O NÚMERO COMPLEXO E SEU USO NA ENGENHARIA ESTRUTURAL

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1 O NÚMERO COMPLEXO E SEU USO NA ENGENHARIA ESTRUTURAL Walnório G. Frrira Rodrigo S. Caargo Antonio M. Frasson Univrsidad Fdral do Espírito Santo, Dpartanto d Engnharia Civil Av. Frnando Frrari, 54 Goiabiras Vitória - ES Wb J. Mansur Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE Ilha do Fundão Rio d Janiro RJ suo: O prsnt artigo t o objtivo d aprsntar o uso do núro coplxo aos studants d ngnharia civil. Inicia-s co a história do núro coplxo, a orig da quação d Eulr, rsolv-s a quação d ovinto d u sista assa-ola co u grau d librdad, dotado d aortcinto viscoso, utilizando-s núros coplxos, o qu torna a quação difrncial ua quação algébrica. É ua abordag didática, qu visa dsprtar o intrss dos alunos d ngnharia civil plos núros coplxos. Finalnt, aplica-s a prsnt forulação a u caso prático da ngnharia strutural. Palavras-chav: Núros coplxos, dinâica strutural, nsino na ngnharia. INTRODUÇÃO A rfrência ais antiga a raízs quadradas d núros ngativos talvz tnha ocorrido no trabalho do atático grgo invntor Hron d Alxandria, no século D.C., quando l considrou volus d troncos d pirâid ipossívis (BHATTI, 7). Núros coplxos ntrara aior vidência no século 6, quando fórulas fchadas para as raízs d polinôios d trciro quarto grau fora dscobrtas por atáticos italianos, coo Niccolo Tartaglia Grolao Cardano (O CONNOR & ROBERTSON, 7). Rapidant s prcbu qu ssas fórulas, so qu s usadas para soluçõs rais, por vzs rquria a anipulação d raízs quadradas d núros ngativos. Por xplo, a fórula cúbica d Tartaglia dá a sguint solução para a quação 3 x x : (O CONNOR & ROBERTSON, 7) XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6 -

2 3 / 3 + / 3 À priira vista, isso parcia s sntido, pois nvolvia ncontrar as raízs cúbicas d u núro dado pla raiz quadrada d. Entrtanto, cálculos forais ostra qu ssas 3 raízs (soluçõs da quação z i ) são i, ( i + 3 )/ ( i 3 )/, qu, substituídas na 3 solução d Tartaglia, rsulta,, qu são as soluçõs d x x. Isso tudo não ra copltant coprndido, ua vz qu n so núros ngativos tinha sustntação sólida naqula época. O tro "iaginário" foi criado por né Dscarts 637, tinha a intnção d significar "drrogatório". Ua outra font d confusão ra a quação, qu na época, parcia inconsistnt co a idntidad algébrica a b ab, qu, coo s sab hoj, é válida para a b rais positivos. O uso incorrto dssa quação é crditado até so a Eulr. Essa dificuldad lvou à convnção d usar o síbolo spcial i lugar d. No século 8, Abraha d Moivr Lonhard Eulr dsnvolvra sus trabalhos. A D Moivr (73) é atribuída a fórula qu lva su no, a fórula d D Moivr (O CONNOR & ROBERTSON, 7): n ( cosθ + i snθ) cos nθ + i sn nθ a Eulr (748), a fórula d Eulr (WEISSTEIN, 7), da anális coplxa: cos θ + i snθ A xistência d núros coplxos não foi copltant acita até a intrprtação goétrica tr sido dscrita por Caspar Wssl (O CONNOR & ROBERTSON, 7), 799; la foi rdscobrta popularizada uitos anos dpois por Carl Fridrich Gauss, graças a isso, a toria dos núros coplxos rcbu ua notávl xpansão. Entr os qu s aprofundara na toria odrna, stão Möbius, Dirichlt, Klin, Wirstrass, Schwarz, Richard Ddkind Hnri Poincaré. SÉRIE DE TAYLOR A séri d Taylor é, d fora siplificada, u tipo d soa infinita capaz d aproxiar ua dada função f ( x ) na vizinhança d u ponto x a, dfinida por: (3) f ( a) f ( a) f ( a) f ( x) f ( a) + L!! 3! 3 ( x a) + ( x a) + ( x a) + ( x a) n n f ( a) n! ( n) Por xplo, o dsnvolvinto da séri d Taylor das funçõs f ( x) cos x na vizinhança d a são: f ( x) sn x x x x x x s n( x) x + + +L 3! 5! 7! 9!! () x x x x x c os( x) + + +L! 4! 6! 8!! () XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6 -

