Departamento de Engenharia Elétrica CONTROLE DIGITAL

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1 Dpartamnto d Engnharia Elétrica CONTROLE DIGITAL PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO Univrsidad Estadual Paulista UNESP Faculdad d Engnharia d Ilha Soltira FEIS Dpartamnto d Engnharia Elétrica DEE -03-

2 Sumário I Introdução... p. I. Evolução Tcnológica... p. I. Sistmas Discrtos... p. II Anális d Sistmas Dinâmicos Discrtos... p.4 II. Introdução... p.4 II. Transformada Z... p.4 II.3 Rlaçõs ntr o Plano S o Plano Z... p.8 II.4 Algumas Propridads da Transformada Z... p.8 II.5 Invrso da Transformada Z... p. II.6 Função d Transfrência d um Sistma Discrto... p.8 II.7 Rsposta Impulsiva d Sistmas Discrtos... p.0 II.8 Transformada Z Invrsa Utiliando a Propridad d Dslocamnto no Tmpo. p. II.9 Torma d Amostragm d Shannon... p.5 III Estabilidad d Sistmas d Control Digital... p.6 III. Introdução... p.6 III. Critério BIBO... p.6 III.3 Critério d Jury... p.9 IV Rprsntação Discrta do Subsistma: D/A Procsso A/D... p.33 IV. Introdução... p.33 IV. Convrsor D/A d Ordm Zro... p.34 IV.3 Aplicação da Entrada Impulsiva m: D/A Procsso A/D... p.35 IV.4 Implmntação d uma Função d Transfrência Discrta no Microcomputador. p.46 IV.5 Transformada Z d Função Contínua com Atraso... p.48 V Método do Lugar das Raís (Root Locus)... p.53 V. Introdução... p.53 V. As rgras do Root Locus... p.53 VI Métodos d Projtos d Controladors Digitais... p.67

3 VI. Introdução... p.67 VI. Espcificaçõs d Sistmas d Control... p.67 VI.. Erro d Rgim Prmannt... p.70 VI.. Rsposta Dinâmica ou Prcisão Durant o Transitório... p.74 VI.3 Projto d Controladors Digitais Utiliando Emulação... p.80 VI.4 Projto d Controladors Digitais Utiliando o Root Locus no Plano Z... p.88 VII Sistmas d Control no Espaço d Estados... p.97 VII. Introdução... p.97 VII. Sistmas Contínuos m Espaços d Estados... p.97 VII.3 Transformação Linar... p.99 VII.4 Sistmas Discrtos m Espaços d Estados... p.0 VII.5 Obtnção da Função d transfrência a Partir da Rprsntação m Espaço d Estados... p.08 VII.6 Projto d Controladors Discrtos usando Métodos para Variávis d Estados... p.4 VII.6. Projto da Li d Control... p.4 VII.6. Projto do Estimador d Estado... p.3 VII.6.3 Projto do Rgulador: Combinação da Li d Control com o Estimador d Estados.... P.3 Anxo I Convrsors A/D D/A... p.36 Lista d Exrcícios I... p.4 Lista d Exrcícios II... p.44 Lista d Exrcícios III... P.48 Bibliografia... p.5

4 I Introdução I. Evolução Tcnológica Nas últimas décadas, stablcu firmmnt uma modrna toria d control para sistmas contínuo no tmpo. O suficint para provocar uma rvolução nos procssos industriais habilitar a humanidad a iniciar a xploração do univrso. Nas últimas três décadas, ngnhiros cintistas buscaram a prfição no projto d sistmas d control, tntando alcançar o dsmpnho idal dos sistmas dinâmicos. O advnto do computador digital possibilita a criação d controladors mais prcisos do qu os controladors analógicos, mas rstringiu a vlocidad d opração, qu stá sndo mlhorada com a volução dos microcomputadors. Esta volução stá possibilitando cada v mais qu os projtistas d controladors digitais chgum mais próximos d sistmas com dsmpnho idal. I. Sistmas Discrtos Um sinal variant no tmpo pod sr amostrado com um intrvalo d tmpo T, formando uma squência d valors discrtos. Aplicando sta squência discrta num sistma dinâmico contínuo, trmos uma rsposta qu srá dfinida apnas nos instants d amostragm, como ilustrado abaixo. FIGURA. O trm d impulsos () t é composto d vários impulsos () t dfinido por:

5 FIGURA. A ára do impulso () t é igual a, o qu xprssa a magnitud do impulso. O sinal amostrado pod sr dscrito pla sguint rlação: *( t) *( t) ( t) ( t) ( kt ) ( t kt ) (.) k0 t kt Portanto, o sinal discrto, k= 0,,,3... *( t) srá dfinido apnas nos instants d amostragns Exmplo d um Control Discrto: Guiagm d um Sistma Intrcptor O sistma d guiagm dirciona o voo d um míssil no spaço para intrcptar o vículo arospacial inimigo. A dfsa usa míssis com o objtivo d intrcptar dstruir o bombardiro ants qu l lanc as bombas. Uma ilustração é mostrada na figura abaixo. FIGURA.3

6 3 O radar dtcta a posição do alvo o rastria, forncndo informaçõs discrtas ncssárias para a dtrminação das variaçõs angulars d dslocamnto do alvo. Estas informaçõs (dados) são nviadas intrruptamnt ao computador qu stima (calcula) a trajtória do alvo. O radar também rastria o míssil forncndo informaçõs discrtas ao computador d calcula sua trajtória. O computador compara as duas trajtórias dtrmina a corrção ncssária na trajtória do míssil para produir uma rota d colisão. As informaçõs discrtas sobr a corrção da trajtória são nviadas ao míssil plo rádio d comando. O sistma d control do míssil (controlador digital) convrt ssas informaçõs m dslocamntos mcânicos das suas suprfícis d control, modificando sua trajtória d voo, fando-s ntrar na rota d colisão. O diagrama d blocos dst sistma d control stá mostrado na figura abaixo (part A). A rprsntação simplificada m diagrama d blocos stá mostrada na part B. (A) (B) O projto dsts sistmas rqur conhcimntos nas áras: comunicação, procssamnto digital d sinais, ngnharia d computação toria d control digital. Nos capítulos sguints, srá introduida a toria suficint para projtar, analisar implmntar controladors digitais.

7 II Anális d Sistmas Dinâmicos Discrtos 4 II. Introdução Nst capítulo, srão studadas algumas frramntas matmáticas para o studo d control discrto. II. Transformada Z A transformada d Laplac é uma transformada muito útil para a ngnharia d control. Para analisar sistmas d control discrtos, vamos aplicar a transformada d Laplac m um sinal discrto vrmos qu o rsultado srá a transformada Z. Considr o sinal discrto (amostrado) *( t ) mostrado na figura., aplicando-s a transformada d Laplac na quação., trmos: L *( t) L( kt ) ( t kt ) k0 E *( s) L ( kt ) ( t kt ) k0 (.) (.) Dvido à propridad d linaridad da transformada d Laplac, tmos: L k0 E *( s) ( kt ) ( t kt ) (.3) O sinal ( kt ) é uma constant dntro da transformada, logo: E *( s) ( kt ) ( t kt ) k0 L (.4) A transformada d Laplac d uma função transladada é dada por: s L f ( t ). F( s), 0 (.5) Sndo, F( s) L f ( t) Logo, aplicando-s sta propridad na quação (.4), trmos: Como L t ( ) kts L (.6) E *( s) ( kt ).. ( t) k0, a quação (.6) torna-s:

8 E *( s) ( kt ). k0 kts (.7) 5 A quação (.7) mostra a transformada d Laplac do sinal amostrado *( t ). Por motivo d simplicidad, dfin-s a variávl Z da sguint manira: st (.8) Logo, a quação (.7) torna-s: E( ) ( kt ) k0 k (.9) Dsta forma, chga-s ao domínio da variávl Z, a quação (.9) é dnominada como transformada Z d, ou sja: ( kt ) ( kt ) ( kt ) k0 k (.0) O litor podrá chgar ao msmo rsultado, utiliando qualqur caminho da figura abaixo, porém o caminho da transformada Z é o mais indicado. FIGURA. MAPEAMENTO Obsrvação: Sndo s uma variávl complxa, s jw, a variávl também é ( jw) T complxa: a jb. O caminho rvrso srá discutido mais adiant.

