u u 2.4 Formulação Matricial de Elementos Finitos Sendo assim, a interpolação padrão da função escalar candidata u é

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Ana Clara Malheiro Stachinski
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1 β u u β β u u Figura. Coponnt da vlocidad na dirção paralla ao gradint da solução.. Forulação Matricial d Elntos Finitos Coo a intnção é rsolvr problas tridinsionais, foi adotado iplntado o lnto ttradro linar pla sua vrsatilidad na construção d alhas não struturadas, gral dscrvndo uito b gotrias coplas. A ddução d suas funçõs d intrpolação, no lnto, basadas nas suas coordnadas d volu, d su oprador gradint discrto B, s ncontra no Apêndic A as atris qu os rprsnta nas quaçõs (. (.. [ ] (. BI BJ BK BL B CI CJ CK CL (. DI DJ DK DL Sndo assi, a intrpolação padrão da função scalar candidata u é OS h u iui i (. sndo OS o núro total d nós da alha d lntos finitos. 7

2 Substituindo-s a aproiação d lntos finitos d (. (., obté-s a forulação sidiscrta, qu nada ais é qu u sista não linar d quaçõs difrnciais ordinárias. M u& C( u F (. ou ainda, M u& K( u u F (. ond K ( u u é ua aproiação d priira ord da função vtorial não linar C (u. Ao s introduir o algorito d intgração no tpo, no próio capítulo, tr-s-á u sista global d quaçõs algébricas, associado a ssa forulação sidiscrta, a sr rsolvido cada passo d tpo. Obtndo-s finalnt a solução aproiada para o probla posto (.. As atris globais M K dadas (. são construídas através do assbling d todos os lntos da alha d lntos finitos, rprsntado (.5 (.7, sndo A o oprador d assbling. EL M A ( (.5 g (.6 EL K A ( (.7 d (.8 Os sub-índics g di rspito às parclas das forulaçõs d Galrin Ptrov- Galrin rspctivant os sub-índics d, a s rfr à difusão, advcção oprador d captura d choqus, rspctivant. A atri M é usualnt chaada d atri d assa a atri K d atri d rigid, analogia à anális d struturas. 8

3 A sguir t-s o dsnvolvinto obtnção das atris d lnto. É iportant notar qu alguas dssas atris tê a propridad d consrvação das funçõs d intrpolação[], ond os tros da dional pod sr obtidos plo soatório dos tros fora da dional para cada linha, co o sinal trocado... Dsnvolvinto das Matris do Elnto Ttradro Matri d Massa Consistnt d Galrin (siétrica T d g φ (.9 6V φ g (. Matri d Massa Discrta d Galrin (siétrica A atri d assa discrta ou lupd é dional. Sus tros pod sr obtidos plo soatório d cada linha da atri d assa consistnt, confor (.. ] [ j ij g ii g l para i, (. 6V φ g l (. 9

4 Matri d Massa d Ptrov-Galrin, corrção SUPG (não siétrica T τφ B β d (. Pod-s vrificar qu: 6V d [ ] (. Substituindo (. (., t-s: τ φ (.5 ond BIβ CIβ DIβ BJβ CJβ DJβ BKβ CKβ DKβ BLβ CLβ DLβ (.6 (.7 (.8 (.9 Matri d Difusão d Galrin (siétrica T B DB d (.5

5 5 9 6 (.5 5 6V 6 si. 5 BIBJ CICJ DIDJ 9 BIBK CICK DIDK BIBL CICL DIDL (.5 (.5 ( ( (.55 BJBK CJCK DJDK BJBL CJCL DJDL (.56 ( ( (.58 5 BKBL CKCL DKDL ( ( ( ( (.6 Matri d Difusão d Ptrov-Galrin, corrção SUPG T ( DB d τ B β d (.6 É intrssant notar qu a atri d difusão d Ptrov-Galrin nvolv a drivada sgunda do oprador gradint discrto B, qu é constant, pois o lnto ttradro adotado é linar, ntão ssa atri é nula. d (.6

6 Matri d Advcção d Galrin (não siétrica T T β B d ( ( BIβ CIβ DIβ BJβ CJβ DJβ BKβ CKβ DKβ BLβ CLβ DLβ (.66 (.67 (.68 (.69 Prcb-s qu a atri d advcção d Galrin é igual à transposta da atri d assa d Ptrov-Galrin, a nos da constant τ. Ess dtalh é lvado considração na iplntação coputacional. (.7 τ T Matri d Advcção d Ptrov-Galrin, corrção SUPG (siétrica T τ B β B d ( τ (.7 6V 5 si.

