Reexão e refração de ondas eletromagnéticas em interfaces planas entre dielétricos

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Luiz Guilherme Quintão Beppler
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Rxão rfração d ondas ltromagnéticas m intrfacs planas ntr dilétricos Para ilustrar a utilização das condiçõs d contorno para os campos tratmos a rxão a rfração d ondas ltromagnéticas planas por

1 Rxão rfração d ondas ltromagnéticas m intrfacs planas ntr dilétricos Para ilustrar a utilização das condiçõs d contorno para os campos tratmos a rxão a rfração d ondas ltromagnéticas planas por intrfacs ntr dilétricos linars homogênos isotrópicos. Para não trivializar a discussão vamos considrar qu o vtor d onda incidnt não sja parallo à intrfac ntr os dois mios dilétricos. Há dois casos linarmnt indpndnts qu considramos abaixo. Campo létrico parallo ao plano d incidência Nss caso scolhmos o sistma d coordnadas d forma qu a intrfac ntr os dois mios dilétricos coincida com o plano xy. Também indxamos os mios dilétricos d modo qu o mio tnha z < 0 o mio 2 tnha z > 0. Assim a normal à intrfac é o vrsor ẑ. O plano d incidência é formado plo vtor d onda incidnt k pla normal à intrfac ẑ. Escolhmos o plano d incidência como o plano xz. Como a incidência não é normal à intrfac tmos k = ẑk cos θ + ˆxk sin θ ond k é o módulo do vtor k θ é o ângulo d incidência isto é o ângulo ntr o vtor d onda k a normal à intrfacẑ. Escolhmos polarização plana o campo létrico incidnt parallo ao plano d incidência ou sja ϵ = ( ẑ sin θ + ˆx cos θ ) xp (izk cos θ + ixk sin θ iωt).

2 Por isotropia homognidad dos mios dilétricos as ondas rtida rfratada têm polarizaçõs planas também parallas ao plano d incidência podmos scrvr para a onda rtida com para a onda rfratada com ϵ = (ẑϵ 0 sin θ + ˆxϵ 0 cos θ ) xp ( izk cos θ + ixk sin θ iωt) k = ẑk cos θ + ˆxk sin θ ϵ 2 = ( ẑϵ 02 sin θ 2 + ˆxϵ 02 cos θ 2 ) xp (izk 2 cos θ 2 + ixk 2 sin θ 2 iωt) k 2 = ẑk 2 cos θ 2 + ˆxk 2 sin θ 2. Notmos qu já scolhmos os campos létricos d modo a srm ortogonais aos rspctivos vtors d onda. Os ângulos θ θ 2 são rspctivamnt os ângulos d rxão rfração. Utilizando a Li d Indução d Faraday a dnição d índic d rfração obtmos Analogamnt ϵ = c β t β = ck ω ϵ = n (ẑ cos θ + ˆx sin θ ) ( ẑ sin θ + ˆx cos θ ) xp (ik r iωt) = n (ẑ ˆx cos 2 θ ˆx ẑ sin 2 θ ) xp (ik r iωt) = ŷn xp (ik r iωt). β = n ϵ 0 ( ẑ ˆx cos θ cos θ + ˆx ẑ sin θ sin θ ) xp (ik r iωt) = ŷn ϵ 0 xp (ik r iωt) β 2 = ŷn 2 ϵ 02 xp (ik 2 r iωt). Na ausência d cargas corrnts livrs dvmos tr ou sja ẑ (ε 2 ϵ 2 ε ϵ ε ϵ ) z=0 = 0 0 = ε 2 ϵ 02 sin θ 2 xp (ixk 2 sin θ 2 ) + ε sin θ xp (ixk sin θ ) ε ϵ 0 sin θ xp (ixk sin θ ) para todo valor d x. Pla indpndência linar d xponnciais com argumntos distintos concluímos qu k sin θ = k sin θ k 2 sin θ 2 = k sin θ portanto ε 2 ϵ 02 sin θ 2 + ε sin θ ε ϵ 0 sin θ = 0. A quação k sin θ = k sin θ 2

