3 Aritmética Computacional

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1 33 3 Aritmética Computacional 3. Introdução Quando s utiliza um qualqur instrumnto d trabalho para ralizar uma tarfa dv-s tr um conhcimnto profundo do su modo d funcionamnto, das suas capacidads das suas limitaçõs. Smpr qu uma calculadora ou um computador digital é utilizado para fctuar um cálculo numérico quas smpr ocorr um rro, o chamado rro d arrdondamnto. Est rro é invitávl porqu a aritmética utilizada pla máquina nvolv somnt númros qu prtncm a um subconjunto F, qu é finito, discrto limitado, dos númros rais. Est subconjunto é usado para rprsntar todos os númros rais. Por consguint xistm rais qu, não sndo xactamnt rprsntávis, têm d sr aproximados por outros rais qu prtncm a st subconjunto. Os rros d arrdondamnto podm tr fitos colatrais importants. ormalmnt, os rros d arrdondamnto provocam fitos mnos nfastos do qu os chamados rros colatrais das gurras modrnas, todavia as suas consquências podm sr suficintmnt sérias, plo qu não podm sr ignoradas. Em [3] ncontram-s dscritos quatro casos d fitos colatrais

2 34 calamitosos qu s tornaram mundialmnt famosos qu tivram origm m rros d arrdondamnto:. Em 4 d Junho d 996 o fogutão Arian 5 caiu após 36 sgundos d voo. A quda ficou a dvr-s a um rro d programação: ao convrtr um númro fraccionário, rprsntado no computador d bordo com 64 dígitos binários (bits), para um númro intiro rprsntado com 6 bits, o sistma d voo do fogutão, controlado por computador, ntrou m colapso. Os prjuízos foram stimados m várias cntnas d milhõs d uros.. Em 5 d Fvriro d 99, durant a gurra do Golfo, um anti-míssl Patriot lançado plas tropas aliadas falhou a intrcpção dum míssil vindo do lado d Saddam Hussin. Morrram 8 pssoas. O problma rsultou da acumulação sucssiva d rros d arrdondamnto no cálculo do tmpo ncssário para a intrcpção do míssil invasor. 3. Em 98 a Bolsa d Valors d Vancouvr instituiu um novo índic, inicializado com o valor nominal d. O índic ra rcalculado actualizado no final d cada transacção. Após mss, o índic caiu para A causa dssa dsvalorização rsultou d s trm fctuado truncaturas m cada transacção rgistada, m lugar d arrdondamntos. O valor arrdondado corrcto daria a Almanha, um partido com mnos d 5% d votos não lg nnhum dputado. a land Schlswig-Holstin, num crto príodo litoral, um dtrminado partido foi dado como tndo obtido 5% dos votos, lgndo assim um dputado. Dpois d anunciados os rsultados, vio a vrificar-s qu ss partido na ralidad apnas

3 35 tinha obtido uma prcntagm d 4.97%. O dputado lito dixou d o sr. O fracasso ficou a dvr-s ao facto do rsultado da votação tr sido arrdondado para dígitos. Rposta a lgalidad, o maior partido da rgião acabou por tr a maioria absoluta no Parlamnto com a vantagm d um dputado. Como rfr M. Graça ([3]), claro qu nnhuma tragédia quivalnt às dscritas acima dvrá ocorrr m rsultado do uso d máquinas d calcular plos alunos. o ntanto, para s vitar qu os alunos utilizm incorrctamnt as máquinas d calcular, os profssors dvrão alrtá-los para as suas limitaçõs. É pois indispnsávl comprndr a noção d númro, os vários tipos d númros, as difrnts formas d rprsntação (sobrtudo as qu são usadas nas calculadoras computadors), as opraçõs admissívis, os rros comtidos os sus fitos nos rsultados ([5] pp.-33). Por último srá abordado o sistma d ponto flutuant das calculadoras gráficas. 3. Rprsntação d númros intiros Todos nós stamos familiarizados com a rprsntação d intiros no sistma dcimal. A rprsntação d um númro intiro na bas dcimal consist numa squência d algarismos, m qu cada um possui um valor qu dpnd da rspctiva posição na rprsntação. Assim por xmplo, 34 = Trata-s portanto d uma rprsntação posicional.

4 36 Utilizando o símbolo d i para dnotar o algarismo ou dígito dcimal colocado na posição i a contar da dirita, um intiro com n + dígitos possui a sguint rprsntação dcimal: = n n ( d d... dd ) = ( d + d d + d ) n (3.) n n n, d 9, com { + } i i =,,..., n d. n Gnralizando sta idia a uma bas b difrnt d, m qu b intiro, vm qu um númro intiro trá uma rprsntação na forma: = n n ( d d... dd ) = ( d b + d b + + d b + d b ) n n n n... b (3.), d i < b, i =,,..., n d. com { + } n Assim, fixada a bas, qualqur intiro ficará compltamnt dfinido plo sinal pla squência d dígitos d n,...,d. A rprsntação d um númro natural numa bas b é única, isto é, s = n i= db i i = m i= d i ' ib ntão m n = d = ' para i =,..., n. i d i O sistma binário adquiriu uma importância spcial com o advnto dos computadors digitais. Ests utilizam, para armaznar informação, dispositivos físicos qu podm assumir d modo stávl dois stados distintos. D facto, um intrruptor pod star ligado ou dsligado, uma lâmpada pod star acsa ou apagada, uma corrnt léctrica pod magntizar um núclo num sntido ou noutro, tc.. Os computadors têm impulsos nviados plas suas componnts lctrónicas. O stado d impulso é O ou OFF. S idntificarmos sss stados com os dígitos, obtmos d imdiato uma corrspondência ntr os stados do computador os númros rprsntados na forma binária. É usual dsignar por bit (binary digit) o lmnto d mmória básico qu assum os dois stados qu s associam aos dígitos.

5 37 S usarmos qualqur outra bas para rprsntar os númros, ntão cada um dos dígitos qu rprsntam o númro nssa bas trá d sr codificado na forma binária. S a bas b for uma potência d, ssa codificação é muito simpls. Por xmplo, para bits para rprsntar cada um dos númros,,..., 7: 3 b = 8 =, vão sr prcisos 3 Rprsntação dcimal Rprsntação binária Rprsntação dcimal Rprsntação binária Tabla 3. Com k bits obtmos k configuraçõs. Dst modo, a rprsntação dos dz dígitos dcimais rqur 4 bits 4, pois 3 = 8 4 = 6, ou sja, 3 bits são insuficints, já qu apnas prmitm 8 configuraçõs, 4 bits prmitm 6 configuraçõs, o qu é dmais. Est facto significa qu a rprsntação dcimal dsprdiça bits é, por consguint, mnos conómica do qu uma bas qu sja potência d. Aliada a sta situação, acrsc ainda o facto d qu a aritmética dcimal é d implmntação difícil m computador. Por todas stas razõs, a bas é muito pouco utilizada na rprsntação d númros m computador, xcpto quando s torna absolutamnt ncssário qu a rprsntação a aritmética sjam intgralmnt dcimais. Em sínts, fixada a bas, um númro ficará totalmnt dtrminado plo su sinal pla squência d dígitos. S rprsntarmos o sinal + por o sinal por, o númro aparc-nos apnas como uma squência d dígitos. Como todas as máquinas, o computador é uma frramnta com capacidad finita. Por consguint, o númro total d bits qu o computador utiliza na rprsntação d númros é ncssariamnt finito. Assim, xist apnas um númro finito d intiros xactamnt rprsntávis num computador. 4 Para rprsntar um númro com n dcimais são ncssários ) n 3. 3n (log bits.