7 5 9 ( BIβ CIβ DIβ ( BJβ CJβ DJβ (.7 ( BIβ CIβ DIβ ( BKβ CKβ DKβ (.7 ( BIβ CIβ DIβ ( BLβ CLβ DLβ ( ( (.76 ( BJβ CJβ DJβ ( BKβ CKβ DKβ (.77 ( BJβ CJβ DJβ ( BLβ CLβ DLβ ( ( (.79 5 ( BKβ CKβ DKβ ( BLβ CLβ DLβ ( ( ( ( (.8 Matri d Corrção do Oprador d Captura d Choqus/Dscontinuidads (siétrica T δ B B d ( δ (.8 6V 5 si. 5 BIBJ CICJ DIDJ 9 BIBK CICK DIDK BIBL CICL DIDL (.85 (.86 ( ( (.88 BJBK CJCK DJDK (.89

8 BJBL CJCL DJDL ( ( (.9 5 BKBL CKCL DKDL ( ( ( ( (.9.. Avaliação do Parâtro SUPG a partir das Matris d Elnto O parâtro τ tabé pod sr avaliado sgundo Tduar[5] a partir d stiativas basadas nas noras das atris d lnto, são dadas por a,. Estas stiativas ad a τ s (.95 ad t a τ s (.96 τ R (.97 s τ s ond t é o passo d tpo β a R (.98 D ad D odo qu τ pod sr finalnt avaliado coo

9 τ ir ( ir ir ir τ τ τ (.99 s s s basado no invrso d τ, dfinido coo a nora ir do vtor co coponnts τ τ. s s τ, s A nora d atris adotada corrspond ao áio valor do soatório dos valors absolutos d cada linha, para ua atri M co n colunas t-s n M a (. i j ij Cab rssaltar tabé qu o parâtro τ dv sr avaliado sont no início d cada passo d tpo não dv sr atualiado itraçõs não linars dntro d u intrvalo d tpo... Dsnvolvinto das Matris do Ttradro por Arstas A forulação basada arstas (E-Basd Finit Elnts foi introduida aplicaçõs da cânica dos fluidos, para alhas não struturadas d triângulos ttradros, utiliando o étodo dos volus finitos[], [9] [5] foi largant psquisada por Löhnr[], [5] [7]. Apsar da iplntação original tr otivaçõs difrnts dss trabalho, o rarranjo da strutura d dados por arsta é visto coo ua técnica d aclração das opraçõs atri-vtor a sr raliadas divrsas vs plo solvr itrativo ou no cálculo do rsíduo d conoia d ória para aranar as atris rsultants. Coo studado por Martins [] [], apsar do núro d arstas sr aior qu o núro d lntos, na ord.5 vs para alhas d ttradros, ainda tr qu s ontar ssa strutura intrnant, coo pré- 5

10 Apêncic A Funçõs d Intrpolação Oprador Gradint Discrto para o Ttradro Linar Rlaçõs Goétricas no Ttradro Funçõs d Intrpolação As funçõs d intrpolação para o ttradro são dfinidas coordnadas d volu, dst odo t-s qu: V i i, i, (A. V i (A. i i V i V (A. i, i, (A. i 9

11 ond V é volu do ttradro i são funçõs d intrpolação. (L (I (K (J Figura A. Ttradro Linar. Coo o lnto é isoparaétrico, ou sja, a gotria no intrior do lnto pod sr obtida plas funçõs d intrpolação, ntão pod-s scrvr as sguints quaçõs (A.5 (A.6 (A.7 (A.8 As quaçõs (A.5 a (A.8 pod sr scritas fora atricial G χ (A.9 Rsolvndo o sista linar d quaçõs (A.9, t-s

12 χ G (A. Oprador Gradint Discrto Dfinindo a atri das funçõs d intrpolação coo [ ] (A. as drivadas das funçõs d intrpolação coo (A. (A. (A. Coo i i, para i,, ntão para s obtr drivadas das funçõs d intrpolação basta, siplsnt, dtrinar i. Para tal, rsolv-s a quação (A. para i sguida driva-s o rsultado função d, ond. Os rsultados das opraçõs dscritas acia stão aprsntados abaio ( T

13 (A.5 (A.6 (A.7 (A.8 (A.9 (A. (A. (A. (A. (A. (A.5

14 (A.6 As quaçõs (A.5 a (A.6 possu u dnoinador cou, qu foi oitido. Ess dnoinador é igual a sis vs o volu do ttradro qu pod sr calculado por dt( 6V G (A.7 Pod-s dfinir o Oprador Gradint Discrto para o ttradro linar coo B (A.8 Substituindo as quaçõs (A.5 a (A.6 na quação (A.8 fando alguas siplificaçõs, t-s a quação qu dscrv o Oprador Gradint Discrto para o ttradro linar 6V DL DK DJ DI CL CK CJ CI BL BK BJ BI B (A.9 Portanto, os tros da atri B fica dfinidos coo ( BI (A. ( BJ (A.

15 BK ( (A. BL ( (A. CI ( (A. CJ ( (A.5 CK ( (A.6 CL ( (A.7 DI DJ ( (A.8 ( (A.9 DK ( (A. DL ( (A. ond ; ; ij i j ij i j ij i j ; para i, j,.

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