) R cos(t ϕ) r (t) y(t) R sn(t ϕ) t ϕ Obsrvando a fora funcional d (t) podos concluir qu o ovinto Harônico Sipls é a projção do ovinto circular unifor nu diâtro do círculo ond st últio acontc. Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

11 Prof. Roro Tavars da Silva y y v (t) t ϕ a (t) t ϕ A vlocidad t a fora: dr v( t) dt v( t) iv ˆ ˆj X v Y v X - R sn(t ϕ) v y R cos(t ϕ) A aclração t a fora: dv a( t) dt a( t) ia ˆ jˆ X a Y a X - R cos(t ϕ) a y - R sn(t ϕ) HS aortcido E divrsas situaçõs do nosso cotidiano, os ovintos oscilatórios tê ua duração finita, ls tê u coço u fi. Não fica s ovndo no ir vir d odo indfinido. Isso acontc, basicant, dvido a atuação d forças dissipativas tais coo as forças d atrito. E ua situação sipls as forças dissipativas pod sr rprsntadas por ua função qu dpnd linarnt da vlocidad. Vaos considrar u sista coposto d ua ola d constant lástica co ua das tridads prsa ao tto a outra suspndndo u corpo d assa. Nss corpo stá prsa ua hast vrtical qu t a sua outra tridad prsa a u antparo qu stá rgulhado u líquido. Quando o antparo s ov no líquido ss ovinto é aortcido por ua força qu surg dvido à viscosidad do líquido. Essa força dissipativa pod sr dscrita por ua quação do tipo: A - b v ond b é chaado d constant d aortcinto. A rsultant das forças qu atua no corpo d assa é dada por: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

12 Prof. Roro Tavars da Silva Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro - - b v a - - b v A fora difrncial da quação antrior é: d t d b d t d ou d t d b d t d ond A solução da quação difrncial antrior t a fora: (t) A αt ond A α são constants a sr dtrinadas. Aplicando ssa fora na quação difrncial ncontraos qu: t t t A A b A α α α α α b A t α α α Coo t A α, tros ntão qu: b α α cujas soluçõs são: 4 b b ± α ou ainda: b b ± α

13 Prof. Roro Tavars da Silva Vaos considrar inicialnt qu o ovinto é sub-aortcido : dfinir: logo: A b > b α ± b i A A função (t) trá, ntão, a fora: ( t) ( t) bt bt i At i At A A bt i t i t ( A A ) A A usando ua transforação quivalnt àqula do HS, tos qu: bt ( t) A quação da posição função do tpo t a fora da curva da figura ao lado. Ela é u cossno ultiplicado por ua ponncial, o rsultado é u cossno cuja aplitud d oscilação vai diinuindo à dida qu as oscilaçõs s procssa. U plo típico dssa situação é a porta dos saloons dos fils d bang-bang. Quando algué passa pla porta la inicia a oscilação co ua grand aplitud, qu vai diinuindo co o tpo. cos ( t ϕ) A Quando supoos qu o ovinto é supr-aortcido, tos qu: b < tos B b Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

14 o parâtro α agora t a fora: Prof. Roro Tavars da Silva b α ± à partir dl ncontraos a quação da posição função do tpo: ( t) ou, s rdfiniros as constants: B bt t t ( A A ) ( t) A quação da posição função do tpo t a fora da curva da figura ao lado. Ela é u cossno hiprbólico ultiplicado por ua ponncial, o rsultado é u dcréscio onotônico da aplitud. Na ralidad não chga a acontcr nnhua oscilação, à dida qu o tpo volui, a aplitud d oscilação vai ficando spr nor. U plo típico dssa situação é a porta dos scritórios. Quando algué passa pla porta la inicia a u ovinto dirção ao rpouso na posição d quilíbrio. bt B B cosh ( t ϕ) B Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 4

15 Prof. Roro Tavars da Silva Solução d alguns problas Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição U objto sujito a u ovinto harônico sipls lva,5s para ir d u ponto d vlocidad zro até o próio ponto ond isso ocorr. A distância ntr sss pontos é d 36c. a) Calcul o príodo do ovinto. A A 36c,36 T/,5s - Considrando o ovinto harônico sipls, a vlocidad é nula nos dois pontos d longação áia ±. Por outro lado, o tpo para ir d u tro ao outro é igual a tad do príodo. Dss odo: b) Calcul a frquência do ovinto. c) Calcul a aplitud do ovinto. T,5s f /T /,5 f Hz,8 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 4 a. dição 3 U bloco d 4,Kg stá suspnso d ua crta ola, stndndo-a a 6,c alé d sua posição d rpouso. a) Qual a constant da ola? 4Kg L 6c,6 Coo o bloco stá rpouso, ist o quilíbrio ntr as forças qu stão atuando nl. O pso a força rstauradora lástica são iguais, logo: P L - g L T Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 5 P

