7.1 Densidade de corrente elétrica

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1 Capítulo VII Rlatividad Eltromagntismo Embora a toria ltromagnética basada nas quatro quaçõs formulada por Maxwll (1864) sja antrior à Rlatividad Rstrita, é uma toria rlativística por xclência, sndo inclusiv uma das razõs, s não a principal razão, do surgimnto da Rlatividad Rstrita, aprsntada m 1905 por Albrt Einstin com o sugstivo título "Sobr a Eltrodinâmica dos Corpos m Movimnto". Isso porqu as quaçõs do ltromagntismo violam a rlatividad nwtoniana, formalizada plas transformaçõs d Galilu, sndo covariants por um outro conjunto d transformaçõs atualmnt conhcidas como as transformaçõs d Lorntz. 7.1 Dnsidad d corrnt létrica Um prssuposto fundamntal na toria ltromagnética é qu a carga létrica sja uma grandza invariant. Dss modo, s num crto rfrncial inrcial xist uma distribuição uniform rígida d uma carga létrica numa rgião d volum tal qu a sua dnsidad sja =, (7.1) num outro rfrncial inrcial a dnsidad d carga srá = (7.2) ond é o volum da msma rgião vista por. Em trmos do volum próprio, = 1, = 1 / = 1, = 1 / 75 (7.3) ond são as vlocidads das distribuiçõs rígidas d carga nos rfrnciais inrciais, rspctivamnt. Considr sss rfrnciais m movimnto rlativo uniform, com vlocidad, ao longo do ixo comum, portanto, ligados plas transformaçõs d Lorntz, quação (6.33), = ( ) = ( ) = = = ( ) = ( ) = = A componnt tmporal da quadri vlocidad lva à transformação d modo qu a rlação ntr os volums fica = = 1, (7.4) 1 =. 1. (7.5)

2 Substituindo na dnsidad d carga, quação (7.2), rsulta, considrando a dnsidad d corrnt létrica =, = 1 = 1 (7.6) A li d adição das vlocidads, quação (5.82), =. (7.7) = 1 /, = 1 (1 / ), = 1 (1 / ), (7.8) lva às transformaçõs das componnts da dnsidad d corrnt, = = ( ) = ( ) = = = = = =. (7.9) As transformaçõs (7.7) (7.9) sugrm a construção do quadrivtor dnsidad d corrnt létrica = (7.10) ond = / é a dnsidad própria a quadrivlocidad. Em trmos das componnts tmporal spacial, =, =,. (7.11) As transformaçõs d Lorntz das componnts do quadrivtor dnsidad d corrnt létrica ficam = ( ) = ( ) = = = ( ) = ( ) = = (7.12) Fio condutor infinitamnt longo Cargas létricas m movimnto produzm campos magnéticos, d modo qu é d s sprar qu o campo magnético dpnda do movimnto rlativo ntr o obsrvador a carga létrica. Como uma carga m rpouso num dtrminado rfrncial é font do campo létrico nss rfrncial, num outro rfrncial m movimnto uniform m rlação a, a carga stará m movimnto, portanto, srá font d campos létrico magnético. Isso sugr uma conxão ntr os campos létrico magnético através das transformaçõs d Lorntz. Para comprndr fisicamnt como isso ocorr, considr um sistma simpls, um fio condutor infinitamnt longo alinhado ao longo do ixo prcorrido por uma corrnt létrica. Essa corrnt é dvida ao movimnto dos létrons d condução dos átomos constituints do fio, sndo qu a dnsidad d carga létrica prmanc nutra dvido às 76

