Fundamentos de Mecânica Quântica: derivação da equação de Schrödinger para sistemas dissipativos

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1 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 Fundantos d Mcânica Quântica: drivação da quação d Schrödingr para sistas dissipativos L.A. Gonçalvs L.S.F. Olavo Instituto d Física, Univsidad of Brasília, Distrito Fdral, DF, Brasil 07 d Janiro d 07 Rsuo O studo d sista dissipativos é ainda ua ára pouco dsnvolvida dntro da Mcânica Quântica. A dificuldad surg do fato dsta sr fortnt conctada ao foraliso Hailtoniano da Mcânica Clássica. Est trabalho t coo foco obtr a quação d Schrödingr s fazr uso do foraliso Hailtoniano, pritindo assi a dscrição d sistas ais grais, incluindo aquls dissipativos. Para tanto, fazos a gnralização d u étodo qu sgurant fornc a quação d Schrödingr para os sistas Hailtonianos já conhcidos. Palavras-chav: Sistas Dissipativos, Equação d Schrodingr, Mcânica Quântica. I. INTRODUÇÃO O studo d dissipação dntro da Mcânica Quântica possui hoj u longo histórico [],[]. As difrnts abordagns pod sr sparadas dois grupos: A tntativa dirta d s quantizar sistas abrtos sujitos a ua força dpndnt da vlocidad do tipo k q[]. Associar o probla d dissipação a u sista isolado, coposto por dois subsistas, co u absorvndo nrgia do outro graças ao su lvado núro d stados possívis[]. A priira abordag, até aqui, t sbarrado na ipossibilidad d s dscrvr o quivalnt clássico do sista utilizando o foraliso Hailtoniano usual, d fora qu os étodos tradicionais d quantização pudss sr utilizados. Para suprar ssa barrira, fora propostas xtnsõs do foraliso Hailtoniano para qu ss pudss tabé coportar dissipação[3], d fora qu os sistas quântico clássico pudss sr conctados através dssa xtnsão. Dvido a ssas dificuldads, as abordagns qu assuia u sista isolado, co u dos subsistas atuando coo u rsrvatório d nrgia[4], obtivra ais sucsso. No ntanto, ssa stratégia ainda sofr críticas daquls adptos da abor-

2 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 dag dirta, ua vz qu a constituição concrta do rsrvatório dv sr lvada conta, o qu é indsjávl. Ua possívl solução, qu srá aprsntada nst trabalho, é rprsntar o sista clássico s fazr uso do foraliso Hailtoniano a partir daí obtr a quação d Schrödingr qu dscrv o sista quântico qustão. Isso, ntrtanto, iplica s dsnvolvr u étodo d quantização qu sja indpndnt do foraliso Hailtoniano. Para tal, partios da quação d Liouvill, assuindo a validad d outras duas quaçõs, chgaos à quação d Schrödingr. D fato, podos toar a validad dssas quaçõs coo axioas do étodo. Val rssaltar qu é possívl stndr o étodo para qualqur sista d coordnadas curvilínas ortogonais[5], fazndo pqunos ajusts nos axioas. É possívl fazr o so para os postulados da Rlatividad Rstrita, obtndo as quaçõs d Klin-Gordon Dirac d sgunda ord[6]. No ntanto, sss rsultados são válidos para sistas Hailtonianos. Assi, para qu possaos utilizar o étodo nglobando tabé sistas co dissipação, é ncssário gnralizar os axioas, para qu ntão sja possívl stndr o étodo dsnvolvido antriornt. Coçaros ostrando o étodo para sistas Hailtonianos, aprsntaos, sguida, coo ua aplicação, a ddução da quação d Schrödingr para o capo ltroagnético isso dará ao litor confiança na adquação do étodo d quantização contxtos Hailtonianos usuais. E sguida, fazos a gnralização da quação d Liouvill, para ntão aplicar o étodo sistas co dissipação. Ao final aprsntaos nossas considraçõs finais. II. APLICAÇÃO EM SISTEMAS HAMILTONIANOS I. Potncial dpndnt da posição Coçaos co a anális do caso usual d u sista d ua partícula ovinto unidinsional, co Hailtoniana dada por: Hq, p) = p +V q) ) Co ss Hailtoniano, podos scrvr os axioas da sguint fora: Axioa : A quação d Liouvill dfq, p,t) é válida; = F p F V p + F = 0 ) Axioa : Dfinios a função caractrística, rlacionada à dnsidad d probabilidad conjunta no spaço d fas, da fora usual coo sndo Zq,δq,t) = F q, p,t) h ī pδq d p 3) d anira qu Axioa 3: O ansatz D odo gral, quando considraos fnônos dissipativos, staos intrssados abstrair os canisos particulars spcíficos qu lva à dissipação, ou sja, construios ua toria d rsposta linar do tipo f at = k q, incluíos nossa ignorância dsss canisos particulars na constant k. Isso é fito usualnt no âbito da Física Clássica é ua fora intrssant d s abordar a qustão tabé no âbito quântico, ua vz qu iplica aior gnralidad d aplicação.

