k m d 2 x m z = x + iy, d 2 z m Essa mesma equação também pode ser escrita assim: dt 2 + ω2 0z = F 0 Veja que interessante a propriedade seguinte:

Transcrição

1 Oscilaçõs forçadas Dpois d tr visto coo são as oscilaçõs aortcidas, agora você pod facilnt ntndr as oscilaçõs forçadas. Aqui vou ignorar a dissipação apnas introduzir ua força oscilant ao sista assa-ola. A quação ao longo do ixo x ca assi, por xplo, d2 x 2 = kx + cos (ωt), ond > 0 é a assa do bloco qu stá prso à ola d constant lástica k > 0 R é a aplitud da força xtrna oscilant aplicada ao bloco d assa ao longo do ixo x. A força é aplicada co ua frquência angular ω. Coo é usual, vou dnir a frquência natural do sista assa-ola coo, portanto, ω 0 = k Sja d 2 x 2 = ω0x 2 + cos (ωt). z = x + iy, co x y variávis rais. rsolvr, Not qu a quação d ovinto qu quros d 2 x 2 = ω0x 2 + cos (ωt), pod sr obtida toando a part ral d abos os bros da sguint quação difrncial da variávl coplxa z : d 2 z 2 = ω0z 2 + xp (iωt). Essa sa quação tabé pod sr scrita assi: d 2 z 2 + ω2 0z = xp (iωt). Vja qu intrssant a propridad sguint: ( ) ( ) d dz dz + iω 0z iω 0 + iω 0z = d2 z 2 + iω dz 0 iω dz 0 i2 ω0z, 2 ( ) ( ) d dz dz + iω 0z iω 0 + iω 0z = d2 z 2 + ω2 0z. 1

2 Sja, portanto, a função auxiliar f (t) = + iω 0 z (t). Então, a quação difrncial qu staos qurndo rsolvr, d 2 z 2 + ω2 0z = xp (iωt), pod sr scrita tros da função auxiliar f (t) coo df (t) iω 0 f (t) = xp (iωt). Essa quação difrncial é d priira ord, sndo possívl rsolvê-la co ua só intgração. Ants d prossguir co a intgração, ntrtanto, convé notar qu podos ultiplicar abos os bros dssa quação por xp ( iω 0 t) : xp ( iω 0 t) Not tabé qu df (t), portanto, a quação agora ca xp ( iω 0 t) iω 0 xp ( iω 0 t) f (t) = xp (iωt) xp ( iω 0t). d xp ( iω 0t) = iω 0 xp ( iω 0 t) df (t) + f (t) d xp ( iω 0t) = xp [i (ω ω 0) t], lbrando da rgra para obtr a drivada do produto d duas funçõs, d [f (t) xp ( iω 0t)] = xp [i (ω ω 0) t], qu é b fácil d intgrar. O rsultado da intgral dos dois bros dssa quação é f (t) xp ( iω 0 t) = i (ω ω 0 ) xp [i (ω ω 0) t] + C 1, ond C 1 é ua constant coplxa arbitrária. Multiplicando abos os bros dssa quação por xp (iω 0 t) rsulta f (t) = i (ω ω 0 ) xp (iωt) + C 1 xp (iω 0 t). Para ncontrar z (t), lbraos qu f (t) = + iω 0 z (t) 2

3 , usando o rsultado acia para f (t), rsolvos ais ua quação difrncial ordinária d priira ord: + iω 0 z (t) = i (ω ω 0 ) xp (iωt) + C 1 xp (iω 0 t). Procdos analogant ao caso da quação para f (t) qu rsolvos acia ultiplicaos abos os bros dssa quação por xp (iω 0 t) : xp (iω 0 t) + iω 0 xp (iω 0 t) z (t) = i (ω ω 0 ) xp [i (ω + ω 0) t] + C 1 xp ( t), d [xp (iω 0t) z (t)] = i (ω ω 0 ) xp [i (ω + ω 0) t] + C 1 xp ( t). A intgração d abos os bros co rspito à variávl t dá: xp (iω 0 t) z (t) = i (ω ω 0 ) i (ω + ω 0 ) xp [i (ω + ω 0) t] + C 1 xp ( t) + C 2, ond C 2 é outra constant coplxa arbitrária. Podos agora ultiplicar abos os bros dssa quação por xp ( iω 0 t) para obtr: z (t) = i (ω ω 0 ) i (ω + ω 0 ) xp (iωt) + C 1 xp (iω 0 t) + C 2 xp ( iω 0 t), z (t) = (ω 2 ω0 2) xp (iωt) + C 1 xp (iω 0 t) + C 2 xp ( iω 0 t). Coo ssa solução t duas constants coplxas arbitrárias indpndnts, sgu qu ssa é a solução gral da quação do oscilador forçado para a variávl coplxa z. A solução da quação do oscilador forçado para a variávl ral x é obtida quando toaos a part ral da solução para a variávl coplxa z : x (t) = R [z (t)]. Assi, x (t) = (ω 2 ω0 2 cos (ωt) + R xp (iω 0 t) + C 2 xp ( iω 0 t). ) Podos usar a fórula d Eulr, xp (iω 0 t) = cos (ω 0 t) + i sn (ω 0 t) 3