3 cargas positivas dos núclos atômicos, qu prmancm m rpouso, nquanto os létrons d condução flum ntr os átomos, prcorrndo o fio condutor com uma vlocidad média. Em trmos da carga do létron, =, as dnsidads d cargas positivas ngativas do fio são = = = =, (7.13) ond = / é o númro d cargas por unidad d volum, a dnsidad d cargas total sndo nula, = + = 0. (7.14) Como somnt as cargas ngativas é qu s movm ao longo do fio, as contribuiçõs das cargas positivas ngativas para a dnsidad d corrnt são, rspctivamnt, rsultando a corrnt total = 0 = =. (7.15) = =. (7.16) Nssa situação a li d Biot-Savart prvê um campo magnético tangncial d intnsidad = 2 (7.17) circundando o fio condutor ( é o vrsor tangncial ao fio), a corrnt létrica dada por = Intgrada sobr a ára transvrsal do fio. Como a carga létrica total é nula, o campo létrico dv sr nulo, =, m todo o spaço xtrno ao condutor. Para um obsrvador no rfrncial, o balanço das dnsidads d cargas corrnts létricas positivas ngativas é difrnt. Plas transformaçõs (7.12), = ( ) = = para as cargas positivas = ( ) = = = + para as cargas ngativas, rsultando uma dnsidad volumétrica d cargas não nula), Quanto às dnsidads d corrnt, = + =. (7.18) = = 77

4 para as cargas positivas = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) para as cargas ngativas, rsultando na dnsidad d corrnt total = + =. (7.19) O rsultado mais significativo é a prsnça d uma dnsidad d carga létrica total não nula distribuída ao longo do fio condutor, dando origm a um campo létrico radial ao longo do ixo dfinido plo fio condutor, além do campo magnético tangncial, m módulo, igual a = 2 (7.20) ond = 2 (7.21) = (7.22) é a dnsidad linar d cargas. Para uma dnsidad uniform d cargas no condutor com scção transvrsal d ára A, = =. (7.23) A prsnça d campos létrico magnético no rfrncial nquanto qu no rfrncial tm apnas o campo magnético mostra qu campos létrico magnético misturam-s numa transformação d Lorntz sndo, portanto, manifstaçõs d um msmo fnômno físico cuja font é a carga létrica. No ntanto, os campos létrico magnético, E B, rspctivamnt, são vtors d propridads matmáticas difrnts, d modo qu não dvm s misturar m simpls combinaçõs linars. O campo létrico E é um vtor polar nquanto qu o campo magnético B é um vtor axial (ou psudovtor). Vtors polars vtors axiais têm propridads d transformação difrnts numa rflxão spacial. O vtor posição r é um vtor polar típico, assim como a vlocidad, cuja transformação por rflxão é a msma do vtor posição, = =. (7.24) Por outro lado, o momnto angular é um vtor axial ou psudovtor típico, transformando-s como numa rflxão spacial. = (7.25) 78

5 7.2 Campo ltromagnético No conjunto das quatro quaçõs d Maxwll, duas são homogênas, as outras duas são não homogênas, + = 0 = 0 = 4 = 4, (7.26). (7.27) Dvido às idntidads matmáticas 0 0, as quaçõs homogênas prmitm dfinir os campos magnético létrico como = = (7.28) ond A é uma função vtorial φ uma função scalar, o potncial vtor magnético o potncial scalar létrico, rspctivamnt. Nss contxto, as quaçõs homogênas podm sr considradas como idntidads matmáticas. As quaçõs dinâmicas são as não homogênas, qu podm sr obtidas d uma função lagrangana através da quação d Eulr-Lagrang. Os campos potnciais não são univocamnt dfinidos, admitindo as transformaçõs = + = (7.29) para uma função arbitrária (,,, ), sm aftar os campos físicos E B. São conhcidas como transformaçõs d gaug do campo ltromagnético. A strutura das transformaçõs sugr um quadri-vtor com as componnts tmporal = spacial A, as transformaçõs d gaug rsumindo-s a = (, ) = (, ), (7.30) = +. (7.31) Em trmos das componnts do quadri-vtor, o campo létrico fica o campo magnético = + = () = = os índics spaciais tomados ciclicamnt. Dfin-s o tnsor d intnsidad ltromagnética 79

6 = (7.32) tal qu índics cíclicos no campo magnético. O par das quaçõs d Maxwll não homogênas fica qu pod sr obtida a partir da função lagrangana a quação d Eulr-Lagrang = =, (7.33) Na quação d Eulr-Lagrang usa-s a notação para as drivadas = 4, (7.34) L = (7.35) L = L = 0. (7.36),, = útil para mantr as quaçõs numa forma mais compacta. O par das quaçõs homogênas pod sr obtido da idntidad matmática ou, na vrsão mais compacta, + + 0, (7.37) 0. (7.38) Transformaçõs d Lorntz Sndo um quadri-vtor, plas transformaçõs grais d Lorntz = Λ (5.51) conctando os rfrnciais inrciais o campo dv transformar-s da msma forma, ( ) = Λ (). (7.39) No caso das transformaçõs spciais d Lorntz, quação (6.33), = ( ) = ( ) = = Os campos létrico magnético no novo rfrncial ficam, = +. (7.40) 80

