Funções Hiperbólicas Inversas. Funções Hiperbólicas Inversas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução snh D R Im R snh Funçõs Hiprbólicas Invrsas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Funçõs Hiprbólicas Invrsas. Introdução.Introdução.Função snh -.Função cosh -.Função tgh -.Função cotgh - 6.Função sch - 7.Função cossch - snh D R Im R snh Introdução. Introdução Você pod vr a partir das figuras sguints, qu snh tgh são funçõs um a um; logo, las têm funçõs invrsas dnotadas por snh - tgh -. A função cosh não é um a um, mas quando rstringida ao domínio [, ) torna-s um a um. A invrsa da função cossno hiprbólico stá dfinida como a invrsa dssa função rstrita. cosh D [, + [ Im [, + [ cosh snh snh cosh cosh tgh tgh -, -,,,,,,,, 6

2 . Introdução. Introdução cosh D [, + [ Im [, + [ cosh - Similarmnt, pod-s constatar a partir das figuras sguints, qu cotgh cossch são funçõs um a um; logo, las têm funçõs invrsas dnotadas por cotgh - cossch -. A função sch não é um a um, mas quando rstringida ao domínio [, [ torna-s um a um. A invrsa da função scant hiprbólica stá dfinida como a invrsa dssa função rstrita. - cotgh cotgh R sch sch cossch cossch R 7. Introdução. Introdução tgh D R Im ],[ tgh cotgh D R Im ], [ ], + [ cotgh Introdução. Introdução tgh D ],[ Im R tgh - cotgh D ], [ ], + [ Im R cotgh

3 . Introdução. Introdução sch D [; + [ Im ],],, sch cossch D R Im R cossch -, , -, -,,,,,,,,, - - -, - 6. Introdução. Introdução sch D ],] Im [, + [ sch - Uma vz qu as funçõs hiprbólicas stão dfinidas m trmos das funçõs ponnciais, é possívl prssar as funçõs hiprbólicas invrsas m trmos d logaritmos. Vja as dmonstraçõs a sguir. -, -,,,,,6,8,,, Introdução. Função snh - cossch D R Im R cossch Dmonstração : Sja snh - snh - - 8

4 . Função snh -. Função cosh - Multiplicando a quação antrior por, trmos: ( ) ( ) Dmonstração : Sja cosh - + cosh Função snh -. Função cosh - Rsolvndo a quação quadrática, obtmos: ± + ± + ± + Multiplicando a quação antrior por, trmos: ( ) ( ) +. Função snh -. Função cosh - Not qu >. Assim sndo, o sinal d mnos é inadmissívl. Portanto: Rsolvndo a quação quadrática, obtmos: + + Aplicando o logaritmo natural na quação antrior obtrmos: ( ) ( + + ) ( ), + + R ± ± ±

5 . Função cosh -. Função tgh - Sabmos qu. Logo. Quando, tmos qu: Além disso, quando >, tmos: Assim: + < < + < + Dmonstração : Sja tgh - tgh Função cosh -. Função tgh - Logo, Rsultando < + < < Logo, quando >, dvmos dsconsidrar o sinal ngativo da rsolução da quação quadrática. 6 Multiplicando a quação antrior por, trmos: + + ( ) Função cosh -. Função tgh - Portanto: + Aplicando o logaritmo natural na quação antrior obtrmos: ( ) ( + ) ( + ), [, + [ 7 Aplicando o logaritmo natural na quação antrior obtrmos: ( ) ( ) + + +, ], [

6 . Função cotgh - 6. Função sch - Dmonstração : Sja cotgh - Dmonstração : Sja sch - + cotgh + + sch Função cotgh - 6. Função sch - Multiplicando a quação antrior por, trmos: Multiplicando a quação antrior por, trmos: + + ( ) ± ± ±. Função cotgh - 6. Função sch - Aplicando o logaritmo natural na quação antrior obtrmos: ( ) ( ) + + +,,, + ] [ ] [ Como. Assim: Elvando ambos os mmbros ao quadrado, trmos: ( ) ( ) + ou 6 6

7 6. Função sch - 7. Função cossch - Contudo, tmos qu <. Então: + Aplicando o logaritmo natural na quação antrior obtrmos: ( ) + +, ],] 7 Assim: Para > Para < 7. Função cossch - 7. Função cossch - Dmonstração 6: Sja cossch - cossch Aplicando o logaritmo natural nas quaçõs antriors obtrmos: ( ) + ± + +, R 8 7. Função cossch - Multiplicando a quação antrior por, trmos: ± + ± + ± + 9 7