16 Prof. Roro Tavars da Silva g 49,8 L,6 45N/ 45 π 7,8rad / s T, 8s 4 b) O bloco é rovido u corpo d,5kg é suspnso da sa ola. S sta ola for ntão puada solta, qual o príodo d oscilação?,5kg 45 π, rad / s T, 8s,5 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição O diafraga d u alto-falant stá vibrando nu ovinto harônico sipls co a frquência d 44Hz u dslocanto áio d,75. a) Qual é a frquência angular dst diafraga? π f 764,6Hz f 44Hz,75 7,5-4 b) Qual é a vlocidad áia dst diafraga? v,7/s c) Qual é a aclração áia dst diafraga? a 573,5/s Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição Podos considrar qu u autoóvl stja ontado sobr quatro olas idênticas, no qu concrn às suas oscilaçõs vrticais. As olas d u crto carro stão ajustadas d fora qu as vibraçõs tnha ua frquência d 3,Hz. a) Qual a constant d lasticidad d cada ola, s a assa do carro é d 45g o pso stá hoognant distribuído ntr las? f 3Hz 45Kg Coo o pso stá distribuído unifornt ntr as quatro olas, cada ola suportará a quarta part do pso total. Logo podos dfinir /4 ntão: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 6

17 Prof. Roro Tavars da Silva π f f 4 ( πf ) ( π ) 8.798,33N/,9 5 N/ b) Qual srá a frquência d vibração s cinco passagiros, co édia d 73g cada u, stivr no carro? (Novant, considr ua distribuição hoogêna d pso.) P 73Kg O pso dos cinco passagiros srá distribuída unifornt ntr as quatro olas, portanto: f π π P π 4 5 P f,68hz Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 5 U corpo oscila co ovinto harônico sipls d acordo co a quação: (t) (6,) cos[(3π rad/s) t π/3rad] a) E t,s, qual é o dslocanto nss ovinto? () cos( ϕ) as cos( ϕ) cos(.3π π/3) cos(9π/3),5 () 6 cos(9π/3) 3 b) E t,s, qual é a vlocidad nss ovinto? (t) cos(t ϕ) 6 3π rad/s ϕ π/3 rad d v( t) sn( t ϕ) dt as v() - sn( ϕ) sn( ϕ) sn(.3π π/3) sn(9π/3),866 v() - 3π 6 sn(9π/3) -48,97/s c) E t,s, qual é a aclração nss ovinto? dv a( t) cos( t ϕ) dt a() - cos( ϕ) cos( ϕ) cos(.3π π/3) cos(9π/3),5 Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 7

18 Prof. Roro Tavars da Silva a() - ( 3π) 6 cos(9π/3) -66,47/s d) E t,s, qual é a fas nss ovinto? as Φ(t) t ϕ Φ() ϕ 9π/3 39,79rad ) Qual é a frquência dst ovinto? f /π 3π/π,5Hz f) Qual é o príodo dst ovinto? T /f /3 s Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 6 Dois blocos (,g,g ) ua única ola ( N/ ) stão colocados ua suprfíci horizontal s atrito, coo ilustra a figura abaio. O coficint d atrito stático ntr os dois blocos é µ E,4. Qual a áia aplitud possívl do ovinto harônico sipls, s não houvr dslizanto ntr os blocos? Vaos considrar qu na figura ao lado o conjunto stá ovinto passou da posição ( priira figura) s ncainha para a posição. A força áia qu os blocos rcrão ntr si acontcrá quando ± pois nssa situação a ±a. A Indo S () for a força qu a ola rc no conjunto dos dois blocos, tros ssa força, nua posição gnérica, co a fora: () ( ) a A N Coo o conjunto stá sndo rtardado, a tndência do bloco nor é scorrgar para frnt, daí a força d atrito sr dirigida para trás. Na posição d longação áia da ola, tros: P ou sja ( ) a Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 8