3 Na Figura pod-s vr coo a séri d Taylor da função f ( x) sn x s torna cada vz ais próxia da função xata, confor o núro d tros é auntado, tanto para o dsnvolvinto na vizinhança do ponto (a) a (b) a 7 π /. Escolh-s convnintnt o valor d a confor o dsnvolvinto da séri qu s dsja ncontrar. (a) (b) Figura. Séris d Taylor para a função f ( x) sn x co, d cia para baixo,, 5,, 5 tros, na vizinhança d (a) a (b) a 7 π /. 3 EQUAÇÃO DE EULER Pod-s usar séris d Taylor tabé para ncontrar aproxiaçõs d funçõs qu 4n nvolv núros coplxos, lançando ão d suas propridads. Ua vz qu i, 4 i n + 4n+ 4 i, i i n +3 i, ond n é intiro, tos qu os dsnvolvintos da função ix f ( x) é: ix 3 x x + ix i +! 3! x x x x + i i + 4! 5! 6! 7! 8 9 x x x x + i i +L 8! 9!!! (3) Analisando-s os tros co potências pars d x, vê-s qu são os sos do dsnvolvinto da Equação (). Da sa fora, os tros co potências ípars d x são os sos da Equação (), poré, ultiplicados por i. Portanto, a partir daí, soando-s as Equaçõs () (), trocando a variávl x pla ais count usada θ, chga-s a: θ i cosθ + i snθ (4) XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-3

4 A Equação (4) é a chaada quação d Eulr. Rotação d vtors torno da orig no plano coplxo Núros coplxos são análogos a vtors quando dispostos no plano coplxo, qu o ixo das abscissas rprsnta a part ral do núro, o ixo das ordnadas, a part iaginária. U dos usos da quação d Eulr é o d qu u núro coplxo a + bi, quando ultiplicado por, t coo rsultado u núro coplxo qu é, no plano coplxo, a rotação d u ângulo θ do vtor qu rprsnta a + bi. Isso pod sr vrificado obsrvando o fito individual da ultiplicação d cada coponnt do vtor a + bi por, ou sja: θ a i a cos θ + ai snθ (5) bi bi cos θ b snθ (6) As Figuras (a) (b) ilustra as Equaçõs (5) (6), ostrando os vtors originais os vtors rsultants das ultiplicaçõs dsts por. Assi, fica claro vr qu o núro coplxo a + bi, tabé srá rotacionado d u ângulo θ rlação à orig, quando ultiplicado por. Isso é ostrado na Figura (c). I I I b b a+bi I a I I a (a+bi) a sn θ θ a a cos θ bi -b cos θ b sn θ θ (a) (b) (c) θ Figura. Rotaçõs d vtors torno da orig no plano coplxo causadas pla ultiplicação dsts por. 4 RESPOSTA DE UM SISTEMA ESTRUTURAL A CARGA HARMÔNICA c v(t) F Sc v(t) v(t) p(t) p(t) k FDk v(t) (a) (b) XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-4

