UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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2 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Equação comparação d igualdad Equação difrncial é uma quação qu nvolv uma função incógnita suas drivadas. Dfinição: Chama-s quação difrncial a uma quação qu stablc uma rlação ntr a variávl indpndnt, a função dsconhcida f () suas drivadas ', '', ''', 4,..., n a, ond: é a drivada, é a a drivada,..., n é a nésima drivada. Eistm muitas classificaçõs das quaçõs difrnciais difrnts maniras d rsolvê-las. Algumas classificaçõs básicas das Equaçõs difrnciais Todas as quaçõs difrnciais qu possum apnas uma variávl indpndnt são ditas drivadas ordinárias. Então, a quação é chamada quação difrncial ordinária (E.D.O.). Quando numa quação difrncial há mais d uma variávl indpndnt, as drivadas são parciais a quação é chamada quação d drivadas parciais ou quação difrncial parcial (E.D.P.). Uma quação difrncial também pod sr classificada quanto a ordm ou grau. - Quanto a ordm: A ordm da quação difrncial é dfinida plo maior númro d drivadas d função dntro da quação. (A ordm d uma quação difrncial é a ordm da mais alta drivada qu nla aparc) - Quanto ao grau: O grau da quação difrncial é dtrminado plo pont da drivada qu rprsnta a ordm da quação difrncial. (O grau d uma quação difrncial, qu pod sr scrita como um polinômio na função incógnita suas drivadas, é a potência a qu s acha lvada a drivada d ordm mais alta) Obsrvação: Nm toda quação difrncial pod sr classificada sgundo o grau. Por mplo: d d + d é uma E.D.O. d a ordm, mas não possui grau, pois não pod d sr scrita sob a forma d um polinômio na função incógnita suas drivadas, m razão da prsnça do trmo. Emplo: ) Classifiqu as sguints quaçõs difrnciais: d a) + 6 d Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau. d d b) + d d Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau. c) d) 4 d d d d d d Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau. z z Rsposta: Equação difrncial parcial, a ordm, 0 grau. d ) d + 4 d d 0 Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau.

3 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima d f) d g) + d 4 6 Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau. d d 5 d + Rsposta: Equação difrncial ordinária, a ordm, 0 grau. Ercício: ) Classifiqu as sguints quaçõs difrnciais, m ordinárias ou parciais m rlação à ordm grau: d a) 4 Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau. d b) 6 4 Rsposta: Não é quação difrncial. d d d c) d d + d Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau. 4 d) ''' + 4( '') + ' Rsposta: E.D.O., ordm, 0 grau ) '' 4 5 Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau. 5 f) ( '') + ( ') Rsposta: E.D.O, a ordm, 0 grau. g) z z + + z z h) z + i) d d d Rsposta: E.D.P, a ordm, 0 grau. Rsposta: E.D.P., a ordm, 0 grau. d Primiramnt dvmos prparar a quação difrncial para podrmos classificar sua ordm grau: d d d d Rsposta: E.D.O, a ordm, 0 grau. d j) ln d Rsposta: E.D.O., a ordm, não têm grau. d d d log Solução: d d log a ; Lmbr-s: ln log b b a d d k) 5 d + Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau.

4 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima 5 l) d d + 4 d d Rsposta: E.D.O., a ordm, não têm grau. d d m) 4 + ( sn ) d d Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau. 7 n) d d d d Rsposta: E.D.O., a ordm, 0 grau. o) 4 0 t Rsposta: E.D.P., a ordm, 0 grau. Rsolvr a quação difrncial significa dtrminar todas as funçõs qu, sob a forma finita vrificam a quação, ou sja, é obtr uma função d variávis livrs qu, substituída na quação, transform-a m uma idntidad. Emplo: sn é a solução da quação ' ' ' + cos sn Essa função é solução particular da quação difrncial dada. Ercício ) Vrifiqu s a função dada é solução da quação difrncial: a) sn ' ' Rsposta: Sim é solução particular b) ' + Rsposta: Sim a snt d b c) bcost d a Rsposta: Sim 5 d) + c ' ' + 5' 0 Rsposta: Sim ) + 4 ( + ) d + ( ) d 0 Rsposta: Sim f) ' ' ' 0 Rsposta: Sim g) ' ' ' 0 Rsposta: Não h) '' ' 0 Rsposta: Não 5 Tipos d soluçõs Eistm tipos d soluçõs das quaçõs difrnciais: - Solução Gral: É a solução da quação qu contém tantas constants arbitrárias quantas form as unidads d ordns da quação. Dssa forma: uma quação d a ordm aprsnta uma constant arbitrária, uma quação d a ordm aprsnta duas constants arbitrárias. - Solução Particular: É a solução da quação dduzida da solução gral, atribuindo-s valors particulars as constants arbitrárias. 4

5 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima - Solução Singular: É a solução da quação qu não pod sr dduzida da solução gral. Assim sndo apnas alguns tipos d quaçõs aprsntam ssa solução. Família d curvas: ) d d d d d + c é a solução gral é solução Particular d d ) Dtrmin a solução da quação + 4 para as condiçõs iniciais. d Solução Gral: Solução particular: + + c (, ) + + c c 0 + OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL COMO LINEAR OU NÃO-LINEAR É EXTRAÍDO DO LIVRO: ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Equaçõs difrnciais. v... d. São Paulo: Makron Books, 00. CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL COMO LINEAR OU NÃO-LINEAR Uma quação difrncial é chamada d linar quando pod sr scrita na forma n n d d d an( ) + an ( )... a ( ) a0( ) g( ) n n d d d Obsrv qu as quaçõs difrnciais linars são caractrizadas por duas propridads: (i) A variávl dpndnt todas as suas drivadas são do primiro grau; isto é, a potência d cada trmo nvolvndo é. (ii) Cada coficint dpnd apnas da variávl indpndnt. Uma quação qu não é linar é chamada d não-linar. As quaçõs d + d 0 ; '' ' + 0 d d d d d d São quaçõs difrnciais ordinárias d primira, sgunda trcira ordns, rspctivamnt. Por outro lado, Coficint potência dpnd d d. '' ' + 0 d são quaçõs difrnciais ordinárias não-linars d sgunda trcira ordns, rspctivamnt. 5

6 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima PROBLEMAS RESOLVIDOS: Classifiqu cada quação difrncial sgundo a ordm, o grau (quando possívl) a linaridad. Dtrmin a função incógnita a variávl indpndnt. a) ''' 5 ' + Rsolução: - Trcira ordm: a drivada mais alta é a trcira. - Primiro grau: a quação tm a forma d um polinômio na função incógnita suas drivadas a trcira drivada stá na primira potência. - Linar: b( ), b( ) 0, b( ) 5, g( ) + - A função incógnita é - A variávl indpndnt é. bt ) + t ( snt) t t+ Rsolução: - Sgunda ordm: a mais alta drivada é d ordm dois. - Não possui grau: m virtud da prsnça do trmo, além d qu a quação não pod sr scrita como um polinômio na função incógnita suas drivadas. - Não-linar: a quação não pod pôr-s na forma d quação difrncial linar. - A função incógnita é - A variávl indpndnt é t. t cs ) + st s s ds Rsolução: - Sgunda ordm: a mais alta drivada é d ordm dois. - Primiro grau: a quação tm a forma d um polinômio na função incógnita t suas drivadas (com coficints m s) a drivada sgunda aparc m primiro grau. - Não-linar: b st, qu dpnd d s d t. - A função incógnita é t - A variávl indpndnt é s b db d)5 + 7 b b p p dp Rsolução: - Quarta ordm: a mais alta drivada é d ordm quatro. - Quinto grau: a quação tm a forma d um polinômio na função incógnita b suas drivadas a drivada d ordm quatro aparc lvada à quinta potência. - Não-linar. - A função incógnita é b - A variávl indpndnt é p. 6

7 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima ) + Rsolução: - Sgunda ordm: a mais alta drivada é d ordm dois. - Primiro grau: a quação tm a forma d um polinômio na função incógnita suas drivadas a drivada d sgunda ordm aparc lvada à primira potência. - Linar: b( ), b( ) 0, b0( ) 0; g( ) + - A função incógnita é - A variávl indpndnt é. LISTA DE EXERCÍCIO PROPOSTA PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS: Dtrmin, para cada uma das sguints quaçõs difrnciais, ordm, grau (s possívl), linaridad, função incógnita, variávl indpndnt. rspostas Equação ordm grau linaridad Função incógnita Variávl indpndnt. ( ") ' + 0 não-linar. 4 (4) + ''' 4 linar. t s ts sn t linar s t 4. (4) + ''' + " ' + sn 0 4 nnhum não-linar d n n linar 5. + d n não-linar d r r d r dr d d d / nnhum não-linar d 7. + d d 7 b 7 linar b p 8. p dp 7 7 db 9. p dp 7 não-linar b p 7

8 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima PROBLEMA DE VALOR INICIAL E DE FRONTEIRA: Muitas vzs, spcialmnt m problmas aplicados, uma quação difrncial é rsolvida sujita a condiçõs dadas qu dvm sr satisfitas pla função incógnita. Como um mplo simpls, considr o sguint problma para discussão: Emplo: Uma partícula p s mov ao longo do io d modo qu sua aclração m qualqur tmpo t 0 dada por: a(t) 6 4t. é a) Encontr a posição da partícula, mdida a partir da origm 0, m qualqur tmpo t > 0, assumindo qu inicialmnt (t 0) la sta localizada m mov-s com uma vlocidad v 5. b) Faça como no itm (a) sabndo-s qu a partícula stá localizada m inicialmnt, m 7 quando t. Solução: Considr a figura : X O P Para formular st problma matmaticamnt, rcordmos qu a vlocidad a aclração d uma d d partícula qu s mov ao longo do io são dadas por: v a rspctivamnt. Então da primira sntnça no problma, tmos: movimnto. Solução do itm (a): d 6 4t (0) qu é a quação difrncial igida do As condiçõs sobr a função dada no itm (a) são:, v 5 m t 0, isto é, (0) v (0) (0) 5. Obsrvmos qu o significado do sinal mnos m v 5 é qu a partícula s mov m sntido d contrário do inicial. S intgrarmos (0) uma vz ncontramos V(t) 6t t + c (0) ond c é uma constant arbitrária Esta constant pod sr dtrminada pla condição v (0) 5. Obtmos, ntão: c, isto é, c 5. Portanto: d V(t) 6t t 5 Intgrando sta prssão, ncontramos: 8

9 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima () t 8t 4t 5t+ c, ond c é outra constant arbitrária qu pod sr dtrminada pla condição (0), assim tmos: 0 + c c. Portanto 8t 4t 5t +, qu é a li igida do movimnto qu dtrmina a posição m qualqur tmpo t > 0; por mplo, m t, t, 8, tc. Solução do itm (b): Nst itm tmos ainda a msma quação difrncial para o movimnto, mas as condiçõs são altradas para (0) () 7. d Nst caso, intgramos (0), como ants, ntrtanto, como não tmos condiçõs para, não podmos dtrminar c d imdiato. Intgrando ntão (0), obtmos: () t t t ct c Agora, usamos as duas condiçõs para obtr as duas constants arbitrárias, isto nos dá: 0 + c, c + c ou sja, c c, ntão () t 8t 4t + t+ As formulaçõs matmáticas dos itns a b do problma são, rspctivamnt; d ( a) 6 4 t, (0), ' (0) 5 d (b) 6 4 t, (0), () 7 Uma difrnça important ntr stas duas formulaçõs é qu m: d (a) as condiçõs sobr a função incógnita (t) sua drivada (t) ou são spcificadas m um valor da variávl indpndnt (nst caso t0), (b) as condiçõs sobr a função incógnita são spcificadas m dois valors da variávl indpndnt (nst caso t 0 t ). Os dois tipos d problmas aprsntados m (a) (b) são chamados, rspctivamnt, problma d valor inicial problma d valor d frontira ou d contorno. Dfinição 0: Um problma d valor inicial é um problma m qu s procura dtrminar uma solução para uma quação difrncial sujita às condiçõs sobr a função incógnita suas drivadas spcificadas m um valor da variávl indpndnt. Tais condiçõs são chamadas condiçõs iniciais. 9