9 6 A quação (.0) é uma progrssão gométrica (P.G.) logo, para dtrminar a transformada Z d sinais amostrados, é important rlmbrar qu a soma d uma P.G. infinita com o primiro trmo raão q, <, é dada por: S a a q q (.) Exmplo. Suponha qu um sinal xponncial tnha sido amostrado com um príodo d amostragm T, conform mostrado abaixo: FIGURA. sndo a 0. A transformada Z dst sinal amostrado srá dada por: f ( kt ) akt. k0 k (.) Ou ainda, F( ) akt. k0 k (.3) Expandindo o somatório, trmos: F 0 0 at at 3aT 3 ( ) (.4) Vrifica-s qu é uma P.G. com raão at q. (.5) trmo inicial a 0 0. Logo, supondo q <, (.6) a F () at q. (.7)

10 Ainda F () at (.8) 7 Dsta forma, a transformada Z do sinal xponncial amostrado é dada pla quação (.8). Exmplo. Considr o sinal amostrado y(kt) dado abaixo: FIGURA.3 A transformada Z dst sinal é dada por: Logo, Y( ) y( kt ) y( kt ). k0 k (.9) Y y y T y T y T y T ( ) (0). ( ). ( ). (3 ). (4 ).... (.0) Substituindo, trmos: Y 3 ( ) (.) Logo, Y() 3 3 (.) Ou ainda, Y() 3 3 (.3) Portanto, a quação (.3) mostra a transformada Z do sinal da figura (.3).

11 II. 3 Rlaçõs ntr o Plano S o Plano Z 8 No itm antrior foi dmonstrado qu a transformada Z d um sinal amostrado é a transformada d Laplac d uma squência discrta, com a substituição da variávl. Isto implica qu todos os pontos no plano S tm su ponto corrspondnt no plano Z. Um ponto gnérico no plano S é dado por, através do mapamnto st, no plano Z trmos o sguint ponto: s j st Logo,. T ( j) T T jt T (.4) (.5) O ixo imaginário do plano S é no plano Z é: j T s j 0 <, 0, o lugar gométrico corrspondnt < 360º (.6) qu é um círculo unitário. O smiplano squrdo é dado por s j T T qu é a rgião dntro do círculo unitário. O smiplano dirito é dado por s j T Z T,, 0 0, logo:, logo: (.7) (.8) Qu é a rgião fora do círculo unitário. FIGURA.4 II.4 Algumas Propridads da Transformada Z A sguir srão aprsntadas algumas propridads da transformada Z útis ao control discrto.

12 i) Linaridad 9 f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) (.9) Dmonstração k f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) k0 k k k0 k0 f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) f ( kt ) ii) Dslocamnto no Tmpo Dmonstração n n n k f ( k n) F( ) f ( k). k0 (.30) k lkn nl n l f ( k n) f ( k n) f ( l) f ( l) k0 ln ln f ( l) f ( l) F( ) f ( k) l0 l0 k0 n n n l l n n k iii) Oprador d Avanço Unitário A propridad (ii) prmit considrar a variávl complxa Z como um oprador d avanço unitário, dsd qu f(0) =0, ou sja: F( ) f ( k ) (.3) Obsrvação: Por abuso d notação, nsta apostila vntualmnt srá omitido o príodo d amostragm T na indxação, ou sja: f ( kt nt) têm o msmo significado. iv) Torma do Valor Inicial f ( k n) S y(kt) possui Y() como transformada Z o limit: xist, ntão: y(0) lim Y( ) lim Y( ) (.3)

13 Vrificação: k 3 ( ) ( ) (0) (). (). (3).... Y y kt y y y y k0 y() y() y(3) y(0) Passando o limit, trmos. y() y() y(3) lim Y( ) lim y(0)... y(0) 3 v) Torma do Valor Final S F() convrg para unitário, ntão: s todos os polos d ( ) lim f ( k) lim( ) F( ) k Exmplo.3 Ilustração do torma do valor final..f(), stão dntro do círculo (.33) Conform foi dmonstrado no xmplo., a transformada Z da função xponncial é dada por: Supondo Z F () T T 0,, T s, o gráfico da xponncial srá: (.34) FIGURA.5 Na figura acima, prcb-s qu o valor final da função srá ( ) 0 f. Aplicando o torma do valor final, trmos:

14 ( ). lim f ( kt ) lim( ). F( ) lim( ). lim 0 k 0, 0,9 Obsrvação: O polo sta dntro do círculo unitário, portanto, pod-s aplicar o torma. D ond s vrifica qu o rsultado da aplicação do torma é idêntico ao sprado sgundo a figura (.5). S, quanto valrá? Confira com o gráfico com o torma. f ( ) II. 5 Invrso da Transformada Z O rsultado final d um projto d controlador digital (discrto) é xprsso m Z, para vrificar o rsultado do projto, é ncssário dtrminar sua rsposta no tmpo. Para isto, dv-s ftuar a invrsa da transformada Z, ou sja: A sguir, aprsntarmos três formas d s calcular a invrsa da transformada Z, uma forma fchada (xpansão m fraçõs parciais) duas m séri (divisão contínua ou utiliando a propridad do oprador dslocamnto). i) Métodos d Expansão m Fraçõs Parciais Suponha qu s dsja ftuar a Expansão m Fraçõs Parciais da sguint função: b b... b F () n n n n 0 n n an an... a0 (.35) Obsrvação: Caso F() com um ou mais ros na origm (n ros na origm), faça a F( ) F( ) n xpansão d dpois dtrmin F() multiplicando por. n n º Caso: S F() tivr polos todos distintos. Exmplo: Calcul a transformada Z invrsa d: 3 Y() ( 0,5).( ) (.36)

15 Solução: Expandindo Logo, Y ( ) 3 a b ( 0,5).( ) ( 0,5) ( ) Y( ) 3 a lim.( 0,5) 6 0,5 0,5 Y( ) 6 6 0,5 Y( ) 3 b lim.( ) 6 0,5 Y() 6 6 0,5 Fraçõs Parciais d Y() Para dtrminar y(k), utilia-s a tabla sguint, ond s ncontram as principais transformadas. Então, utiliando a rlação nº. 3, tmos: k k k yk ( ) ( 6).0, ( 0,5 ) k yk ( ) 6.( 0,5 ) (.37) X() s xt () t 0 ou x k k 0 X() ( t), k t nt kt nt nts ( ), ( ) s s ( s a) a s s a 6 7 w ( s w ) 8 n ut () ( ) t at at sin wt T ( ) at ( ) at ( ) at ( ).( ) sin wt cos wt s ( cos wt ) ( s w ) cos wt cos wt at T at ( s a) t at ( ) 9

16 0 w s a w ( s a) s a w 3 s at at sin wt cos wt at sin wt cos wt at at at sin wt cos wt at at t T ( ) 3 ( ) 3 k a ( a) 4 k a cos k 5 k a km m ( a) ( a) m TABELA DE TRANSFORMADA Z (.) 3 Obsrvaçõs: () t Função Impulso. ut () T Função Dgrau. Príodo d Amostragm. k k! k( k ).( k )...( k m ) k m m! k m! m! k m º Caso: Existência d polos Múltiplos Por motivo d simplicidad, aprsntarmos o método através d um xmplo. Considr: T s A xpansão srá: Sndo: F () ( 0,5).( ) (.38) F ( ) A B C ( 0,5).( ) ( 0,5) ( ) ( ) F ( ) A lim ( 0,5). 4 0,5 0,5 O coficint B C são dtrminados fando-s: A ( ) B C( ) ( 0,5) ( 0,5)

17 Logo, 0 B 0 0,5 Para dtrminar C dv-s drivar m ambos os lados: Logo, Então, B d d A( ) B C( ) d 0,5 d 0,5 A( ).( 0,5) A( ) ( 0,5) ( 0,5) 0 C 0,5 C 4 F ( ) 4 4 0,5 ( ) ( ) 4 4 F () 0,5 ( ) ( ) (.39) Sgundo a tabla antrior, f k ( k) ( ) 4.0,5 ( k) 4 (.40) C 4 Exrcício: Dtrmin a transformada invrsa d: 3 3 3, 0,65 F () ( 0,).( 0,5).( ) (.4) Rsposta: k k f( k) 0, 0,5 NO MATLAB: Ou F () ( 0,5).( ) F ( ) k k k ( 0,5).( ) ( ) ( ) 3 3

18 num = [0 0 ]; dn = poly ([0.5 ]); [Ki,Zi] = rsidu (num,dn) Ki = ou = sym(''); f = /[(-0.5)*(-)^]; w = itrans(f) w = -4+4*(/)^k+*n Obsrvação: xcutado no MATLAB vrsão (7.). Zi = Obsrvação: = Logo, Ou Usando a tabla: = = 4 ( ) 4 0,5 Y( ) 4 4 0,5 ( ) 4 4 Y() 0,5 ( ) k f ( k) 4.0,5 k 4 ii) Método d Expansão m Séri por Divisão Contínua (ou Divisão Longa) Da msma forma, irmos mostrar o método através d um xmplo. Considr: F () A xpansão srá fita dividindo-s por : (.4)

19 Logo, F 3 4 ( ) (.43) A função F() é a transformada Z d f(kt), ou sja: k 3 ( ) ( ). (0) ( ) ( ) (3 )... F f kt f f T f T f T k0 (.44) Comparando-s a quação (.43) com a quação (.44), conclui-s qu: f (0) f( T) f( T) f(3 T) 3 f(4 T) 5 D ond s pod construir o gráfico d f ( kt ) x kt : FIGURA.6