5 Figura 3. prsntação d u sista assa-ola co aortcinto. Considra-s u sista strutural qualqur (tal coo ua pont, ua caixa d água, ou u difício) subtido a u carrganto dinâico, ou sja, variávl no tpo. O sista pod sr rprsntado por ua assa, a rigidz o aortcinto da strutura pod sr rprsntados pla constant lástica k pla constant d aortcinto viscoso c. Ess odlo stá rprsntado na Figura 3, ond s pod vrificar, no diagraa d corpo livr do sista, as forças qu nl atua. A partir da soa das forças qu atua no sista, chga-s a: v ( t) + cv& ( t) + kv( & t) p( t) Ond v (t) é a rsposta dinâica do sista ao carrganto p (t), ou sja, é a função qu rprsnta o dslocanto do sista assa-ola qu rprsnta a strutura, função do tpo. Supondo-s qu o carrganto p (t) é harônico, ou sja, t variação cossnoidal, tos: p ( ω + ϕ) ( t) P cos t (7) P é a aplitud áxia da carga, ω é a frqüência angular da carga ϕ é a fas da carga, qu prit qu a sa inici sua atuação co u valor difrnt do su valor áxio. Co o uso da idntidad d Eulr, tos: ( ωt+ϕ) i( ωt+ϕ) cos( ωt + ϕ) + isn( ωt + ϕ) cos( ωt + ϕ) isn( ωt + ϕ) i Equaçõs stas, qu, dpois d ultiplicadas por P,soadas rarruadas, lva a: p( t) { i ϕ i ω t i ϕ P P i ω + t } Dfinindo iϕ P P su conjugado coplxo iϕ P* P, tros, portanto: { P iω t P* i ω + t } p( t) (8) Para ua carga variando d fora cossnoidal, sndo o sista linar, a rsposta v (t) srá tabé cossnoidal. Entrtanto, a rsposta não stará ncssariant fas co o carrganto, dvido à atuação do aortcinto sobr o sista. Isso significa qu, nquanto a carga atua na strutura, su dslocanto áxio não ocorr sincronizadant co o valor áxio do carrganto, si, u pouco atrasado. Pod-s assuir, portanto, qu a rsposta t a fora: v ( ω + θ) ( t) V cos t (9) XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-5

6 Ond V é a aplitud áxia do dslocanto sofrido plo sista θ é a fas da rsposta, qu é difrnt da fas do carrganto, qu é ϕ. O objtivo é dtrinar a rsposta do sista, ou sja, dtrinar os valors d V θ. Aplicando transforaçõs análogas às aplicadas à carga, pod-s rscrvr a rsposta: v t) { i θ i ω t i θ i ω V V t } { V i ω t V * i ω + + t } ( () Ond dfin-s V V su conjugado coplxo V* V. Sja agora a tarfa d ncontrar o valor d v (t). Para isso, iagina-s, inicialnt, a priira parcla da Equação (8) atuando coo ua carga coplxa no sista, ou sja, p ( t) P. Coo o sista é linar, fica claro qu a rsposta a ssa carga srá dada pla priira parcla da Equação (), srá da fora v ( t) V. Sabndo-s qu: v& ( t) d dt d v& &( t) dt ( V ) iωv ( V ) ω V Então a substituição na Equação (7) rsulta : ω V + iωcv + kv P Ou: ( ω + iωc + k) V P Qu é ua quação algébrica, assi: V P ω + iωc + k () Agora dv-s lançar ão d u artifício qu nvolv a rotação d u vtor no plano coplxo, co o uso da quação d Eulr, para siplificar o dnoinador ω + iωc + k. A Figura 4 (a) ostra o vtor corrspondnt a ss núro coplxo, no plano coplxo. Pod-s afirar qu su ódulo é igual a: ρ ( k ω ) + ( ωc) E qu o ângulo qu st faz co o ixo ral é igual a: ωc α arctan k ω XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-6