10 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Dfinição 0: Um problma d valor d frontira é um problma m qu s procura dtrminar uma solução para uma quação difrncial sujita às condiçõs sobr a função incógnita spcificada m dois ou mais valors da variávl indpndnt. Tais condiçõs são chamadas condiçõs d frontira. OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: d Uma quação difrncial d ª ordm º grau pod sr scrita na forma: F(, ) d S F (, ) é uma constant ou uma função apnas d a quação difrncial pod sr rsolvida usando-s apnas os métodos d intgração. S F (,) é uma função d prcisarmos buscar outros métodos. Nst caso procurarmos prssar a quação difrncial na forma: M(, )d + N(,)d 0 A sguir farmos uma classificação da quação acima d acordo com a forma assumida plas funçõs M N. Cada tipo d quação tm su método adquado. O sucsso m rsolvr corrtamnt uma quação difrncial stá m classificá-la corrtamnt, para assim podr aplicar o método adquadamnt. A FORMA NORMAL E A FORMA DIFERENCIAL Uma grand quantidad d quaçõs difrnciais ordinárias d ª ordm pod sr scrita na sua forma normal, dada por: ' F(,) ou quando a função FF(,) pod sr scrita como o quocint d duas outras funçõs MM(,) NN(,), tmos: ' M(,) / N(,) Em gral, colocamos o sinal ngativo ants d MM(,): para podr rscrvr: ' M(,) / N(,) Obs. Esta forma é conhcida como forma difrncial. M(,)d + N(,)d 0 Emplo: A quação difrncial ' cos(+) stá m sua forma normal. A quação difrncial ' / stá m sua forma normal, mas pod sr rscrita na sua forma difrncial d d 0. 0

11 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEPARÁVEIS Considrmos uma quação difrncial M(, ) d + N(, ) d 0. S M é uma função d apnas a variávl, isto é M M() N é função apnas da variávl, isto é N N(), ntão a quação dada fica na forma: M() d + N() d 0 la é chamada quação sparávl. Tal fato é motivado plo fato qu é possívl sparar as funçõs d modo qu cada mmbro da igualdad somnt possua um tipo d variávl assim podrmos ralizar a intgração d cada mmbro por um procsso bastant "simpls", ou sja: Emplos: M ( d ) + N( d ) c ) Considrmos a quação difrncial ' na sua forma normal, qu também pod sr scrita na sua forma difrncial: d d 0 d d, ntão intgrando cada trmo indpndntmnt, trmos: + c + c runindo as constants m uma constant c, trmos: c. Nota: Esta rlação satisfaz à quação difrncial dada (solução implícita): M ) d N( ) d d ) Rsolva a quação: ( + ) + 0 d Solução: d d ( + ) + 0 ( + ) ( + ) d d d d d d d + d 0 ( + ) + ( ) ( + c. Assim, M () N () + Intgrando, tmos: ln + ln( + ) c ln ( + ) c ( + ) c + c c +

12 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM EQUAÇÕES SEPARÁVEIS As aplicaçõs qu s sgum foram rtiradas do livro Equaçõs Difrnciais d Richard Bronson (994) Capítulo 6. PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAIMENTO Sja N(t) a quantidad d substância (ou população) sujita a crscimnto ou dcaimnto. Admitindo dn qu, a taa d variação da quantidad d substância m rlação ao tmpo, sja proporcional à dn dn quantidad d substância prsnt, ntão k N ou kn 0, ond k é a constant d proporcionalidad. Emplos: ) Crto matrial radioativo dcai a uma taa proporcional à quantidad prsnt. S istm inicialmnt 50 miligramas d matrial s, após duas horas, o matrial prdu 0% d sua massa original, dtrmin: a) A prssão da massa rmanscnt m um instant arbitrário t. b) A massa d matrial após quatro horas. c) O tmpo após o qual o matrial prd mtad d sua massa original. Solução: dn a) Sja N a quantidad d matrial prsnt no instant t. Então kn 0. Esta quação difrncial é linar sparávl sua solução é dada por: Nt () c. kt.. Em t 0, tmos N(0) 50. Dsta forma, Portanto, Nt ( ) 50. kt.. Nt () c. kt. 50 c. kt. c 50 Em t, houv prda d 0% da massa original d 50 mg, ou sja, 5 mg. Logo, m t, N() 45. Lvando sts valors na quação ncontrada, tmos: Nt ( ) 50. kt k Rsolvndo sta quação ncontramos o valor d k - 0,05. Obsrvação: Para rsolvr sta quação utilizamos as propridads dos logaritmos naturais. Assim, nossa quação com as duas constants ncontradas fica: Nt () 50 0,05t, ond t é mdido m horas. b) Nst itm prcisamos ncontrar o valor d N para t 4. Basta substituir na quação ncontrada trmos N 40,5 mg. c) Nst itm dvmos ncontrar o tmpo para N 5. Substituindo na quação utilizando as propridads dos logaritmos naturais ncontramos t horas.

13 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima PROBLEMAS DE TEMPERATURA A li do rsfriamnto d Nwton, aplicávl igualmnt ao aqucimnto, afirma qu a taa d variação, no tmpo, da tmpratura d um corpo é proporcional à difrnça d tmpratura ntr o corpo o mio circundant. Sjam T a tmpratura do corpo T m a tmpratura do mio circundant. dt Então, a taa d variação da tmpratura m rlação ao tmpo é, a li d rsfriamnto d Nwton pod assim sr formulada: dt dt ( T Tm ) + kt ktm k ou ond k é uma constant positiva d proporcionalidad. Emplos: ) Uma barra d mtal à tmpratura d 00º F é colocada m um quarto à tmpratura constant d 0ºF. S após 0 minutos a tmpratura da barra é d 50ºF, dtrmin: a) O tmpo ncssário para a barra atingir uma tmpratura d 5ºF. b) A tmpratura da barra após 0 min. Solução: dt Utilizando a quação + kt ktm sabndo qu T m 0, trmos: dt + kt 0, cuja solução é: k.0 Como T 00 m t 0, tmos: 00 c. c 00. Assim, trmos a solução k. t T 00.. T c. k.t. Por outro lado, tmos T 50 m t 0 assim obtmos: k.0. Utilizando as rgras d logaritmos ncontramos k 0,05. Dsta forma, substituindo na quação, trmos T 00. 0,05.t 0,05. t a) O tmpo ncssário para trmos T 5, srá: 5 00., rsolvndo sta quação, ncontramos t 9,6 min. 0,05.0 b) Para ncontrar T quando t 0 basta substituir na quação ncontrada trmos: T 00.. E, portanto T 70,5ºF.

14 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima ) Um corpo à tmpratura d 50ºF é colocado ao ar livr ond a tmpratura é d 00ºF. S, após 5 min, a tmpratura do corpo é d 60ºF, dtrmin: a) O tmpo ncssário para qu o corpo atinja a tmpratura d 75ºF. b) A tmpratura do corpo após 0 minutos. Solução: dt Utilizando a quação + kt ktm sabndo qu T m 00 trmos: cuja solução é: dt + kt 00k, T c. k. t + 00 k.0 Como T 50 m t 0, tmos 50 c c 50. k. t Assim, trmos a solução T Por outro lado, tmos T 60 m t 5, assim obtmos: k + 00 Utilizando as rgras d logaritmos ncontramos k 0,045. 0,045. t Dsta forma, substituindo na quação, trmos T a) Para ncontrar t quanto T 75, basta substituir T 75 na quação função ncontrada. Assim, 0,045. t Utilizando as propridads d logaritmos ncontramos t 5,4 min. b) Para ncontrar T quando t 0, basta substituir t 0 na quação trmos 0,045.(0) T E, portanto: T 79,5ºF. 4

15 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima LISTA DE PROBLEMAS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Dtrmin a solução (implícita ou plicita) das quaçõs difrnciais abaio: a) d d 0 d b) d c) d d d d) d d ) d f ) d d 0 g) d d 4 ( + ) Rsposta : Rsposta : Rsposta : Rsposta : Rsposta : Rsposta : Rsposta : c.. c 4 c 4 c c 4 c c ) Dtrmin a solução particular m cada uma das quaçõs difrnciais dadas d a) quando a) d Rsposta: + b) b) d + d 0 quando 0 ) Uma sfra d cobr é aqucida a uma tmpratura d 00ºC. No instant t 0 la é imrsa m água qu é mantida a uma tmpratura d 0ºC. Ao fim d minutos, a tmpratura da sfra stá rduzida a 70ºC. Dtrminar o instant m qu a tmpratura s ncontra rduzida a ºC. dt Obs. Utilizar a formulação matmática da li do rsfriamnto d Nwton, ou sja, k(t 0) Rsposta: t,78 minutos 4) Crto matrial radioativo dcai a uma taa proporcional à quantidad prsnt. S inicialmnt, há 00 miligramas s, após dois anos, 5% do matrial dcaíram, dtrmin: a) A prssão da massa no instant arbitrário t. b) O tmpo ncssário para o dcaimnto d 0% do matrial. Rsposta: a)n 00. 0,056 t b) 4, anos 4 a m 0 d 5) Um corpo à tmpratura d 0ºF é colocado m um quarto m qu a tmpratura é mantida a 00ºF. S, após 0 minutos a tmpratura do corpo é d 5,7ºF, dtrmin: a) O tmpo ncssário para o corpo atingir a tmpratura d 50ºF. b) A tmpratura do corpo após 0 minutos. Rsposta: a),9 min 4 min b) 4,75ºF 44ºF 6) Um corpo com tmpratura dsconhcida é colocado m um rfrigrador com uma tmpratura constant d 0ºF. S após 0 minutos, a tmpratura do corpo é d 40ºF após 40 minutos é d 0 ºF, dtrmin a tmpratura inicial. Rsposta: T 0 80ºF 7) Um corpo à tmpratura d 50ºF é colocado m um forno cuja tmpratura é mantida constant m 50 ºF. S, após 0 minutos, a tmpratura do corpo é d 75ºF, dtrmin o tmpo ncssário para qu o corpo atinja a tmpratura d 00 ºF. Rsposta: t 00,9 min. 5

16 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA Dfinição: Uma quação difrncial ordinária (EDO) na forma difrncial M (, ) d + N (, ) d 0 é dita ata s: M N Emplos: ) Vrifiqu s a EDO d + ( + ) d 0 é ata. Solução: M N M (, ) N (, ) + M N Como, tmos qu ssa quação é uma EDO ata. ) a) A forma difrncial d + d 0 é ata. (vrifiqu!) b) A forma difrncial d + d 0 é ata. (vrifiqu!) c) A forma difrncial d d 0 não é ata. (vrifiqu!) M N Torma: Sjam M (, ), N(, ), contínuas no rtângulo a < < b c< < d. Então a M N EDO M (, ) d + N (, ) d 0 é ata s, somnt s:, isto significa dizr qu ist u u uma função u (, ) c tal qu M (, ) N (, ). Dfinição: Uma quação difrncial homogêna d a ordm M (, ) d + N (, ) d 0 é ata s a difrncial: u u du d + d 0 da função u (, ), (ond a função u(, ) é uma função implícita, isto é, é a variávl dpndnt é a variávl indpndnt) d manira qu du (, ) 0 intgrando u (, ) c. Assim, M (, ) d + N (, ) d 0 é ata s, somnt s: u u M (, ) N(, ) tal qu M N sua solução srá: u u (, ) M (, ) d + k( ) d + k( ) ond k ( ) rprsnta uma constant qu dpnd d. Assim, driva-s u (, ) M (, ) + k( ), para obtr k( ), isto é: u M (, ) d + k '( ) N(, ) M (, ) d + k '( ) 6