6 Rprsntação d númros rais a bas dcimal a notação 3.75 é intrprtada da sguint forma: 3.75 = ond 3 = binária quivalnt é dada por.75 = A xpansão = = (.) A xpansão dst númro nas duas bass é finita. o ntanto, sta situação nm smpr ocorr. Por xmplo, o númro, qu tm obviamnt uma rprsntação dcimal finita (.), não possui uma rprsntação binária finita. D facto, = (... ) = ot-s qu sta rprsntação apsar d não sr finita, rpt-s. A fracção, por xmplo, não possui uma xpansão finita, binária ou dcimal. Todos 3 os númros racionais admitm, m qualqur bas, uma xpansão finita ou uma xpansão qu s rpt (no caso da bas dcimal, todo o racional pod sr scrito através d uma dízima finita ou infinita priódica). Por outro lado, os númros irracionais admitm smpr xpansõs qu não s rptm. Por xmplo 5, ( ) (... ) = = π = = ( ) = (... ) ( ) = (... ) D um modo gral, podmos dizr qu a rprsntação d um númro ral x na bas é: 5 Expansõs obtidas através do softwar Mathmatica.

7 39 x = ( d d... d. d d... d...) = d n n n n + d n n k = d + d d k k (3.3) Analogamnt, para um númro ral x na bas b tmos: x = ( d d... d. d d... d...) = d n n n b n + d n b n k b d = + d b d k b k. (3.4)... Os dígitos ( d n d n d ) b... d d... d... constitum a part intira os dígitos ( k ) b part fraccionária da rprsntação do númro ral x na bas b., a 3.3. otação cintífica d númros rais Em dtrminadas aplicaçõs cintíficas há ncssidad d rcorrr a númros muito grands a númros muito pqunos. A forma d ultrapassar as dificuldads inrnts à rprsntação dsts númros, é utilizando a chamada notação cintífica (ou xponncial). Esta notação consist m xprimir um númro ral x na forma x = ± m b (3.5) m qu m é um númro ral não ngativo dsignado por mantissa, b é um intiro positivo dsignado por bas é um númro intiro dsignado por xpont. Fixada a bas b, sta rprsntação não é única. Assim para ultrapassar sta ambiguidad, é usual optar por uma mantissa qu satisfaça a sguint convnção: m = m < b s s x = x. (3.6) sta situação diz-s qu s trata d uma rprsntação normalizada. D notar qu nst tipo d rprsntação, o primiro dígito da mantissa d um

8 4 númro difrnt d zro é smpr difrnt d zro. Por xmplo, a rprsntação normalizada m bas d é a do númro é É smpr possívl satisfazr a condição m <, uma vz qu m pod sr obtido d x através d multiplicaçõs ou divisõs sucssivas por, adquando o rspctivo xpont. A adopção dsta convnção não limina, no ntanto, todas as ambiguidads. Assim, para o númro zro continuam a sr possívis infinitas rprsntaçõs, todas com mantissa m = xpont arbitrário. Uma outra situação m qu a rprsntação também não é única é o caso d númros cuja mantissa tm infinitos dígitos rptindo-s priodicamnt. Por xmplo, rprsnta, pla xprssão (3.3) pla fórmula da soma das progrssõs gométricas, o númro: = = k x 9 = 9 =. k =. Assim, considrarmos msmo númro.. como duas rprsntaçõs do 3.3. Rprsntação m sistma d ponto (ou vírgula) flutuant É claro qu a notação cintífica aprsntada antriormnt não pod sr implmntada m computador, pois para abrangr todos os númros rais, a mantissa o xpont xigiriam um númro infinito d dígitos. Por consguint, a notação cintífica é altrada no sntido d apnas s utilizar um númro finito p d dígitos para a mantissa um númro finito q d dígitos para o xpont, obtndo-s assim a chamada rprsntação m ponto flutuant, qu s basia na notação cintífica. st studo usarmos a notação F ( b p, q),, para dnominar o sistma d rprsntação m ponto flutuant d bas b, cuja mantissa ocupa p dígitos (bas b) cujo xpont pod utilizar no máximo q dígitos (bas b);

9 4 fixados b, p q, dnotarmos simplsmnt por F o conjunto dos númros qu têm rprsntação xacta nst sistma. Assim, s x F ntão x = ± m b, (3.7) ond m< b, s o númro for normalizado é um númro intiro. A partir da dfinição d F, é imdiato qu todos os sus númros são apnas alguns dos racionais. Assim sndo tm-s qu F é um subconjunto próprio d IR. Est subconjunto F é finito por construção, uma vz qu apnas um númro finito d númros racionais podm sr rprsntados xactamnt. Como consquência imdiata tm-s qu F, ao contrário d IR, é discrto limitado. Para a rprsntação d númros no computador, já foi rfrido qu é prfrívl utilizar a bas binária m vz da bas dcimal. Assim, os númros normalizados são rprsntados da sguint forma: = ± m, ond < x m. (3.8) Consquntmnt, a xpansão binária da mantissa é: ( b. bb b3... b ) m com b. (3.9) = p 3 Por xmplo, o númro é rprsntado como: 3 (.) =. Logo, para os númros difrnts d zro, como b é, podmos scrvr qu um númro x stá normalizado s: = x = ± m, com = (. bb... bp ) m. Portanto, para rprsntar um númro nst sistma divid-s a squência d bits m três campos: um para o sinal, outro para o xpont um outro para a mantissa m, rspctivamnt. Uma squência d 3 bits, pod sr dividida nos sguints campos: bit para o sinal, 8 bits para o xpont 3 bits para a mantissa. O bit do sinal é

10 4 para os númros positivos para os númros ngativos. Os 3 bits da mantissa são utilizados dpois do ponto binário para rprsntar a xpansão binária d m, isto é, b, b,..., b3. É claro qu não é ncssário guardar b, visto qu sabmos qu o su valor é (diz-s qu b é um bit implícito ). 3 D acordo com o qu foi rfrido, o númro é rprsntado como: bits () o númro ( ) 6 7 =. é xprsso como: bits (6) Para facilitar a rprsntação, os bits do xpont não são aprsntados para já, xplicitamnt, mas através da xprssão bits ( ). st sistma, s x é xactamnt uma potência d, ntão a mantissa é o númro., uma vz qu os bits da part fraccional são todos iguais a zro (rcordmos qu b = não é armaznado d forma xplícita). Por xmplo, ( ) =... é xprsso como bits () o númro 4 (... ) = é rprsntado como bits () sta rprsntação, não é possívl normalizar o númro zro, uma vz qu todos os sus bits triam d sr zros. D facto, uma squência d bits nsta rprsntação significaria. não., uma vz qu o bit b stá implícito. Para ultrapassar sta dificuldad xistm dois procssos. O primiro, qu foi usado pla maioria dos sistmas d ponto flutuant até crca d 975, não prssupunha a xistência do bit implícito considrava qu na rprsntação d um númro difrnt d zro, o bit b tria d sr