20 NO MATLAB: 7 clar %num=input ('Digit o vtor do numrador [num()]: '); %dn=input ('Digit o vtor do dnominador [dn()]: '); num = [ 0 0]; dn = [ - -]; a = [ros(,lngth(dn)-lngth(num)) num]; b = dn; i = ; for t=0::5 kt(i)=t; c(i) =a () /b(); rst=a-b*c(i); a=[rst(,:lngth(a)) 0]; i=i+; nd disp(' ') disp(c) figur() plot(kt,c,'*b') xlabl('k') ylabl('f(k)')

21 Exrcício: Considr a transformada Z da função F () at, 0 f ( kt ) akt : (.45) Através da divisão longa, vrifiqu graficamnt s sta função é ralmnt a transformada Z d f(kt). Obsrvação: O trciro método da transformada Z invrsa qu utilia a propridad do oprador dslocamnto, srá introduida mais adiant, no itm II.8. 8 II.6 Função d Transfrência d um Sistma Discrto A função d transfrência d um sistma discrto é dfinida como o modlo qu rlaciona a sua ntrada com sua saída, ou sja: FIGURA.7 Em todos os sistmas discrtos, a saída atual y(kt) dpnd da ntrada atual u(kt) das saídas ntradas antriors y(kt-nt) u(kt-nt), n=,,3,...,, sndo a ordm do sistma, ou sja: y( k n) a y( k n ) a y( k n )... n n... a y( k) b u( k n) b u( k n )... b u( k) 0 n n 0 (.46) Para dtrminar a função d transfrência dst sistma, é ncssário aplicar a transformada Z na quação (.46): y k n a y k n a y k n ( ) ( ) ( )... n n... a y( k) b u( k n) b u( k n )... b u( k) 0 n n 0 (.47) Aplicando a propridad (ii) d dslocamnto no tmpo (vid quação.30) trmos: n n n n k n n k ( ) ( ) n ( ) n ( ) k0 k0 Y y k a Y a y k n3 n n k n n 0 k0 a Y( ) a y( k)... a Y( )

22 n n n n k k0 b U( ) b u( k)... b U ( ) n 0 9 Supondo qu as condiçõs iniciais são todas nulas, ou sja: y( n ) y( n )... y(0) u( n )... u(0) 0 (.49) Trmos: Y( ) a Y( ) a Y( )... a Y( ) n n n n n 0 n b U( ) b U( )... b U( ) (.5) n Isolando Y() U() trmos: n n 0 ( ) n n n... 0 ( ) n n Y an an a U bn bn... b 0 Logo, Y() b b... b U( ) a a... a n n n n 0 n n n n n 0 Portanto, a função d transfrência é dada por: Esqumaticamnt: G () b b... b a a a n n n n 0 n n n n n... 0 (.5) (.5) Exmplo d um Sistma Discrto FIGURA.8 Considr o intgrador numérico qu é implmntado através d um softwar computacional: Dsjam-s: Computacionalmnt: a y( t) u( t) dt 0

23 0 Ou ainda: y( kt T) y( kt ) u( kt ). T Qual é a função d transfrência dst sistma discrto? II.7 Rsposta Impulsiva d Sistmas Discrtos A sguir, irmos dmonstrar qu a rsposta impulsiva d um sistma discrto é igual à sua função d transfrência. Est rsultado srá muito important no studo d stabilidad outros assuntos. Considr o sistma discrto abaixo:

24 A ntrada impulsiva discrta é dada por:, k 0 ( k) 0, k,,3... A transformada Z d ( k) é: 0 k k k ( ) ( ) k0 ( ) Sabndo-s qu Y( ) G( ). U( ) U( ) ( ) Trmos: Y( ) G( ). ( ) G( ). Y( ) G( ) Portanto, a função d transfrência d um sistma discrto é matmaticamnt igual à transformada Z d sua rsposta impulsiva. II.8 Transformada Z Invrsa Utiliando a Propridad d Dslocamnto no Tmpo Est método aplica-s apnas quando s conhc a ntrada d um sistma discrto dsja-s dtrminar a saída para sta ntrada. Considr um sistma discrto por: Y( ) G( ). U( ) Ou ainda, b b... b Y( ). U( ) a a a n n n n 0 n n n n n... 0

25 Qu pod sr rscrito na forma n n n n n n n 0 n n 0 a a... a Y( ) b b... b. U( ) Y( ) a Y( ) a Y( )... a Y( ) n n n n n 0 n b U( ) b U( )... b U( ) n n n 0 Supondo todas as condiçõs iniciais nulas aplicando a propridad (ii) d dslocamnto no tmpo (vid quação.30), porém no caminho invrso, trmos: y( k n) a y( k n ) a y( k n )... a y( k) Ou ainda: n n 0 b u( k n) b u( k n )... b u( k) n n 0 y( k n) a y( k n ) a y( k n )... a y( k) n n 0 b u( k n) b u( k n )... b u( k) n n 0 Dsta forma, a volução tmporal y(k) srá dtrminada colocando os valors d u(k) na quação acima, dtrminando y(k). Exmplo.4: Considr o sistma discrto abaixo: Para a ntrada dgrau s k 0 uk ( ) 0 s k 0 Calcul: a) O valor d rgim prmannt da saída. b) A volução tmporal (rsposta transitória) d y(k).

26 Solução: a) Para dtrminar d u(k): yk ( ) k dv-s calcular inicialmnt a transformada Z k 0 3 U( ) u( k) u( k) k0 3 Logo, Então a q U() () U ( ) Y( ). ( 0,5).( 0,5) ( ) Plo torma do valor final tmos: ( ) y( k) lim( ) Y( ) lim ( ).. k ( 0,5).( 0,5) ( ) Como todos os polos d (-).Y() stão dntro do círculo unitário, pod-s utiliar o T.V.F: 3 yk ( ) 4 k 0,5.,5 b) Para obtr a rsposta transitória pod-s usar a divisão longa ou a propridad d dslocamnto, para ilustrar rsolvrmos dos dois modos. i) Por dslocamnto Y( ). U( ) ( 0,5).( 0,5) Y( ) U( ) 0,5 Ou: ( 0,5) Y( ) ( ) U( ) Y Y U U ( ) 0,5 ( ) ( ) ( ) Logo, y( k ) 0,5 y( k) u( k ) u( k) y( k ) 0,5 y( k) u( k ) u( k)

27 Sndo: y(0) y( ) 0 s k 0 uk ( ) 0 s k 0 4 k k k k k Tmos: 0 3 y() 0, 5. y( ) u(0) u( ) 0 0 y() 0, 5. y(0) u() u(0) 0. 3 y(3) 0, 5. y() u() u() 0, 5. 3, 5 y(4) 0, 5. y() u(3) u() 0, 5.3 3, 75 y(5) 0, 5. y(3) u(4) u(3) 0, 5.3, 5 3,8 Então, yk ( ') x k ' é: ii) Por divisão longa: ( ) ( ). ( ) Y U. ( 0,5).( 0,5) ( 0,5).( 0,5) 0,5 0,5 3 Y() 0,5 0,5 3

28 Dividindo trmos: 5 0,5 0, ,5 0, ,75 0,75 0 3, 5 0,5 0,75 3 0,5 0,5 3,5 3,5 3,5 3, , ,5 3, y(0) 0 y() y() 3 Logo, ; ; ; Qu é o msmo rsultado obtido no itm (i). y(3) 3,5 ; y(4) 3,75 ;... II.9 Torma d Amostragm d Shannon Para podr rcuprar o sinal original, sm distorção, a frquência d amostragm, f T T (Sndo T = príodo d amostragm.) tm qu sr plo mnos duas vs maior qu todas as frquências prsnt no spctro do sinal original. Do contrário, ocorrrá o ALIASING. Na figura abaixo stá mostrado um xmplo d ALIASING. Em ngnharia d control, rcomnda-s um amplo coficint d sgurança ao scolhr f T. Por xmplo, 0 vs maior qu a maior frquência prsnt no sinal original.

29 III Estabilidad d Sistmas d Control Digital 6 III. Introdução O concito d stabilidad d sistmas já foi introduido no curso d control linar, portanto, nst curso irmos dirtamnt às frramntas matmáticas útis para a dtrminação da stabilidad d Sistmas d Control Digital. III. Critério BIBO Dfinição: Um sistma possui a propridad d stabilidad xtrna s toda squência d ntrada limitada produ uma squência d saída limitada. Esta é a stabilidad BIBO ( Boundd Input Boundd Output ) Lma: Um sistma linar, discrto invariant no tmpo, com rsposta impulsiva g(k) é BIBO stávl s somnt s: k 0 gk ( ) Exmplo 3. Dtrmin s o sistma é ou não stávl: Logo, G (), qu é a rsposta impulsiva. Para dtrminar g(k), utiliarmos a divisão longa:

30 Sção: O Concito d Estabilidad 7 (a) Pont Tacoma Narrows (a) como a oscilação comça (b) o fracasso catastrófico. (b)

31 Logo, a rsposta impulsiva g(k) é dada por: 8 Tm-s: g(0) g() g() g(3)... Portanto, o sistma é instávl. gk ( ) k0 k0 Exrcício: Estud a stabilidad do sguint sistma discrto. Em dtrminados casos, o somatório acima podrá não sr tão simpls como no xmplo, a sguir srá aprsntado um torma qu facilitara a dtrminação da stabilidad. - Torma: Um sistma linar, discrto invariant no tmpo, com função d transfrência G() é BIBO stávl s somnt s os polos d G() têm modulo mnor do qu. Exmplo 3.: Dtrmin s o sistma abaixo é stávl. G () 0, 60, Os polos d G() são as raís do dnominador, ou sja: Logo,, 0, 6 0, 0 Δ 0, 6 4.0, 0, 04 0,6 0,04 0,3 j0, 0,3 0, 0,36 Portanto, as raís têm módulo mnor qu, logo o sistma é BIBO stávl. Obsrvação: Raís com módulos mnor qu significa qu as raís stão dntro do circulo unitário.