7 I I ωc - ω +iωc+k (a) α k - ω (b) ρ Figura 4. O dnoinador da Equação () pod sr ntndido coo u núro ral iα ultiplicado por, ou sja, rotacionado d u ângulo α. Portanto, pod-s iaginar qu o dnoinador da quação () é u vtor no plano coplxo, originalnt horizontal, co ódulo ρ (ou sja, u núro ral puro, s part coplxa), qu foi rotacionado d u ângulo α. Ess vtor original é ostrado na Figura 4 (b). Essa construção s torna útil para rscrvr o dnoinador co a ajuda da quação d Eulr, da sguint fora: ω + iωc + k ρ iα ( k ω ) + ( ωc) ωc i arctan k ω Qu, d volta à Equação (), juntant co o já dfinido iϕ P P, lva a: V iϕ ωc P P iϕ i arctan k ω ωc i arctan ( ) ( ) ( ) ( ) ω k k ω + ωc k ω + ωc Finalnt, lbrando a dfinição V V, ncontra-s: V P () ( k ω ) + ( ωc) ωc θ ϕ arctan (3) k ω Qu dfin copltant a rsposta do sista à carga coplxa p ( t) P. Coo o sista é linar, a rsposta do sista à carga coplxa dfinida pla sgunda parcla da Equação (8), p ( t) P*, qu é o coplxo conjugado d p ( t ), srá V *, qu tabé é o coplxo conjugado da rsposta obtida para a carga p ( t ). Portanto, ao fazr a soa das duas parclas conjugadas da rsposta, coo indica a Equação (), havrá u canclanto idiato das parts coplxas da rsposta, rstando apnas o dobro da part ral, qu ultiplicada por /, rsultará apnas na part ral da rsposta, coo indicada na Equação (9), ond V θ são ralnt dados plas Equaçõs () (3). XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-7

8 Coo V é a aplitud áxia do dslocanto, ua inforação uito iportant qu pod sr xtraída da Equação () é qu o su valor áxio ocorr quando o dnoinador ( k ω ) + ( ωc) é ínio, o qu pod sr ncontrado igualando sua drivada rlação a ω a zro, ncontrando: ω k c Coo xplo, sja u sista coposto por ua assa d t suportada por quatro pilars vrticais co prfis aço W x53, Açoinas (slhant ao sista strutural ostrado na Figura 6), co u aortcinto d, kns/, sujito a ua carga latral cossnoidal. A rigidz é k 45, kn/ A Figura 5 ostra o gráfico d V / P função d ω: V(ω) P (ω) frqüência angular (rad/s) Figura 5.Variação da aplitud da rsposta função da frqüência angular ω da carga Na figura, pod-s vr qu, à dida qu a frqüência angular d xcitação da carga s aproxia d 4, 5 rad/s, a aplitud da rsposta final aunta rapidant, podndo coprotr a strutura. A grand vantag utilizar o doínio da frqüência é qu a quação difrncial passa a sr ua quação difrncial algébrica. Assi, para anális d sistas co últiplos graus d librdad, o sista d quaçõs difrnciais s transfora u sista d quaçõs algébricas linars. Qualqur tipo d carga p (t) pod sr scrito função do su spctro, assi, para cada frqüência da carga p (t), o dslocanto pod sr conhcido. 5 A TRANSFORMADA DE FOURIER A transforada dirta d Fourir d ua função qualqur f ( t ) é dfinida pla função: XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-8

9 F( ω) f ( t ) dt (4) Da sa anira, a função original f ( t ) é rcuprada pla transforada invrsa d Fourir, dfinida por: f ( t ) i ω ω t F( ) d π ω (5) S duas funçõs f ( t ) F( ω ) satisfaz as Equaçõs (4) (5), ntão diz-s qu las fora u par d transforadas d Fourir. O cálculo nuérico dssas transforadas é fito através da transforada discrta d Fourir, dfinida por: N ω F( ) t n f ( t n ω N ) π f ( t n F( ω ) n πi N ) πi n N,,, L, N,n,, L, N - Ond os tpos discrtos são dados por: t n n t (6) E as frqüências discrtas são dadas por: Os valors d µ são dados pla Tabla. ω µ ω (7) Tabla. Frqüências discrtas. µ ω ω ω N / N / ( N / ) ω N / N / ( N / ) ω N / + ( N / + ) ( N / ) ω N- ω N- ω XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-9