3 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 Zq,δq,t) = Ψ q δq,t)ψq + δq,t) 4) é válido s xpandiros Zq,δq,t) até sgunda ord δq. Val notar qu ) utilizaos as quaçõs d ovinto. Aplicando 3) a ), obtos: Priiro tro: F p = i h δq) Sgundo: ī h pδq d p = F p ī h pδq d p = F ī h pδq d p = i h Zq,δq,t) δq) V F p h ī pδq d p = ī h δq V Zq,δq,t) E, finalnt, o trciro: F h ī pδq d p = ī F pδq h d p = = Zq,δq,t) 5) Juntando todos os tros ultiplicando tudo por i h, ficaos co h Z δq) + δq V Z = i h Z 6) S scrvros Ψq,t) sua fora polar, dada por Ψq,t) = Rq,t)xp h ī Sq,t)), co Rq,t) Sq,t) funçõs rais xpandiros 4) até sgunda ord δq, obtos: { ) Zq,δq,t) = R q,t) + δq [ ) ]} ) 7) Rq,t) R R xp īh S Substituindo 7) 6) obtos, supondo qu δq é ua variação infinitsial R + [ R δq S + h Rq,t) R S ) = 0 8) R +V q) ) S ] = 0 9) qu são, rspctivant, os tros d ord zro ord u δq qu coincid co suas parts iaginária ral). Por outro lado, s toaros a quação d Schrödingr h ) +V q) Ψq,t) = i h Ψq,t) 0) scrvros Ψq,t) novant sua fora polar, é sipls vr qu la é quivalnt a 8) 9), quando toaos as parts ral iaginária da quação rsultant nas funçõs Rx,t) S x,t). Co isso, ostraos a validad do étodo para sistas co potnciais qu dpnd apnas da posição. É intrssant agora vros qu l tabé s aplica a potnciais dpndnts da vlocidad, as qu ainda anté a strutura Hailtoniana. II. Potncial dpndnt da vlocidad Exist u class d potnciais dpndnts da vlocidads qu prsrva a fora das quaçõs d Lagrang. Ess potncial é a função U q, q,t) tal qu a força gnralizada da j-ésia coordnada pod sr scrita coo[7]: U q, q,t) Q j = + d j ) U q, q,t) q j ) 3

4 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 Assi, podos dfinir a Lagrangana da fora usual a partir daí obtr a Hailtoniana corrspondnt suas quaçõs d ovinto. U iportant caso d potncial co a ncionada fora é o capo ltroagnético, ua vz qu força d Lorntz é dada por: )] F = [ E + v B os capos létrico agnético pod sr scritos coo: E = ϕ A ; B = A ond ϕ é o potncial scalar A é o potncial vtor. Dssa fora, scrvndo: U q, q,t) = ϕ q ) A q,t) q rcupraos a força d Lorntz. Co st potncial, tos a sguint Lagrangana: Z q, p,t) = F q, p,t) h ī p jδq j d 3 p 3) Aplicando 3) a ) d odo análogo ao qu fizos na sção antrior, obtos i h Z = h Z x j δx j ) + i h A j Z x j + A k x j A k δx j Z+ +i h A k Z x j δx j δx k ) + δx j φ x j Z 4) S scrvros ψ q,t) novant sua fora polar xpandindo até sgunda ord, a função caractrística fica [ Z x,δx;t) = R + δx kδx l 4 R R x k x )] l R R h x k x ī δx k S x k, l 5) sua substituição na últia xprssão 4) fornc as quaçõs. ) q, q = qu gra a Hailtoniana: 3 q j j= ϕ A j q j ) R [ + S ] A )R = 0, H q, p ) = 3 p j A j ) + ϕ j= d odo qu a quação d Liouvill dv sr scrita agora coo R δx j { S + S) h A S + A + φ R R } = 0. 6) Essas duas últias quaçõs são quivalnts a dfq,p,t) = F p j A j ) j [ ] F A k p j j A k p k ) + ϕ j + F ) ond passaos a usar a convnção d Einstin d soatórios. Ua vz qu passaos a três dinsõs, dvos tabé rdfinir a função caractrística pla xprssão [ ) ] i h A + φ q ) ψ q,t) = i h ψ q,t) 7) s scrvros ψ q,t) = R q,t) is q,t)/ h substituiros ssa xprssão na quação antrior, toando, ao final, as parts ral iaginária. 4