7 =, (índics cíclicos). Usando as transformaçõs do campo, quação (7.40), dos opradors difrnciais, rsultam as transformaçõs = ( + ) = ( + ) = = (7.41) = = E B = E + B (7.42) para as componnts do campo létrico = = B + E = B (7.43) para as componnts do campo magnético Campo d uma carga m movimnto uniform Uma aplicação imdiata das transformaçõs do campo ltromagnético é a obtnção dos campos létrico magnético d uma carga létrica m movimnto uniform. Por simplicidad, pod-s supor qu o movimnto sja ao longo do ixo com vlocidad constant. S for o rfrncial d rpouso da carga, o campo magnético dv sr nulo, o campo létrico dv sr coulombiano, Em componnts rtangulars fica =, (7.44) =. (7.45) = /, = /, = = = 0. = / A figura 7.1 ilustra a configuração das linhas d campo d um campo létrico coulombiano usando amostragm d 3 mil sgmntos orintados na dirção das linhas d campo, para fito d comparação com as configuraçõs dos campos létricos d cargas a grands vlocidads (figura 7.2). 81

8 Figura 7.1 Rprsntação d um campo létrico coulombiano com uma amostra d 3 mil sgmntos orintados com distribuição proporcional a. Para obtr os campos no rfrncial d laboratório, pod-s rcorrr às transformaçõs invrsas da quação (7.42) para as componnts do campo létrico, = = + =, (7.46) da quação (7.43) para as componnts do campo magnético, = = = + (7.47) mais as transformaçõs dirtas das coordnadas. Para o campo létrico rsulta para a componnt, = = / = ( ) [ ( ) + + ] / (7.48) E = + = = / = [ ( ) + + (7.49) ] / para a componnt = ( ) = = / = [ ( ) + + (7.50) ] / para a componnt, com = / = 1/(1 ²). A figura 7.2 mostra as configuraçõs das linhas d campo létrico d cargas m movimntos uniforms ao longo do ixo (horizontal) a grands vlocidads indicadas por = / mostrando o fito da contração do spaço sobr a configuração das linhas d campo. No limit da vlocidad da luz, as linhas d campo s concntram no plano 82

9 prpndicular à dirção da vlocidad. Mostra qu mbora o campo ltromagnético não dpnda da massa da partícula carrgada, partículas carrgadas dvm tr massas não nulas, caso contrário a carga font tria vlocidad igual à da luz as linhas d campo s acumulariam sobr o plano transvrsal ao movimnto ond o campo létrico tria intnsidad infinita, sndo nula fora do plano transvrsal qu acompanha a carga. = 0,9 = 0,99 = 0,999 = 0, Figura 7.2: Configuraçõs dos campos létricos d cargas m movimntos uniforms a grands vlocidads indicadas por = /. As componnts do campo magnético podm sr xprssas m trmos das componnts do campo létrico, ou, d uma forma gral, = 0 = = = (7.51) = + = = =, (7.52) 83

10 como facilmnt pod sr vrificado para st caso, ond a vlocidad tm apnas a componnt =. A figura 7.3 ilustra a configuração do campo magnético, m cort tranvrsal à dirção d movimnto. Figura 7.3 Configuração do campo magnético d uma carga m movimnto uniform, m cort transvrsal à linha d movimnto, m amostragm d 2 mil pontos. 7.3 Campo d uma carga m movimnto arbitrário O par das quaçõs d Maxwll não homogênas na forma (7.34) mais a condição = 0 (gaug d Lorntz) rsulta = 4π, (7.53) uma quação d onda não homogêna tndo como font a dnsidad d corrnt. Em trmos dos campos ϕ A, = 4π (7.54) = 4π. (7.55) Para uma carga font puntiform, as dnsidads d carga d corrnt são nulas m todo o spaço xcto na posição da carga no spaço-tmpo. Dst modo, para dtrminar o campo ltromagnético m todo o spaço dvido a sta carga font, dv-s rsolvr as quaçõs homogênas = 0 (7.56) 84