19 Prof. Roro Tavars da Silva a S considraros isoladant o bloco nor, tros qu: A a N p g as coo A µ E N, concluíos qu: as a a µ E g a µ E g µ E g, c µ E ( ) g Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 8 U bloco stá nu pisto qu s ov vrticalnt u ovinto harônico sipls. a) S o HS t u príodo d,s, qu aplitud do ovinto o bloco o pisto irão s sparar? O bloco stá sobr o pisto qu oscila ntr os liits ±. Usando a Sgunda Li d Nton, tos qu: N P a N Acia da posição, ou sja para, nós tos qu a iˆ a - P Nssa rgião ( ) a Sgunda Li d Nton toa a fora: N - P - a N (g - a) Quando o pisto stá subindo dsaclrado, dpois d passar por, o valor da noral N coça a diinuir, até chgar ao su valor ínio. S a frquência auntar, a dsaclração tabé auntará. Eist u valor liit da dsaclração para a qual o bloco ainda antrá contato co o pisto. Nss liit tros a g consquntnt N, sgundo a quação antrior. Co a aior dsaclração para ua dada frquência acontc nos tros do ovinto, o pisto o bloco ainda antrão o contato s Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 9

20 Prof. Roro Tavars da Silva as, a g (t) cos(t δ) a(t ) - cos(t δ) - Logo (t ) a(t ) g g T g π,48 4,8c b) S o pisto t ua aplitud d 5,c, qual a frquência áia qu o bloco o pisto starão continuant contato? 5c,5 Do it antrior tos qu: g g g f,hz π f π ( ) Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição Duas partículas cuta u ovinto harônico sipls co as sas aplituds frquências ao longo da sa linha rta. Elas passa ua pla outra, ovndo-s sntidos opostos, cada vz qu o su dslocanto é a tad da aplitud. Qual a difrnça d fas ntr las? As partículas s passa ua pla outra dois instants: t t tt. Quando tt tos qu: ( ) ( ) A t B t - - / / v A ( t) v B ( t) Da priira quação tos qu: cos(t ϕ A ) cos(t ϕ B ) / t ϕ A nπ ± π/3 () - - / / Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

21 t ϕ B nπ ± π/3 () Prof. Roro Tavars da Silva Por outro lado: π/3 d v dt v A (t ) - sn(t ϕ A ) v B (t ) - sn(t ϕ B ) - π/3 Considrando qu nss probla as vlocidads dv tr sntidos contrários: sn(t ϕ A ) - sn(t ϕ B ) Para qu a quação antrior juntant co as quaçõs () () sja válidas siultanant, dvros tr: Φ A (t ) t ϕ A nπ π/3 Φ B (t ) t ϕ B nπ - π/3 ond Φ(t) é a fas do ovinto d oscilação considrado no instant t ϕ é a constant d fas. Φ Φ A (t ) - Φ B (t ) π/3 Φ π/3 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 3 Duas partículas oscila u ovinto harônico sipls ao longo d u sgnto d rta cou d coprinto A. Cada partícula t u príodo d,5s, as difr fas d π/6rad. a) Qual a distância ntr las, tros d A,,5s após a partícula ais atrasada diar ua das tridads do prcurso? T,5s π/t 4π/3 ϕ ϕ B - ϕ A π/6 t t - t,5s A - A (t) cos(t ϕ A ) B (t) cos(t ϕ B ) E t t a partícula A stará na tridad, ntão: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

22 Prof. Roro Tavars da Silva A (t ) cos(t ϕ A ) ± isso iplica qu: (t ϕ A ) nπ Considrando qu t t t, tos: A (t ) cos(t ϕ A ) ond t ( t t) t t ou sja A (t ) cos[ ( t ϕ A ) t ] cos[ nπ t ] coo t (4π/3),5 π/3 tos qu A (t ) cos[ nπ π/3 ] as cos[ nπ π/3 ] cos(nπ)cos(π/3)- sn(nπ)sn(π/3) (-) n (,5) logo A (t ) cos[ nπ π/3 ] (-) n (,5) Por outro lado B (t ) cos( t ϕ B ) Coo ϕ B ϕ A ϕ tos qu t ϕ B ( t t ) ( ϕ A ϕ ) ( t ϕ A ) ( t ϕ ) t ϕ B nπ ( t ϕ ) ond t ( 4π/3),5 π/3 ϕ π/6 Logo t ϕ B nπ 5π/6 as B (t ) cos[ nπ 5π/6 ] cos[ nπ 5π/6 ] cos(nπ)cos(5π/6)- sn(nπ)sn(5π/6) (-) n 3 B (t ) cos[ nπ 5π/6 ] (-) n 3 A distância qu spara as duas partículas srá dada por: A (t ) - B (t ) (-) n (,5) - (-) n 3 as coo,5 -,866,366 A,83 A Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro

23 Prof. Roro Tavars da Silva b) Elas stão s ovndo no so sntido, dirção ua da outra ou stão s afastando? v A (t ) sn(t ϕ A ) - sn(π/3 nπ) as logo v B (t ) sn(t ϕ B ) - sn(5π/6 nπ) sn(α β) snα cosβ cosα snβ sn(π/3 nπ) sn(π/3)cos(nπ) sn(nπ)cos(π/3) (-) n sn(π/3) ou sja Por outro lado: n sn(π/3 nπ) ( ) 3 sn(5π/6 nπ) sn(5π/6)cos(nπ) sn(nπ)cos(5π/6) (-) n sn(5π/6) ou sja finalnt: sn(5π/6 nπ) ( ) v A v ( t ) ( ) B n ( t ) ( ) n n 3 Coo as duas partículas tê vlocidads co so sinal, las stão s ovndo no so sntido. Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 4 Duas olas idênticas stão ligadas a u bloco d assa aos dois suports ostrados na figura ao lado. ostr qu a frquência d oscilação na suprfíci s atrito é: f π Vaos distinguir as olas co os rótulos. Considrando qu o corpo dslocou-s d ua Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

24 Prof. Roro Tavars da Silva distância para a dirita, à partir d sua posição d quilíbrio, tos qu: iˆ iˆ S considraros qu o corpo vai sntir a ação das duas olas coo s foss apnas ua ola, tros: κ iˆ as d acordo co a suposição, a força quivalnt é igual à soa das duas forças, portanto: κ κ as, ou sja κ, dss odo: κ f π π Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 5 Suponha qu as duas olas da figura do probla 33 tê constants difrnts. ostr qu a frquência f das oscilaçõs do bloco é ntão dada por: Coo já foi dduzido logo: κ f f f f π π ( π ) f ( π ) ( f f ) f f f Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 7 Duas olas stão ligadas ntr si conctadas a dtrinada assa, coo ostra figura ao lado. A suprfíci é s atrito. S abas as olas tivr ua constant d lasticidad, ostr qu a frquência da oscilação d é dada por: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 4

25 Prof. Roro Tavars da Silva f π Vaos distinguir as olas co os rótulos. Vaos considrar qu a ola s distnd d a ola s distnd d, a distnsão do conjunto é. Logo: Diant dstas distnsõs, surg as forças rprsntadas na figura ao lado: 3 força qu a pard faz na ola da squrda. 3 força qu a ola da squrda faz na pard. D acordo co a Trcira Li d Nton 3 -. A convnção antrior srá utilizada para todos os pars d forças. 3 3 Quando tos apnas ua ola substituindo as duas olas ncionadas: " R iˆ Coo as olas tê assa dsprzívl, é nula a rsultant das forças qu nla atua, Pla Trcira Li d Nton: R R R R R R R R R R Usando as três últias quaçõs, constataos qu: R R a força qu a ola faz no bloco t o so ódulo da força qu sta ola faz na pard. Estaos aptos a fazr a coparação ntr a ola única o conjunto d olas no qu diz rspito as intraçõs dsss sistas co a pard o bloco. Por outro lado, considrando o dslocanto d cada ola, tros qu: Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 5

26 Prof. Roro Tavars da Silva Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 6 ˆ ˆ i i S obsrvaros as forças qu atua no sista das duas olas ncontraos qu: todas as forças nvolvidas tê o so ódulo, portanto: R logo: κ ntão: f π κ π π S f π Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 9 Ua ola unifor, cujo coprinto d rpouso é L, t ua constant d força. A ola é cortada duas parts co coprintos d rpouso L L. a) Quais as corrspondnts constants d força tros d n. L L L Quando a ola s distnd d, os pdaços distndr-s-ão rspctivant d, tal qu: Coo a ola é unifor, podos supor qu ao distndr-s o coprinto dos pdaços antrão a sa rlação d proporcionalidad. S D é o coprinto da ola quando distndida, tos qu: D L D nd L n(l )