11 43 armaznado xplicitamnt, m vz d sr smpr igual a. st procsso, o númro zro podia sr rprsntado por uma mantissa d bits todos iguais a zro. O sgundo procsso (utilizado na norma IEEE 754 d qu falarmos mais à frnt) consist m usar uma squência spcial d bits para o campo do xpont para assinalar o facto do númro sr zro Prcisão psilon da máquina A prcisão d um sistma d ponto flutuant é o númro d bits significativos (incluindo o bit implícito) usados para a rprsntação da mantissa ([49]). Dnotando a prcisão por p, tm-s no sistma atrás dscrito qu p = 4 (3 bits da part fraccional da mantissa bit implícito). Qualqur númro normalizado m ponto flutuant com prcisão p, pod sr xprsso como O mnor númro (. bb... ) x = ± b p b p. (3.) x F qu é maior do qu é ( p) (...) = + a difrnça ntr sts dois númros ε = ( p) (...) = (3.) dsigna-s por psilon da máquina. Esta quantidad qu, como s pod vr, dpnd da bas do númro d algarismos das mantissas, é da maior importância na anális d rros d arrdondamnto, como vrmos mais adiant. Mais gralmnt, para um númro m ponto flutuant (3.) dfin-s x F dado por ( p) ulp( x) = (...) = = ε. (3.) Ulp é a abrviatura para unit in th last plac. S > distância ntr x o númro qu lh sucd m F; s < distância ntr x o númro qu o antcd m F. x, ntão ( x) ulp é a x, ntão ( x) ulp é a

12 44 Uma aproximação para o psilon da máquina d um sistma d vírgula flutuant d bas b pod sr calculada usando o sguint algoritmo assumindo qu o modo d arrdondamnto é para o mais próximo: ε rptir ε δ até ( δ = ). ε b + ε A intrprtação dst algoritmo é a sguint: s x é uma potência ngativa d b tal qu x < ε ntão + x dá. O conhcimnto d ε do sistma computacional ou máquina d calcular é fundamntal. D facto, s considrarmos, por xmplo, a quação +x =, sta admit muitas soluçõs m aritmética d ponto flutuant não apnas x = Ovrflow undrflow Considrmos x F tal qu ( b. bb... ) x = ± b p ond p é a prcisão, com b = min max para númros normalizados com b = = min para númros dsnormalizados. Dsignmos por max o maior númro normalizado por o mnor númro positivo normalizado. min Dizmos qu ocorr ovrflow smpr qu um cálculo produz um númro x > max. Undrflow ocorr quando um cálculo produz min x < nst caso, a máquina aprsnta st númro como zro. o ntanto, nas máquinas qu adoptm a norma IEEE 754, xist igualmnt o undrflow gradual, o qual studarmos postriormnt.

13 45 A grandza dos númros qu produzm ovrflow undrflow dpnd da máquina com qu trabalhamos, como ilustra a tabla 3. ([39] p. 5). Máquina Undrflow Ovrflow DEC PDP-, VAX, formatos F D DEC PDP-; Honywll 6, 6; Univac x simpls; IBM 79X, 74X Burroughs 6X simpls H-P IBM 36, 37; Amdahl; DG Eclips M/6; Maioria das calculadoras manuais CDC 6X, 7X, Cybr DEC VAX formato G ; UIVAC, X duplo HP 85 5 Cray I DEC VAX formato H Burroughs 6X duplo Proposta da norma IEEE: Intl i887;motorola 6839 Simpls Duplo Duplo - stndido Tabla 3. Undrflow Ovrflow d algumas máquinas

14 A orma IEEE Os fabricants d computadors têm adoptado, na construção das suas máquinas, difrnts sistmas d ponto flutuant difrindo na bas, nos númros d dígitos da mantissa do xpont, nas rgras d arrdondamnto, tc. Esta varidad lva, por xmplo, a qu um msmo procdimnto possa tr rsultados difrnts, consoant a máquina m qu ls foram xcutados. Esta situação lvou m 985 à publicação da norma IEEE 754, cujo objctivo primordial consistia na uniformização dos vários sistmas xistnts. Esta aritmética prvê três aspctos fundamntais ([49]): uma rprsntação consistnt dos númros no sistma d ponto flutuant m todas as máquinas qu a adoptm; os rsultados das opraçõs m ponto flutuant são corrctamnt arrdondados utilizando divrsos modos d arrdondamnto; um tratamnto consistnt d situaçõs xcpcionais como por xmplo a divisão por zro. os formatos básicos da norma IEEE, o bit principal b d um númro normalizado é implícito, tal como já foi dscrito antriormnt. Por consguint, é ncssária uma rprsntação spcial para o armaznamnto do númro zro. o ntanto, o zro não é o único númro para o qual a norma tm uma rprsntação spcial outro númro spcial, não usado nas máquinas mais antigas, é o. A xistência dst númro, prmit qu s possa dividir um númro por zro, obtndo como rsultado matmático, no lugar d uma mnsagm d ovrflow. Assim sndo, uma qustão s coloca d imdiato: ntão m rlação ao? Postriormnt tratarmos dst caso. Para já, not-s qu nquanto + são duas difrnts rprsntaçõs para o msmo númro, + rprsntam dois númros difrnts. Outra 6 IEEE é a sigla do Institut of Elctrical and Elctronic Enginrs, uma associação profissional dos Estados Unidos da América.

15 47 rprsntação spcial é a (abrviatura d ot a umbr), qu não é d modo algum um númro. A norma IEEE 754 dfin dois formatos básicos para os númros m ponto flutuant: o formato simpls, com 3 bits, o formato duplo, com 64 bits. Simpls: 8 3 Sinal Expont Mantissa Duplo: 5 Sinal Expont Mantissa A bas da rprsntação utilizada é a binária o primiro bit é usado para o sinal da mantissa ( para os númros positivos para os ngativos). As rprsntaçõs dos númros no formato simpls stão sinttizadas na tabla 3.3: ± a aa3...a8 b bb3...b3 S os bits do xpont a aa3...a8 são Então o su valor numérico é 6 ( ) = ( ± (. b bb... b ) ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = (3 ) 3 3 ± (. b bb b ) 5 bb3... 3) 4 bb3... 3) ± (. b b ± (. b b ( ) = (7 ) ( ) = (8 ) ± (. b bb b ) bb3... 3) ± (. b b ( ) = (5 ) ( ) = (53 ) ( ) = (54 ) ) ± (. b bb b ) 6 b bb3... 3) 7 b bb3... 3) =... = b3 = ± (. b ± (. b ( ) = (55 ± s b, ou a Tabla 3.3 Formato simpls da norma IEEE