11 = 0 (7.57) impondo condiçõs d contorno dvido à prsnça da carga font m () = (, ( ). (7.58) Dvido às propridads d propagação do campo ltromagnético, isotrópica à vlocidad da luz, o sistma tm simtria sférica, a cada instant t, m torno da posição ( ) da carga font. A quação d onda = 0 (7.59) m coordnadas sféricas indpndnt das coordnadas angulars, m razão da simtria sférica, fica ond 1 = 0 (7.60) = ( ) (7.61) dfin a posição rlativa do ponto d obsrvação m rlação à carga font, com a distância radial = ( ) = ( ). (7.62) Com a rdfinição do campo scalar, = a part scalar da quação (7.60) fica = 0, (7.63) uma quação d onda unidimnsional cuja solução dv sr uma combinação linar do tipo = + +. A função ( /) rprsnta uma onda propagando-s da origm ( = 0) para o infinito ( + /) uma onda qu s aproxima do infinito para a origm. S a carga font stivr m rpouso, = (, ) =, 0, (7.64) indicando qu, d uma forma gral, o quadri-vtor dv sr da forma = ( ), (7.65) d tal modo qu s rduza ao caso stático quando a vlocidad da carga font for nula, isto é, m trmos da quadri-vlocidad, ( ) = (, 0). Isto s consgu para 85

12 = ( ) ( ) (7.66) ond qu dv satisfazr a condição = ( ) = ( ), ( ) (7.67) = ( ) ( ) = 0 (7.68) dfinida pla quação (7.62). Drivadas tmporais stão xprssas m notação compacta () = () = para as drivadas d primira d sgunda ordm m rlação ao tmpo, rspctivamnt. A condição (7.68) significa isto é, = ( ), = ±( ), qu dfin as duas possibilidads para, o tmpo rtardado o tmpo avançado m rlação ao tmpo t, = = = = +, (7.69) rspctivamnt, qu dfinm os potnciais rtardado avançado. Por qustõs d causalidad o campo físico dv sr o rtardado, 86 =, (7.70) originado pla carga font na posição = (, ( )) vlocidad ( ) no tmpo passado ou rtardado = = / <, = = ( ) O campo avançado = =. (7.71) (7.72) dvido à carga font na posição = (, ( )) no tmpo futuro = = + / > para = = + é, m gral, dscartado como uma solução não física.

13 As componnts = ( /) (7.73) = ( /) (7.74) são os potnciais rtardados d Liénard-Wichrt. Conhcidos os potnciais, os campos létrico magnético são obtidos da manira usual, com uma prcaução xtra m rlação às drivadas, qu dvm lvar m conta a quação d vínculo (7.68), qu pod sr rscrita na forma = ( )[ ( )] = 0 (7.75) d cuja difrnciação [ ] = 0 rsulta a difrncial a drivada = = = = (7.76) As drivadas d funçõs dpndnts do tmpo rtardado dvm s valr da rgra d drivação = + = + (7.77) ond indica a drivada m rlação às coordnadas xplícitas. Assim, ond Rsulta = = = = = 1 = = + () =., =

14 = Com stas drivaçõs, o tnsor ltromagnético = fica = 1 [ ()] + 1, os campos létrico magnético dfinidos plas componnts = =, quação (7.33). Assim, = = 1 [ ()] + 1, Considr as componnts dos quadri-vtors vlocidad aclração, =,, = ( ), +, rspctivamnt, quaçõs ( ), ond a é aclração usual com as suas três componnts. Em trmos dos parâmtros físicos usuais = /, = = rsultam = [ ()] = [ ()], = (1 ) = = (1 ). O campo létrico, m forma vtorial, fica = [ ()]( ) + ( ) (1 ), cujo trmo dpndnt só da vlocidad é = ( ) ( ) = (1 )). Os dmais trmos carrgam dpndência na aclração, = [()]( ) + ( ) (1 ) A primira dpndência ocorr no produto scalar () = = ( ) = + ( ). 88