10 Uso da transforada d Fourir para ncontrar a solução da quação do ovinto Foi xposto o procdinto a sr sguido para ncontrar a rsposta d u sista a carrganto cossnoidal. Entrtanto, quando a carga for arbitrária, a transforada d Fourir pod sr utilizada para ncontrar a rsposta, da sguint fora: Aplicando a transforada d Fourir à já dfinida quação do ovinto: v ( t) + cv& ( t) + kv( & t) p( t) Obté-s, para condiçõs iniciais nulas, ou sja, v ( ) v& ( ) : V ( ω) P( ω) H ( ω) Ond as transforadas d v (t) d p (t) são V ( ω) P( ω) v( t) p( t) E a função coplxa d rsposta na frqüência é H ( dt dt ) ω + k + iωc ω Portanto, a rsposta no doínio do tpo srá a transforada invrsa d V (ω) : v( t) V ( ω) dω P( ω) H ( ω) d π π As quaçõs quivalnts às duas antriors, poré, sua fora discrtizada, são: v ( t N ( ω ) P t n n ) ω N π p( t P( ω n ) πi ) H ( ω n N ) πi ω,,, L, N n N,n,, L, N - Ond Tp é o coprinto do intrvalo d truncanto, ou tpo stndido, N é o núro d pontos discrtos qu o tpo stndido é dividido, t Tp / N é o intrvalo d sparação ntr os pontos no tpo ω π / T é o intrvalo d sparação ntr os pontos discrtos na frqüência. Os tpos discrtos as frqüências discrtas são dfinidos coo nas Equaçõs (6) (7). XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6 -

11 6 EXEMPLO NUMÉRICO A Figura 6 ostra ua caixa d água lvada a carga dinâica transint à qual stá subtida. Essa carga siula a ação d ua rajada d vnto. A assa da caixa d água é t, a constant lástica dos pilars d sustntação é k 4 kn/, o coficint d aortcinto viscoso é c kns /. v(t) t p(t) 4 kn p(t) k4 kn/,5 s,5 s t Figura 6. prsntação da caixa d água carrganto qu nla atua. A rsposta srá avaliada plo procdinto da transforada discrta d Fourir. O intrvalo d tpo usado foi d,5 sgundo. O tpo stndido foi d,8 sgundo,, portanto, o núro d pontos é 5. Ebora s tnha calculado a rsposta para todo o tpo stndido, a rsposta da Figura 7 stá ostrando apnas o priiro,4 sgundo.,5,,5, -,5 -, -,5,,,,3,4 tpo (s) Figura 7. sposta obtida para o sista da Figura 6. 7 CONCLUSÃO E ngnharia, núros coplxos são d xtra iportância disciplinas d circuitos instalaçõs létricas,, particularnt para a ngnharia civil, vibraçõs cânicas, quando s prtnd fazr a anális no doínio da frqüência. Há casos na ngnharia qu as propridads cânicas dpnd da frqüência d xcitação do carrganto dinâico, coo crtos casos d intração solo-strutura. Nsss casos, a anális no doínio da frqüência é a ais adquada. Alé disso, todos os casos, a opção d anális dinâica no doínio da frqüência é spr possívl. Ua iportant vantag é XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6 -