16 48 A primira linha dsta tabla mostra qu a rprsntação do zro rqur uma squência spcial d zros para o campo do xpont, assim como uma squência d bits para a part fraccional, isto é, ± nhuma outra linha nsta tabla pod sr usada para rprsntar o númro zro, uma vz qu todas as linhas xcptuando a primira a última rprsntam númros normalizados com o bit inicial igual a (st é o tal bit qu stá implícito). Todas as linhas da tabla 3.3, xcpto a primira a última, rfrm-s a númros normalizados, ou sja, todos os númros m ponto flutuant qu d algum modo não são spciais. A mantissa dispõ d 3 bits é normalizada, ou sja, o primiro bit da mantissa é smpr portanto, uma vz qu é conhcido não é ncssário armazná-lo. Assim sndo, o primiro bit da mantissa é um bit implícito, o qu significa qu na ralidad a mantissa possui p = 4 dígitos. A última linha dsta tabla mostra qu uma squência d bits do xpont composta só por s é uma configuração spcial para rprsntar ± ou a, dpndndo da squência d bits da part fraccional. o formato simpls o mnor xpont é, corrspondndo a 6, o maior é, corrspondndo a 7, uma vz qu para s obtr o vrdadiro, subtrai-s 7 ao xpont armaznado. Por sta razão, o xpont diz-s nvisado. D facto, tm-s no formato simpls 8 bits para o xpont. O mnor xpont é = o maior xpont é = 8 = xponts ngativos xponts positivos

17 49 Assim, sndo o xpont corrspondnt à squência a a a... ), xcpçõs à part, o vrdadiro xpont é dado por: ond E é o xpont armaznado. ( ) = 7 ( 3 a8 8 7 = E = E E, (3.3) ot-s qu, a partir da dfinição, s pod concluir qu a gama d xponts não é simétrica m torno da origm. Por xmplo, o númro (...) = é rprsntado como: 7 portanto, = 7 7 =. O númro = (.) é rprsntado como: O númro 4 = (...) não tm uma xprssão binária finita. S optarmos ntão por procdr a uma truncatura d modo a ocupar o campo da mantissa, vmos qu é dado por (vrmos postriormnt os outros modos d arrdondamnto prvistos na norma IEEE): É por sta razão qu num sistma computacional qu utiliz bas, o somatório. i= não dá xactamnt. Vjamos outro xmplo. o caso do númro B:

18 5 o bit mais à squrda indica qu o númro é positivo, os 8 bits sguints rprsntam na bas o númro 3: = 3 E portanto o xpont é 3 7 = 5. A fracção é. Assim sndo, stamos prant o númro = ( ) B =. O númro qu antcd B é ou sja, A = ( ) Por outro lado, o númro qu sucd a B é ou sja, C = ( ) Tm-s qu C B = ulpb 5 ( ) = ε = B A ou sja, as distâncias d A C a B são iguais., A distância ntr númros conscutivos d F dcrsc à mdida qu os númros s aproximam d zro. o ntanto, o zro não é ponto d

19 5 acumulação d F, uma vz qu o conjunto F é finito. Esta situação ocorr qur no formato simpls qur no duplo. Em suma, a norma IEEE prmit rprsntar m formato simpls númros na forma s E7 ( ). ( b. b... b ) x, (3.4) = p m qu {,} s, <E < 55 é o xpont os k com b = s o númro for normalizado b = s o não for. b são bits, isto é, b = {,} k A rprsntação do númro zro (vr a primira linha da tabla 3.3), rqur bits todos nulos no campo do xpont assim como para o campo da fracção, isto é, ± cujo valor é pois: ± (. b b. 6 bb ) O mnor númro positivo normalizado qu pod sr rprsntado nst sistma é ou sja, (3.5) min = (...) =. O maior númro normalizado (quivalntmnt o maior númro finito) qu pod sr rprsntado nst sistma é ou sja, (3.6) max = (...) = ( ) 3.4

20 5 Considrmos novamnt a primira linha da tabla 3.3. Apsar d nst formato, o mnor númro normalizado sr 6, é possívl usar uma combinação d uma squência d bits iguais a zro para o xpont uma squência d bits difrnts d zro para a part fraccional, qu prmit rprsntar númros mnors (sts são dsignados m [49] por subnormais). 7 6 Por xmplo, ( ) =., é rprsntado como =... (com bits iguais a zro dpois do 49 6 nquanto qu ( ) ponto binário) é armaznado como É claro qu nst formato, st é o mnor númro positivo qu podrá sr 5 guardado ( já aparc como zro). Plo qu já foi rfrido, sts númros não podm sr normalizados, uma vz qu a normalização iria ncssitar d um xpont qu não prtnc ao intrvalo prmitido. o ntanto, a possibilidad d rprsntação dst tipo d númros prmit a xistência do dsignado undrflow gradual ([49] pp ). Vjamos um xmplo. Considrmos os númros A B tais qu Então, 6 (.) A = 6 (.) min B = = 6 (.) A B =. ormalizando st rsultado, tmos qu: qu é um númro mnor do qu 8 (.) A B =, min. Sm o undrflow gradual, o rsultado produzido é o númro zro (st método é dsignado por undrflow súbito é ainda utilizado por alguns fabricants d máquinas, nomadamnt no caso das máquinas d calcular gráficas qu srão utilizadas nst studo). Com o.

21 53 undrflow gradual, o rsultado uma rprsntação dsnormalizada 8 pod sr armaznado xactamnt com A utilização dst método foi ainda é, a part mais controvrsa da norma IEEE, com apoiants oponnts qu aprsntam as divrsas razõs para justificar as suas opiniõs. Apsar da introdução dst método podr ncarcr o hardwar, as vantagns do ponto d vista numérico prvalcm sobr os aspctos conómicos. O formato duplo tm uma strutura smlhant à do formato simpls mas utiliza 64 bits: para o sinal, para o xpont 5 para a mantissa (vr tabla 3.4). Assim, o xpont pod variar ntr +3, a mantissa, por via do bit implícito, dispõ d 53 bits, ou sja, p = 53. ± a aa3...a b bb3...b5 S os bits do xpont a aa3...a são Então o su valor numérico é ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = (3 ) ± (. b b bb ) ± (. b b bb ) bb ) bb ) ± (. b b ± (. b b ( ) = (3 ) ( ) = (4 ) ± (. b b bb ) bb ) ± (. b b ( ) = (44 ) ( ) = (45 ) ( ) = (46 ) ± (. b b bb ) bb ) 3 bb ) ± (. b b ± (. b b ( ) = (47) ± s b =... = b5 =, ou a Tabla 3.4 Formato duplo da norma IEEE

22 54 Os númros com uma xpansão binária infinita, como por xmplo, ou π, são agora obviamnt, rprsntados mais prcisamnt com o formato duplo do qu com o simpls. O mnor númro positivo normalizado qu pod sr rprsntado no formato duplo é o maior é: (3.7) 38 min =.. (3.8) max = ( ).8 Uma sínts dos limits dos xponts os valors dos númros normalizados mnors maiors dados m (3.5), (3.6), (3.7) (3.8), ncontram-s na sguint tabla: Formato min max min max Simpls Duplo Tabla 3.5 Limits do formato IEEE d ponto flutuant A prcisão d um sistma d ponto flutuant é, como já foi rfrido antriormnt, o númro d bits significativos (incluindo o bit implícito). Tm-s qu no formato simpls p = 4 no duplo p = 53. Qualqur númro normalizado m ponto flutuant com prcisão p, pod sr xprsso como (. bb... ) x = ± b p b p. (3.9) o formato simpls, o primiro númro maior do qu é 3 +, nquanto 5 qu o primiro númro maior do qu no formato duplo é +. A prcisão p = 4 no formato simpls corrspond, aproximadamnt, a st algarismos dcimais significativos. Por outro lado, no formato duplo, a prcisão p = 53, corrspond, aproximadamnt, a dzassis algarismos dcimais significativos (mais pormnors m [49] pp. 3-4). Estas obsrvaçõs ncontram-s sumariadas na sguint tabla:

23 55 Formato Prcisão Épsilon da máquina Simpls p = 4 ε = 3. 7 Duplo p = 53 ε = 5 Tabla 3.6 Prcisão dos formatos d ponto flutuant IEEE. 6 Para s prcbr mlhor qu a distribuição dos númros d F não é uniform aprsntamos o sguint rsultado: Proposição: Para valors d k intiros dntro d crtos limits xistm k d F no intrvalo ], k + p númros ] o spaçamnto ntr cada dois pontos conscutivos é k. ( p) k p+ =. Considrmos, sm prda d gnralização, o formato duplo (64 bits), ond p = 53. Vamos ntão vrificar qu xistm 5 númros d F no intrvalo ],]. bit bits 5 bits... 3 = = bit bits 5 bits... 4 = =

24 56 Quais os númros ntr? A A A 5 =... = =... = =... = + + A A A 5 =... = =... = =... = A A 5 5 ( ) = 5 5 =... = = =... = Existm portanto 5 númros d F no intrvalo ], ]. O spaçamnto ntr ls é A A... A 5 = A = + = 5 : A 5 = + = + = 5 A 5 = = = 5 5 ( ) 5 5 ( ) o intrvalo ],4] xistm igualmnt 5 númros d F o spaçamnto ntr ls é B B... B B 5 : 5 5 =... = ( + ) = =... = ( + ) = =... = ( ) = =... = ( ) = 4 B B... B 5 5 = + = 5 5 B = + = + = 5 5 ( ) B 5 = = + = 5 4 B 5 = 5 ( ) 5

25 57 k Sja k intiro. Tmos por consguint o intrvalo ], k k =. K 5 k k k 5 =... = ( + ) = + k 5 k k k 5 =... = ( + ) = + k 5 5 k k k 5 k 5 3 =... = ( + + ) = + + k 5 k k + k 5 5 =... = ( ) = k 5 k k + k 5 5 =... = ( ) = k + ], ond Existm portanto 5 númros d F no intrvalo ] k, k + ]. O spaçamnto ntr ls é:... k k k 5 k k 5 = + = k k 5 k k 5 k = + = = 5 k 5 ( ) k + k 5 k + k 5 k 5 5 = + = + = 5 k 5 ( ) k + 5 = k + k + + k 5 = k 5 Ou sja, o spaçamnto é k ε = 5. É vidnt qu plo facto d xistirm 5 númros d F no intrvalo ] k, k + ], sgu imdiatamnt qu o spaçamnto ntr cada dois dos sus pontos é igual a: ( ) 5 5 k + k k k k. k k = = =. = Modos d arrdondamnto Como vrificámos antriormnt, a rprsntação d númros m ponto flutuant só prmit a rprsntação xacta d alguns númros rais (todos racionais). Assim, dado um númro ral x, qual o númro m F ( b p, q) dnotarmos por fl ( x), ~ x ou ( x),, qu round, qu o rprsnta? S x tivr rprsntação xacta m F, ntão tm-s qu fl ( x) = x. Caso contrário, xistm m alguns sistmas d ponto flutuant (nomadamnt nas máquinas

26 58 gráficas utilizadas nst studo) dois modos para dtrminar fl ( x) : o cort (ou truncatura) o arrdondamnto. Assumindo qu x não lva a ovrflow ou a undrflow, vjamos m qu consist cada um dsts procssos: Cort ou Truncatura (T): dsprzam-s simplsmnt os dígitos do númro ral x qu ultrapassam o númro d dígitos prmitidos para a mantissa. Arrdondamnto (A): o númro ral x é rprsntado plo númro d F qu lh stá mais próximo m valor absoluto, ou sja, fl ( x) x g x, g F. Vjamos um xmplo. Prtndmos ncontrar as rprsntaçõs do númro π no sistma F (,5,), utilizando as duas técnicas antriors: fl π = = 3.46 Arrdondamnto ( ) fl π = = 3.45 Truncatura. ( ) S quiséssmos rprsntar o númro 3.45 no sistma F (,4,), a rgra atrás nunciada lva a uma ambiguidad, uma vz qu 3.45 é o ponto médio d [ 3.4,3.4]. Para rsolvr sta situação, aplica-s uma técnica dsignada por arrdondamnto simétrico, qu consist m ([49] pp.-): s b b form pars, arrdondar d modo a qu o último dígito fiqu ímpar; b s b for par mas for ímpar (como é o caso d quando b = ou b = ), arrdondar d modo a qu o último dígito fiqu par (no caso d b =, corrspond a scolhr o númro cujo último bit é igual a zro); s b for ímpar, optar por uma das rgras antriors, já qu parc não havr vantagns ou dsvantagns dtrminants m qualqur dlas.

27 59 Assim, no xmplo antrior tm-s qu ( π ) = = 3.4 fl. o qu diz rspito à aritmética IEEE 754, vjamos como stão dfinidos os divrsos tipos d arrdondamnto ([49] pp. 5-9). Já vimos antriormnt qu os númros nst sistma d ponto flutuant podm sr xprssos na forma ( b. bb... ) x = ±, b p ond p é a prcisão do sistma m ponto flutuant, com b = min max para númros normalizados com b = = min para númros dsnormalizados. Rcordmos qu qu max dsigna o maior númro normalizado min é o mnor númro positivo normalizado. Existm também dois númros infinitos m ponto flutuant, ±. Dizmos qu um númro ral x stá no intrvalo normalizado do sistma d ponto flutuant s x. Os númros ± ± os númros dsnormalizados não s min max ncontram no intrvalo normalizado do sistma d ponto flutuant. Suponhamos qu o númro ral x F as duas) das sguints situaçõs é vrdadira:. Então plo mnos uma (ou talvz x ncontra-s fora do intrvalo normalizado (o su valor absoluto é maior do qu max ou mnor do qu min ). Por xmplo, no formato simpls os númros 3 normalizado (vr tabla 3.5); 3 não prtncm ao intrvalo a xpansão binária d x rqur mais d p bits para rprsntar xactamnt o númro, ou sja, a prcisão do sistma d ponto flutuant é insuficint para rprsntar x xactamnt. Por xmplo, + =. 5 no formato simpls, o númro ( ) rqur mais bits do qu aquls qu são prmitidos. Em qualqur dos casos, é ncssário aproximar x por um númro qu prtnça ao sistma.