32 III. 3 Critério d Jury 9 A aplicação do torma antrior m sistmas qu possum ordm maior qu, torna-s difícil, uma v qu srá ncssário utiliar métodos computacionais para s dtrminar todas as raís. O critério d Jury studa a stabilidad d sistmas discrtos sm a ncssidad d dtrminar os polos. º Passo: Para uma função d transfrência caractrístico é D(). Gnricamnt trmos: G () N() D (), o polinômio ( ) n n D d0 d... d n k 0 Construa a sguint tabla Linha Linha k Linha 3 Linha 4 d d d d 0 n d d d d n n 0 d d d,0,, n d d d, n, n,0 n j 0 d n d d j d 0, n,0 k n Linha Linha k k d d dn n,0, d n, n,0 jn k n d n,0 - A linha é formada plos coficints d D(). - As linhas pars são formadas pla invrsão dos coficints da linha antrior. - As linhas impars são dtrminadas fando: Exmplo: º Passo: Apliqu o critério d Jury: linha linha linha. j i i i k _ antrior linha linha linha. j 3 0 j, 0,;...; n O sistma é stávl s somnt s k k ou s ocorr divisão por ro, m k n, o sistma é instávl.,s a tabla trmina Exmplo 3.3: Dtrmin s a função d transfrência abaixo rprsnta um sistma stávl ou instávl. G ()

33 º Passo: D 3 ( ) linha 8 4 k 0 linha 4 8 j ok linha3 k linha4 j 6 ok linha5 k linha j ok k 3 linha7 5,93 º Passo: Como j i, i 0,,, conclui-s qu o sistma é stávl. Obsrvação: As raís d G() são: 0,386 j0,788 ; 0,783, 3, 0, 799 Todas stão dntro do círculo unitário. Exrcício: Vrifiqu s o sistma discrto, cuja função d transfrência é dada abaixo, é stávl ou não: G () 4 0 0,9 0, 06 0, 06 3 Exrcício: Vrifiqu s o sistma abaixo é ou não stávl, usando o critério d Jury:

34 G () 4, 4, 73 0,98 0, Exmplo 3.4: Dtrmin as condiçõs d caractrístico igual a: Sja stávl. Solução: a a D() a a para qu o sistma com o polinômio a a a a j0 a a a a ( a ) a ( a ) ( a ) a ( a ) a ( a ) j ( a) ( a) a( a) a ( a) i) D j 0 conclui-s: a a D j tm-s: a ( a ) a ( a ).( a ) ( a ) ( a) a a Logo, Então a a, porém a a a Como a é positivo, a xprssão acima s torna: logo 0 a ii) a a a a a a a a a a a iii) A rgião qu satisfa as rstriçõs i, ii, iii é:

35 3

36 IV Rprsntação Discrta do Subsistma: D/A Procsso A/D 33 IV. Introdução No capitulo I, foi aprsntado o sistma d control digital gnérico, vid figura (.4-b), qu pod sr squmatiada na sguint forma: FIGURA 4. Nst modlo, o rlógio garant qu o sistma discrto irá trabalhar com um príodo d amostragm constant. Em gral, a rfrência r(t) (sinal d ntrada) é grada intrnamnt plo computador, dsta forma o diagrama acima pod sr rprsntado como: FIGURA 4. Obsrvação: O rlógio continua garantindo príodo d amostragm constant, porém, por motivo d simplicidad, l não foi dsnhado nst diagrama. Na figura (4.), o sistma stá parcialmnt dscrito na variávl parcialmnt na variávl s. Para projtar o controlador Gc (), é ncssário qu o sistma todo stja rprsntado m apnas uma única variávl. Isto é fito dtrminando a função d transfrência discrta do subsistma discrto composto por D/A procsso A/D, ou sja:

37 34 FIGURA 4.3 (a) (b) Na figura (4.3), o sistma (b) é o modlo discrto do sistma (a) qu possui a ntrada discrta u(kt) a saída discrta y(kt). Obsrv qu no modlo discrto (b), não stá acssívl o y(t) prsnt no modlo (a), portanto, nsta modlagm só stá disponívl a amostragm d y(t), ou sja, y(kt). Como já foi visto no capítulo II, a função d transfrência discrta d um sistma discrto é igual à sua rsposta à ntrada impulso. Dsta forma, para dtrminar H() acima, irmos aplicar uma ntrada impulsiva no sntido da figura (4.3 (a)) obtr a saída Y() qu srá igual a H(). Ants, porém, aprsntarmos o convrsor D/A d ordm ro. IV. Convrsor D/A d Ordm Zro O convrsor D/A d ordm ro aproxima os valors amostrados por um polinômio d ordm ro, conform mostrado na figura abaixo. FIGURA 4.4 A função u(t) é: u( t) u( kt ), para kt t ( k ) T (4.)

38 IV.3 Aplicação da Entrada Impulsiva m: D/A Procsso A/D 35 Fando u(kt) na figura (4.3 (a)), uma ntrada impulsiva, a rsposta u(t) do convrsor D/A srá: A rsposta do convrsor D/A é um pulso, qu corrspond a uma combinação d dgraus. Supondo qu a função dgrau é dnominada por: dt (), O pulso é dado por: u( t) d( t) d( t T) (4.) Para dtrminar a rsposta d G(s) (procsso) a ssa ntrada, é ncssário aplicar a transformada d Laplac m (4.). Sabndo qu: L s f ( t ). F( s) A transformada d Laplac d (4.) é:, sndo F( s) L f ( t) Lu( t) L d( t) d( t T)

39 L L U( s) d( t) d( t T) 36 st U() s s s Us () s st (4.3) Sgundo a figura (4.3 (a)), a rsposta y(s) do procsso dvido à ntrada dada pla quação (4.3) é: Y( s) G( s). U( s) Logo, Y( s) G( s). s st st y( t) L. G( s) s (4.4) Esta rsposta y(t) passa plo convrsor A/D gra y(kt). Sndo qu y(kt) é obtido d y(t) fando apnas t = kt. Por simplicidad d notação, utiliarmos a quação (4.4) para mncionar y(kt), ou sja: st y( kt ) L. G( s) s A transformada Z d y(kt) srá: Fando: Trmos: tkt (4.5) st Y( ) y( kt ) L. G( s) s tkt Y() G( s) st G( s) L L s s tkt tkt Gs () f() t L s Y( ) f ( t) f ( t T) f ( kt ) f ( kt T) tkt

40 Y( ) f ( k) f ( k ) 37 Sgundo o oprador atraso: Logo, Porém, Assim, Y( ) f ( k) f ( k) Y f kt ( ) ( ) ( ) Gs () f ( kt ) L s tkt Gs () Y( ) ( ) L s tkt (4.6) Ond L Gs () s obtida pla amostragm do sinal dv sr intrprtada como a transformada Z da squência Gs () f() t L s, com t kt. Como a rsposta ao impulso Y() é igual à função d transfrência do sistma (H()), tmos: Gs () H( ) ( ) s tkt L (4.7) A quação (4.7) pod sr dtrminada utiliando apnas a tabla (.) do capítulo II. Logo, para calcular H() dvm-s sguir os sguints passos: i) Encontr na tabla (.) a transformada invrsa d Gs () s Gs () f() t L s, ou sja: ii) Faça f ( kt ) f ( t) t kt ncontr na tabla (.) a transformada Z d f ( kt ): F( ) f ( kt ) iii) Finalmnt, a função d transfrência discrta do sistma D/A G(s) A/D srá: H F ( ) ( ) ( ) Exmplo 4.: Considr o sguint sistma dinâmico com intrfac A/D D/A:

41 38 Calcul a função d transfrência discrta: Y() H() U() Solução: A função d transfrência H() é obtida raliando-s os passos da página antrior: i) - Gs () Logo, a s a G() s a s ( s a) s Vrificando na tabla (.), tmos: f t L G() s a L s s( s a) at ( ) ii) - f ( kt ) akt, logo, sgundo a tabla (.) tmos: at. akt F( ) f ( kt ) at ( ).( ) tabla iii) Finalmnt, at. H( ) ( ). F( ) ( ). ( ).( at ) at. H( ). ( ).( at ), utiliou-s a linha (6) da Logo, H() at at