4 xp ( iω 0 t) = cos (ω 0 t) i sn (ω 0 t), obtos R xp (iω 0 t) { } = R [cos (ω 0 t) + i sn (ω 0 t)], R xp (iω 0 t) [ = R ic 1 cos (ω 0 t) + C ] 1 sn (ω 0 t), ou sja, R xp (iω 0 t) = R (ic 1) cos (ω 0 t) + R (C 1) sn (ω 0 t). Coo R (ic 1 ) = I (C 1 ), v R xp (iω 0 t) = I (C 1) cos (ω 0 t) + R (C 1) sn (ω 0 t). Analogant, R [C 2 xp ( iω 0 t)] = R [C 2 cos (ω 0 t) ic 2 sn (ω 0 t)], R [C 2 xp ( iω 0 t)] = R (C 2 ) cos (ω 0 t) R (ic 2 ) sn (ω 0 t), ou sja, R [C 2 xp ( iω 0 t)] = R (C 2 ) cos (ω 0 t) + I (C 2 ) sn (ω 0 t). Co isso, podos scrvr R xp (iω 0 t) + C 2 xp ( iω 0 t) = a cos (ω 0 t) + b sn (ω 0 t). ond, para siplicar, dnios duas constants rais arbritárias assi: a = I (C 1) + R (C 2 ) b = R (C 1) + I (C 2 ). 4

5 Logo, a solução gral qu procuraos ca x (t) = (ω 2 ω0 2) cos (ωt) + a cos (ω 0t) + b sn (ω 0 t), ond a b são constants rais arbitrárias indpndnts. Para ilustrar coo é ss ovinto forçado, vou supor qu o oscilador part do rpouso, t = 0, a partir da posição d quilíbrio, x (0) = 0. As condiçõs iniciais para o probla são, portanto, x (0) = 0 = 0. Mas, da solução acia, = x (0) = (ω 2 ω0 2) + a ω (ω 2 ω0 2) sn (ωt) aω 0 sn (ω 0 t) + bω 0 cos (ω 0 t), = bω 0. Ipondo as condiçõs iniciais x (0) = 0 = 0 rsulta x (0) = (ω 2 ω0 2) + a = 0, a = (ω 2 ω 2 0 ) 5

6 = bω 0 = 0, ou sja, b = 0. Substituindo sss rsultados para a b na solução gral para x (t), obtos x (t) = (ω 2 ω0 2) cos (ωt) + (ω 2 ω0 2) cos (ω 0t), x (t) = (ω 2 ω0 2) [cos (ωt) cos (ω 0t)]. Essa solução xprssa u xplo d rssonância: quando ω s aproxia d ω 0, há u pico d aplitud do ovinto para cada instant t. Para vr isso, basta toaros o liit: li x (t) = li [ cos (ωt) cos (ω0 t) (ω 2 ω 2 0 ) Coo ss liit stá indnido, podos utilizar a rgra d l'hôpital para obtr: { cos (ωt) cos (ω0 t) ω li (ω 2 ω0 2) = li [cos (ωt) cos (ω } 0t)] ω (ω2 ω0 2), ]. li cos (ωt) cos (ω0 t) (ω 2 ω 2 0 ) = li t sn (ωt) 2ω = t sn (ω 0t). Portanto, li x (t) = t sn (ω 0 t). Vja qu a aplitud dss ovinto crsc co o tpo ao so tpo qu oscila. Só para tr ua idia d coo o ovinto rssonant aunta d aplitud, z o gráco da gura abaixo para a função g (t) = t sn (2t). 6

7 Maniro, não é? 7