28 6 x x Dfinamos x como sndo o númro d F mais próximo d x tal qu + x como o númro d F mais próximo d x tal qu x+ x. S o númro mais próximo é o zro, scolhmos para sinal do zro o sinal d x. Considrmos um númro positivo normalizado scrvamos x na sua forma normalizada: (. bb... b b b...) = p p p+ x prtncnt ao intrvalo x. (3.) Tm-s qu o númro mais próximo d F qu é mnor ou igual a x é: (. bb... ) = b p, x ou sja, x é obtido por truncatura da xpansão binária da mantissa,, + dsprzando b p b p. S x F plo mnos um dos bits dsprzados na sua xpansão é difrnt d zro, ntão, (. bb... ) + (...) ) + = b p, x é o próximo númro d F maior do qu x, por consguint também o próximo númro maior do qu x (o qual dvrá situar-s ntr x x + ). st caso, o no incrmnto stá na posição ( p ) dpois do ponto binário, portanto a amplitud do intrvalo [ x, x + ] é ( p ). (3.) ot-s qu st valor é o msmo d ulp ( x) dfinido m (3.). Encontrar a xpansão binária d x + é um pouco mais complicado, uma vz qu um bit tm d sr adicionado à última posição da part fraccional d x. S x é maior do qu max, ntão x = x + =. S x é positivo max mas mnor do qu é um númro dsnormalizado ou min, ntão x é um númro dsnormalizado ou zro x + x + x são dtrminados d forma análoga. min. o caso d x sr um númro ngativo, Estamos agora m condiçõs d nunciar os modos d arrdondamnto prvistos na aritmética IEEE. A primira rgra prvista na norma IEEE é a d qu s o rsultado d uma dtrminada opração tivr rprsntação xacta,

29 6 ntão o rsultado dssa opração dvrá sr xactamnt ss valor. Ou sja, s x tivr rprsntação xacta no sistma d ponto flutuant, ntão tm-s qu round ( x) = x. Caso contrário, a norma stablc quatro modos difrnts d arrdondamnto qu podrão sr implmntados para dtrminar round ( x) : arrdondamnto por dfito, ou sja, o rsultado é smpr arrdondado para o númro rprsntávl imdiatamnt abaixo, isto é, ( x) =x round ; arrdondamnto por xcsso, ou sja, o rsultado é smpr arrdondado para o númro rprsntávl imdiatamnt acima, isto é, ( x) =x+ round ; round x =x s truncatura, isto é, ( ) round s x ; x ( x) =x+ arrdondamnto simétrico, ou para o mais próximo (st é o mais favorávl do ponto d vista numérico também o mais usado na prática é o modo por dfito nos computadors qu utilizm a norma IEEE): round ( x) é max x ou x +, o qu stivr mais próximo d x, xcpto s x >, ntão ( x) = caso d mpat, ou sja, round, s x max <, ntão round ( x) =. o x x + stão à msma distância d x, arrdondar d modo a qu o último bit sja igual a zro. S x é um númro positivo, ntão x ncontra-s ntr zro x, portanto, o arrdondamnto por dfito a truncatura obtêm o msmo round (x). o caso d x sr um númro ngativo, ntão x + ncontra-s ntr zro x, por consguint, o arrdondamnto por xcsso a truncatura obtêm o msmo round (x). S x > max o modo d arrdondamnto é o simétrico, ntão round (x) =, o qual não é, mais próximo d x do qu max.

30 Erro absoluto rro rlativo d arrdondamnto O passo sguint consist m analisar os rros d rprsntação, ou sja, dtrminar a discrpância ntr a rprsntação ~ x = round( x) do númro ral x num sistma d ponto flutuant o númro ral x. Sja = m b x ~ round x m b. (3.) x = ( ) = ~ Dfin-s rro absoluto d arrdondamnto A por A = round( x) x, ou sja, ( m~ m) b = m m b = ( ~ ~. (3.3) A round x) x = m b m b = Est valor dpnd da prcisão do modo d arrdondamnto utilizado. Suponhamos qu x é da forma dada m (3.), mas não prtnc ao sistma d ponto flutuant. Então, é imdiato qu o rro absoluto d arrdondamnto associado a x é mnor do qu a amplitud ntr x x +, indpndntmnt do modo d arrdondamnto. Por consguint, d (3.) tm-s qu: ( p) A = round( x) x <. (3.4) Informalmnt podmos dizr qu o rro absoluto d arrdondamnto é mnor do qu ulp, significando ulp x ) s x > ulp x ) s x <. Quando o modo ( d arrdondamnto utilizado é o simétrico, ntão tm-s ( + p A = round( x) x. (3.5) Vjamos, por xmplo, qual o rro absoluto d arrdondamnto no formato simpls do númro, para os quatro modos difrnts. Já vimos qu o númro 4 xprssão binária finita. Então, utilizando o modo d: = (...) não tm uma

31 63 arrdondamnto por dfito ou a truncatura tm-s qu: E portanto, = round( x) x = (... ) < = A. arrdondamnto por xcsso ou o arrdondamnto simétrico tm-s qu: E portanto, ( ) A = round( x) x =... =. O rro rlativo d arrdondamnto associado ao númro x difrnt d zro é dfinido por: R = δ, ond round( x) round( x) x δ = =. (3.6) x x Assumindo novamnt qu x é um númro normalizado, d (3.) sabmos qu x >, portanto, para todos os modos d arrdondamnto, o rro rlativo d arrdondamnto possui o sguint majorant: ( p) round( x) x ( p) R = δ = < = = ε, (3.7) x utilizando o majorant do rro absoluto (3.4) a dfinição d ε m (3.). o caso d s considrar o arrdondamnto simétrico tmos, utilizando (3.5), qu: Ao númro p p R = δ = = ε. (3.8) µ = p = ε (no caso do arrdondamnto simétrico) ou ( ) µ = p = ε (no caso da truncatura) chamamos unidad d rro d arrdondamnto da máquina. A unidad d rro d arrdondamnto é

32 64 portanto, um majorant para o rro rlativo d arrdondamnto d qualqur númro. D (3.6) tm-s qu round ( x) =x( + δ), com δ µ. Combinando st rsultado com (3.7) (3.8), complta-s a dmonstração do sguint rsultado ([49] p. 9): Torma 3. Sja x um númro ral qualqur no intrvalo normalizado d um sistma binário d ponto flutuant com prcisão p. Então: ( ) round ( x) = x + δ, para algum δ satisfazndo δ < ε, ond ε, prcisão da máquina, é o valor ntr o próximo númro d ponto flutuant maior, isto é, ε = ( p) Além disso, s o modo d arrdondamnto é o simétrico, tm-s qu: δ ε = p.. Est torma é muito important porqu mostra qu, indpndntmnt d como x é armaznado aprsntado, podmos pnsar nst valor não como xacto mas como xacto com um factor d + ε. Portanto, por xmplo, no formato simpls os númros são aprsntados 7 com um factor d +, ou sja, são aproximados com st dígitos dcimais significativos (consultar a tabla 3.6). Vjamos o sguint xmplo. Os Babilónios rcorriam às sguints duas aproximaçõs para : (.5) 6 (.4 5) 6 (.5) 6 + = + = =.4( 6). a bas tm-s qu: = = (.4 5) =.44( 96) 6 = 3