3 dá a li d rxão isto é θ = θ. A quação k 2 sin θ 2 = k sin θ dá a Li d Rfração d Snll-Dscarts ou sja n 2 sin θ 2 = n sin θ. Como a componnt tangnt à intrfac do campo intnsidad magnética é contínua no prsnt caso obtmos ( ẑ β µ 2 β 2 µ β µ ) z=0 = 0. Para simplicar vamos supor qu os dilétricos sjam tais qu µ = µ 2 = isto é qu os dilétricos sjam matriais não magnéticos. Assim ẑ ŷ (n 2 ϵ 02 n + n ϵ 0) = 0 ou sja n 2 ϵ 02 n + n ϵ 0 = 0. Usando a Li d Snll-Dscarts k 2 sin θ 2 = k sin θ vmos qu as quaçõs ε 2 ϵ 02 sin θ 2 + ε sin θ ε ϵ 0 sin θ = 0 n 2 ϵ 02 n + n ϵ 0 = 0 são linarmnt dpndnts. Como a continuidad da componnt normal do campo indução magnética stá automaticamnt satisfita rsta-nos utilizar a continuidad da componnt tangncial do campo létrico: ẑ (ϵ 2 ϵ ϵ ) z=0 = 0. Essa quação nos dá ϵ 02 cos θ 2 cos θ ϵ 0 cos θ = 0. Rsolvndo o sistma d quaçõs n 2 ϵ 02 n + n ϵ 0 = 0 ϵ 02 cos θ 2 cos θ ϵ 0 cos θ = 0 obtmos ϵ 0 = n cos θ 2 n 2 cos θ ϵ 02 =. 3

4 Os cocints d Frsnl para ss caso são dnidos como para rxão para transmissão. r 2p = ϵ 0 = n cos θ 2 n 2 cos θ t 2p = ϵ 02 = Campo létrico prpndicular ao plano d incidência Nss caso tomamos k = ẑk cos θ + ˆxk sin θ k = ẑk cos θ + ˆxk sin θ k 2 = ẑk 2 cos θ 2 + ˆxk 2 sin θ 2 4

5 como no caso antrior mas scolhmos os campos létricos polarizados ao longo do ixo y isto é ϵ = ŷ xp (izk cos θ + ixk sin θ iωt) ϵ = ŷϵ 0 xp ( izk cos θ + ixk sin θ iωt) ϵ 2 = ŷϵ 02 xp (izk 2 cos θ 2 + ixk 2 sin θ 2 iωt) ond já stamos adiantando qu val a li d rxão. Assim usando a Li d Indução d Faraday obtmos ϵ = c β t β = ck ω ϵ = n (ẑ cos θ + ˆx sin θ ) ŷ xp (ik r iωt) = n ( ˆx cos θ + ẑ sin θ ) xp (ik r iωt) β = n (ˆx cos θ + ẑ sin θ ) ϵ 0 xp (ik r iωt) β 2 = n ( ˆx cos θ 2 + ẑ sin θ 2 ) ϵ 02 xp (ik 2 r iωt). Como a componnt tangncial do campo létrico é contínua na intrfac tmos ẑ (ϵ 2 ϵ ϵ ) z=0 = 0 ou sja ϵ 02 ϵ 0 = 0. Também impomos qu a componnt tangncial do campo intnsidad magnética sja contínua obtndo ( ẑ β µ 2 β 2 µ β µ ) = 0 z=0 isto é supondo mios não magnéticos ou sja µ = µ 2 = vm n 2 cos θ 2 ϵ 02 + n cos θ n cos θ ϵ 0 = 0. Agora rsolvmos as quaçõs ϵ 02 ϵ 0 = 0 n 2 cos θ 2 ϵ 02 + n cos θ n cos θ ϵ 0 = 0 concluímos qu ϵ 0 = n cos θ n 2 cos θ 2 ϵ 02 = Os cocints d Frsnl para ss caso são dnidos como. para rxão para transmissão. r 2s = ϵ 0 = n cos θ n 2 cos θ 2 t 2s = ϵ 02 = 5

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