5 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 III. EXTENSÃO PARA SISTEMAS NÃO HAMILTONIANOS O priiro passo para a xtnsão do nosso étodo é fazr a gnralização da quação d Liouvill s qualqur nção a ua vntual fora Hailtoniana[8]. Para tal, considr u lnto infinitsial d volu no spaço d fass localizado u ponto q, p ). Então podos dfinir ua função d distribuição F q, p,t) qu dá o núro d partículas δn co posiçõs onta contidos no intrvalo [ q, p ), q + δ q, p + δ p )] u tpo t, ou sja, δn = F q, p,t)δ q δ p. Coo núro total d partículas do conjunto é fixo, podos noralizar a função d distribuição, intgrando sobr todo o spaço para scrvr F q, p,t)δ q δ p =. E gral, o núro d sistas ntrando ua fac do lnto d volu srá difrnt daqul saindo pla fac oposta. Para as facs prpndiculars ao ixo q, localizadas q q + δq, tos qu F q,...) q q,...)δq...δq 3 δ p rprsnta o núro d sistas passando pla priira fac. Já, F q + δq,...) q q + δq,...) δq...δq 3 δ p F q,...) + F δq ) q q,...) + q δq ) δq...δq 3 δ p 8) rprsnta o núro d sistas passando pla sgunda fac. Portanto, a variação do núro d sistas passando plo lnto d volu, rlativas ao ixo q, é rprsntada siplsnt por d F δn) q = q + q ) F δ q δ p. S soaros as contribuiçõs d todos os ixos, tos a variação total d sistas dntro do lnto d volu [ ) d δn = q j= F j j + ṗ j p j + F F + q j j + ṗ j p j ]δ q δ p, 9) a drivada tporal da função d distribuição pod sr obtida coo: δ q δ p d δn = ) δn δ q δ = F p. Assi, ua vz qu df = tos a quação ) F F q j + +ṗ j + F j= j p j, df q, p,t) = Λ q, p,t)f q, p,t), 0) ond o fator Λ q, p,t), chaado fator d coprssão, é dfinido coo Λ q, p ;t) = q q + p ṗ. A donstração dssa quação não faz uso, nnhu onto, das quaçõs d ovinto, portanto, não xig a xistência d u Hailtoniano para sr válida, o qu ra nosso objtivo. Val notar qu ua condição suficint para qu o fator d coprssão sja nulo é qu xista u Hailtoniano, ua vz qu, nst caso, 5

6 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 q j = H p j ; ṗ j = H j, rduzindo o rsultado 0) à quação d Liouvill usual ). Considros agora u sista d ua partícula, sujita à força V q) f q, q;t) = + k q. Para st sista as quaçõs d ovinto são V q) ṗ = + k q; ẋ = p, ) o fator d coprssão é dado por: Λ q, p ;t) = k. Dssa fora, scrvos a quação d Liouvill gnralizada coo: qu pod sr ostrada dirtant por io do ansatz. Coo 4) não dpnd da vlocidad, podos antê-lo coo stá. No ntanto, dvido à possibilidad d xpansão ou contração do volu fundantal, fazos a sguint odificação h h kt/, 3) x p h kt/, d fora qu a função caractrística passa a sr scrita coo Zq,δq,t) = Aplicando 4) a ), tos: Priiro tro: F q, p,t) ipδq h kt/ d p. 4) df q, p,t) = F ou, utilizando ): F q + p ṗ + F = k F F p ipδq = i hkt/ δq) = i hkt/ h kt/ d p = F ipδq h kt/ d p Zq,δq,t) δq) 5) F p F V q) + k pf) + F p p = 0 ) Ainda não staos prontos para aplicar o étodo, pois ua nova odificação nos axioas dv sr fita, dsta vz 3). Sabos qu, classicant, o lnto d volu no spaço d fass t a possibilidad d s xpandir ou s contrair. Já na Mcânica Quântica, o lnto d volu fundantal é dado pla rlação x p h, Sgundo tro: Trciro tro: V q) F p ipδq h kt/ d p = = iδq h kt/ V q) k pf) p = k = k Quarto tro: Zq,δq,t) 6) ipδq h kt/ d p = iδq ipδq h pf kt/ δq Zq,δq,t) δq) h kt/ d p ; 7) 6