17 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Sugstão d algoritmo para a solução da EDO ata: M N Passo 0) Vrificar s a quação difrncial dada é ata, ou sja,. u Passo ) Fazr M (, ) dtrminar u(, ) prssão m + k( ). u Passo ) Fazr N(, ) dtrminar k '( ) k( ). Passo ) Substituir k ( ) m u(, ). Passo 4) Fazr u (, ) c. Emplos: ) Rsolva a EDO d + ( + ) d 0. Solução: M N Como, M N M (, ) N(, ) + tmos qu ssa quação é uma EDO ata. Agora, vamos a sua rsolução: Admitimos qu ist uma função u u u (, ) c tal qu M N. Assim: u u(, ) d d é cons tan t u(, ) + k( ) Por outro lado, Dsta forma, u + k'( ) u N + k' ( ) + k'( ) k( ) d + + c Portanto, c c c u(, ) + + c c + c (forma implícita) Ou, + c c + ) c (forma plícita) ( + ) ( 7

18 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima 8 ) Rsolva a EDO. 0 ) ( ) ( d d Solução: M M ), ( + N N ), ( + Como, N M tmos qu ssa quação é uma EDO ata. Agora, vamos a sua rsolução: Admitimos qu ist uma função c u ), ( tal qu N u M u. Assim: ) ( ), ( ) ( u ), ( tan k u d d u t cons é Por outro lado, ) '( 0 k u + + N u + Dsta forma, ) ( ) '( ) ( ' c d k k k Portanto, c c c u c c c ), ( (forma implícita) ) Vrifiqu s a quação difrncial ordinária + d d é ata rsolva-a. Solução: Como, + + d d d d ) ( ( ) N M d d 0 ntão: M N N M dond a quação é ata sua solução, srá:

19 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima u M u + u(, ) ( + ) d u (, ) + + k( ) u N + k' ( ) k'( ) 0 k( ) c Logo, u c c c (, ) + + c c + c (forma implícita) ou, c c + c c (forma plícita) LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Vrifiqu s as quaçõs abaio são atas, dtrminando sua solução. a ) ', com (0) Rsposta: ou b ) 4. d +. d 0 Rsposta: + 4 c c ). d +. d 0 Rsposta: N ão ata, ln + c d ) 4sn. d +.cos. d 0 4 Rsposta: Não ata, sn c ) ( + ) d + ( + ln ) d 0 Rsposta: ( c + ln ) c ou + ln f ) (. + ). ' +. 0 Rsposta: + c (cos + sn) d cos. d g ) ( π ) 0 Rsposta: tg h ) ( ) d + ( + ) d 0 Rsposta: + c ) Vrificar s as Equaçõs Difrnciais, dadas a sguir, são atas dtrminar sua solução gral: a) dr r + cos ( ) + 0 Rsposta: É ata, r + sn( ) c d du b) ( + u ) v + ( v) u 0 Rsposta: Não é ata, n( uv) + u v c. dv ) Vrificar s as Equaçõs Difrnciais, dadas a sguir, são atas dtrminar sua solução gral: a) d + d 0 para () Rsposta: É ata, 4 8 d b) (4 ) 0 para () Rsposta: É ata, + 7 d d c) ( 5 + ) + ( ) 0 para () Rsposta: É ata, + d 9

20 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima d) (4 ) d d 0 para () Rsposta: É ata, + 9 s 4) Vrifiqu s a Equação Difrncial t s + + t + ln() t ds t 0 solução gral, sabndo qu s s() t. Rsposta: é ata, s( t + ln t) c é ata dtrmin a 5) Vrifiqu s a Equação Difrncial ( ) ( ) gral, sabndo qu ( ). Rsposta: é ata,. sn( ) cos d+ cos d 0 é ata dtrmin a solução c 6) Vrifiqu s a Equação Difrncial solução gral, sabndo qu cos t ( s) () t sn ( s) 0 + ln ds 4 s s() t. Rsposta: não é ata, t c sc ( s) é ata dtrmin a [ ] 0 7) Rsolvr o sguint problma d valor inicial d + + π cos( π) d, sabndo qu ( ) Rsposta: é ata, + sn( π ). 8) Rsolvr o sguint problma d valor inicial 9 ( ) d + ( ) d 0, sabndo qu ( ) 0 Rsposta: não é ata, ) Vrifiqu s as quaçõs abaio são atas, dtrminando sua solução. a) + + ' 0 Rsposta: é ata, + c b) ( cos + ) + ( sn +. ) ' 0 Rsposta: é ata, sn + c EXTRA > INTERESSANTE. ) Rsolva a quação difrncial ordinária ', ou sja, dtrminar a função cuja drivada é igual a la msma. Solução: c c c d d ' d d d d d ln + c + c ln + c c d ln + c c c + c 0

21 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. FATORES INTEGRANTES Objtivo: Transformar uma quação difrncial não ata m uma quação difrncial ata. O qu é um fator intgrant? Em gral, a quação difrncial M (, ) d + N (, ) d 0 (0) não é ata. Por vzs, ntrtanto, é possívl transformar ssa quação m uma quação difrncial ata, mdiant multiplicação por um fator adquado. Lamntavlmnt, não ist um método simpls, para obtr fators intgrants. S istiss, nosso trabalho sria bastant simplificado. Flizmnt, ntrtanto, istm alguns métodos, qu irmos discutir qu aparcm com frqüência. O primiro método qu studarmos é nada mais qu um método d sparação d variávis, m qu o fator intgrant é gralmnt vidnt, pois M N pod, cada um sr scrito como uma função d vzs uma função d. Dfinição: Dada a quação difrncial M (, ) d + N (, ) d 0. Uma função I (, ) é um fator intgrant, s a quação: é ata: Emplos: I (, ) [ M (, ) d + N(, ) d] 0 (0) ) Mostr qu a função I(, ) é um fator intgrant para a quação d d 0. Solução: M N M (, ) N (, ) M N Como, tmos qu ssa quação é uma EDO não ata. Mas, multiplicando a quação difrncial dada por I (, ), tmos: [ d d] 0 d + d 0 M N M (, ) N(, ) M N Portanto,, tmos qu ssa quação é uma EDO ata pod sr rsolvida plo método visto m aula antrior (método da quação difrncial ata).

22 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. ) Mostr qu a função I (, ) é um fator intgrant d d d 0. M N Solução: M (, ) N (, ) M N Como, tmos qu ssa quação é uma EDO não ata. Mas, multiplicando a quação difrncial dada por I (, ), tmos: M N [ d d] 0 d + d 0 M (, ) 0 N (, ) 0 M N Portanto,, tmos qu ssa quação é uma EDO ata pod sr rsolvida plo método da EDO ata. Obsrvação: Os dois mplos antriors mostram qu uma quação difrncial pod admitir mais d um fator intgrant. Rsolução com o mprgo d um fator intgrant S I (, ) é fator intgrant d (0), ntão (0) é ata pod sr rsolvida sja plo procsso da quação difrncial ata, sja por intgração dirta. A solução d (0) é também solução d (0). Dtrminação d um fator intgrant Do tst dado para vrificar s uma quação difrncial é ata, dcorr qu um fator intgrant é solução d crta quação difrncial parcial. Ora, m gral, ssa quação difrncial parcial é mais difícil d rsolvr do qu a própria quação difrncial original. Consqüntmnt, os fators intgrants s obtêm, m gral, por inspção. O êito do método vai dpndr, ntão, da habilidad do calculista, m rconhcr ou vislumbrar, qu dtrminado grupo d trmos constitui uma difrncial ata dh (, ). Para tanto, a tabla a sguir podrá constituir boa ajuda. Grupo d Trmos Fator intgrant I (, ) Difrncial ata dh(,) d d d d d d d d d d d d d d d ln d d d d d arctg + + d + d d + d d( ln ) d + d, n > d + d ( ) n d n n ( ) ( n )( )

23 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Grupo d Trmos Fator intgrant I (, ) Difrncial ata dh(,) d + d d + d ) d ln( d + d, n> d + d ( + ) n d n n ( ) ( n )( ) ad + bd ( a, b constants) a b ( ad + bd) d( a b a b ) Por vzs, um ragrupamnto dos trmos da quação difrncial facilita a visualização do fator intgrant (mplos, 4 5). Conhcm-s fators intgrants quando M(,) N(,) m M (,).d + N (,).d 0 satisfazm crtas condiçõs: (Caso i) S g ( ) dtrminado por: M N N é uma função dpndnt apnas da variávl, o fator intgrant é gd ( ). I(, ) (Vr mplo 6) (Caso ii) S h ( ) é dtrminado por: M N M é uma função dpndnt apnas da variávl, o fator intgrant hd ( ). I(, ) (Vr mplo 7) (Caso iii) S M (, ) f. ( ) N (, ) g. ( ), ntão: I(, ) M(, ) N(, ) (Vr mplo 8) Emplos: ) Rsolva d d 0 Solução: Utilizando o fator intgrant (, ) a quação difrncial como: I (vr mplo, p. ou tabla antrior), podmos scrvr

24 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. d d 0 (0) Como (0) é ata, pod sr rsolvido plo procsso das quaçõs difrnciais atas. d Altrnativamnt, pla tabla antrior, notamos qu (0) pod sr scrita como 0. Logo, por d intgração dirta, tmos c, ou c como solução. ) Rsolva a quação difrncial do mplo utilizando outro fator intgrant. Solução: Utilizando o fator intgrant I (, ) (vr mplo, p. ou tabla antrior), podmos scrvr a quação como: d d 0 (0) Como (0) é ata, pod sr rsolvido plo procsso das quaçõs difrnciais atas. Altrnativamnt, pla tabla antrior, notamos qu (0) pod sr scrita como d ln 0. Logo, por intgração dirta, tmos ln c. Tomando ponnciais m ambos os mmbros obtmos c, ou finalmnt, c ( c c ). d+ d 0 ) Rsolva ( ). Solução: Não s rconhc imdiatamnt nnhum fator intgrant. S, ntrtanto, ragruparmos convnintmnt os trmos da quação, podrmos scrvê-la. ( d d) + d 0 (0) O grupo d trmos ntr parêntss admit muitos fators intgrants. Eprimntando cada um dls sparadamnt, vrificamos qu apnas um dls torna toda a quação uma difrncial ata: Ess fator é I (, ) /. Utilizando-o, podmos scrvr (0) como d d + d 0 (04) Como (04) é ata, pod sr rsolvida plo procsso das quaçõs difrnciais atas. Altrnativamnt, a quação (04) pod sr scrita como d( / ) + d 0, ou como d( / ) d. Intgrando, obtrmos a solução: + c ou + c 4

25 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. d+ ( + ) d0 4) Rsolva ( ). Solução: Não s rconhc d imdiato nnhum fator intgrant. Escrvndo, ntrtanto, a quação difrncial como: ( d + d) + ( d + d) 0 (05) vê-s qu o primiro grupo d trmos admit vários fators intgrants (tabla antrior). Um dls, a sabr I(, ) /( ), é fator intgrant para toda a quação. Multiplicando a quação (05) por /( ), obtmos: Ou quivalntmnt Pla tabla antrior: d modo qu (06) pod scrvr-s como d + d d + d + 0 ( ) ( ) d + d d d (06) ( ) d + d d ( ) d d d Intgrando ambos os mmbros dsta última quação, obtmos: ln + c qu é a solução sob forma implícita. 5) Rsolva '. 4 + Solução: Escrvndo a quação sob forma difrncial, tmos: ( ) d + ( 4 ) d 0 Não s rconhc d imdiato nnhum fator intgrant. Podmos, no ntanto, ragrupar os trmos da quação como sgu: ( d d) 4 d 0 (07) O grupo ntr parêntss é da forma ad + bd, com a b, qu admit como fator intgrant. Ora, como a prssão ntr parêntss já stá multiplicada por, tntamos um fator da forma I (, ), vm: ( d d) d 0 qu pod sr simplificada (vr tabla antrior) para: d( ) d (08) 5