15 qu pod sr posta na forma () = (1 ) ou () = (1 ) (1 ) rsulta nas contribuiçõs (1) = (1 ) (1 ) ( ) (2) = ( ) (1 ) (1 ) cujos primiros trmos s canclam, rsultando Vja qu, como = 1 = ( ) (1 ) (1 ) ( ) (1 ) = ( ) [ ( )], podndo-s rcorrr à idntidad vtorial ( ) ) ( ) [ ( )] para scrvr o campo létrico como = (1 ) + ( ) (1 ). (7.78) O campo létrico aprsnta duas componnts, a primira d vlocidad a sgunda d aclração. O campo d vlocidad é solidário à carga acompanha o su movimnto nquanto qu o campo d aclração é indpndnt corrspond à radiação ltromagnética. O campo magnético tm as componnts = = [ ()] +, qu podm sr idntificados as componnts do produto vtorial = [ ]. (7.79) Campo d uma carga m movimnto uniform Para cargas m movimnto uniform, =, a quação (7.78) fica 89

16 = (1 ) (7.80) S o movimnto for ao longo do ixo, = a posição da carga, supondo na origm no instant = 0, é () =, portanto, = = ( ) ( ) = ( ) + + (7.81) Também ( ) = ( ) + + = ( ( )) + + = ( ) + + (1 ) = 1 ( ) ( ) = (1 ). (7.82). (7.83) Figura 7.4 Nsta ilustração, P é a posição (x,y,z,t) do campo, Q é a posição da carga font no tmpo rtardado Q é a posição atual da carga, m movimnto uniform ao longo do ixo (horizontal). A figura 7.4 ilustra uma carga létrica inicialmnt ( = 0) localizada no ponto O dslocando-s com movimnto uniform ao longo do ixo com vlocidad constant. O campo ltromagnético na posição, d coordnadas (,, ), foi grado por sta carga font no tmpo rtardado na posição rtardada = ( ) = (sobr o ixo ). Ainda sobr o ixo, = () = é a posição atual da carga font = = ( ) é a distância qu o campo dv prcorrr da carga font até a posição =. Pla configuração gométrica do sistma, = ( ) + = [ ( )] +, (7.84) ond = +, pod sr rarranjada na forma d uma quação algébrica d sgundo grau m, 90

17 (1 ) 2( ) ( ) = 0 (7.85) cujas soluçõs são = 2( ) ± 4 ( ) + 4(1 )[( ) + ] 2(1 ). Considrando qu R dv sr positivo, rsta a solução qu pod sr simplificada para = ( ) + ( ) + (1 )[( ) + ] (1 ) = ( ) + ( ) + (1 ) (1 ) (7.86) rarranjada como (1 ) ( ) = ( ) + + Comparando com a quação (7.83), (7.87) (1 ) = ( ) + + = ( ) + + ( ( ) + + ) /. (7.88) Est é xatamnt o rsultado obtido na scção (7.2.2) para o campo létrico usando as transformaçõs d Lorntz Campo d uma carga m movimnto hiprbólico O movimnto hiprbólico d uma partícula, rsultant da ação d uma força xtrna constant sobr a msma (vja capítulo 6) pod sr dscrito, usando as coordnadas do spaço-tmpo considrando o movimnto unidimnsional ao longo do ixo z, por (, ) = (h, h). (7.89) Dscrv a partícula movndo-s do infinito, d (vlocidad = ), uniformmnt dsaclrada até s anular m = ²/ rtornando ao infinito, uniformmnt aclrado, até atingir a vlocidad limit c novamnt m. Na quação acima, = / é a aclração própria constant dvido à ação da força xtrna constant atuando sobr uma partícula com massa d rpouso = / é um parâmtro auxiliar. A quadri vlocidad a quadri aclração rsultam (, ) = (h, h) (7.90) 91

18 (, ) = (h, h), (7.91) os pontos acima das coordnadas indicando drivadas m rlação ao tmpo próprio, = = = =. Explicitando os campos létrico magnético m trmos d parâmtros físicos usuais rlacionados por 1 = /, = (1 ²) =, (7.92) para =,, ond = () é a posição da carga no tmpo rtardado (ou avançado) =. (7.93) Os campos potnciais srão usados nos formatos = /) = ( /) (7.94) (7.95) são válidos para os campos rtardados ou avançados. A condição = 0 lva a = = (7.96) ond = ( ) é a posição da carga no instant. Como =, rsulta = (7.97) ond os sinais ngativo ou positivo rmtm aos tmpos rtardado ou avançado, rspctivamnt. A quação (7.89) do movimnto hiprbólico na forma paramétrica pod sr colocada na forma d trajtória m função do tmpo. Para o movimnto ao longo do ixo com as condiçõs iniciais = = 0 fica = + (7.98) com vlocidad = + (7.99) 92