33 65 Dtrminando os rros absoluto rlativo comtidos m cada uma das aproximaçõs tmos: 7 7 A = = R = δ = = Por outro lado, = 3547 = A = δ = R. = Em qualqur uma das aproximaçõs tm-s qu R < A por sr >. 3.6 Sistma d ponto flutuant das calculadoras gráficas 3.6. Introdução Quando s trabalha com uma calculadora há qu tr m conta qu sta stá limitada ao sistma numérico d ponto flutuant qu tm incorporado. O sistma d númros com qu a calculadora trabalha não é, como já foi rfrido, o conjunto dos númros rais, nm squr o dos racionais. As calculadoras gráficas utilizadas nst studo suportam um conjunto d númros da forma ±,... ±, ond, obviamnt, o númro d dígitos na mantissa no xpont são limitados. Para o xpont são rsrvados dois dígitos 7 (o qu prmit xponts d 99 a 99), nquanto qu o númro d dígitos da mantissa varia d máquina para máquina. O xpont é ajustado d forma a qu o primiro dígito da mantissa (à squrda da vírgula) sja difrnt d zro. A bas 7 As máquinas d qu tmos conhcimnto usam todas dois algarismos para os xponts.

34 66 incorporada nas máquinas utilizadas nst studo é a bas. Ao contrário do qu acontc na bas, não é possívl na bas, assumir a xistência d um algarismo implícito. É claro qu nsta bas, contrariamnt ao qu s passava na bas, o númro. possui uma rprsntação xacta. Considrmos pois F (, p, q), o sistma d rprsntação m ponto flutuant d bas, ond p é o númro d dígitos da mantissa cujo xpont pod utilizar no máximo q dígitos (bas ). Est sistma é constituído por todos os númros rais x normalizados da forma = ± m, (3.9) x ond m < é um númro intiro tal qu q ainda x =. É d notar qu nsta máquina a gama d xponts é simétrica rlativamnt à origm. o ntanto, sta situação nm smpr sucd nos sistmas d ponto flutuant, como vimos antriormnt no caso da aritmética IEEE754. Vjamos ntão m pormnor o sistma d ponto flutuant das máquinas qu foram utilizadas nst trabalho, a Casio CFX 985 GB Plus a Txas Instrumnts TI-83 Plus (para abrviar m todas as rfrências a stas duas máquinas, dirmos Casio CFX Txas TI 83, rspctivamnt). A scolha dstas máquinas dv-s ao facto dstas srm as mais divulgadas utilizadas nas scolas portugusas Casio CFX 985 GB Plus Esta máquina possui uma mantissa d 5 dígitos, aprsntando os rsultados no visor com uma mantissa d dígitos. O xpont dispõ d dois dígitos, ou sja, Assim sndo, tmos qu o sistma d ponto flutuant utilizado por sta calculadora é F (,5,). Vjamos por xmplo o caso d 3. Tmos qu ( dígitos) 8. 8 Est valor foi obtido através do softwar Mathmatica.

35 67 Esta máquina aprsnta 3 como ou sja, com dígitos. Para ncontrar os outros cinco dígitos qu intrnamnt a máquina armazna, podmos procdr do sguint modo: subtrai-s ao rsultado obtido, o númro qu surg no visor com todos os algarismos xcpto o último. st caso tm-s ou sja, ( 5 dígitos) 3 =. ot-s qu para o rsultado aprsntado no visor, é fito um arrdondamnto simétrico. Quando s introduzm nsta máquina, a partir do tclado, númros com mais d dígitos, la trunca todos os algarismos a partir do décimo primiro, como podmos vr plo sguint xmplo. SjaA = , com uma mantissa d dígitos B = , com uma mantissa d dígitos. Então o valor xacto d A B é dado por: mas o rsultado na máquina é 9 A B = = 6.9, (a máquina truncou o último algarismo d A ). Sgundo o manual d utilização ([]), sta calculadora possui quatro formatos d aprsntação dos númros:

36 68 O modo Fix prmit spcificar um númro fixo d casas dcimais. A opção Sci prmit spcificar o númro d algarismos significativos o modo Eng rprsnta os númros na notação d ngnharia. Por xmplo ond o símbolo k (kilo), rprsnta 3, M (mga) 6 G (giga) rprsnta 9. O modo orm prmit rprsntar os númros m notação cintífica (o manual chama-lh formato xponncial). Como já foi mncionado, sta calculadora aprsnta os númros com uma mantissa d dígitos. Smpr qu sts númros ultrapassm st limit, ls são automaticamnt convrtidos visualizados num dos sguints formatos (a scolha d um dsts formatos é ralizada plo utilizador): norm ou norm 9. A única difrnça ntr sts dois formatos rsid na aprsntação dos númros qu prtnçam ao intrvalo ] [ 9 9, ], [. Assim, no caso d norm, qualqur númro x tal qu x < é visualizado na notação cintífica. Por outro lado, no formato norm, os númros só são aprsntados na notação cintífica s x < 9. Vjamos os sguints xmplos: 9 Rfr o manual, qu todos os xmplos aprsntados ncontram-s no formato orm.

37 69 (orm ) (orm ) Txas Instrumnts TI-83 Plus Esta calculadora possui uma mantissa d 4 dígitos, aprsntando os rsultados no visor com uma mantissa d dígitos. O xpont dispõ d dois dígitos, ou sja, Assim sndo, tmos qu o sistma d ponto flutuant utilizado por sta máquina é F (,4,). Vjamos novamnt o xmplo d 3. Tmos nsta máquina qu: Ou sja, sta máquina aprsnta 3 como ( dígitos) nquanto qu intrnamnt considra ( 4 dígitos) 3 =. Analogamnt ao qu s passa com a Casio CFX - 985, sta máquina também aprsnta o valor d 3 arrdondado simtricamnt. Ao contrário do qu sucd com a Casio CFX - 985, no qu diz rspito aos númros introduzidos, a partir do tclado, com mais d dígitos, ls são guardados até ao 4º dígito como podmos vr plo sguint xmplo.

38 7 Sjam A = com 4 dígitos B = com uma mantissa d dígitos. Então o valor xacto d pla máquina A B é dado corrctamnt D acordo com o manual d utilização dsta máquina ([67]), xistm três modos d notação: ormal, Sci Eng. Ests modos só afctam a forma como uma rsposta é aprsntada no écran d visualização. É possívl introduzir um númro m qualqur um dos formatos. O modo d notação ormal, é a forma mais habitual m qu xprssamos os númros, com dígitos à squrda à dirita do ponto dcimal (xmplo ). O modo d notação Sci (cintífica) xprssa númros m duas parts. Os númros significativos são aprsntados com um dígito à squrda do ponto dcimal a potência d adquada é aprsntada à dirita d E. Vjamos o sguint xmplo: O modo d notação Eng (d ngnharia) é smlhant à notação cintífica. o ntanto, o númro pod tr um, dois ou três dígitos ants do ponto dcimal o xpont é um múltiplo d três, como por xmplo o caso d slccionar a notação ormal mas não sja possívl aprsntar a rsposta m dígitos ou s o valor absoluto for infrior a,, Ests dois últimos são smlhants aos já rfridos para a máquina Casio CFX 985.