26 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Intgrando ambos os mmbros d (08), obtmos: +c 6) Rsolva '. Solução: Escrvndo a quação sob forma difrncial, tmos: como solução sob forma implícita. ( + ) d + d 0 (09) Não s rconhc d imdiato nnhum fator intgrant. Nota-s,ntrtanto, qu M(, ) + N(, ) ; d forma qu: M N ( ) (0) N é função d somnt. Portanto d acordo com a condição (a) para dtrminar o fator intgrant, tmos:. d I(, ) é o fator intgrant. Multiplicando (09) por, obtmos: ( + ) d + d 0 (0) qu é ata. Rsolvndo (0) plo procsso das quaçõs difrnciais atas, obtmos a solução: c + Obsrv qu a quação dada é também linar. (Ess tipo d quação srá objto d studo nos tópicos sguints). 7) Rsolva d + d 0. Solução: Aqui, M (, ) N (, ) ; logo, M N M é função d somnt. Portanto d acordo com a condição (b) para dtrminar o fator intgrant, tmos: (/ d ) ln I (, ) / é o fator intgrant. Multiplicando a quação difrncial dada c por: I (, ) /, obtmos a quação ata d + d 0, cuja solução é. Um procsso altrnativo consistiria m dividir a quação dada por quação d variávis sparávis. transformando-a m uma 6

27 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, ) Rsolva '. Solução: Escrvndo a quação sob a forma difrncial, tmos: d acordo com o caso (c) para dtrminar o fator intgrant, scolhmos: ( ) d+ () d 0 () I (, ) [ ( )] ( ) Multiplicando () por I (, ), obtmos: d d 0 qu é ata. Aplicando o procsso das quaçõs difrnciais atas, chgamos à solução /( ln c). Not-s qu podríamos tr scrito () como: ( d + d) d 0 qu também sugr (vr tabla ) (, ) / como fator intgrant. I ( ) d + 9) Rsolva d +. () Solução: Escrvndo a quação dada na forma: ( + )d ( + )d 0, trmos: a quação não é ata. M N + M (, ) N (, ) Obsrv qu M(,) N(,) podm sr fatoradas como produto d uma função d uma função d, isto é, ( + ) d ( + ) d 0 o fator intgrant é: I(, ) ( + )( + ) multiplicando a quação por st fator intgrant, tmos 7

28 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, d + d qu é sparávl ata intgrando sta prssão, tmos: Como quando, obtmos E a solução qu procuramos é: ln( + ) ln( + ) c ou ( + ) c ( + c. 6 ( + ) ( + ) ou 6 6 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 0 ) ) Dtrmin um fator intgrant apropriado para cada quação difrncial rsolva-a: Rspostas: a). d +. d 0 a) I(, ) / ou I (, ) / ; c b). d +.lnd 0 bi ) (, ) / ; c/ln cd ). d. 0 ci ) (, ), I(,) / ou I(, ) / ; c d) cos d. snd. 0 d) I(, ) / ; sn c )( + ) d ( + ) d 0 I ) (, ) /( + ) + + ou I(, ) /( ) ; c( ) f) (+ ). d+ d. 0 f ) I(, ), + c g d d ) ( ).. 0 g) I)(, ) / ; + c 4 h) 4 d. +. d 0 h) I(, ) ; c i) d d 0 ii ) (, ) / ou I (, ) ; ln c 8

29 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. RESUMO PARA ENCONTRAR FATORES INTEGRANTES Considr a quação: M(,) d + N(,) d 0 M N ) Calcul: (0) (0) ) S (0) (0) a quação é ata pod sr rsolvida. ) S (0) (0), podmos tr os sguints casos: M N (i) S g ( ) N a função dpnd apnas da variávl, o fator intgrant é dtrminado por: gd ( ). I(, ) M N (ii) S h ( ) M a função dpnd apnas da variávl, o fator intgrant é dtrminado por: hd ( ). I(, ) (iii) S M (, ) f. ( ) N (, ) g. ( ), ntão: I(, ) M(, ) N(, ) Emplo: ) Rsolva d d (0) Solução: Escrvndo a quação difrncial como ( ).d d 0, tmos: M M(, ) N N(, ) 0 a quação não é ata. M N ( 0) Agora usando g ( ) isto é, g() é uma função d. Portanto N d I(, ) é um fator intgrant. Assim d d ( ). +. d d rsolvndo como uma solução ata, chgamos a solução gral:.. C utilizando a condição d istência, tmos:.. 5 9

30 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Rsolva as sguints quaçõs difrnciais, utilizando o procsso qu considrar apropriado possívl: Rspostas: a) d + d 0 ai ) (, ) (a quação é ata); c b)( + ) d + d 0 bi ) (, ) /( ) ; / ( c) c)( + + ) d d 0 ci ) (, ) /( + ); tg ( + c) d)( + ) d d 0 d) I(, ) / ; c d ) + ( d ) 0 I ) (, ) / ; c f)( ) d+ ( 4 ) d 0 f ) I (, ) /( ) ; c 6 g)d + d 0 gi ) (, ) / ; ( c ) h) d + d 0 hi ) (, ) ; c/ i)( ) d+ d 0 j)( + 4 ) d+ d 0 k) + d+ 4 d 0 ld ) + ( + d ) 0 m)( + + ) d d 0 n) d+ ( + 4 ) d 0 ii ) (, ) ; c + / ji ) (, ) /( ) ; / 4 / c ) (, ) ; 4 ki + c li ) (, ) /( ) ; ln c mi ) (, ) /( + ); tg ( / + c) ni ) (, ) / ; / c 0

31 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE a ORDEM Considrmos uma quação difrncial da forma: a 0 ( ) ' + a ( ) b( ) Vamos considrar qu todas as condiçõs ncssárias ( a0 ( ), a ( ) b( ), dpndam apnas da variávl ) para qu possamos rsolvr sta quação sjam satisfitas. O mlhor qu podmos fazr quando quação por a 0 ( ) para obtr: a 0 ( ) é não nula, é ralizar a divisão d todos os trmos da ' + P( ) Q ( ) (0) uma quação qu pod sr scrita dsta forma, ond P() Q() são funçõs d conhcidas, é chamada uma quação difrncial linar d primira ordm (s uma quação não pod sr scrita d nsta forma, como por mplo + sn, é chamada quação difrncial d primira ordm d não-linar). Um bom método para rsolvr sta quação (0) d uma forma gral é multiplicar ambos os mmbros da quação por um fator intgrant P( ) d I(, ), Assim: qu é quivalnt a P( ) d d P( ) d + P( ) d P( ) Q( ) () d d ). P( ). d P( d. Q( ) d Prova da quivalência: Fazndo: d u u ' ' P( ) d v v' P( ) d P( ) d Por outro lado, sabmos qu: Substituindo () m () tmos: ' P( ) d d + P( ) d + P( ) d [ u v]' u' v u v' P( ) () d P( ) d ' Q( ) P( ) d

32 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Intgrando ambos os mmbros m rlação à, tmos: cuja solução é: como P( ) d I(, ), vamos a: P( ) d ' d Q( ) P( ) d d P( d Q( ) d + c P ( ) d ) I Q( ) I d + c () Nota: Na prática, podmos trabalhar dirtamnt com a quação (). Emplos: d ) Rsolva: d Solução: Tmos uma quação difrncial linar d primira ordm, com P() 5 Q() 50. O fator intgrant fica dtrminado por: I P( ) d 5d 5 Substituindo ssas informaçõs na quação (), tmos: d c + c ou 0 + c 5 Obsrvação: O método d sparação d variávis também podria tr sido utilizado na rsolução dss mplo, como mostramos a sguir. d d d d d + d ln(50 5) c d d (50 5) (50 5) 5 ln(50 5) 5 5c 5c 5 5 5c 5 5c c 5 ) Rsolva: ' - 6 Rsposta: + C ) Rsolva: ' Rsposta: + C

33 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Rsolva as quaçõs difrnciais linars d a ordm abaio: Rspostas: a) ' + a) + c b) ' c) ' b) c + d) ' + sn c c) 4 ) ' + tg sn f ) ' d) ( c cos ) g) ' 4 4 ) C.cos cos h) ' + 4 f ) c + i) ' g) c 4 + h) c + i) c +. LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Rsolva as quaçõs difrnciais: ad ) d 0 ( ) ( ) b) + sn d+ cos d c ) ' + d) ' + sn + ) ' f) ' + ( ) ( ) g) + d+ + + d 0 dz h) z d Rspostas: a) c b) + sn c c 5 c) d) c + sn cos ) + c f) + 4+ c g) + + c h) z() c + ) Rsolva d d 0 com (0) Rsposta:

34 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima PROBLEMAS DE QUEDA DOS CORPOS Considrmos um corpo d massa m m quda vrtical, influnciado apnas pla gravidad g por uma rsistência do ar proporcional à vlocidad da quda. Admitamos qu tanto a gravidad como a massa prmancm constants, por qustão d convniência, scolhamos a dirção para baio como a dirção positiva. Sgunda li do movimnto d Nwton: A força líquida qu atua sobr um corpo é igual à taa d d v variação do momnto do corpo m rlação ao tmpo, ou, para uma massa constant, F m, ond F é a força líquida qu atua sobr o corpo v é a vlocidad do corpo ambas no instant t. No problma m studo, há duas forças atuando sobr o corpo: A força dvida à gravidad rprsntada plo pso w do corpo qu é igual a m.g A força dvida à rsistência do ar, dada por k.v, ond k 0 é a constant d proporcionalidad. Faz-s ncssário o sinal mnos porqu sta força é oposta à vlocidad, isto é, atua para cima, na dirção ngativa. A força líquida F qu atua sobr o corpo é, pois: F m.g k.v. Lvando st rsultado na quação da sgunda li do movimnto d Nwton, tmos: como a quação do movimnto do corpo. Emplos: dv dv k m. g k. v m. + v g m dv ) Mostr qu dsprzando-s a rsistência do ar (ntão k 0), trmos: g solução dssa quação.. Dtrmin a Solução: Inicialmnt, substituindo k 0 m dv k dv + v g, tmos: g m Por outro lado, podmos facilmnt dtrminar a solução dssa quação, usando as quaçõs linars sparávis, como mostramos a sguir: dv g dv g dv g v g t + c 4

35 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima dv k ) Dtrmin a solução gral da quação difrncial + v g. m Solução: k Tmos uma quação difrncial linar d primira ordm, com P ( t) Q( t) g. m O fator intgrant fica dtrminado por: k k Pt () t I m m Substituindo ssas informaçõs na quação v I Q( t) I + c, tmos: k k k k k t t t t m m m m m m g c m g t v g + c v g + c v + v + c m k k k t k m ) Mostr qu s k > 0, a vlocidad limit da quda dos corpos é dada por Solução: m. g v l. k k m g t lim [ ] lim m m g vl solução gral d v + c t + t + k k 5

36 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Obsrvação: Estas quaçõs são válidas apnas s as condiçõs dadas são satisfitas. Elas não são válidas, por mplo, s a rsistência do ar não for proporcional à vlocidad, sim ao quadrado da vlocidad, ou s toma como dirção positiva a dirção para cima. Problmas: ) Dia-s cair um corpo d 75 Kg d uma altura d 0 m com vlocidad zro. Admitindo qu não haja rsistência do ar, dtrmin: a) A prssão da vlocidad do corpo no instant t. b) A prssão da posição do corpo no instant t. c) O tmpo ncssário para o corpo atingir o solo. Solução: dv a) Como não ist rsistência do ar, aplicamos a fórmula g. Esta quação é uma quação difrncial linar sparávl, suja solução é v g. t + c. Quando t 0, v 0 ( inicialmnt a vlocidad do corpo é zro), logo 0 g.0+ c c 0. Assim, v 9,8. t (sabmos qu g 9,8). b) Como a vlocidad é a taa d variação do dslocamnto m rlação ao tmpo, tmos d assim 9,8. t. Esta quação é uma quação difrncial sparávl, cuja solução é: 4,905 t + c Mas m t 0, tmos 0. Assim, 0 4,905 (0) + c c 0. Substituindo st valor na quação do dslocamnto ncontrado, tmos: 4,905 t d v, c) Dvmos dtrminar t para 0. Substituindo 0 na quação do dslocamnto rsolvndo-a ncontramos t,47 sg. 6