19 aclração = / (7.100) + para = / = 1/. A quação (7.96) fica isto é, = + + = (7.101) 2 + = =, usando a quação da trajtória (7.98), qu pod sr rarranjada para 2 + = , 2 + = ( + ) + 2. Quadrando os dois lados, rsulta 4 + = ( + ) + 4 ( + ) + 4, uma quação algébrica d sgundo grau m, 4 ( ) 4 ( + ) + 4 ( + ) = 0, cujas soluçõs são = ( + ) 2( ) ( + ) ( )4 2( ). (7.102) Considr = = + = ( + ) ( )4 = ( ) + 4. Então, para a quação (7.102) fica = ( ) + 4 = ( + ) ( )4, (7.103) = ( + ) 2( ). Dfinindo mais um parâmtro auxiliar, 93

20 rsulta = + (7.104) = Vja qu, usando a dfinição (7.104), o parâmtro fica 2( ). (7.105) = 4 ( ). (7.106) Para o movimnto hiprbólico ao longo do ixo z, quaçõs ( ), o vtor (7.93) fica = = (7.107), portanto, = +. (7.108) Como, da quação (7.106), + = 4 ( ) ( ) 4 ( + ) 4 ( ) ntão, após alguns cálculos, pod-s obtr ou sja, 4 ( ) =, (7.109) + = ( ), + = Para o tmpo rtardado =, ( ) 4 (. (7.110) ), das quaçõs (7.105) (7.108), = ( ), = Das quaçõs (7.106) (7.109), > 0 + = ) 4( ( ) > > 2( ). ou 94

21 d modo qu < <, = ±( ) ( ) Substituindo nas quaçõs (7.94) (7.95), rsulta a componnt scalar = a componnt spacial não nula = qu podm sr colocados nas formas /) ( ) = ±( ) + = ±( ), = ± ( ) ( ) = ± ( ) ( ), dpndnts apnas das coordnadas atuais do spaço-tmpo. Vja qu, para = 1 2 ln,. as componnts do potncial podm sr scritas como = ± ( ) = ± ( ) + Podm sr simplificadas considrando a transformação d gaug rsultando as xprssõs finais, = ( ) = ( ). (7.111) (7.112) 95

22 ond = + ( + ) 4 ( ), (7.113) os sinais (±) absorvidos na carga. Os campos létrico magnético podm sr obtidos calculando = = = (7.114) ond, portanto = = + =. (7.115) A componnt do campo létrico fica D forma similar, Para a componnt as drivaçõs são mais trabalhosas. Assim, para rsultando = = ( ) 2 = = 8 ( ) = 8. (7.116) = 8. (7.117) = = ( ) + ( ) = 4 ( ) ( ) = ( + ) ( ) 96

23 usando rsulta Para = 4 ( ) ( ) = ( ) ( + ) ( ). = ( ) + ( ), = 4 ( ) ( ) = ( + ) ( ) = 4 ( ) ( ) Somando as duas contribuiçõs, + ( + ) ( ). = 4 ( ). (7.118) A quação (7.115) fornc as componnts do campo magnético, = = = = = = Como a única componnt spacial não nula do potncial vtor é, quação (7.112), rsultam A componnt z é nula, = ( ) = 8 (7.119) = ( ) = 8. (7.120). = 0. (7.121) 97