39 7 ntão sta máquina xprim a rsposta m notação cintífica. Vjamos os xmplos É possívl ainda utilizar um modo dcimal dnominado Float , qu prmit aprsntar a rsposta até dígitos. Esta opção aplica-s aos três modos d notação. Considrmos, por xmplo, a opção Float 4 todos os númros são aprsntados com 4 casas dcimais. Por xmplo Ovrflow undrflow Como já foi mncionado, F é um conjunto limitado. Importa ntão, obtr a rsposta para as sguints qustõs: Qual o maior númro max, m valor absoluto, qu pod sr rprsntado m cada uma das máquinas? E qual o mnor númro min, m valor absoluto, qu pod sr rprsntado m cada uma das máquinas? D um modo gral, m F (, p, q) d acordo com (3.9) tm-s qu

40 7 ( p) ( ) = max = min. Assim sndo, no caso das máquinas já mncionadas, a Casio CFX 985, como o sistma d rprsntação m ponto flutuant utilizado é F (,5,) ntão o maior númro, m valor absoluto, rprsntávl srá o , nquanto qu o mnor, m valor absoluto é 99. Por outro lado, na Txas TI - 83, cujo sistma d rprsntação m ponto flutuant utilizado é F (,4,), ntão o maior númro, m valor absoluto, rprsntávl srá o , nquanto qu o mnor, m valor absoluto é 99. A tntativa d rprsntação d um númro x tal qu x > max, conduz à condição d ovrflow, isto é, ultrapassagm do númro d dígitos prmitido para o xpont. Por outro lado, s tntarmos rprsntar um númro x, tal qu x < min, somos conduzidos a uma situação d undrflow o númro aprsntado na máquina é o zro. undrflow: Vjamos o sguint xmplo (obtido na Txas TI-83) ond ocorr Considrmos agora um xmplo (ralizado na Casio CFX 985) ond ocorr ovrflow ([53]): Cálculo fctuado 69! 7! Rsultado obtido.7454e + 98 ovrflow rror (Ma Error) Tabla 3.7 S a calculadora xcdr os parâmtros d cálculo surg no visor uma mnsagm d rro. S qualqur rsultado, 99 qur intrmédio ou final, ou qualqur valor m mmória, xcdr ± , a calculadora nvia a mnsagm d rro Ma Error. o caso da calculadora Txas Instrumnts TI-83 Plus, a mnsagm d rro é Ovrflow (vr anxos A B).

41 73 A rprsntação xacta do númro 69! nvolv 99 dígitos : 69!= Por outro lado, a rprsntação do númro 7! nvolv dígitos o qu rqur um xpont igual a +, ou sja, utilizando 3 dígitos: 7!= a prática, pod sr ncssário rformular crtos cálculos no sntido d vitar a ocorrência dsts problmas numéricos. Vjamos a sguint situação ([5] p. 3). Prtnd-s calcular a hipotnusa h d um triângulo rctângulo d cattos a c, os quais assumm valors muito lvados mas infriors ao limit d ovrflow. o ntanto, xist a possibilidad d ovrflow. Assim, para contornar st problma, s a c produzirm a c, é prfrívl utilizar a xprssão h = a c + a, uma vz qu o cálculo do valor dsta xprssão não produz ovrflow Prcisão psilon da máquina A prcisão p d um sistma d ponto flutuant é, como já vimos, o númro d algarismos significativos. Assim tm-s na Casio CFX 985 qu p = 5 na Txas TI - 83 p = 4. Já rfrimos qu qualqur númro normalizado m ponto flutuant com prcisão p nstas máquinas, pod sr xprsso como: ( d. dd... ) x = ± d p d p, ond d k < O mnor númro x F qu é maior do qu é: + ( p). Cálculo fctuado com o auxílio do softwar Mathmatica.

42 74 O psilon da máquina, ou sja, a difrnça ntr o númro qu lh sucd m F é, d acordo com o qu já foi rfrido antriormnt, dado por ε = ( p). Assim sndo, sria d sprar qu na máquina Casio CFX 985 ε = 4, nquanto qu na Txas TI-83 ε = 3. o ntanto, a ralidad mostra-nos qu na máquina Casio CFX 985: 4 ε = 8 (rsultado para o qual não obtivmos xplicação), ao passo qu na Txas TI- 83 tm-s d facto qu ε = 3. Em sínts, Máquina Prcisão Epsilon Casio CFX 985 GB Plus = 5 Txas Instrumnts TI-83 Plus = 4 Tabla 3.8 Prcisão psilon das máquinas p 4 ε = 8 p 3 ε = Modos d arrdondamnto As calculadoras Casio CFX 985 Txas TI-83, utilizam dois modos d arrdondamnto: a truncatura; o arrdondamnto simétrico. É d rfrir, uma vz qu é d xtrma importância, qu stas duas máquinas não arrdondam os númros da msma forma. A truncatura é utilizada smpr qu s introduz na calculadora, a partir da calculadora, um valor qu ultrapass o númro d dígitos prmitido. Já nos rfrimos a sta situação m a Casio CFX 985, s introduzirmos o númro , sta máquina aprsnta o númro e +. Assim, smpr qu são considrados númros com mais

43 75 d dígitos, sta máquina fctua truncatura. Por outro lado, na calculadora Txas TI-83, s introduzirmos, a partir do tclado, um númro com mais d 5 dígitos, sta máquina trunca o númro a partir do 5º algarismo. Até ao númro d dígitos prmitido, ambas as calculadoras procdm ao arrdondamnto simétrico. Por xmplo na Txas TI-83, tmos qu: O arrdondamnto simétrico é também utilizado quando os rsultados das opraçõs xcdm o númro d dígitos prmitidos para a visualização. Por xmplo, na Casio CFX 985, tmos Para ilustrar a difrnça ntr as máquinas qu stamos a usar, considrmos o xmplo sguint. Suponhamos qu prtndíamos concluir qu sin 45º = cos 45º utilizando a calculadora, fctuando para isso a difrnça. Os rsultados obtidos com as duas máquinas ncontram-s na sguint tabla: Cálculo fctuado Rsultado obtido na Casio CFX 985 Rsultado obtido na Txas TI-83 5 sin 45º cos 45º Tabla 3.9 Prant sts rsultados, qu conclusõs podmos rtirar? Porqu é qu os rsultados são difrnts?

44 76 Sndo sin 45º = cos 45º = é claro qu st valor não pod sr rprsntado xactamnt. E não há garantia d qu a fórmula d cálculo para as funçõs sno cosno produzam a msma aproximação para cada valor do argumnto. O qu s pod sprar, m gral, é qu a difrnça m trmos rlativos, não sja muito suprior (normalmnt srá infrior) ao psilon da máquina. Rlativamnt à Casio CFX 985, la considra intrnamnt sin 45º = , nquanto qu cos 45º = Portanto nsta máquina tm-s 5 4 sin 45º cos 45º = < 8 = ε. A Txas TI-83, considra sin 45º = cos 45º = (4 casas dcimais). O valor xacto d sin 45º = cos 45º, com casas dcimais 3 é dado por: Valor obtido com o softwar Mathmatica.

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