42 NO MATLAB: Tfcd 39 function[n,d]=tfcd(num,dn,t) % Dtrmina a quivalência discrta do subsistma % u(kt) - G(s) - A/D - y(kt) % Modo d utiliação: [n,d]=tfcd(num,dn,ts) % Sndo ts o príodo d amostragm G(s)=num(s)/dn(s) % o dnominador da função d transfrência discrta % quivalnt: % Y()/U()=H()=n()/d() [a,b,c,d]=tfss(num,dn); [ad,bd]=cd(a,b,t); [n,d]=sstf(ad,bd,c,d,) A quivalência discrta pod sr obtida com a função tfcd.m acima. O problma antrior foi rsolvido com sta função sndo a=. Obtv-s: t s 0,s >> num=; >> dn=[ ]; >> ts=0.; >> [n,d]=tfcd(num,dn,ts) n = d = H() 0, 095 0,9048 Exmplo 4.: Considr o sistma d control digital abaixo,

43 40 O príodo d amostragm da part discrta é: T 0,s. Trac o gráfico d y(kt) x kt dvido a ntrada r(kt) tipo dgrau unitário. Dtrmin s o sistma é stávl. Solução: Para dtrminar y(kt) é ncssário primiramnt rprsntar todo sistma na variávl Z, ond obtmos: Cálculo d H(): i) - Gs ( ) Gs () s s s( s ) Sgundo a tabla (.), f() t L Gs ( ) L s s( s ) f ( t) t ii) F( ) f ( kt ) kt Sgundo tabla (.),

44 iii) Finalmnt, T. F () T ( ).( ) T. H( ) ( ). ( ).( T ) 4 Logo, H() T T Como T 0,s, H() 0, 095 0,9048 Assim, o sistma srá: Para vrificar s o sistma é stávl, é ncssário dtrminar a função d transfrência d malha fchada: 0, 095. Y ( ) ( 0,9048) 0,095 R 0, 095. ( 0,9048) Os polos são: ( ),8096 0,9048, (,8096) (,8096) 4.0,9048, 0,9048 j0, 935 Como, 0,95, o sistma é stávl. A rsposta dst sistma para ntrada dgrau srá:

45 Tmos: 0, 095 Y( ). R( ),8096 0,9048 Y R,8096 0,9048 ( ) 0,095. ( ) Y Y Y R ( ),8096 ( ) 0,9048 ( ) 0,095. ( ) 4 Aplicando a propridad d dslocamnto: y( k ' ),8096 y( k ' ) 0,9048 y( k ') 0,095 r( k ' ) Nst caso, as condiçõs iniciais são nulas: y(n) = 0, n<0. Sndo a ntrada um dgrau, tmos: Tmos: r( n) 0, n 0 r( n), n 0 y(0) 0, 0000 y(4) 0, 7458 y(8),5406 y(), 4458 y(6) 0,8646 y() 0, 095 y(5) 0,9999 y(9), 6054 y(3),3095 y(7) 0, 758 y() 0, 674 y(6), 68 y(0), 6064 y(4),567 y(3) 0, 493 y(7),5496 y(),5496 y(5),0037 Finalmnt, a rsposta transitória srá:

46 NO MATLAB: 43 Dgrau % Est programa aplica a ntrada dgrau unitário % no sistma discrto: % Sndo num()=0,095 dn()=^-,8096+0,9048 num=[ ]; dn=[ ]; T=0.; n=00; tmpo=(0::n-)*t; yk=dstp(num,dn,n); figur() plot(tmpo,yk,'*g') xlabl('kt [sgundos]') ylabl('y(kt)') titl('rsposta à ntrada dgrau') grid

47 NO MATLAB: Malha Fchada 44 % Dtrmin a rsposta a ntrada dgrau do sistma d % malha fchada: % u(t) + () A/D Gc() D/A G(s) y(t) %!-! %!! % % Digit: malhafc % ts=input('digit o príodo d amostragm '); nc=input('digit o numrador da planta contínua '); dc=input('digit o dnominador da planta contínua (G(s)) '); n=input('digit o numrador do controlador discrto (Gc()) '); d=input('digit o dnominador do controlador discrto (Gc() '); j=input('digit o numro total d amostras para simulação '); k=; [n,d]=tfcd(nc,dc,ts); ny=k*conv(n,n); nu=k*conv(n,d); d=conv(d,d)+ny; jc=[0:j]*ts; y=dstp(ny,d,j+); u=dstp(nu,d,j+); t=[0:.*ts:(j+.0)*ts]; uc=[]; for i=0:j- uc(0*i+:0*i+0)=u(i+)*ons(,0); nd uc(lngth(t))=u(j+); yc=lsim(nc,dc,uc,t); %disp('xcut plot (t,yc) ou plot (jc,y, ''+'') ; ') %disp( ' (idm para uc, u) ' ) disp ('o numrador da F.T.M.F. discrta: ');disp(ny) disp ('o dnominador da F.T.M.F. discrta: ');disp(d) disp ('Na figura stá mostrada a rsposta ao dgrau. ') disp ('Na figura stá mostrada a saída do controlador. ') disp ('Digit ENTER para visualiar as figuras') paus figur(); plot(t,yc, 'b',jc,y, '+y') xlabl('tmpo [s] ') ylabl('y(t) y(kt) ') titl('rsposta ao dgrau') grid paus figur() plot(t,yc, 'b',jc,y, '+y') xlabl('tmpo [s] ') ylabl('y(t),y(kt) u(t) ') titl('rsposta ao dgrau sinal d saída do controlador') grid hold on dplot (t,uc/0) hold off Obsrvação: Est programa ncssita das funçõs tfcd.m Dplot.m.

48 Dplot 45 function []=dplot(t,x) % Comando:dplot(t,u) % sndo t={0::n]*ts, ts o príodo d amostragm % u a saída discrta do controlador ts=t()-t() % t=[n0:n]*ts ; lngth(x)=n-n0+ q=lngth(t); j=t(:q-); j=t(:q-)-ts/500; xy=[x(:q-) x(:q-)]; [jx,i]=sort([j j]); xx=xy(i); plot(jx,xx,'g')

49 46 IV.4 Implmntação d uma Função d Transfrência Discrta no Microcomputador Como foi visto no itm (4.), o sistma d control discrto pod sr implmntado conform o sguint diagrama: Obsrv qu a ntrada r(kt) é grada intrnamnt plo microcomputador. Gnricamnt, a função d transfrência do controlador é: b b... b n n n n 0 c() n n an... a0 G Qu pod sr rprsntado na forma:

50 Logo, Porém, Logo, Ou ainda, b b... b n n n n n 0 c( ). n n n an... a0 G bn b... b Gc () a... a n 0 n 0 U() Gc () E () U() bn b... b E( ) a... a n 0 n 0 n n n n 47 n n U( ) an... a0 E( ) bn bn... b0 Dsmmbrando trmos: U( ) a U( )... a U( ) b E( ) b E( )... b E( ) n n n 0 n n 0 Aplicando a propridad d dslocamnto (para condiçõs nulas), trmos: u( k) a u( k )... a u( k n) b ( k) b ( k )... b ( k n) n 0 n n 0 Assim, a saída u(k) do controlador srá calculada através da sguint rlação: u( k) a u( k )... a u( k n) b ( k) b ( k )... b ( k n) n 0 n n 0 O programa no microcomputador dv inicialmnt amostrar y(t), dtrminando y(k), ntão calcular o rro ( k) r( k) y( k). Em sguida, dv calcular u(k) utiliando a quação acima ntão nviar o valor d u(k) para o convrsor D/A. O xmplo a sguir ilustra st procdimnto. Exmplo 4.3 No xmplo (4.), a função d transfrência do controlador ra: Gc (), T 0,s E a ntrada é um dgrau: r( k), k 0

51 Saída do controlador srá dtrminada por: 48 U() Gc () E( ) U ( ). E( ) Logo, U E ( ) ( ) U U E ( ) ( ) ( ) Isolando u(k): u( k) u( k ) ( k) Sgundo o diagrama antrior: u( k) u( k ) ( k) ( k) r( k) y( k) O programa dvrá implmntar as duas quaçõs d (k) r(k), como mostrado abaixo. - r k = u = 0 auxiliar 3 - Inicialia o " Timr " 4 - Ralia a convrsão A/D : y(k) 5 - = r - y (k) = r(k) - y(k) k k k k auxiliar k y(k) u = u + u(k) = u(k-) + (k) Ralia a convrsão D/A : u(k) 8 - u auxiliar = u k u(k) 9 - Aguarda o final do príodo d amostragm T= 0,s 0 - Vai para o passo 3 IV.5 Transformada Z d Função Contínua com Atraso Gralmnt, as rspostas dos procssos químicos possum um atraso tmporal d transport do fluido ntr o controlador os snsors. O procdimnto mostrado no xmplo a sguir, possibilita a dtrminação xata da função d transfrência discrta d tais procssos.