24 O campo létrico, m componnts cilíndricas não nulas ( = 0), fica o campo magnético, ou, simplsmnt, = 8 = 4 ( ) (7.122) = = 8 ( ) = 8 (7.123) para + > 0 = ( + ) 4 ( ). A rstrição (7.124) lva m conta a vlocidad finita d propagação do campo ltromagnético, qu dv ocorrr à vlocidad da luz. Os campos E B aqui considrados são dvidos a uma carga dscrvndo um movimnto hiprbólico, prcorrndo o ixo z d + no instant quando a vlocidad é, dsaclrando até o instant = 0 quando a vlocidad s anula, = 0, na posição = > 0, rtornando para +. A figura 7.5 ilustra a volução tmporal do campo létrico d uma carga m movimnto hiprbólico no intrvalo 15 20, para a aclração própria /² = 0,5 m unidads d ¹, ond é uma unidad arbitrária d distância. Em, a carga font stá praticamnt à vlocidad da luz o campo létrico stá confinado no plano. O movimnto é dsaclrado ntr 0 a frnt plana do campo létrico avança à vlocidad da luz. Em = 0 a carga rvrt o movimnto, aclrado ntr 0, iniciando o movimnto d rtorno para +. A frnt do campo létrico continua avançando à vlocidad da luz, dsvinculando-s da carga, configurando o campo d aclração. Outra part do campo prmanc solidária à carga font, acompanhando o su movimnto, caractrística do campo d vlocidad. Nota técnica: As configuraçõs spaciais dos campos létricos das figuras 7.1 a 7.3 dos quadros da figura 7.5 foram obtidas através d simulaçõs basadas no Método d Mont Carlo a técnica d rjição d Numann para obtr as distribuiçõs proporcionais às intnsidads dos campos. As orintaçõs spaciais são indicadas por sgmntos d rta d igual comprimnto, as xtrmidads ancoradas nos pontos (, ) ( +, + ) para = =, o ângulo dado pla rlação / =. Cada quadro contm da ordm d três mil pontos, as cors atribuídas alatoriamnt para ncobrir os fitos d saturação no ntorno do ponto d divrgência do campo létrico. As simulaçõs são configuradas m quadros d 98

25 dimnsõs 40 40, ond é uma unidad arbitrária d distância. As aclraçõs são dadas m /², cuja unidad é ¹. = 15 = 10 = 5 = 19 Evolução tmporal = 0 = 15 = 10 = 5 Figura 7.5: Evolução tmporal do campo létrico d uma carga m movimnto hiprbólico no intrvalo 15 20, aclração própria /² = 0,5 m unidads d ¹, ond é uma unidad arbitrária d distância. Exrcícios 1. Mostr qu a quação d movimnto basada na força d Lorntz, é uma quação rlativisticamnt covariant. = +, 99

26 2. O campo létrico dvido a um fio infinitamnt longo ltrizado com dnsidad linar d carga λ é, m módulo, = 2 ond r é a distância radial ao longo do fio. Dduza, a partir dsta informação, a li d indução do campo magnético dvido a uma corrnt I m um fio rto infinito (Vá a um outro rfrncial, qu s mova parallamnt ao fio). 3. Obtnha a trajtória d uma partícula com carga létrica q após pntrar, com vlocidad v, uma rgião com campo magnético uniform B, m trajtória prpndicular ao campo. 4. Dtrmin a trajtória, rlativística, d uma partícula com carga létrica q na prsnça d um campo létrico uniform E, supondo a vlocidad inicial nula. 5. Obtnha os campos létrico magnético d uma carga pontual m movimnto rtilíno uniform, usando a xprssão dos campos rtardados. Compar com os campos obtidos usando as transformaçõs d Lorntz. 6. Obtnha os campos létrico magnético d uma carga pontual xcutando um movimnto hiprbólico. Bibliografia 1. H. A. Lorntz, A. Einstin H. Minkowski, Txtos Fundamntais da Física Modrna, I volum - O Princípio da Rlatividad (3^{a.} dição), Editora da Fundação Caloust Gulbnkian, Lisboa (1958). 2. Richard A. Mould, Basic Rlativity, Springr, NY, C. Mollr, Th Thory of Rlativity (scond dition), Oxford Univrsity Prss (1972). 4. L. Landau and E. L. Lifshitz, Th Classical Thory of Filds, Prgamon Prss, Oxford (1976). 5. P. G. Brgmann, Introduction to th Thory of Rlativity, Dovr Publications, NY, (1976). 6. John David Jackson, Classical Elctrodynamics (third dition), John Wily & Sons (1999). 7. F. Rohrlich, Classical Chargd Particls - Foundations of Thir Thory, Addison-Wsly (1964). 8. A. O. Barut, Elctrodynamics and Classical Thory of Filds and Particls, Dovr, NY (1980)., 100