27 Prof. Roro Tavars da Silva logo n L L L nl L (n)l n (n) No probla 35 tos duas olas alinhadas forando u conjunto, ncontraos qu todas as forças nvolvidas tê o so ódulo. Assi: Logo [(n) ] [n ] [(n)/n] [(n) ] (n) b) S u bloco for ligado à ola original, oscila co frquência f. S sta últia for substituída por pdaços L ou L, a frquência corrspondnt é f ou f. Ach f f tros d f. f π f π f π f n n f f f n n f f n f f n Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 36 U bloco d assa, rpouso nua sa horizontal s atrito, é ligado a u suport rígido por ua ola d constant. Ua bala d assa vlocidad v ating o bloco coo ostrado na figura à sguir. A bala pntra no bloco. a) Dtrin a vlocidad do bloco idiatant após a colisão. Usando a consrvação do onto linar, tos qu: v ( ) V V v Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 7 v

28 Prof. Roro Tavars da Silva Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 8 b) Dtrin a aplitud do ovinto harônico sipls rsultant. A nrgia cinética do conjunto bala assa logo após a colisão transforar-s-á nrgia potncial lástica quando a ola for copriida o bloco para à dirita. Logo: ( ) v V V ( ) v Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 37 Quando o dslocanto no ovinto harônico sipls é tad da aplitud a) Qu fração da nrgia total é cinética? Qu fração da nrgia total é potncial? (t) cos(t ϕ) ) ( ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( ϕ ϕ t sn t v t K t t t U Para u dado instant t t o dslocanto é tad da aplitud, logo: (t ) / cos(t ϕ) / A fas Φ(t ) t a fora: Φ(t ) t ϕ π/3 A nrgia total, ou nrgia cânica E é a soa das nrgias cinética potncial: U K E E t K E t U sn ) ( 4 3 cos ) ( π π

29 Prof. Roro Tavars da Silva c) Co qu dslocanto, tros da aplitud, a nrgia do sista é tad cinética tad potncial? Para u dado instant t t a nrgia cinética é igual à nrgia potncial cada ua dlas é a tad da tad da nrgia cânica: Dss odo Logo: E cos ( t ϕ ) sn ( t ϕ) cos(t ϕ) ± sn(t ϕ) Φ(t ) t ϕ nπ ± π/4 (t ) cos(t ϕ) cos(π/4) ( t ) π cos 4 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 4 A roda d balanço d u rlógio oscila co ua aplitud angular d π rad u príodo d,5s. a) Ach a vlocidad angular áia da roda. θ(t) θ cos(t ϕ) θ π rad T,5s θ( ) θ # d t ( t) θ sn( t ϕ) dt π π θ #( ) θ θ t π θ# ( ) 4π t T [ ] [ ] b) Ach a vlocidad angular da roda quando o su dslocanto for d π/ rad. Vaos considrar qu o dslocanto t o valor stipulado quando t t. Dss odo: π θ ( t) θ cos( t ϕ) π π cos( t ϕ ) t ϕ ± θ 3 Logo: θ# ( t ) θ sn( t π ϕ) θ T π π sn ± 3,5 π θ #( t ) $ 3 rad / s π Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 9 ± 3

30 Prof. Roro Tavars da Silva c) Ach a aclração angular da roda quando o su dslocanto for d π/4 rad. Vaos considrar qu o dslocanto t o valor stipulado quando t t. Dss odo: π θ ( t ) θ cos( t ϕ) 4 π cos( t 4 ϕ) t ϕ ±,38 rad θ 4 θ# π π ) θ sn( t ϕ) θ sn π T,5 ( ±,38) (,968) ( t ± θ #( t ) $ 3,87 rad / s π Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 46 U pêndulo físico consist u disco sólido unifor (d assa raio R), suportado nu plano vrtical por u io localizado a ua distância d do cntro do disco - vr figura à sguir. O disco é dslocado u pquno ângulo librado. Ach ua prssão para o ovinto harônico sipls rsultant. Sja P o pso do disco T a força qu o io rc sobr ss disco. Quando ss sista stá rpouso a rsultant das forças o torqu rsultant são nulos. Quando l coça a oscilar, o torqu rsultant é difrnt d zro, t a fora: τ - P d snθ Iα P T d ond I é o onto d inércia do disco rlação ao io d giro. Por outro lado: I I C d R I R d Da priira quação tos qu: d T Pd α sn θ P I Para pqunas oscilaçõs podos aproiar o sno plo su argunto, logo: d θ gd θ d t I gd I R gd d gd I Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