52 Exmplo 4.3 Considr o sistma d control d tmpratura do tanqu: 49 O atraso ntr o ponto Tc T é sgundos, sndo Tc a tmpratura na saída da válvula misturadora T a tmpratura no tanqu. A função d transfrência com atraso é: T () s T () s c Gs () s s a (4.8) Fando o atraso uma combinação do príodo d amostragm T, trmos: l. T mt., sndo l 0,,,3,... 0m Por xmplo, s T=s =,5s, trmos: =.-0,5., logo l= m=0,5. Substituindo Logo, l. T mt. na quação (4.8) trmos: Gs () Gs () A função d transfrência discrta do subsistma: D/A Procsso com atraso A/D, srá: Como l é intiro, trmos: ( lt mt ) s s a lts. s a mts lts mts a H( ) ( ) L.. s( s a)

53 l mts a H( ) ( ). L. s( s a) 50 Expandindo m fraçõs parciais: Logo, H L s s a mts ( ).. l mts mts H( ). l L s s a f () s f () s A transformada invrsa d Laplac das funçõs f () s f () s são: As amostragns com príodo T dstas funçõs srão:

54 Logo, 5 f ( kt ) u( kt ) ( ) amt f. kt akt Assim, amt H( ). u( kt ). l akt amt. H( ). l at Ou ainda: amt H( ) ( ). l at ( ), sndo amt at ( ) amt ( ) Exmplo: S a=, T=s =,5s, calcul a rsposta ao dgrau dst sistma. Solução: Trmos: =.-0,5. logo, l= m=0,5 substituindo, trmos: H 0,5 ( ) ( ). H( ) 0,3935. ( ) 0,5 ( ) 0,5 ( ) 0, 6065 ( 0,3679) Aplicando-s o dgrau, as rspostas d G(s) H() stão mostradas na figura a sguir.

55 5

56 V Método do Lugar das Raís (Root Locus) 53 V. Introdução O método do lugar das Raís foi criado por R. Evans m 953. Prmit studar a volução das raís d uma quação, quando um parâmtro é variado continuamnt. Possibilitando a dtrminação dst parâmtro d tal forma qu o sistma atinja o comportamnto dinâmico dsjado. Ambas as funçõs d transfrência d sistmas contínuos discrtos são funçõs complxas, ou sja, funçõs qu possum variávis complxas: s ou, rspctivamnt. Dsta forma, as rgras do método do lugar das raís são as msmas para os dois sistmas. Portanto, srá mostrada aqui apnas uma rvisão dst tópico. O princípio do método stá basado na ralimntação mostrada a sguir. FIGURA 5. Sndo qu s dsja dtrminar a influência do ganho k (0<k< ) sobr os polos do sistma m malha fchada. A função d transfrência d malha fchada (F.T.M.F.) do sistma da figura acima é: Y( ) k. G( ) R( ) k. G( ). H( ) O objtivo do método é stablcr rgras simpls para traçar o lugar gométrico formado plas raís d. ( ). ( ), quando k variar d 0 à, sm o conhcimnto xplícito das raís. Dsja studar a sguint quação: V. As rgras do Root - Locus k G H k. G( ). H( ) 0, para 0<k< Rgra Os ramos do Root Locus comçam nos polos d G().H(), nos quais k=0. Os ramos trminam nos ros d G().H(), inclusiv ros no infinito. O númro d ros no infinito é igual a: n n n p (5.) Ond np - númros d polos d G().H() n - númros d ros d G().H() Exmplo: Suponha qu no sistma da figura (5.), G() H() são:

57 G () ( ) H() ( 5) ( 4) (5.) 54 As raís d. ( ). ( ) k G H srão dtrminadas por: Ou ainda: ( ).( 5) k. 0 ( 4) ( 4) k.( ).( 5) 0 (5.3) (5.4) i) S k=0, a quação acima ficará: ( 4) 0 Logo: Not qu sss são os polos d G( ). H( ). ii) S k, para analisar st intrvalo, vamos rscrvr a quação (5.4): k ( 4) ( ).( 5) (5.5) S k, o lado dirito da quação (5.5) s iguala a (pla squrda) 5 (pla squrda) ou s somnt s: Sndo qu infinito. Nst caso, n 3 p n 5 logo são os ros d G( ). H( ) n 3 é um ro no (númro d ros no infinito) Rgra As rgiõs do ixo ral à squrda d um númro ímpar d polos ros d prtncm ao Root locus. k. G( ). H( ) Exmplo: Para os valors do xmplo antrior trmos: k. G( ). H( ) k.( ).( 5) ( 4)

58 Os ros são: Os polos são: P P 0 5 P No plano imaginário os polos são rprsntados por X os ros por 0. A aplicação da rgra nst caso srá: Obsrvação: Esta rgra é facilmnt obtida vrificando-s a condição d ângulo da quação k. G( ). H( ) 0, qu pod sr xcutada na forma: k. G( ). H( ), k 0 Para qu sta quação sja vrdadira, o ângulo dvrá sr: G( ). H( ) (i ).80º, i 0,,... s G( ). H( ) 4, quanto srá o ângulo d G( ). H( )? p Nst caso trmos: p G( ). H( ) p p 4 p p 4 Qu sgundo a figura abaixo: G( ). H( ) p

59 56 Rgra 3 Quando k s aproxima d, os ramos do Root Locus, assintotam rtas com inclinação: i.80º n n Sndo n nº d polos d G( ). H( ) p n nº d ros d G( ). H( ) p, i 0,,... Vrificação: Considr G( ). H( ) k ( 3) ( ).( 4) Tmos: n 3 p n. No plano complxo trmos: Fando o ponto P crscr infinitamnt, para vrificar s P prtnc ao Root Locus pod-s rscrvr a figura acima:

60 57 O ponto P prtncrá ao Root Locus, s: G( ). H( ) (i ).80º p, i 0,,... Sndo qu: G H ( ). ( ) 3 ro p S, ro 3 P, logo: G( ). H( ) 3 ( ).80º ro 3 i P Logo, Sndo np 3 ; n (i).( 80º ) (i).80º 3 3 Porém, n n 3 ntão: p Exmplo: Para (i ).(80º ) n n p, i 0,,... k G( ). H( ) : np 3 n 0 ( ).( 4). Então os ângulos das assíntotas srão: Para, (i ).80º (i ).60º 3 0, i 0,,... i 0 60º ; i 80º i 300º

61 i 60º ; i 80º i 3 300º 58 Porém, 80º 80º, 60º 300º 60º 300º Logo: 60º, 60º 80º 3 Rgra 4 O ponto d partida das assíntotas é o cntro d gravidad (C.G) da configuração d polos ros, ou sja: CG Polos n p n Zros trmos: _ n 3 p Exmplo: Para o sistma do xmplo antrior, ond n 0 _ os polos são:, _ os ros são: nnhum. ; P 0 P P3 4. G( ). H( ) ( ).( 4), Logo, Então: CG (0 4) Rgra 5 Os pontos nos quais os ramos do Root Locus dixam (ou ntram) o ixo ral são dtrminados utiliando-s a sguint rlação: d d G H ( ). ( ) 0 No xmplo dscrito antriormnt, trmos:

62 Então, G( ). H( ) ( 4).( ) 59 Logo, d d 3 ( ( ). ( )) ( 4).( ) 5 4 G H d 3 G( ). H( ) ( 5 4 ) d As soluçõs são: O root locus srá: 0, 4648,8685 (dsprado, pois não prtnc ao root locus). Rgra 6 Duas raís dixam ou ntram no ixo ral com ângulos 90º. Rgra 7 O Root Locus é simétrico m rlação ao ixo ral. Isto dcorr do fato d qu as raís d um polinômio d coficints rais ou são rais ou pars complxos conjugados. Rgra 8 Para s dtrminar o ganho k associado a um ponto p do Root Locus, dv-s utiliar a condição d módulo da quação. k. G( ). H( ) 0 Qu pod sr colocado numa forma mais dirta, rscrvndo-s a quação acima: k. G( ). H( ) Pla condição d módulo tmos: k. G( ). H( ) Como 0 k trmos:

63 k G( ). H( ) p 60 Logo, k G( ). H ( ) p Exmplo: Suponha qu no sistma da figura (5.), as funçõs d transfrência são: G () H( ). Calcul o máximo valor d k d tal forma qu o sistma sja stávl. Trac o Root Locus do sistma para ajudar, 0 k Nst caso, tmos: P 0 Tmos: Polos Zros nnhum n p n 0 k. G( ). H( ) P 0 n k ( ). _ Ângulo das assíntotas: (i ).80º n n p 90º _ CG das assíntotas: Polos ros 0 0 CG n n 0 p _ Ponto d partida: d d d G( ). H( ) 0 ( ) 0 d O Root Locus com a rgião d stabilidad é:

64 6 Prcb-s no Root Locus qu o sistma srá stávl s as raís da F.T.M.F. ficar dntro do círculo unitário. Isto é rspitado s somnt s. Para dtrminar, irmos utiliar a rgra 8, sndo qu o ponto d cruamnto do Root Locus com o círculo unitário é: 0 k k 0 k j Pla rgra 8, a condição d módulo é: 3 3 k0 j. j ( ) 0 Logo, para qu o sistma sja stávl, é ncssário qu: 0. k Rgra 9 Os ângulos d saída (chgada) d polos (aos ros) são dtrminados a partir da condição gral d ângulo. Exmplo: Sja k. G( ). H( ) k ( ) ( 4 j).( 4 j) Nst caso: n 3, portanto trmos assíntotas. O sboço inicial do Root Locus é:

65 6 Prcisa-s dtrminar o ângulo com o qual o Root Locus dixa os polos complxos. Para isto, vrificamos qual é o ângulo d um ponto P próximo a ss polo, fando: Pla condição d ângulo, trmos: G( ). H( ) (i ).80º p 3, i 0,,... S a distância m P o polo form nulos, ou sja, r 0, os ângulos srão: arc tg 90º 04, 04º 4 4 arc tg 75,96º 3 90º? Logo, substituindo sss valors na quação d ângulo, trmos: 75,96º 04,04º 90º (i ).80º

66 Para O Root Locus srá: i 0 98,08º, qu é o ângulo d partida do polo. 63 Exmplo: Suponha qu no sistma da figura (5.), tnhamos: k ( 0,5) k. G( ). H( ). Trac o Root Locus. ( ) Est sistma tm dois polos um ro, é conhcido qu nst caso, o Root Locus é um círculo cntrado no ro. Para dtrminar o raio basta calcular o ponto d partida com a rlação: d d G( ). H( ) 0 (rgra 5) Nst caso, d d ( ) 0 ( 0,5) ( ).( 0,5) ( ) ( 0,5) 0 0,5 0 Então: 0,366,366

67 O Root Locus srá: 64 Est sistma tm os msmos polos qu o do xmplo da página 6, mais um ro m -0,5. Comparando os dois Root Lócus dos xmplos, prcb-s qu a prsnça do ro atrai o Root Lócus. No próximo capítulo, srão aprsntadas as spcificaçõs d um sistma d control os principais métodos d projto d controladors digitais. O MATLAB dsnha o Root Locus d um sistma, como pod sr visto no programa a sguir, sndo qu 0,5 G( ). H( ) ( 0,5) Rootlocd.m num=[ 0.5]; dn=conv([ -0.5],[ 0]); rlocus(num,dn); grid [k,polo]=rlocfind(num,dn) % Rsultado da xcução do Programa % rootlocd % slct a point in th grafhics window % slctd_point = % i % k = %.0043 % polo = % i % i :

68 65 O MATLAB possui um ambint gráfico com várias frramntas útis para o Root Locus, chamado d rltool. Para ntrar no ambint, supondo G( s). H( s) s 3 s 5s 6s, digit: num=[ ]; dn=[ 5 6 0]; [A,B,C,D]=tfss(num,dn); sys=ss(a,b,c,d); rltool(sys) ou num=[ ]; dn=[ 5 6 0]; sys=tf(num,dn); rltool(sys) As tlas do ambint rltool são mostradas abaixo:

69 Obsrvação: A rsposta ao dgrau mostrada acima, é rsposta ao dgrau do sistma contínuo m s. Para ncontrar o discrto quivalnt, us o mnu Tools. 66

70 VI Métodos d Projtos d Controladors Digitais 67 VI. Introdução Nst capítulo srão studados alguns dos principais métodos d projto d controladors digitais, sgundo a abordagm clássica da função d transfrência. Srão aprsntadas as vantagns as suas limitaçõs. Ants, porém, srão dscritas as spcificaçõs qu sts projtos dvrão atndr. VI. Espcificaçõs d Sistmas d Control Em gral, os sistmas d control dvm atndr às sguints spcificaçõs: a) Erro d rgim prmannt É a prcisão d rastramnto m rgim prmannt qu o sistma dv tr. b) Rsposta dinâmica É a prcisão qu o sistma dv tr durant o príodo transitório. b ) Estabilidad; b ) Tmpo d subida ( t s ); b ) Ovrshoot ou sobr sinal (P.O); 3 b 4 ) Tmpo d stablcimnto ( t ). A figura abaixo ilustra stas spcificaçõs: c) Esforço rqurido ao control FIGURA 6. c ) Magnitud máxima da ntrada u(t). c ) Mínima nrgia: ótimo não abordada nst curso. ku dt.nst caso é ncssário utiliar técnicas d control Exmplo: As spcificaçõs para o projto do controlador d uma antna qu rcb sinais d um satélit d comunicação, dado na figura abaixo, são: a Prcisão d rastramnto m rgim mnor qu 0,0 rad, b Prcntagm d ovrshoot à ntrada dgrau 6%, c Tmpo d stablcimnto 0 sgundos, (%).

71 68 FIGURA 6. O satélit ralia um movimnto com vlocidad angular constant d 0,0 rad/s. Para atndr à spcificação d rastramnto m rgim prmannt, dv-s traduir ssa informação, ou sja, o ângulo varia m função do tmpo como: s rad s( t) 0,0. t s Qu é a ntrada rampa mostrada abaixo: ou ( t s ) 0,0. t FIGURA 6.3 O ângulo a() t da antna dvrá rastrar o ângulo s () t com prcisão d 0,0 rad ( 0,6º). Para projtar st controlador dv-s primiramnt studar rro d rgim prmannt para ntrada tipo rampa, mostrado mais adiant. Est xmplo da antna rastradora srá utiliado nos tópicos d projto, portanto, já aprovitarmos agora para dduir sua função d transfrência. A quação d movimnto dsta antna, sm considrar a ação do vnto, é dada por: J( t) B( t) T( t) ou T( t) B( t) J( t) Sndo: Ângulo da antna; T Torqu do motor qu movimnta a antna; J Momnto d inércia d todo o sistma; B Coficint d amortcimnto (dvido ao atrito).

72 69 A função d transfrência (F.T.) é dtrminada aplicando-s a transformada d Laplac na quação d movimnto: L J ( t ) B ( t ) L T ( t ) Supondo qu o sistma tnha condiçõs iniciais nulas, Js ( s) Bs( s) T( s) Ou ainda, () s Ts () Js Bs Como xmplo, assuma qu Ts () Us () B, trmos: J / B0 sgundos tomando uma nova ntrada: Então, ( s) U( s) s(0s ) Gs () s(0s ) A configuração gral do sistma d control dsta antna outros sistmas são dados na figura abaixo: FIGURA 6.4 S o controlador for digital, st sistma d control srá rprsntado na sguint forma:

73 70 FIGURA 6.5 O quivalnt discrto do subsistma D/A G(s) A/D é obtido por: Gs () G( ) ( ) L s tkt Assim, o sistma da figura acima pod sr rprsntado na forma discrta intgralmnt: FIGURA 6.6 Sndo qu Gc () é a função d transfrência do controlador discrto. A strutura da figura (6.6) srá utiliada no dcorrr dst capítulo. A sguir srão aprsntadas as spcificaçõs d control. VI.. Erro d Rgim Prmannt O rro ntr a ntrada U() a saída Como Y() E( ) U( ) Y( ) Y( ) G( ). G ( ). E( ) c do sistma na figura (6.6) é:, substituindo trmos: Ragrupando, E( ) U( ) G( ). G ( ). E( ) U() E () G c( ). G ( ) c

74 7 Esta é a quação qu rlaciona o rro m função da ntrada. Para studar o rro d rgim prmannt, tmos qu far analisar. Farmos isto primiramnt para a ntrada dgrau dpois para rampa. t ( k ) i Erro d rgim prmannt para ntrada tipo dgrau A transformada Z d um sinal tipo dgrau é: Sndo: U() A. ( ) O rro para ssa ntrada é: A. E ( ). G ( ). G( ) ( ) c Supondo qu todos os polos do sistma d malha fchada stjam dntro do círculo unitário, aplicando o torma do valor final, o rro m rgim prmannt srá: A. ( ) lim( ). E( ) lim ( ).. G ( ). G( ) ( ) c Ou A ( ) lim Gc ( ). G ( ) A k p Sndo k p dfinido como: k p lim G ( ). G( ) Not qu s o sistma dado na figura (6.6) for stávl, ntão é possívl aplicar o Torma do Valor Final m E(), como acima. S Gc ( ). G( ) não possui nnhum polo m, k p srá uma constant também, indicando um rro d rgim prmannt constant ntr yt () vrdad ntr yk ( ) uk ( )). c ( ) ut () (na

75 S G ( ). ( ) c G possuir um ou mais polos m, k p tndrá a a ro, indicando qu m rgim prmannt não havrá rro ntr vrdad ntr ). yk ( ) uk ( ) ( ) yt () 7 tndrá ut (), (na ii Erro d rgim prmannt para ntrada tipo rampa A transformada Z d um sinal tipo rampa com príodo d amostragm T coficint angular A é: U() AT.. ( ), (Vid tabla da página ) O rro para ssa ntrada é: AT.. E ( ). G ( ). G( ) ( ) c Aplicando o torma do valor final, trmos: AT.. ( ) lim ( ).. G ( ). G( ) ( ) c Ou ainda, AT.. ( ) lim ( ) Gc ( ). G ( ) AT. A G G k ( ) lim ( ) c ( ). ( ) v Sndo k v dfinido como: k v ( ) Gc ( ). G( ) lim T