37 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima ) Dia-s cair d uma altura d 000 mtros uma bola cujo pso é Kgf, sm vlocidad inicial. Na quda, a bola sofr uma rsistência do ar proporcional a v, m Kgf. Dtrmin a quação da 4 vlocidad da bola. Solução: Nst problma tmos w Kgf k 4. Admitindo qu g 9,8 m/s, tmos qu w m.g, ntão m. 9,8 m 0,0 Kg. Assim, trmos: cuja solução é: dv k + v g m dv,5v 9,8 + v ( t ) c.,5.t +,9 Em t 0, tmos v 0 assim, trmos: Portanto, 0 c.,5.(0) +,9 c,9 v ( t),9.,5. t +,9 Obsrvação: vl lim v,9 m/ s m g 0,0 9,8 ou v, 9 l t + k 0,5 ) Dia-s cair um corpo d pso w 0 kgf d uma altura d 0 m com vlocidad inicial d m/s. Admitamos qu a rsistência do ar sja proporcional à vlocidad do corpo. S a vlocidad limit é d 4 m/s, dtrmin: a) A prssão da vlocidad do corpo no instant t. b) A prssão da posição do corpo no instant t. Solução: a) Nst problma tmos w 0 Kg, como w mg, tmos: m.g 0 m.9,8 0 m,06kg Por outro lado, como a vlocidad limit é 4m/s, tmos: m.g 0 v l 4 k 0, 70 k k Agora lvando sts substituindo sts valors na quação difrncial da vlocidad tmos: cuja solução é: dv k + v g m dv 0 7, dv + v 9,8 + 0,v 9, 8,06 v ( t ) c. 0,.t + 4,65. 7

38 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima Mas m t 0, v. Assim, substituindo sts valors tmos: Logo a prssão da vlocidad fica: c + 4, 65 c -9,65. v ( t ) 9,65. 0,.t + 4,65 b) Agora prcisamos ncontrar a prssão do movimnto. Como vlocidad ncontrada tmos: d v, substituindo a prssão da d 9,65. 0,.t + 4,65 Esta quação é uma quação difrncial sparávl sua solução é: 7. 0,.t + 4,65.t + c Em t 0 0, tmos: 7 + c c 7 0 Assim a prssão do movimnto é: 7. 0,. t + 4,65. t 7 8

39 NOTAS DE AULA ELABORADA POR: Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva Prof. M.Sc. José Doniztti d Lima LISTA DE PROBLEMAS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Dia-s cair d uma altura d 50 m um corpo d 5 kg d massa, sm vlocidad inicial. Dsprzando-s a rsistência do ar, dtrmin: a) A prssão da vlocidad do corpo no instant t. b) A prssão da posição do corpo no instant t. c) Dtrmin o tmpo ncssário para qu o corpo atinja o solo. Rsposta: a) v 9,8 t b) S 4, 905 t c) 5,5 sg ) Dia-s cair um corpo d uma altura d 50 m com vlocidad inicial d m/s. Dsprzando-s a rsistência do ar, dtrmin: a) A prssão da vlocidad do corpo no instant t. b) O tmpo ncssário para o corpo atingir o solo. Rsposta: a) v(t) 9, 8 t + b) t 5, sg ) Dia-s cair d uma altura d 00 m uma bola cujo pso é d 75 Kg. Dtrmin a vlocidad limit da bola s a força d rsistência do ar é d 0,5 v. Rsposta: 50 m/s 4) Um corpo d kg d massa é lançado d uma altura d 00 m, sm vlocidad inicial. Dtrmin a vlocidad limit do corpo, s l ncontra uma rsistência do ar igual a -50 v. Rsposta: v 0, 9 m / s com g 9,8 m/s 5) Dia-s cair um corpo d 45 Kg d massa d uma altura d 00 m, sm vlocidad inicial. O corpo ncontra uma rsistência do ar proporcional à sua vlocidad. S a vlocidad limit é d 00 m/s, dtrmin: a) A prssão da vlocidad no instant t. b) A prssão da posição do corpo no instant t. c) O tmpo ncssário para qu o corpo atinja uma vlocidad d 50m/s. 0, t 0, t Rsposta: av ) 98,. + 98, b) t ( ) , t 98 c)7,s 9

40 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. CIRCUITOS EM SÉRIE Em um circuito m séri contndo somnt um rsistor um indutor, a sgunda li d Kirchhoff diz di qu a soma da quda d tnsão no indutor ( L ) da quda d tnsão no rsistor (i R) é igual à voltagm ( E() t ) no circuito. Vja a Figura.0. Logo, obtmos a quação difrncial linar para a corrnt it (), di L Ri E() t + () m qu L R são constants conhcidas como a indutância a rsistência, rspctivamnt. A corrnt é algumas vzs chamada d rsposta do sistma. A quda d potncial m um capacitor com capacitância C é dada por qt ()/ C, m qu q é a carga no capacitor. Então, para o circuito m séri mostrado na Figura., a sgunda li d Kirchhoff nos dá R i+ q E() t () C Mas a corrnt i a carga q stão rlacionadas por linar dq i, logo, () torna-s a quação difrncial dq R q E() t + C () Emplo : Uma batria d volts é conctada a um circuito m séri no qual a indutância é d ½ hnr a rsistência, 0 ohms. Dtrmin a corrnt i s a corrnt inicial é zro. Solução: D (), vmos qu dvmos rsolvr di 0i + sujita a i(0) 0. Primiro, multiplicamos a quação difrncial por tiramos o fator d intgração 0t. Obtmos ntão d 0t i 4 0t 0 4 t i 0t + C 0 6 i + c 0t 5 Agora, i(o) O implica O 6/5 + c, ou c - 6/5. Logo, a rsposta é 40

41 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. Por 6 6 i 0t 5 5 pd ( ) pd ( ) pd ( ) f( ) d+ c Podmos scrvr uma solução gral para (): ( R/ L) t it () ( R / Lt ) Et () c ( R/ Lt ) + (4) L Em particular, quando E() t E0 é uma constant, (4) torna-s E it () 0 + c ( R / Lt ) (5) R Not qu, quando t, o sgundo trmo da quação (5) s aproima d zro. Tal trmo é usualmnt chamado d trmo transitório; qualqur trmo rmanscnt faz part do stado stacionário da solução. Nst caso, E 0 / R também é chamado d corrnt stacionária. Após um longo príodo d tmpo, a corrnt no circuito é praticamnt govrnada apnas pla li d Ohm E i R. EXERCÍCIOS:. Uma força ltromatriz (fm) d 0 volts é aplicada a um circuito m séri L-R no qual a indutância é d 0,5 hnr a rsistência, 50 ohms. Encontr a corrnt i(t) s i(0) 0. Dtrmin a corrnt quando t.. Rsolva a quação () supondo E() t E0snω t i(0) i0. Uma força ltromotiva d 00 volts é aplicada a um circuito R-C m séri no qual a rsistência é d 00 ohms a capacitância, 0 4 farad. Encontr a carga q(t) no capacitor s q(0) 0. Encontr a corrnt i(t). 4. Uma força ltromatriz (fm) d 00 volts é aplicada a um circuito R-C m séri no qual a rsistência é 000 ohms. a capacitância, farad. Encontr a carga q(t) no capacitor s i(0) 0,4. Dtrmin a carga quando t. 5. Uma força ltromatriz (fm) 0, 0 t 0 Et () 0, t > 0 é aplicada a um circuito L-R m séri no qual a indutância é d 0 hnrs a rsistência, ohms. Encontr a corrnt i(t) s i(0) Suponha qu um circuito R-C m séri tnha rsistência variávl. S a rsistência no instant t é dada por R k+ kt, m qu k> 0 k > 0 são constants, ntão () torna-s ( k + kt) dq q E t + C ( ) Mostr qu, s E() t E0 q(0) q0, ntão / Ck k qt () EC 0 + ( q0 EC 0 ). k + k t 4

42 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA OU AUXILIAR À quação difrncial '' + a' + a0 0 () m qu a 0 a são constants, corrspond a quação algébrica. λ + aλ + a0 0 () obtida d () mdiant substituição d '', ' por λ, λ, λ 0, rspctivamnt. A quação () é chamada quação caractrística ou auiliar d (). Emplo : A quação caractrística d '' ' + 0 é λ λ + 0. '' + ' 4 0 é λ + λ 4 0; a quação caractrística d A quação caractrística pod sr fatorada como sgu: ( λ λ).( λ λ) 0 (). SOLUÇÃO EM TERMOS DAS RAÍZES CARACTERÍSTICAS A solução d () s obtém dirtamnt a partir das raízs d (). Há três casos a considrar. λ CASO. λ λ são ambas rais distintas. λ são duas soluçõs linarmnt indpndnts. A solução gral é λ λ c + c (4) Emplo : Rsolva '' ' 0. Equação caractrística: λ λ 0, qu pod sr fatorada m ( λ + ).( λ ) 0. Como as raízs λ λ são rais distintas, a solução é dada por (4): c + c Emplo : Rsolva '' 7 ' 0. Equação caractrística: λ 7λ 0, qu pod sr fatorada m λ.( λ 7) 0. Como as raízs λ 0 λ 7 são rais distintas, a solução é dada por (4): c c c+ c 4

43 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Emplo : Rsolva '' 5 0. Equação caractrística: λ 5 0, cujas raízs, λ 5 λ 5 são rais distintas, a solução é dada por (4): c 5 + c 5 CASO. λ λ. são raízs rais iguais. λ λ. são duas soluçõs linarmnt indpndnts. A solução gral é: λ λ c + c (6) Atnção: As soluçõs acima não são válidas s a quação difrncial não é linar ou s não tm coficints constants. Considrmos, por mplo, a quação '' 0. As raízs da quação caractrística são λ λ, mas a solução não é Emplo : Rsolva '' + 4 ' c ( ) ( ) + c c + c Equação caractrística: λ + 4λ com as raízs λ λ são rais iguais, a solução gral é dada por (6): c + c Emplo : Rsolva '' 0. Equação caractrística: λ 0, com as raízs λ λ 0 são rais iguais, a solução gral é dada por (6): c c c+ c CASO. λ a + ib, complo. Como, m () (), a 0 a supõm-s rais, as raízs d () dvm aparcr m pars conjugados; assim, a outra raiz é λ a ib. Duas soluçõs linarmnt indpndnts são ( a+ ib ) ( a ib ), a solução gral (compla) é d ( a ib ) ( a ib ) + + d Utilizando as rlaçõs d Eulr ib cos b + is. n b ib cos b is. n b Podmos scrvr a solução como d. a. ib + d. a. ib a ( d. ib + d. ib ) a [( d(cos b + i. sn b) + d(cos b i. sn b)] a [( d+ d).cos b+ i.( d d) sn b] Dfinindo c d+ d c i( d d) como duas novas constants arbitrárias, podmos scrvr a solução gral como c a cos b+ c a sn b (5) 4

44 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. A quação (5) é ral s somnt s c c são ambas rais, o qu ocorr s somnt s d d são complos conjugados. Como stamos intrssados na solução gral ral, dvmos impor a d d a rstrição d srm complos conjugados. Emplo : Rsolva '' + 4 ' Equação caractrística: λ + 4λ + 5 0, com raízs complas λ + i λ i. Solução gral, d acordo com (5): c cos + c sn Emplo : Rsolva '' Equação caractrística: acordo com (5): λ + 4 0, com raízs complas λ i λ. i. Solução gral, d ccos + csn Obsrv qu as raízs complas têm ambas part ral igual a zro. Emplo : Rsolva '' ' Equação caractrística: λ λ + 4 0, com raízs complas 7 7 λ + i λ i. Solução gral, d acordo com (5): (/ ) 7 (/ ) 7 c cos + c sn LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Rsolva as sguints quaçõs difrncias: RESPOSTAS a ) '' 0 a ) c + c b ) '' ' 0 0 b ) c c c ) '' ' + 0 c ) c + c d) '' + 0 d) ccos + csn ) '' + ' + 0 c cos + c sn f) '' 7 0 f) c 7 + c 7 g) '' + 6 ' g) c + c h ) '' + ' + 0 h ) c cos + c sn i) '' ' 5 0 i ) c [(+ 9) / ] [( + c 9) / ] j) '' + ' + 0 j) c (/ ) (/ ) + c 4 44