31 Prof. Roro Tavars da Silva Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 4 a. dição 5 U cilindro sólido stá ligado a ua ola horizontal s assa d fora qu l possa rolar, s dslizanto, sobr ua suprfíci horizontal. A constant da ola é 3,N/. S o sista for librado d ua posição d rpouso qu a ola stja distndida d,5, ostr qu nssas condiçõs o cntro d assa do cilindro cuta u ovinto harônico sipls co príodo 3 T π ond é a assa do cilindro. ( Sugstão: Ach a drivada da nrgia cânica total rlação ao tpo). I C R / K K Rot K Trans as K I C v C v C R v R C K R v C v C v C v C K K Trans Rot v 3 4 v 4 C C E K U v C Coo o sista é consrvativo a nrgia cânica não varia, portanto: de dt 3 dv C d v C 4 dt dt 3 d d t v C as coo v C, tos qu: d d t 3 Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

32 Prof. Roro Tavars da Silva O sista considrado obdc a quação difrncial acia, portanto l t frquência angular natural d: 3 T π 3 a) Ach a nrgia cinética translacional do cilindro quando l passa pla posição d quilíbrio. No ponto d longação áia a posição é dada por nssa ocasião a vlocidad é nula. No ponto d quilíbrio a longação é nula a vlocidad é áia co o valor v. Dss odo, considrando a consrvação da nrgia cânica: 3 E v C v C 4 3 finalnt: K Trans v C K Trans 3 3 b) Ach a nrgia rotacional do cilindro quando l passa pla posição d quilíbrio. K Rot v C K Rot 4 6 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 5 Ua hast d coprinto L oscila coo u pêndulo físico, co io no ponto O, coo ostra a figura à sguir. a) Dduza ua prssão para o príodo do pêndulo tros d L a distância do ponto d suspnsão ao cntro d assa do pêndulo. Sja P o pso da hast T a força qu o io rc sobr ssa hast. Quando ss sista stá rpouso a rsultant das forças o torqu rsultant são nulos. Quando la coça a oscilar, o torqu rsultant é difrnt d zro, t a fora: τ - P snθ Iα ond I é o onto d inércia da hast rlação ao io d giro. Por outro lado: I I C L/ T I L L L/ P Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 3

33 Prof. Roro Tavars da Silva Da priira quação tos qu: P α sn θ I Para pqunas oscilaçõs podos aproiar o sno plo su argunto, logo: d θ g θ d t I g I T T g I π g L L g P b) Para qual valor d /L o príodo é ínio? Vaos dfinir: logo: T π T () u L L g L L π L g L T π u g T u u T L u L L u dt du u u T u dt du T u u u u u u L L c) ostr qu s L,, g 9,8/s, ss ínio é,53s. Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 33

34 Prof. Roro Tavars da Silva T T ( u ) T u u T,59s Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 53 Ua hast longa unifor d coprinto L assa roda livrnt no plano horizontal torno d u io vrtical, através d su cntro. Ua dtrinada ola co constant d força é ligada horizontalnt ntr u tridad da hast ua pard fia, confor figura à sguir. Quando a hast stá quilíbrio fica paralla à pard. Qual o príodo das pqunas oscilaçõs qu rsulta, quando a hast é ligirant girada librada? Quando a hast s dsloca d u ângulo θ u ponto d sua tridad traça u arco d coprinto s, st ponto stá distant da posição d quilíbrio. A ola rc ua força na hast ssa força produz u torqu τ τ - (L/) cosθ L/ Para pqunas oscilaçõs podos aproiar cosθ, logo s τ - (L/) as, coo θ é pquno podos aproiar a corda ( ) plo arco ( s θ. L/ ), s θ (L/) θ Dss odo: as, por outro lado: L L L τ.. θ L τ 4 θ L τ Iα # θ 3 τ L ## L θ θ # θ θ 4 Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 34

35 portanto: Prof. Roro Tavars da Silva T π 3 Capítulo 6 - Halliday, Rsnic Walr - 6 a. dição 58 Ua roda gira livrnt torno d su io fio. Ua ola stá ligada a u d sus raios, a ua distância r do io, coo ostra a figura à sguir. a) Considrando qu a roda é u aro d raio R assa, obtnha a frquência angular d pqunas oscilaçõs dst sista tros d, R, r a constant da ola. Coo no probla 75, tos qu: r R τ - r cosθ - r as r θ Logo τ - ( r θ) r - r θ as por outro lado: b) Coo udaria o rsultado s r R? τ I α ( R )θ# r τ θ R ( R )## θ r θ # θ r r R R r R Quando r R, tros: c) Coo udaria o rsultado s r? S r, a ola stará fia no io, consquntnt não rcrá influência na possívl oscilação. Da quação qu dduzios para a frquência função dos parâtros chgaos ao rsultado qu θ nssa situação. Cap 6.fisica.ufpb.br/~roro 35