76 S possui apnas um polo m prmannt ntr srá constant, (ntr S possuir mais d um polo m prmannt ntr tndrá a ro, (ntr G ( ). ( ) c G G ( ). ( ) c G ut () ut () yt () yt (),, k v 73 srá constant o rro d rgim ). tndrá a o rro d rgim ). uk ( ) k v uk ( ) yk ( ) yk ( ) Exmplo: No sistma d rastramnto do satélit pla antna, dscrito no itm (6.), foi spcificado qu o controlador dvria proporcionar um rro d rgim prmannt mnor qu 0,0 rad. A ntrada do sistma é (ângulo do satélit) é tipo rampa,. Nst caso, o rro do rgim é dado por: Com A= 0,0 tmos: s A ( ) 0,0 k v 0,0 0,0 k v ( t s ) 0,0 t Logo, k v Porém, k v ( ) Gc ( ). G( ) lim T Dsta forma, ( ) Gc ( ). G( ) lim T G () c Portanto, a função d transfrência do controlador,, tm qu sr tal qu a xprssão acima sja satisfita. Mais adiant irmos utiliar sta xprssão para o projto d. Os rsultados obtidos nos itns i ii podm sr facilmnt rsumidos na tabla abaixo. G () c Númros d polos d G ( ). ( ) c G m 0. Entrada tipo dgrau. A k p 0 Entrada tipo rampa. A k 0 0 v ( )

77 74 Obsrvação: Para calcular os valors d da tabla acima, foi suposto qu todos os polos do sistma d malha fchada stivssm dntro do circulo unitário. Sgundo o capítulo (4) qu o intgrador tm a sguint função d transfrência: G () c ( ) Not qu l tm um polo m intgrador, diminum ou tornam nulos os rros d rgim prmannt.. Podmos concluir qu os controladors do tipo Exrcício: Projt um controlador discrto tal qu o rro d rgim prmannt sja nulo para ntrada do tipo dgrau unitário. A planta é um motor c.c. a saída d intrss é a vlocidad d rotação do ixo. G () c É ncssário garantir a stabilidad? VI.. Rsposta Dinâmica ou Prcisão Durant o Transitório A prcisão durant o transitório é a habilidad do sistma m mantr rros pqunos quando a ntrada variar. As spcificaçõs do dsmpnho durant o transitório podm sr fitos no domínio do tmpo transladados ao domínio da frquência, m trmos d s ou. Comumnt, ssas spcificaçõs são fitas no domínio s, supondo-s qu o sistma é d ª ordm, ou sja: Hs () w s w s w n n n Assim, as spcificaçõs são xprssas m função d (coficint d amortcimnto) w n (frquência natural d oscilação), qu são: Porcntagm d ovrshoot : sndo 0.. P. O.%.00% (Vid Ogata, Engnharia d Control Modrno).

78 75 t s Tmpo d subida : é o tmpo ncssário para a rsposta passar d 0% para 90% do su valor final. Uma rlação do tmpo d subida, aproximada, é: t s,4 w n Essa xprssão foi obtida fando t s 0,5 na xprssão gral: arcsn w Nst curso, usarmos a forma aproximada. n t Tmpo d stablcimnto : é o tmpo ncssário para a curva d rsposta alcançar prmancr dntro d uma faixa m torno do valor final, tipicamnt, %. t 4,6 w n Todas ssas spcificaçõs foram dadas m função da variávl s, para passá-las para o domínio, utilia-s o mapamnto d polos, st, já studado no capítulo (). Os polos do sistma d ª ordm do itm (6..) são: s w jw n n, 0 Utiliando o mapamnto d polos, trmos:

79 ou Srão analisados os três casos: n n w jw T n n. wt jw T 76 constant (P.O.% constant) w n w constant ( t constant) n s constant ( t constant) ;. ; w constant n a xprssão dos polos (Z) ficará: n n. wt jw T O módulo d Z srá: O ângulo srá: n wt w T n constant, qu srá qualqur. Portanto, no plano Z trmos os sguints lugars gométricos qu são círculos cntrados na origm d raio: n r wt. Portanto, o lugar gométrico no plano Z qu corrspond a um dtrminado t spcificado no plano s, srá um círculo d raio r, cntrado na origm do plano Z. constant (0 ) n n. wt jw T

80 S: 77 0º 0 Smi-ixo ral 0 0 Círculo unitário 0 wn 0 0º w n crscnt dcrscnt crscnt Est lugar gométrico é uma spiral qu inicia no ponto. Portanto, o lugar gométrico no plano Z qu corrspond a uma dtrminada P.O.% são spirais, como mostra a figura sguint: Obsrvação: A figura acima stá fora d scala. w constant n n n. 0 wt jw T S: 0 w T Círculo unitário n wt n 0º Smi-ixo ral 0 Os lugars gométricos são curvas qu sam do círculo unitário chgam ao smiixo ral positivo, como mostrado abaixo:

81 78 Essas são as curvas no plano Z corrspondnts a spcificaçõs d no domínio s. Para facilitar o projto dos controladors para atndr ssas spcificaçõs d transitório, mantém-s o mapa da figura da página sguint, ond s ncontram as curvas d constant ( ), constant (P.O. %) ). w n t s w n constant ( t t s A figura acima pod sr obtida usando-s o comando grid do MATLAB, digit hlp grid. Rspostas ao impulso d sistmas discrtos cujo polo stá mostrado no plano Z.

82 79

83 80 Exmplo: Idntifiqu no mapa antrior a rgião do plano Z qu atnd m conjunto as sguints spcificaçõs: P.O.% 6%, t 6s s t 0s, Sabndo qu o príodo d amostragm do sistma discrto é T=s. Sab-s. P. O.%.00% Logo, t s Logo, t Logo, Então 0,504,4 w n ts,4 6 wn 4,6 w n w n t 6s 0,3 r 0,3. wn 0s, mas 0,4 n r wt r 0,8 PO..% 6% A rgião qu atnd stas spcificaçõs m conjunto é formada pla intrscção das três rgiõs acima, qu é: G () c O controlador dvrá far com qu os polos do sistma ralimntado stjam dntro dsta rgião para qu as spcificaçõs sjam atndidas. VI.3 Projto d Controladors Digitais Utiliando Emulação Nst tipo d projto, primiramnt ftua-s o projto d controlador no plano s, utiliando as técnicas já conhcidas m control linar, ntão, utiliando o mapamnto d

84 8 polos ros do plano s para o plano, qu é, ncontra-s o controlador discrto quivalnt ao contínuo. Uma vantagm é qu s podm utiliar as técnicas d projto já studadas. Uma dsvantagm é qu ss método ignora totalmnt o fato d qu os convrsors A/D D/A o microcomputador srão utiliados, isto impõ a ncssidad d qu o príodo d amostragm T sja o mnor possívl, do contrário, podrá ocorrr uma grand discrpância m rlação ao projto contínuo. A mtodologia dst projto srá mostrada através d um xmplo. Exmplo: Considr o sistma posicionador da antna mostrado na figura (6.), cuja função d transfrência é: E as spcificaçõs foram: Mas, D t Logo, Então, PO..% 6% Gs () t 0s. P. O.%.00% trmos: w n w n t st s(0s ) 4,6 4,6 0 0 w w n 0,5 rsolv 0,5 0,5 n 0,5 satisfam as spcificaçõs xigidas.. Im(s) w n 0,5 Rgião para: R(s) 0,5 Inicialmnt, srá projtado um controlador continuo spcificaçõs. Suponha qu G () c s sja apnas um ganho k. G () c s qu atnda a ssas

85 Nst caso, k.g (s).g(s)= s(0s+) c k, ou ainda, 8 O Root Locus é: k k.g (s).g(s)= 0 c s(s+ ) 0 Im(s) R(s) 0 0 w n 0,5 rlação: As spcificaçõs fitas xigm qu o sistma tnha os polos m, o qu foi mostrado no Root Locus acima. Esta localiação foi obtida da 0,5

86 83 O Root Locus não passa plo ponto dsjado, portanto, utiliar apnas o controlador com ganho k é insuficint. Fando Qu é: s G ( ) 0 c s. k s s 0 G (s).g(s)=k.. 0 c s+ s. s 0 K max, o Root Locus srá obtido d:,7 Im(s) 0,39 R(s) K min 0 0,7 Nst caso o Root-Locus passa plo ponto como dsjado falta apnas dtrminar o ganho k para isto. Pla condição d módulo, trmos: G (s).g(s) = c ss 0 s 0.. k 0 s+ s. s 0 s j,743 s j,743 Porém, s j,743 s s j,743 j,743 kmax 39,388 ; kmin 6,937.