45 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. ) Dtrminar a solução gral das Equaçõs Difrnciais Linars Homogênas d a Ordm a coficints constants, dadas a sguir, plo método proposto para rsolvr st tipo d quação. d a) Rsposta: c cos( 6) c sn( 6) + d d d 4 b) + 7 Rsposta: c c + d d d c) 9 Rsposta: c c + d d) d d + 0 Rsposta: c + c d d d d ) Rsposta: ( c c ) + d d d d f) Rsposta: ( c cos ) + c sn d d d d g) Rsposta: ( c c ) + d d 45

46 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Equação Difrncial Ordinária Linar d a Homogêna: Ordm com Coficints Constants Não Uma quação difrncial ordinária linar d a Ordm com coficints constants não homogêna, pod sr scrita na forma: d d + a + b r( ) d d ond: f f ( ) a ( ) b Então, o método dos coficints a dtrminar é o método normalmnt mprgado para obtr a solução. A vantagm dst método é qu l é mais simpls qu o método gral a dsvantagm é qu l não é aplicávl para crtas quaçõs linars a coficints não constants. O método é frqüntmnt aplicado à ngnharia. Est método é adquado para quaçõs linars a coficints constants, isto é, para quaçõs do tipo: d + d f d ) + d ( f ( ) r( ) ( ) a ( ) r( ) 0 ond: f, f b O MÉDOTO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR A solução gral da quação difrncial linar L( ) φ( ) é, d acordo com o torma h + p. Aprsntarmos a sguir os procssos para a obtnção d p dsd qu conhcida p. O método dos coficints a dtrminar s inicia supondo conhcida a forma d p a mnos d constants arbitrárias multiplicativas. Essas constants são, m sguida, calculadas, lvando-s a solução suposta conhcida na quação difrncial m studo, idntificando-s os coficints.. FORMA SIMPLES DO MÉTODO Admit-s qu a função procurada, p. Possa primir-s como soma dos trmos qu compõm φ ( ) todas as drivadas d φ ( ) (a mnos d constants multiplicativas). Caso. φ ( ) pn( ), polinômio d grau n m. Procurar solução da forma n n p An + An A+ A 0 () ond os Aj ( j 0,,,..., n ) são constants a dtrminar. Emplo: Rsolva '' ' 4. Pla quação '' ' 0 tmos qu sua solução rsultant da combinação linar ntr as soluçõs ponnciais é h c + c. Na quação '' ' 4, φ ( ) 4, ou sja, φ ( ) é um polinômio d sgundo grau. A partir d φ ( ) procurarmos uma solução particular da forma p A + A+ A 0 46

47 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Assim, ' p A+ A '' p A. Lvando sss valors na quação, obtmos: '' ' 4 A ( A + A) ( A + A + A0) 4 Ou quivalntmnt, A + ( A A) + (A A A0) 4 + (0) +0 Idntificando coficints, obtmos: A 4 A A0 A A A0) 0 Rsolvndo o sistma: A A A0, com isso a solução particular p A + A+ A 0 srá p + a solução gral é h + p c + c + Caso. φ ( ) α p n ( ), α constant conhcida pn ( ) tal como no Caso. Procurar solução da forma ( n n p α An + An A+ A 0 ) () ond os Aj ( j 0,,,..., n) são constants a dtrminar. Emplo: Rsolva '' '. Pla quação '' ' 0 tmos qu sua solução rsultant da combinação linar ntr as soluçõs ponnciais é h c + c. Na quação '' ', φ( ) α p n ( ), com α p n ( ), ou sja, φ ( ) é um polinômio grau zro. D acordo com () a partir d φ ( ) procurarmos uma solução particular da forma 0. p A Assim, ' 0 '' 9 p A p A0. Lvando sss valors na quação, tmos Dcorr qu 4A 0, ou A 0 4 '' ' 9A 0 A 0 A 0 ou 4A 0, d forma qu () fica p. A solução gral é 4 h + p c + c

48 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Caso. φ( ) α p n ( ) snβ, α β constants conhcidas pn ( ) tal como no Caso. Procurar solução da forma α n α n p. snβ( An A+ A0) +.cos β( Bn B+ B0) () ond os Aj Bj( j 0,,,..., n) são constants a dtrminar. Emplo: Rsolva '' ' sn. Novamnt plo quação '' ' 0 tmos qu sua solução rsultant da combinação linar ntr as soluçõs ponnciais é h c + c. Na quação '' ' sn, φ( ) α p n ( ) snβ, com α 0 β. D acordo com () a partir d φ ( ) procurarmos uma solução particular da forma p A0sn + B 0cos Assim, ' p A0cos B0sn '' p 4 A0sn 4B0cos.. Lvando sss valors na quação, tmos '' ' sn 4 A0sn 4B0cos (A0cos B0sn ) ( A0sn + B0cos ) sn ou, quivalntmnt, ( 6A0 + B0) sn +( 6B0 A0)cos () sn + (0)cos Idntificando coficints, obtmos 6A0 + B0 A0 + 6 B00 Rsolvndo o sistma, ncontramos A 0 B 0. Então, d p A0sn + B0cos, 0 0 tmos: p sn + cos 0 0 a solução gral é h + p c + c sn + cos 0 0 Caso 4. φ( ) α p n ( )cosβ, α β constants conhcidas pn ( ) tal como no Caso. Procurar solução da forma. ( n... 0).cos ( n p α snβ An + + A + A + α β Bn B+ B0) () ond os Aj Bj( j 0,,,..., n) são constants a dtrminar.. MODIFICAÇÕES S qualqur trmo da solução suposta, a mnos d constants multiplicativas, é também um trmo d h (solução da homogêna associada), ntão a forma da solução procurada dv sr modificada, multiplicando-a por m (ond m é o mnor intiro positivo tal qu o produto d m pla solução procurada não tnha nnhum trmo m comum com h. 48

49 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Emplo : Considrmos uma quação difrncial com h c+ c0 φ ( ) 9 +. Como φ( ) é um polinômio do sgundo grau (caso ), tntarmos uma solução particular da forma p A + A+ A 0. Como, ntrtanto, sta solução suposta tm trmos m comum com h ( a mnos d constants multiplicativas), dvmos dtrminar o mnor intiro positivo m tal qu m ( A + A + A0 ) não tnha nnhum trmo m comum com h. Para m, obtmos ( A + A + A0) A + A + A 0 qu ainda tm um trmo d primiro grau m comum com h. Para m, obtmos ( A 4 + A + A0) A + A + A 0 qu não aprsnta trmos m comum com h, procurarmos, portanto, dtrminar uma solução particular p, nsta última forma. Emplo : Rsolva '' 9 +. A solução d ' 0 é h c+ c 0, qu tm trmos m comum com φ ( ). Então, conform mplo antrior, procurarmos a solução particular na forma: 4 p A + A + A0 Substituindo (4) suas drivadas na quação difrncial, obtmos: (4) A + 6A+ A0 9 + Ond A, A A0 4 Substituindo os valors dos coficints m (4) tmos: 4 p + 4 a solução gral é 4 c+ c Obsrvação: Not-s qu sta solução pod sr obtida intgrando-s duas vzs ambos os mmbros da quação m rlação a. Emplo : Rsolva ' 5 5. Pla quação ' 5 0 tmos qu sua solução é 5 h c. Como φ ( ) 5, dcorrria d 5 modificaçõs qu a forma p dvria sr 0. p A. Mas sta forma d p é prcisamnt a msma forma d h ; portanto dvmos modificá-la. Multiplicando p por (m), obtmos 5 p A0 (5) 49

50 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Como (5) não tm nnhum trmo m comum com h, é uma possívl solução particular da quação. 5 5 Substituindo (5) ' 0 5 p A + A0 na quação difrncial simplificando, obtmos A , dond A 0. A quação (5) fica ntão p, a solução gral é ( c 5 + ).. GENERALIZAÇÕES S φ ( ) é a soma (ou difrnça) d trmos dos tipos já considrados, ntão procurarmos dtrminar p como soma (ou difrnça) das corrspondnts soluçõs supostas, combinando-as algbricamnt com constants arbitrárias quando possívis. Emplo : Sja φ ( ) ( ) sn + ( + )cos. Uma solução corrspondnt a ( ) sn, sgundo caso (com α 0 ), ( A+ A0) sn + ( B+ B0)co s uma solução corrspondnt a ( + )cos é também sugrida plo caso como ( C + C0) sn + ( D + D0)co s Obsrvação: Utilizamos C D para as constants da prssão antrior, porqu as ltras A B já haviam sido usadas. Tomarmos ntão p ( A+ A0) sn + ( B+ B0)cos + ( C+ C0) sn + ( D+ D0)co s Agrupando os trmos smlhants, chgamos a p ( E+ E0) sn + ( F+ F0)co s para solução particular procurada (com Ej Aj + Cj F j Bj + Dj com j 0, Emplo : Rsolva ' 5 ( ) sn + ( + )cos. 5 Pla quação ' 5 0 tmos qu sua solução é h c. Utilizando o mplo antrior, supormos qu p ( E+ E0) sn + ( F+ F0)co s Assim, ' p ( E F+ F0) sn + ( E+ E0 + F)cos Lvando sss valors na quação difrncial simplificando, obtmos: ( 5 E F) sn + ( 5 E0 + E F0) sn + ( 5 F+ E) cos + ( 5 F0+ E0+ F)cos () sn () sn + () cos + () cos Idntificando os coficints, tmos: 50

51 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, E F 5 E0 + E F0 E 5 F E0 5 F0 + F 7 Rsolvndo: E, E0, F, F Então, d p ( E+ E0) sn + ( F+ F0)co s, tmos: 7 69 p ( + ) sn + ( ) cos 8 8 a solução gral é c + ( + ) sn + ( ) cos 8 8 Emplo : Rsolva ' Pla quação ' 5 0 tmos qu sua solução é h c. Aqui, podmos scrvr φ ( ) como soma d duas funçõs-padrão: φ ( ) ( ) + ( + ). Para o trmo supomos uma solução particular da forma A 0, com α pn( ) ; para o trmo + supormos uma solução particular da forma B+ B0. Tmos ntão p A0 + B+ B 0 Substituindo p sua drivada na quação simplificando, obtmos: ( 4 A0) + ( 5 B) + ( B 5 B0) () + ( ) + () Idntificando coficints, obtmos A 0, B B S p A0 + B+ B0, ntão: p a solução gral é Emplo 4: Rsolva Pla quação ' 5 0 ' 5 5. dois trmos d forma conhcida. Para 5 c tmos qu sua solução é h c 5. Aqui φ ( ) 5, difrnça d supomos solução da forma ( A + A+ A 0 ) 5

52 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Para 5 procuraríamos solução da forma 5 ( B 5 + B0) B 5 + B0 Mas sta suposta solução tm, a mnos d constants multiplicativas, o trmo 5 m comum com h. Dvmos, pois, modifica-la para 5 ( B 5 + B0) ( B + B0) Podmos agora tomar p como a difrnça d ( A + A+ A 0 ) 5 ( B + B0) ( 5 0) p A + A + A ( B + B0) Substituindo antrior sua drivada na quação 5 p ' 5, simplificando, obtmos [( 4 A 5 ) + (A 4 A) + ( A 4 A0)] + [( B) B0] [() + (0) + (9)] + 5 [( ) 0] Idntificando os coficints, tmos: 4A A A 4A 0 A 4 8 A 4A0 0 A0 B B B0 0 Substituindo m ( 5 0) p A + A + A ( B + B0), tmos: ( ) 5 p 4 8 a solução gral é 4. LIMITAÇÕES DO MÉTODO 5 c + ( ) Em gral φ( ) não é d um dos tipos considrados acima, ou s a quação difrncial não tm coficints constants, ntão é prfrívl o método d variação dos parâmtros, a sr aprsntada m aula postrior. 5