12 o fato d qu a obtnção das frqüências naturais da strutura é inrnt ao procdinto. Coo as frqüências do carrganto dinâico são conhcidas, o conhcinto das frqüências naturais da strutura prit ao ngnhiro projtista antvr possívis ocorrências d rssonância, assi, toar dcisõs para vitar isso, odificando as propridads da strutura, d odo qu as frqüências naturais d xcitação sja suficintnt difrnts. O prsnt artigo cupriu o objtivo d facilitar o ntndinto por u aluno d ngnharia civil d soluçõs d vibraçõs struturais no doínio da frqüência. Inicia-s co u histórico sobr núros coplxos, a ddução da quação d Eulr su uso na solução, no doínio da frqüência, da quação dinâica d u sista assa-ola subtido a ua carga tporal harônica. E sguida, aprsnta-s a transforada d Fourir suas foras contínua discrta, sua aplicação na solução da quação dinâica d u sista subtido a ua carga tporal gnérica. Alé disso, fora rsolvidos dois xplos, u ostrando a rlação dslocanto-carga, função da frqüência angular, o outro ostrando a rsposta tporal d ua strutura típica a ua carga qu siula ua rajada d vnto. 8 AGRADECIMENTOS Os autors agradc ao NEXEM Núclo d Exclência Estruturas Mtálicas Mistas, Convênio Ufs/ArclorMittal Tubarão o apoio concdido ao dsnvolvinto dst trabalho. 9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BHATTI, A., Coplx Nubrs. Disponívl <http://popl.bath.ac.uk/aab/ coplxnubrs.htl> Acsso 3 jul. 7. O CONNOR, J. J., ROBERTSON, E. F. Girolao Cardano. Disponívl <http://wwwhistory.cs.st-andrws.ac.uk/biographis/cardan.htl> Acsso 3 jul. 7. O CONNOR, J. J., ROBERTSON, E. F. Nicolo Fontana Tartaglia. Disponívl <http://www-history.cs.st-andrws.ac.uk/biographis/tartaglia.htl> Acso 3 jul. 7. O CONNOR, J. J., ROBERTSON, E. F. Abraha d Moivr. Disponívl <http://wwwhistory.cs.st-andrws.ac.uk/biographis/d_moivr.htl> Acsso 3 jul. 7. O CONNOR, J. J., ROBERTSON, E. F. Caspar Wssl. Disponívl <http://wwwhistory.cs.st-andrws.ac.uk/biographis/wssl.htl> Acsso 3 jul. 7. WEISSTEIN, E. W., Eulr, Lonhard (77-783). Disponívl <http://scincworld.wolfra.co/biography/eulr.htl> Acsso 3 jul. 7. BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA BRIGHAM, E.O., Th Fast Fourir Transfor, Prntic-Hall, Englwood Cliffs, 974. CALENZANI, A.F.G., Anális Dinâica no Doínio da Frqüência d Sistas co Aortcinto Não Clássico, Vitória, (Dissrtação d Mstrado), Prograa d Pós- Graduação Engnharia Civil, CT/Ufs. XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6 -

13 CAMARGO, R. S.; FERREIRA, W. G. Anális Dinâica no Doínio da Frqüência. Forulaçõs Clássica Matricial. vista Engnharia Ciência Tcnologia, Vitória - ES, v. 5, n. 4, p. 33-4,. CLOUGH, R.W., PENZIEN, J., Dynaics of Structurs, nd. Edition, McGraw-Hill, Nw York, 993. COOLEY, J.W., TUKEY, J. W. An Algorith for Machin Calculation of Coplx Fourir Sris, Mathatics of Coputation, v. 9, pp. 97-3, 965. FERREIRA, W.G., Anális Dinâica Não-Linar no Doínio da Frqüência d Sistas Estruturais co Aortcinto Não-Proporcional., Rio d Janiro, 998 (Ts d Doutorado), COPPE/UFRJ. FERREIRA, W.G., CLARET, A.M. and VENANCIO-FILHO, F., Dynaic spons Du to Initial Conditions by Frquncy Doain Mthod, Applid Mchanics in th Aricas, AAM and ABCM, Rio d Janiro, 999. FERREIRA, W. G., SECHIM, C., FREITAS, M. S., Anális Dinâica no Doínio do Tpo d Sistas co Múltiplos Graus d Librdad. Aplicação Pórticos Mtálicos. vista Engnharia Ciência Tcnologia, Vitória - ES, ano 3, d. 7, p. 93-,. WYLIE, C.R. and BARRETT, L.C., Advancd Enginring Mathatics, 6 th. Edition, McGraw-Hill, Nw York, 995. THE COMPLEX NUMBER AND ITS USAGE IN STRUCTUIRAL ENGINEERING Abstract: Th objctiv of th prsnt papr is to illustrat to civil nginring studnts, th usag of coplx nubrs. Th papr txt bgins dscribing th history of coplx nubrs including Eulr s quation origin. Subsquntly coplx algbra is usd to transfor th diffrntial quation of otion of a ass-spring-dashpot singl dgr of frdo syst, with viscous daping, into an algbraic quation whos solution can b asily found using basic arithtic. It is a didactic approach, aiing to stiulat th intrst of civil nginring studnts on th subjct. Finally, th forulation prsntd is applid to a practical cas of structural nginring. Ky-words: Coplx nubrs, structural dynaics, taching in nginring XXXV Congrsso Brasiliro d Educação Engnharia COBENGE 7 P6-3

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