7 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 IV. CONCLUSÃO = F ipδq F ipδq h kt/ d p + k = Zq,δq,t) h kt/ d p = + k iδq ipδq h pf kt/ h kt/ d p δq Zq,δq,t) δq) 8) Multiplicando tudo por i h kt/, agrupando os tos, ficaos co a quação i h kt/ Zq,δq,t) = h kt/ + δq Zq,δq,t) δq) V q) Zq,δq,t). 9) S utilizaros novant 7), ficaos co duas quaçõs, xatant coo ants, as agora dadas por R kt/ + [ R δq S kt/ R S ) = 0, 30) kt/ + kt/ kt/ h R +V q) Rq,t) S scrvros h kt/ S ) ] = 0 ) +V q) Ψq,t) = = i h kt/ Ψq,t),.. 3) 3) fizros coo antriornt, obtos tabé 30) 3). Analisando 3) é prcptívl qu a quação é siplsnt a quação d Schrödingr já conhcida co ua "nova constant d Planck"coo 3). Fica claro tabé qu quando k = 0 rcupraos a quação d Schrödingr cou. Aprsntaos aqui u étodo qu nos prit drivar a quação d Schrödingr d fora sólida sistática qu pod sr facilnt stndido para sistas qu há introdução ou roção d nrgia. E particular, é possívl ncontrar a quação d Schrödingr para u sista co rsposta linar do tipo k q, sta sndo a anira tradicional d s studar sistas qu rcb ou prd nrgia Mcânica Clássica. No ntanto, há ainda a ncssidad d s analisar casos ais grais coo, por xplo, quando k dixa d sr ua constant passa a dpndr da posição ou do tpo, sndo sts coportantos ais acitávis fisicant, ua vz qu não s spra ua situação na qual o lnto dissipativo rova toda a nrgia do sista quântico subjacnt. Tais gnralizaçõs stão sndo prsntnt dsnvolvidas plos autors. REFERÊNCIAS [] E. Kanai, Progr. Thort. Phys 3, ). W. E. Brittin, Phys. Rv. 77, ). V. W. Myrs, A. J. Phys. 7, ). E. H. Krnr, Can. J. Phys. 36, ). W. K. H. Stvns, Proc. Phys. Soc. 7, ) [] H. B. Calln, and T. A. Wlton, Phys. Rv. 83, 34 95). Wbr, J., Phys. Rv. 90, ), Snitzky, I. R., Phys. Rv. 9, ). R. P. Fynan, and F. L. Vrnon, Annals of Physics 4: ). doi:0.06/ )90068-x [3] H. Dkkr, Z. Physik B, ) [4] A. O. Caldira, A. H. Castro Nto, and T. Olivira d Carvalho, Phys. Rv. B 48, ). A. O. Caldira, and A. J. Lggtt, 7

8 Physica Organu Brasília, vol. 3, n. 07 Physica A: a). doi:0.06/ ) A. O. Caldira, and A. J. Lggtt, Annals of Physics 49, b). doi:0.06/ ) A. J. Lggtt, Physical Rviw B30, ). M. Rosnau da Costa, A. O. Caldira, S. M. Dutra, and H. Wstfahl Jr., Physical Rviw A6: 0 000). doi:0.03/physrva [5] L.S.F. Olavo, Quantu Mchanics: principls, nw prspctivs, xtnsion and intrprtation, Nova Scinc Publishrs, Inc. 04) [6] L.S.F. Olavo, Foundations of Quantu Mchanics: Spcial and Gnral Rlativistic Extnsions in Contporary Rsarch in Quantu Systs, Zohir Ezzian, Ed. Nova Scinc Publishrs, Inc. 04) [7] H. Goldstin, C. Pool and J. Safko, Classical chanics, Addson Wsly; 3rd dition 00) pp -4 [8] D. J. Evans and G. P. Morriss, Statistical chanics of nonquilibriu liquids, ANU E Prss, Cabrra; nd dition 007) pp