53 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Dtrmin a solução gral das sguints quaçõs difrncias: RESPOSTAS a) '' ' + a ) c + c b ) '' ' + b ) c + c + c ) '' ' + 4cos c ) c + c sn d) '' ' + d) c + c + ) '' ' + ) c + c + 6 f ) ' f ) c + g) ' + g) c + + h ) ' sn+ cos 5 h ) c sn cos + sn cos 5 5 ) Dtrminar a solução gral das Equaçõs Difrnciais Linars Não - Homogênas d a Ordm a coficints constants, dadas a sguir, plo método proposto para rsolvr st tipo d quaçõs. RESPOSTAS d d a) 7 + a) c + c + d d 44 d d a b) a + a ( a ) b) ( c + c ) + d d ( a ) d d c) c) 5 c + c + d d d a a + d) a + d) c + c d a d d ) + 8sn ( ) ) c ( ) ( ) + c [6 sn + cos ] d d 5 d f) c + c 5 f) 5 + d d g) 4 + g) c c + + d 4 5

54 SODRÉ. Ulsss. Equaçõs difrnciais ordinárias: notas d aula. Londrina: UEL, 00. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES CIRCUITOS ELÉTRICOS Elmntos d Eltricidad: Sm a procupação d aprofundar nos dtalhs rlacionados com a Eltricidad, irmos aprsntar alguns poucos concitos ncssários ao prsnt trabalho d Equaçõs difrnciais.. S VA VB são rspctivamnt, os potnciais létricos nos pontos A B d um circuito létrico, a difrnça d potncial ntr os pontos A B d um circuito, dnotada por V(t)VAB, pod sr dfinida como a intgral d linha sobr o sgmnto d rta S ligando os pontos A B no campo létrico EE(t). Normalmnt, sta difrnça d potncial V(t) é indicada com o sinal ngativo, isto é: V t AB 0 E ( u ) du V ( t ). A intnsidad da corrnt létrica srá a taa d variação da carga létrica Q m rlação ao tmpo t qu atravssa uma sção transvrsal d um condutor. Em símbolos: dq It (). A capacitância C d um capacitor submtido a uma carga létrica Q, com uma difrnça d potncial ntr as placas indicada por V AB V(t), srá dada por: Qt () Ct () Vt () 4. A li d Ohm, stablc qu a difrnça d potncial V CD V(t) nos trmos d um rsistor d rsistência R submtido a uma intnsidad da corrnt I, é dada por: V(t) R I(t) 5. A indutância L d um indutor é uma constant rlacionada com a difrnça d potncial V BC V(t) com a taa d variação da intnsidad da corrnt létrica m rlação ao tmpo di/, através da prssão matmática: Vt () L. di 6. Eistm duas lis grais dvidas a Kirchhoff, rlacionadas com a corrnt létrica com a difrnça d potncial. Li dos nós (li das corrnts): A soma algébrica das intnsidads d corrnt létrica m um nó d um circuito létrico é igual à soma algébrica das intnsidads d corrnt létrica qu sam do msmo nó nst circuito létrico. Li das malhas (li das tnsõs): A soma algébrica das difrnças d potncial m uma malha fchada é zro. O circuito RLC: Circuitos létricos mais complos, às vzs são dnominados rds d forma simpls, são formados por rsistors com rsistência R, indutors com indutância L, capacitors com capacitância C, carrgado com uma difrnça d potncial V C uma font d nrgia létrica VV(t) cuja difrnça d potncial é indicada por EE(t). 54

55 SODRÉ. Ulsss. Equaçõs difrnciais ordinárias: notas d aula. Londrina: UEL, 00. Figura: Circuito létrico RCL com capacitor carrgado S EE(t) é a difrnça d potncial da font d alimntação II(t) é a intnsidad da corrnt létrica, ntão. V L é a difrnça d potncial nos trminais do indutor: L () di V t L. V R é a difrnça d potncial nos trminais do rsistor: VR () t RI() t. V C é a difrnça d potncial nos trminais do capacitor: V () t C t 0 I( u) du C Usando as lis d Kirchhoff, quando for fchado o intrruptor, obtrmos: ou sja, VL() t + VR() t + VC() t E() t di L + RI() t + t o I( u) du E() t C S E(t) é constant drivarmos m rlação à variávl t, trmos: tmos uma EDO linar d a ordm homogêna. LI ''() t + RI '() t + I() t 0 C S EE(t) é uma função difrnciávl da variávl t, ntão LI''() t + RI'() t + I() t E'() t C Eistm alguns casos particulars intrssants, sndo alguns dls apnas tóricos, mas com algum fundamnto matmático.. Circuito RC: Vamos considrar um circuito létrico qu possui um rsistor d rsistência R, uma capacitor d capacitância C, uma font d alimntação com voltagm E constant I I(t) srá a intnsidad da corrnt létrica. 55

56 SODRÉ. Ulsss. Equaçõs difrnciais ordinárias: notas d aula. Londrina: UEL, 00. Figura: Circuito létrico RC com capacitor dscarrgado A difrnça d potncial nos trminais do rsistor é dada por VR () t RI() t a difrnça d potncial nos trminais do capacitor é dada por V () t C t 0 I( u) du C Pla li d Kirchhoff das tnsõs, sgu qu VR() t + VC() t E E a EDO linar homogêna qu rg o fnômno é RI() t+ t o Iudu ( ) Et () C Drivando sta quação m rlação à variávl t, obtmos: RI '( t) + I( t) 0 C A solução dsta quação é: It () K t/( RC) I(0) t/( RC) S o capacitor stava dscarrgado no instant t0 continua dscarrgado m um átomo após t0, ntão Q(0)0 dss modo V 0 c (0) 0 I ( u ) du C 0 Logo VR(0) + VC(0) E, o qu garant qu RI(0) E, assim Substituindo I(0) na solução da quação, obtmos It () E I (0) R E t/( RC) R Aplicando sta função, podmos obtr () t /( ) 0 ( ) t E V u RC C t I u du 0 du C C R Assim, a difrnça d potncial ntr os trminais do capacitor ao longo do tmpo t, srá dada por 56

57 SODRÉ. Ulsss. Equaçõs difrnciais ordinárias: notas d aula. Londrina: UEL, 00. V () [ t/( RC) C t E ]. Circuito RL: Sja o circuito létrico possuindo um rsistor d rsistência R, um indutor d indutância L uma font d alimntação constant E. di Sabmos qu VR () t RI() t VL () t L, assim usando a li d Kirchhoff das tnsõs do circuito podmos scrvr LI'( t) + RI( t) E Qu é uma EDO linar não homogêna d primira ordm. Figura: Difrnça d potncial nos trminais do capacitor. Figura: Circuito létrico RL A solução da quação homogêna associada é I () Rt/ L h t k Como a part não homogêna da EDO é uma função constant, usamos o método dos coficints a dtrminar para procurar uma solução particular I p Ip() t qu sja constant, assim Ip '( t) 0 ntão, RIp () t E() t o qu garant qu p () E I t R A solução da EDO é a soma da solução da homogêna associada com a solução particular, logo () () () Rt / L E It Ih t+ Ip t k + R 57

58 SODRÉ. Ulsss. Equaçõs difrnciais ordinárias: notas d aula. Londrina: UEL, 00. S considrarmos qu I (0) 0 ntão Logo K E assim R 0 K + E R E It () Rt/ L R Esta função tm a msma forma qu a função VC VC() t do circuito RC, apnas qu a função E horizontal limit dv sr traçada para I. R. Circuito RC: S o circuito létrico possui um rsistor d rsistência R, um capacitor d capacitância C uma font d alimntação tm difrnça d potncial E Et (), a EDO linar homogêna qu rg o fnômno é RI '( t) + I( t) 0 C 4. Circuito LC: S o circuito létrico possui um indutor d indutância L, um capacitor d capacitância C a difrnça d potncial VAB V() t, a EDO linar não homogêna qu rg o fnômno é LQ"( t) + Q( t) V( t) C 58

59 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES Considrando um sistma físico cujas pqunas oscilaçõs sjam rgidas pla quação difrncial " + a ' + ao f( t) d Aqui, conhcm-s a função f () t as constants a a0; '' ' rprsntam d, rspctivamnt. Dois mplos d tais sistmas físicos são dados por uma mola com um pso um circuito létrico simpls. S f() t 0 a 0, o movimnto é livr não amortcido. S f () t é idnticamnt nula, mas a não é zro, o movimnto é livr amortcido. Para o movimnto amortcido, há três casos sparados a considrar, conform as raízs da quação caractrística associada sjam a. rais distintas, b. iguais, ou c. complas conjugadas. Ess três casos s classificam, rspctivamnt, como S f () t () supramortcido, () criticamnt amortcido, () oscilatório amortcido (ou, m problmas d ltricidad, subamortcido). não é idnticamnt nula, o movimnto s diz forçado. Um movimnto ou corrnt s diz transitório s s dsvnc (isto é, tnd a zro) quando t. Um movimnto (ou corrnt) stacionário é um movimnto qu não é transitório nm s torna ilimitado. Sistmas livrs amortcidos (admitindo snoidal a força trior) originam ambos os movimntos transitório stacionário. Emplo : Mostr qu um circuito létrico simpls, constituído d uma rsistência, um capacitor, um indutor uma força ltromotriz (usualmnt uma batria ou um grador) ligados m séri é rgido por " + a ' + ao f( t). Outrossim, admitindo uma carga inicial d q 0 coulombs no capacitor uma corrnt inicial d I 0 ampèrs no circuito, dtrmin as condiçõs iniciais do sistma. 59

60 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. A figura acima ilustra o circuito ond R é uma rsistência m ohms, C é a capacitância m farads, L é a indutância m hnris, E(t) é a força ltromotriz (fm) m volts, I é a intnsidad da corrnt m ampèrs. Sab-s qu as qudas d voltagm através d uma rsistência, d um capacitor d um di indutor são, rspctivamnt, RI, q L ond q é a carga no capacitor. C A quda d voltagm através d uma fm é E() t. Assim, pla li d Kirchhoff, tmos di RI + L q E() t 0 + C () Lmbrando qu I dq di d q () Substituímos sss valors m () d q R dq + + q E () t L LC L () R Et ( ) Dfinindo a, a0 f( t), ntão () é prcisamnt " + a ' + ao f( t) L LC L com substituído por q. As condiçõs iniciais para q são q(0) q0 dq I(0) I 0 t 0 (4) Para obtr a quação difrncial qu rg a corrnt, primiro drivamos () m rlação a t, m sguida, substituímos () dirtamnt na quação rsultant. A nova quação é d I R di de( t) + + I L LC L (5) R de( t) Dfinindo agora a, a0 f( t), ntão (5) é prcisamnt L LC L " + a ' + ao f( t) com agora substituído por I. A primira condição inicial é I (0) I0. A sgunda condição inicial s obtém d () rsolvndo-a m rlação a di fazndo m sguida t0. Assim, di R E(0) I0 q 0 (6) t 0 L L LC 60

61 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Vê-s qu a corrnt no circuito pod sr obtida sja rsolvndo (5) dirtamnt, sja rsolvndo () m rlação à carga m sguida drivando a carga para obtr a corrnt. Emplo : Um circuito RCL tm R80 ohms, C /80 farads, L0 hnris, uma voltagm aplicada d E() t 0 sn t. Admitindo qu não haja carga inicial no capacitor, mas uma corrnt inicial d ampèr m t0 quando s aplica inicialmnt a voltagm, dtrmin a carga subsqünt no capacitor. Substituindo as quantidads acima m () d q R dq + + q E () t, obtmos L LC L d q 80 dq + + q 0. sn t d q dq q sn t ou q" + 9 q' + 4 q sn t A sguir srá calculada a solução gral da quação homogêna associada q" + 9 q' + 4q 0. λ + 9λ S 9 P 4 λ λ 7 t S q t h c λ + c λ, ntão q t 7t h c + c Aplicando o método dos coficints a dtrminar (caso ), tmos: qp Ao sn t+ Bo cos t q' p Ao cos t Bo sn t q'' p Ao sn t Bo cos t Substituindo m q" + 9 q' + 4 q sn t, tmos: Ao sn t Bo cos t+ 9( Ao cos t Bo sn t) + 4( Ao sn t+ Bo cos t) sn t 6

62 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Ao sn t Bo cos t+ 9Ao cos t 9 Bo sn t+ 4 Ao sn t+ 4Bo cos t sn t (Ao 9 Bo) sn t+ (9Ao+ Bo) cos t sn t Ao 9Bo 9Ao + Bo 0 Ao Bo 9 9 Bo 9 Bo Bo Ao Bo Substituindo os coficints, tmos: qp 9 sn t cos t A solução gral é 7 9 q q t t h + qp c + c + sn t cos t Aplicando as condiçõs iniciais q(0) 0 i(0) q'(0), tmos: q(0) c + c + sn 0 cos c+ c 0 c+ c c c S it () q'() t, ntão 6

63 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, it () q'() t c t 7c t + cos t+ snt S i(0) q'(0), ntão i(0) q'(0) c 7c + cos 0 + sn c 7 c S c c, ntão c 7 c c 0 7 c + c S c c c 500, ntão c c S c c, ntão, q (0 t 0 7t + sn t 9cos t ) 500 A solução é a soma d trmos transitórios stacionários. Uma corrnt s diz transitório s s dsvanc (isto é, tnd a zro) quando t. Uma corrnt stacionária é uma corrnt qu não é transitória nm s torna ilimitada. Emplo : Um circuito RCL tm R0 ohms, C 0 farads, L hnr, uma voltagm aplicada d Et () volts. Admitindo qu não haja corrnt inicial nm carga inicial quanto t0, ao s aplicar inicialmnt a voltagm, dtrmin a corrnt subsqünt no sistma. 6

64 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Substituindo os valors dados no problma m (5) do mplo, obtmos a quação homogêna (pois de Et (), 0).as quantidads acima m (), tmos: d I R di de( t) + + I L LC L d I 0 di I d I di I 0 A sguir srá calculada a solução gral da quação homogêna associada I" + 0 I' + 00I 0. λ + 0λ λ i λ 0 0 i As raízs da quação caractrística associada são complas, com isso tmos um mplo d sistma livr subamortcido para a corrnt. S I at cos at h c bt + c sn bt, ond λ a + bi, ntão a solução gral é I 0t 0 cos 0 t h c t+ c sn0t ou I( t) 0t ( ccos 0 t+ csn0 t) As condiçõs iniciais são I(0)0, por (6) do mplo, di di R E(0) I0 q 0 t 0 L L LC 0 (0) (0) 4 t 0 / / (/ )(0 ) S I (0) 0, ntão I(0) 0.0 ( c cos c sn0.0) 0 c 0 Drivando I( t) 0t. c 0 cos 0 t+ t. csn0t, tmos: I'( t) 0. t 0. c 0..cos 0t 0 t. csn0t 4 64

65 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. Obsrvação: é prciso ralizar a drivada do produto para obtr o rsultado acima. S I '(0) 0, ntão I'(0) c 0.0.cos csn c 4 c 5 S c 0 c, ntão 5 I () t 0t sn 0t, qu é compltamnt transitória. 5 Emplo 4: Rsolva o mplo dtrminando primiro a carga no capacitor. dq Primiramnt rsolvmos m rlação à carga q m sguida aplicamos I para obtr a corrnt. d q R dq Substituindo os valors do mplo m + + q E () t, qu rprsnta um sistma L LC L forçado para a carga, m contrast com o sistma livr amortcido obtido no mplo para a corrnt, tmos: d q 0 dq + + q. / /.0 / d q dq q 4 ou q" + 0 q' + 00q 4 A sguir srá calculada a solução gral da quação homogêna associada q" + 9 q' + 4q 0. λ + 0λ λ i λ 0 0 i S q at cos at h c bt+ c sn bt, ond λ a+ bi, ntão a solução homogêna é q 0t 0 cos 0 t h c t+ c sn 0t Aplicando o caso do método dos coficints a dtrminar para dtrminar a solução particular, tmos: Substituindo na quação qp Ao q' p 0 q" p 0 q" + 0 q' + 00q 4 S q qh + q p, ntão a solução gral é, tmos: 4 00Ao 4 Ao

66 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, qt ( ) t ( ccos 0 t+ csn 0 t) + 5 Aplicando as condiçõs iniciais para a carga: q (0) 0, q'(0)0 ; S q (0) 0, ntão Drivando 0.0 q(0) ( c cos c sn 0.0) c+ 0 c qt ( ) t ( ccos 0 t+ csn0 t) +, tmos: 5 q'( t) 0 c t. t cos 0t 0 c. t sn0t 0 c. t sn0t+ 0 c. cos 0t q'(0) 0 c cos c. sn0.0 0 c. sn c. cos S c c, ntão c c. 5 A solução gral é Como antriormnt. 0c+ 0c 0 0c 0c c c 0 qt ( ) t (cos 0 t+ sn0 t) dq I() t 0t sn 0t 5 Not-s qu, mbora a corrnt sja compltamnt transitória, a carga no capacitor é a soma d trmos transitórios stacionários. 66

67 OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE FATORES INTEGRANTES É ADAPTADO DO LIVRO: BRONSON. R. Modrna introdução às quaçõs difrnciais. tradução d Alfrdo Alvs d Farias, rvisão técnica Robrto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 977. EXERCÍCIOS: ) Um circuito RCL tm R6 ohms, C 0,0 farads, L0, hnr, uma voltagm aplicada d Et () 6volts. Supondo qu não haja corrnt inicial nm carga inicial quanto t0, ao sr aplicada inicialmnt a voltagm, dtrmin a carga subsqünt no capacitor a corrnt no circuito. Rsposta: q t t + I ( 0t 50t ) ) Um circuito RCL tm R6 ohms, C 0,0 farads, L0, hnr, não tm voltagm aplicada. Dtrmin a corrnt subsqünt no circuito s a carga inicial no capacitor é /0 coulomb a 5 corrnt inicial é zro. Rsposta: I ( 50t 0t ) 4 ) Um circuito RCL tm R5 ohms, C 0 farads, L0,5 hnr, não tm voltagm aplicada. Dtrmin a corrnt stacionária subsqünt no circuito. (Sugstão: condiçõs iniciais dsncssárias). Rsposta: 0 4) Um circuito RCL tm R5 ohms, C 0 farads, L0,5 hnr, tm voltagm aplicada E() t sn t. Dtrmin a corrnt stacionária subsqünt no circuito. (Sugstão: condiçõs iniciais dsncssárias). Rsposta: I (69cos t+ 0 sn t) 640,00 67

68 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT * Nsta sção, não studarmos nnhum tipo particular para quação difrncial. Considrarmos três quaçõs clássicas qu podm sr transformadas m quaçõs já studadas nas sçõs antriors. Equação d Brnoulli A quação difrncial d P ( ) f( ) n d +. () m qu n é um númro ral qualqur, é chamada d quação d Brnoulli. Para n 0 n, a quação () é linar m. Agora, s 0, () pod sr scrita como n d + P( ) n f( ). () d S fizrmos w n, n 0, n, ntão dw ( ) n d n. d d Com ssa substituição, () transforma-s na quação linar dw ( npw ) ( ) ( n) f( ) d +. () Rsolvndo () dpois fazndo n w, obtmos uma solução para (). Emplo: d Rsolva +. d Solução: Em (), idntificamos nos dá P ( ), f( ) n. Logo, a mudança d variávl dw w d w Jacqus Brnoulli ( ) Os Brnoullis foram uma família suíça d acadêmicos cujas contribuiçõs à matmática, física, astronomia história datam do século XVI ao século XX. Jacqus, o primiro dos dois filhos do patriarca homônimo Jacqus Brnoulli, du várias contribuiçõs ao cálculo à probabilidad. Originalmnt, a sgunda das duas divisõs principais do cálculo ra chamada d calculus summatorius. Em 696, por sugstão d Jacqus Brnoulli (filho), st nom foi mudado para calculus intgralis, como é conhcido atualmnt. Jacob Francsco Ricatti ( ) Um cond italiano, Ricatti foi também matmático filósofo. Al Claud Clairaut (7-765) Nascido m Paris m 7, Clairaut foi uma criança prodígio qu scrvu su primiro livro sobr matmática aos anos. Foi um dos primiros a dscobrir soluçõs singulars para quaçõs difrnciais. Como muitos matmáticos d sua época, Clairaut foi também físico astrônomo. 68

69 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. O fator d intgração para ssa quação linar m, digamos, (0, ) é fd / ln ln. Assim d w d Intgrando ssa última forma, obtmos w + c ou w + c Como w, ntão / w ou. + c Para n>0, not qu a solução trivial 0 é uma solução para (). No mplo acima, 0 é uma solução singular para a quação dada. Equação d Ricatti A quação difrncial d P ( ) Q ( ) R ( ) d + +. (4) é chamada d quação d Ricatti. S é uma solução particular para (4), ntão as substituiçõs d d du + u +. d d d m (4) produzm a sguints quação difrncial para u: du ( Q R) u Ru d + (5) Como (5) é uma quação d Brnoulli com n, la pod, por sua vz, sr rduzida à quação linar dw ( Q R ) w R d + + (6) através da substituição w u. Como o mplo a sguir mostra, m muitos casos, uma solução para uma quação d Ricatti não pod sr prssa m trmos d funçõs lmntars. Emplo d Rsolva d +. Solução: Vrifica-s facilmnt qu é uma solução particular para uma quação. Em (4), fazmos as idntificaçõs P ( ), Q ( ) R ( ). Rsolvmos ntão a quação linar (6): dw ( 4 ) w d + + ou 69

70 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. dw w d + O fator d intgração para ssa última quação é, assim d w d. Agora, a intgral scrvmos 0 t não pod sr prssa m trmos d funçõs lmntars. Portanto, w ou c + 0 u + c 0 Assim Uma solução para a quação é ntão Equação d Clairaut 0 u t c + u Como rcício você dvrá mostrar qu uma solução para a quação d Clairaut ' + f ( ' ) (7) É a família d rtas c+ f() c, m qu c é uma constant arbitrária. Ainda, (7) pod também possuir uma solução m forma paramétrica: f '( t), f( t) tf '( t) (8) Esta última solução é singular, pois, s f "( t) 0, la não pod sr obtida da família d soluçõs c+ f() c Emplo: Rsolva ' + ( '). Solução: Primiro, fazmos a idntificação f( ') (/)( '), o qu implica f() t (/) t. Sgu-s da discussão prcdnt qu uma família d soluçõs é c+ c. O gráfico dssa família é mostrado na Figura.. Como f '( t) t, uma solução singular é obtida d (8): Quando uma intgral f ( d ) não pod sr rsolvida m trmos d funçõs lmntars, la é normalmnt scrita como f ( ), m qu 0 é uma constant. Quando a condição inicial é spcificada, é imprativo qu ssa forma 0 sja usada. 70

71 ZILL. D. G. CULLEN. M. R. Equaçõs difrnciais. v.. São Paulo: MAKRON Books, 00. t, t t t t. Dpois d liminar o parâmtro, vmos qu sta última solução é a msma qu. Prcbmos facilmnt qu sta função não faz part da família. Vja a Figura.4. Ercícios:. Rsolva a quação d Brnoulli dada. d d a) + b) d d d c) ( d ) d) d ( ) d + ) d d + f) d ( + ) ( ) d. Rsolva a quação d Ricatti dada; é uma solução conhcida para a quação. d a), d b) d +, d d c) 4 d + +, d) +, d d d ) ( ), d f) d sc ( tg ), tg d + d. Rsolva 6 5 d Rsolva d 9 6 d Rsolva a quação d Clairaut dada. Obtnha uma solução singular. a) ' + ln ' b) ' + ( ') d d c) d) ( + 4) ' + ( ') d d ) ' ' f) ' ln ' 7